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解析几何中的一些最值问题


实践与探索

教学探索

解析几何中的一些最值问题
文/王海滔
最值问题遍及中学数学的代数、三角、立体几何及解析 几何等学科内的各个分支,在生产实践当中广泛应用,解析几 何中的最值问题也是历届各类考试的热点。如何利用相关的数 学方法,运用数形结合的思想解决这类问题,来提高学生分析 问题和解决问题的能力,为进一步学好高等数学中的最值问题 打下基础,是中学数学复习中不可忽视的问题。下面,笔者结 合具体的例子,对解析几何中的最值问题介绍几种解答方法。 A,P,F1 三点共线时,│PF│+│PA│有最小值,其最小值为 │AF1│+2a=5+4=9。 由此可知:动点在双曲线 上,可以先利用双曲线的定义, 把│PF│转化为│PF1│+2a, 再利用两点间直线段最短的公理 求出最小值。
x2 y 2 + = 1 的右 16 12 1 焦点,点Q在椭圆上移动,则 QF + PQ 的最小值为________。 2 分析:由椭圆方程可知其右准线l方程为x=8,如图

一、利用对称性求最值(动点在直线上)
动点在直线上求最值,解决的办法是把折线问题转化成 直线问题,利用平面内两点间直线段最短的公理,或利用两点 间距离公式求出线段长的最值。 【例1】已知点P在x轴上运动,A(-2,2),B(1,3) (1)则│PA│+│PB│的最小值为多少? 分析:作出A点关于x轴的对称点A'(-2,2),那么 │PA│+│PB│=│PA'│+│PB│,利用三角形两边之和大于 第三边,可得:│PA'│+│PB│≥│A'B│,当且仅当A',P, B三点共线时取得最小值│A'B│= 34 。 (2)则│PB│-│PA│的最大值为多少? 分析:此题不用找对称点, 利用三角形两边之差小于第三边, 只要延长BA交x轴于P,│PB││ PA │ 此 时 得 到 的 最 大 值 为 │BA│= 10 。 小结:当动点在直线上时, (1)求线段长之和的最小值时,若定点是异侧,则两定点距 离即为最小值。若是同侧,作对称点即可解决。(2)求线段 长之差的最大值时,若定点是同侧,则两定点距离即为最大 值。若是异侧,就利用对称性,转化到同侧,也可解决。

【例4】如图,已知点P(-1,-3),F为椭圆

所示,过P、 Q分别作l的垂线,又由椭圆的第二定义知,
QF QQ ' = e,∴ QF =

,易知当P,Q,Q'在同一条直线上时,即 当Q与P点重合时, 2 ( QQ '
9 小值为 2 。
1 + PQ ) 取得最

1 1 1 ' QQ ' , ∴ QF + PQ = ( QQ + PQ ) 2 2 2

由此可知:动点在椭圆上,可以

先利用椭圆的定义,把1、2│PQ│转 化为│QQ1│,再利用点到直线的距离为垂线段最短的定理求 出最小值。 【例5】已知点P是抛物线y2=16x上的一个动点,A是圆 C:(x-4)2+y2=1上的动点,则│PA│的最小值为________。 分析:结合图示可知│P A│的最小值为(│PC│-1)的最小 值,而C恰为抛物线的焦点,所以根 据抛物线的定义,│OC│的最小值为 A│,则│P A│的最小值为3。 │P 由此可知:题目中涉及到两个 动点就不容易确定最值,当看到圆 上的动点自然就会想到圆心,所以 如果先把两个动点之间距离转化为 动点和圆心(定点)之间距离,这样就能很快得到答案了。

二、利用圆锥曲线的定义求最值(动点在圆 锥曲线上)
动点在圆锥曲线上求最值,解决方法是先利用圆锥曲线 定义对所求的问题进行转化,再利用平面内两点间直线段最短 的公理,或利用点到直线的距离为垂线段最短,求出最值。 【例2】已知F是抛物线y2=4x的焦点,A(4,2),点P是该抛 物线上的一个动点,试求│PF│+│PA│的最小值为______。 分析:此题与上一题可谓异曲同工,设P到l1的距离为 d1,d1=│PF│,F(1,0),所以│PF│+│PA│=d1+│PA│,过A 作AH┴ l1于H,│AH│=5即为最小值。 由此可知:动点在抛物线上,且两 定点在抛物线内部,可以先利用抛物线的 定义,把焦半径PF转化为动点到准线的距 离,再根据点到直线的距离为垂线段最短, 求出最小值。 【例3】已知F是双曲线 ? = 1 的左焦点,A(1,4),P是双 4 12 曲线右支上的动点,则│PF│+│PA│的最小值为_______。 分析:由双曲线定义可得: │PF│+│PA│=│PA│+│PF1│+2a(F1为右焦点)。当
x2 y2

三、小结
当动点在圆锥曲线上时,一般都是从定义入手,圆锥的 定义是灵魂,如果能有效借助定义,同时也重视图形的应用以 及数形结合思想的运用,不但能使问题的解决变得容易,而且 还可以避免大量的计算。 综合上面的内容,我们可以得出规律:关于最值问题, 解答的时候,需要从动点的位置进行考虑。(1)当动点在直线上 时,求线段长之和的最小值,若定点是异侧,则两定点距离即 为最小值。若是同侧,就作对称点。求线段长之差的最大值, 若定点是同侧,则两定点距离即为最大值。若是异侧,就利用 对称性,转化到同侧,即可解决。(2)当动点在圆锥曲线上时, 一般都是从定义入手,如果能有效借助圆锥的定义,同时应用 图形以及数形结合思想,就会容易解答。 所以,有效的归纳是很重要的,作为教师,要善于引导 学生分析解题思路,指导学生及时进行归纳、整理题型,找到 解题思路与技巧,这样才能做到事半功倍。 (作者单位:浙江省温岭市职业中等专业学校)

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