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2.3.1直线与平面垂直的判定(高中数学人教版必修二)


2.3.1直线与平面垂直的判定

实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例,你能举出 几个吗?

旗杆与底面垂直

桥柱与水面的位置关系,给人以直线与平面垂直的形象.

思考1.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子有何位 置关系. 1.旗杆所在的直线始终与

A

影子所在的直线垂直.

α

B

请同学们准备一块三角形的纸片,我们一起来做如图所 示的试验:过△ABC的顶点A翻折纸片,得到折痕AD,

将翻折后的纸片竖起放置在桌上(BD、DC与桌面接触). A

B

D

C

思考3

(1)折痕AD与桌面垂直吗?

(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直? 当折痕AD⊥BC时,折痕AD与桌面所在平面垂直.

BD,CD都在桌面内,BD∩CD=D,AD⊥CD,AD⊥BD, 直线AD所在的直线与桌面垂直 A

l

B C

D

?

P

m

n

直线与平面垂直

如果直线 l 与平面? 内的任意一条直线都垂直, 我们说直线 l 与平面 ? 互相垂直, 记作 l ? ? .
平面 ? 的垂线

垂足

l
P

直线 l 的垂面

?

对定义的认识 ①“任何”表示所有.

②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况,
在垂直时,直线与平面的交点叫做垂足. ③

a ? ? 等价于对任意的直线 m ? ?,都有 a ? m.

利用定义,我们得到了判定线面垂直的最基本方法,

同时也得到了线面垂直的最基本的性质.

直线与平面垂直

除定义外,如何判断一条直线与平面垂直
呢?

l

?

P

直线与平面垂直判定定理
判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂

直,则该直线与此平面垂直.

? ? ? a ?? ?? l ?? ? b ?? a ?b ? A ? ?
简记为:线线垂直

l?a l ?b

l

b

?

A

a

“平面内”,“相交”,“垂直”三个条件必不可少 线面垂直

作用: 判定直线与平面垂直.

练习:

如图,在三棱锥V-ABC,VA=VC,AB=BC求证: VB⊥AC.
V

.D
A 提示:找AC中点D,连接VD,BD B

C

2.过ΔABC所在平面α外一点P, 作PO⊥α, 垂足 为O, 连接PA, PB, PC.
中 点. 1).若PA = PB = PC, ∠C = 90 , 则O是AB边的__ 外 心. 2).若PA = PB = PC, 则O是ΔABC的_____
0

3).若PA⊥ PB, PB⊥ PC, PC⊥ PA, 则O是ΔABC
垂 心. 的_____

线面垂直判定定理的应用

例 1:已知:如图 ,空间四边形 ABCD 中, DB=DC,取 BC 中点 E,连接 AE、DE, 求证:BC⊥平面 AED.
证明:∵AB=AC,DB=DC,E 为BC 中点,
∴AE⊥BC,DE⊥BC. 又∵AE 与DE 交于E,∴BC⊥平面AED.

由判定定理可知要证明直 线垂直平面,只需证明直线与平面内的任意两 条相交直线垂直即可.

P

例2:如图,点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,O 是对角线AC与 BD的交点,且PA =PC ,PB =PD . 求证:PO⊥平面ABCD

A

D O

证明 Q PA ? PC,点O是AC的中点 \ PO ? AC
又Q PB ? PD,点O是BD的中点 \ PO ? BD 又Q AC ? BD ? O \ PO ? 平面 ABCD

B

C

3.如图,圆O所在一平面为 ? , AB是圆O 的直径,C 在圆周上, 且PA ? AC, PA ?AB, 求证:(1)PA ? BC (2)BC ? 平面PAC
解:(1) AB ? ? , AC ? ? , 且AB ? AC ? A PA ? AC , PA ? AB \ PA ? ? 又 BC ? ? \ PA ? BC
A

P

O
C

B

(2) Q C为圆 O上一点 ,AB 为直径 \ BC ? AC

?1?得BC ? PA, 又Q PA ? AC ? A 由 \ BC ? 面PAC

例 3:如图 6,已知 PA ⊥⊙O 所在平面,

AB 为⊙O 直径,C 是圆周上任一点, 过 A 作 AE⊥PC 于 E,求证:AE⊥平面 PBC.
证明:∵PA ⊥⊙O 所在平面, BC?⊙O 所在平面,∴PA ⊥BC,

∵AB 为⊙O 直径, ∴AC⊥BC,
又 PA ∩AC=A, ∴BC⊥平面 PAC, 又 AE?平面 PAC,∴BC⊥AE, ∵AE⊥PC, PC∩BC=C, ∴AE⊥平面 PBC.

1. 已知:正方体中,AC是面对角线,BD′是
与AC 异面的体对角线.求证:AC⊥BD′
D′ A′ D
A B B′ C′

C

证明:连接BD
∵正方体ABCD-A′B′C′D′ ∴DD′⊥正方形ABCD ∵AC、BD 为对角线∴AC⊥BD A′ ∵DD′∩BD=D

D′
B′

C′

∴AC⊥平面D′DB
且BD′?面D′DB A

D
B

C

∴AC⊥BD′

斜线与斜线段 一条直线PA和一个平面相 交,但不和这个平面垂直,这 条直线叫这个平面的斜线,斜 线和平面的交点叫斜足(A), 斜线上一点和斜足间的线段叫 α 这点到这个平面的斜线段. 平面外一点到这个 平面的垂线段有且只有 一条,而这点到这个平 面的斜线段有无数条 P

A o

斜线在平面内的射影 从斜线上斜足以外的一点向平面引垂线, 过垂足和斜足的直线叫斜线在这个平面内的射 影.垂足和斜足间的线段叫这点到平面的斜线 段在这个平面上的射影

AB ? ?

斜线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所 成的夹角,叫做斜线和平面所成的角 (或斜线 和平面的夹角). 简称线面角

l为一斜线,O为斜足, A为l上任一点, AB ? ? , B为垂足

斜线和平面所成的角 1、直线和平面垂直<=>直线和平面所成的角是 直角 直线和平面平行或在平面内<=>直线和平面所 成的角是0°

2、直线与平面所成的角θ的取值范 π 围是: 0 ≤θ≤
2

斜线与平面所成的角θ的取值范围 π 0 <θ< 是:
2

线面所成的角

关键:过斜线上一点作平面的垂线
斜线 PA 斜足A

P

线面所成角 (锐角∠PAO)

A α
射影AO

O

1.如图:正方体ABCD-A1B1C1D1中,求:
(1)A1C1与面ABCD所成的角

(2) A1C1与面BB1D1D所成的角
(3) A1C1与面BB1C1C所成的角
D1 A1 B1 C1

(4)A1C1与面ABC1D1所成的角

D A B

C

典型例题

例2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直 线A1B和平面A1B1CD所成的角
D1 C1

A1

B1

O
D C

A

B

解:连接BC1交B1C于点O, 连接A1O, ∵ A1B1 ⊥ B1C1 ,A1B1 ⊥ B1B, ∴ A1B1 ⊥平面BCC1B1. ∴ A1B1 ⊥ BC1, 又BC1 ⊥ B1C, ∴ BC1 ⊥平面A1B1CD. ∴ A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影, ∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角. 设正方体的棱长为a 2 在RtΔA1BO中,A1B = 2a, BO = a, 2 1 ∴ BO = A1B, ∠BA1O = 30o. 2 直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30o.

例2:如图 4,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,求 A1B 与平

面 A1B1CD 所成的角.

图4 解:连接 BC1 交 B1C 于 O,连接 A1O,在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中各个面为正方形,设其棱长为 a.

A1B1⊥B1C1? ? ? A1B1⊥平面BCC1B1? ?? ? A1B1⊥B1B ? ? BC1?平面BCC1B1 ? ? A1B1⊥BC1? ? ??BC1⊥平面 A1B1CD ? BC1⊥B1C ? ?
?A1O 为 A1B 在平面 A1B1CD 内的射影 ?∠BA1O 为 A1B 与平面 A1B1CD 所成的角.

2 在 Rt△A1BO 中,A1B= 2a,OB= 2 a OB 1? sin∠BA1O=A B=2? 1 ??∠BA1O=30° ? ? ∠BA1O为锐角 ?
?A1B 与平面 A1B1CD 所成的角为 30°.

求直线和平面所成的角时,应注意的问题 是:(1)先判断直线和平面的位置关系.(2)当直线和平面斜交时, 常有以下步骤:①作——作出或找到斜线与射影所成的角;② 证——论证所作或找到的角为所求的角;③算——常用解三角 形的方法求角;④结论——说明斜线和平面所成的角值.

2-1.如图 5,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中, AB=BC=2, AA1=1,则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为( )

图5

A. 3

2

2

2 B.3

2 C. 4

1 D.3

解析:如图22 ,连接 A1C1 ,则∠AC1A1 为 AC1 与平面

A1B1C1D1 所成角.

AB=BC=2?A1C1=2

2,又 AA1=1,

AA1 1 ∴AC1=3?sin ∠AC1A1=AC =3. 1
答案:D
图 22

2-2.若斜线段 AB 是它在平面α内的射影长的 2 倍,则 AB 与α所成的角为( A )
A.60° B.45° C.30° D.120°

知识小结
1.直线与平面垂直的概念 2.直线与平面垂直的判定 (1)利用定义;垂直与平面内任意一条直线 (2)利用判定定理. 线线垂直 线面垂直
(3)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那 么另一条也垂直于同一个平面

3.数学思想方法:转化的思想

空间问题

平面问题

4.直线与平面所成的角.

范围: [0 ,90 ]

?

?

四.知识小结:
(1)
判定定理 如果一条直 线垂直于一个 平面内的两条 相交直线,那 么此直线垂直 于这个平面。 如果一条直线垂于一个 平面内的任何一条直线

直接法

直线与平面 垂直的判定

间接法
如果两条 平行直线中的 一条垂直于一 个平面,那么 另一条也垂直 于同一个平面。

定义法

此直线垂直于这个平面

(2)数学思想方法:转化的思想

空间问题

平面问题

不去奋斗,不去创造,再美的青春也 结不出硕果。


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