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知识讲解


对数函数及其性质 编稿:丁会敏 审稿:王静伟 【学习目标】 1.理解对数函数的概念,体会对数函数是一类很重要的函数模型; 2.探索对数函数的单调性与特殊点,掌握对数函数的性质,会进行同底对数和不同底对数大小的比较; 3.了解反函数的概念,知道指数函数 y ? a x 与对数函数 y ? log a x 互为反函数 ? a ? 0, a ? 1? . 【要点梳理】 要点一、对数函数的概念 1.函数 y=logax(a>0,a≠1)叫做对数函数.其中 x 是自变量,函数的定义域是 ? 0,??? ,值域为 R . 2.判断一个函数是对数函数是形如 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的形式,即必须满足以下条件: (1)系数为 1; (2)底数为大于 0 且不等于 1 的常数; (3)对数的真数仅有自变量 x . 要点诠释: ( 1 ) 只 有 形 如 y=logax(a>0 , a ≠ 1) 的 函 数 才 叫 做 对 数 函 数 , 像 y ? loga ( x ? 1), y ? 2loga x, y ? loga x ? 3 等函数,它们是由对数函数变化得到的,都不是对数函数. (2)求对数函数的定义域时应注意:①对数函数的真数要求大于零,底数大于零且不等于 1;②对含 有字母的式子要注意分类讨论. 要点二、对数函数的图象与性质 a>0 图象 0<a<1

性质

定义域: (0,+∞) 值域:R 过定点(1,0) ,即 x=1 时,y=0 在(0,+∞)上增函数 当 0<x<1 时,y<0, 当 x≥1 时,y≥0 在(0,+∞)上是减函数 当 0<x<1 时,y>0, 当 x≥1 时,y≤0

要点诠释: 关于对数式 logaN 的符号问题,既受 a 的制约又受 N 的制约,两种因素交织在一起,应用时经常出错. 下面介绍一种简单记忆方法,供同学们学习时参考. 以 1 为分界点,当 a,N 同侧时,logaN>0;当 a,N 异侧时,logaN<0. 要点三、底数对对数函数图象的影响 1.底数制约着图象的升降. 如图

要点诠释: 由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降(即函数的单调性) ,因此在解与对数函数单调性有关 的问题时,必须考虑底数是大于 1 还是小于 1,不要忽略. 2.底数变化与图象变化的规律 在同一坐标系内,当 a>1 时,随 a 的增大,对数函数的图像愈靠近 x 轴;当 0<a<1 时,对数函数的图象 随 a 的增大而远离 x 轴.(见下图)

要点四、反函数 1.反函数的定义 设 A, B 分别为函数 y ? f ( x) 的定义域和值域,如果由函数 y ? f ( x) 所解得的 x ? ? ( y ) 也是一个函数 (即对任意的一个 y ? B , 都有唯一的 x ? A 与之对应)那么就称函数 x ? ? ( y ) 是函数 y ? f ( x) 的反函数, , 记作 x ? f ?1 ( y) , x ? f ?1 ( y) 中,y 是自变量,x 是 y 的函数, 在 习惯上改写成 y ? f ?1 ( x)( x ? B, y ? A ) 的形式.函数 x ? f ?1 ( y) ( y ? B, x ? A )与函数 y ? f ?1 ( x) ( x ? B, y ? A )为同一函数,因为自变量的 取值范围即定义域都是 B,对应法则都为 f
?1



?1 由定义可以看出,函数 y ? f ( x) 的定义域 A 正好是它的反函数 y ? f ( x) 的值域;函数 y ? f ( x) 的

值域 B 正好是它的反函数 y ? f 要点诠释:

?1

( x) 的定义域.

并不是每个函数都有反函数,有些函数没有反函数,如 y ? x .一般说来,单调函数有反函数.
2

2.反函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线 y ? x 对称. (2)若函数 y ? f ( x) 图象上有一点 ? a, b ? ,则 ? b, a ? 必在其反函数图象上,反之,若 ? b, a ? 在反函数 图象上,则 ? a, b ? 必在原函数图象上. 【典型例题】 类型一、函数的定义域 求含有对数函数的复合函数的定义域、值域,其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似,但要注意 对数函数本身的性质(如定义域、值域及单调性)在解题中的重要作用. 例 1. 求下列函数的定义域:

(1) y ? loga x2 ;

(2) y ? loga (4 - x)(a ? 0且a ? 1) .
2

【答案】 (1) {x | x ? 0} ; (2) {x | x ? 4} . 【解析】由对数函数的定义知: x ? 0 , 4 ? x ? 0 ,解出不等式就可求出定义域. (1)因为 x ? 0 ,即 x ? 0 ,所以函数 y ? loga x2的定义域为 x | x ? 0} ; {
2

(2)因为 4 ? x ? 0 ,即 x ? 4 ,所以函数 y ? loga (4 - x)的定义域为 x | x ? 4} . { 【总结升华】与对数函数有关的复合函数的定义域:求定义域时,要考虑到真数大于 0,底数大于 0, 且不等于 1.若底数和真数中都含有变量,或式子中含有分式、根式等,在解答问题时需要保证各个方面都 有意义.一般地,判断类似于 y ? loga f ( x) 的定义域时,应首先保证 f ( x) ? 0 . 举一反三: 【变式 1】求下列函数的定义域.
3

(1) y=

x3 ?1
2

log 1 ( x ? 1) ? 1

(2) y ? ln(a x ? k ? x ) ( a ? 0 且 a ? 1, k ? R ). 2

【答案】 (1)(1,

3 3 ) ? ( ,2); (2)略 2 2

? ? ? ?x ? 1 ?x ? 1 ? 0 ? ? 【解析】(1)因为 ?log 1 ( x ? 1) ? 0 , 所以 ?0 ? x ? 1 ? 1 , ? ? 2 3 ?x ? ?log ( x ? 1) ? 1 1 ? 2 ? 2 ? 3 3 所以函数的定义域为(1, ) ? ( ,2). 2 2

?a? 2 (2)因为 a ? k ? ? 0 , 所以 ? ? ? k . ?2? ①当 k ? 0 时,定义域为 R ; ②当 k ? 0 时, (i)若 a ? 2 ,则函数定义域为( log a k ,+∞);
x x

x

2

(ii)若 0 ? a ? 2 ,且 a ? 1 ,则函数定义域为(-∞, log a k ); (iii)若 a ? 2 ,则当 0 ? k ? 1 时,函数定义域为 R ;当 k ? 1 时,此时不能构成函数,否则定义域为 ?. 【变式 2】函数 y ? f (2x ) 的定义域为[-1,2],求 y ? f (log2 x) 的定义域. 【答案】[ 2 ,16]. 【答案】由 ?1 ? x ? 2 ,可得 y ? f ( x) 的定义域为[
2

1 1 ,4],再由 ? log 2 x ? 4 得 y ? f (log2 x) 的定 2 2

义域为[ 2 ,16]. 类型二、对数函数的单调性及其应用 利用函数的单调性可以:①比较大小;②解不等式;③判断单调性;④求单调区间;⑤求值域和最值. 要求同学们:一是牢固掌握对数函数的单调性;二是理解和掌握复合函数的单调性规律;三是树立定义域 优先的观念. 例 2. 比较下列各组数中的两个值大小: (1) log3 3.6,log3 8.9 ;

(2) log0.2 1.9,log0.2 3.5 ; (3) log2 5 与 log7 5 ; (4) log3 5 与 log6 4 . (5) loga 4.2,loga 4.8 ( a ? 0且a ? 1 ) . 【思路点拨】利用函数的单调性比较函数值大小。 【答案】(1)< ;(2) <;(3) >;(4) >;(5) 略. 【解析】由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成. (1)解法 1:画出对数函数 y ? log3 x 的图象,横坐标为 3.6 的点在横坐标为 8.9 的点的下方,所以,

log3 3.6 ? log3 8.9 ; + 解法 2:由函数 y ? log3 x 在 R 上是单调增函数,且 3.6<8.9,所以 log3 3.6 ? log3 8.9 ; + (2)与第(1)小题类似, y ? log0.2 x 在 R 上是单调减函数,且 1.9<3.5,所以 log0.2 1.9 ? log0.2 3.5 ; (3)函数 y ? log 2 x 和 y ? log7 x 的图象如图所示.当 x ? 1 时, y ? log 2 x 的图象 在 y ? log7 x 的图象上方,这里 x ? 5 ,? log 2 5 ? log7 5 . (4) ?log3 5 ? log3 3 ? 1 ? log6 6 ? log6 4, ? log3 5 ? log6 4
(5) 注:底数是常数,但要分类讨论 a 的范围,再由函数单调性判断大小. 解法 1:当 a ? 1 时, y ? log a x 在(0,+∞)上是增函数,且 5.1<5.9,所以, loga 4.2 ? loga 4.8 当 0 ? a ? 1 时,y=logax 在(0,+∞)上是减函数,且 4.2<4.8,所以, loga 4.2 ? loga 4.8 解法 2:转化为指数函数,再由指数函数的单调性判断大小, 令 b1 ? log a 4.2 ,则 a 1 =4.2 ,令 b2 ? log a 4.8 ,则 a 2 ? 4.8,
b
b

x 当 a ? 1 时, y ? a 在 R 上是增函数,且 4.2<4.8,

所以,b1<b2,即 loga 4.2 ? loga 4.8 当时 0 ? a ? 1 , y ? a 在 R 上是减函数,且 4.2<4.8
x

所以,b1>b2,即 loga 4.2>loga 4.8 . 【总结升华】比较两个对数值的大小的基本方法是: (1)比较同底的两个对数值的大小,常利用对数函数的单调性. (2)比较同真数的两个对数值的大小,常有两种方法:①先利用对数换底公式化为同底的对数,再利 用对数函数的单调性和倒数关系比较大小;②利用对数函数图象的互相位置关系比较大小. (3)若底数与真数都不同,则通过一个恰当的中间量来比较大小. 【高清课堂:对数函数 369070 例 3】 例 3.比较 loga b,logb a,loga ,logb 【答案】 log a b ? log b a ? log b

1 b

1 其中 0<a<1<b 且 a·b>1 的大小. a

1 1 ? log a a b 1 1 【解析】由 0<a<1<b 且 a·b>1,得 a ? , b ? b a 1 1 ? l o g ? l o g ? ,1logb ? logb b ? 1 a a a b a 1 1 ? log b ? log a a b ?1 ? logb a ? loga b?1 ,即 ? logb a ? ? loga b

?l o g a ? l o b b ag

? log a b ? log b a ? log b

1 1 ? log a a b

【总结升华】 若底数与真数都不同, 则通过一个恰当的中间量来比较大小, 中间变量常常用 “0” “1” 用 和 . “0”和“1”把所给的数先分两组,然后组内再比较大小. 举一反三: 【变式 1】已知 a ? 5log2 3.4 , b ? 5log4 3.6 , c ? ? ? A. a ? b ? c 【答案】C B. b ? a ? c

?1? ?5?

log3 0.3

, 则(

) D. c ? a ? b

C. a ? c ? b

【解析】另 m ? log 2 3.4 , n ? log4 3.6 , l ? log 3 得m ? l ? n

10 ,在同一坐标系下作出三个函数图像,由图像可 3

又∵ y ? 5x 为单调递增函数, ∴ a?c?b 故选 C. 【高清课堂:对数函数 369070 例 2】 【变式 2】比较 a ? log3 ? , b ? log2 3, c ? log3 2 的大小. 【答案】 c ? b ? a 【解析】?log3 2 ? log3 3 ? log2 3 ? 1 ? log3 3 ? log3 ? 例 4.求函数 y ? log 1 (? x2 ? 2 x ? 1) 的值域和单调区间.
2

?c ? b ? a

【思路点拨】先解不等式 ? x ? 2 x ? 1 ? 0 ,保证原式有意义,然后再在定义域范围内求内函数
2

t ? ? x 2 ? 2 x ? 1 的单调区间,然后根据复合函数的单调性就是内函数与外函数的单调性“同增异减”来求
解. 【答案】[-1,+∞ ) ;增区间为 ?1,1 ? 2 ;减区间为 1 ? 2,1 .

? 2 2 【解析】设 t ? ? x ? 2 x ? 1 ,则 t ? ?( x ? 1) ? 2 .∵ y= log 1 t 为减函数,且 0 ? t ? 2 ,
2

?

?

?


2

的 y ? log 1 2 ? ?1 , 即 函 数 的 值 域 为 [-1 , + ∞ ) . 再 由 : 函 数 log ? x2 ? 2 ? 1) 定 义 域 为 x 1 (
2

2

? x ? 2 x ? 1 ? 0 ,即 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2 .
2

∴ t ? ? x ? 2 x ? 1 在 1 ? 2,1 上递增而在 ?1,1 ? 2 上递减,而 y= log 1 t 为减函数.

?

?

?

?

∴ 函数 y ? log 1 (? x ? 2 x ?1) 的增区间为 ?1,1 ? 2 ,减区间为 1 ? 2,1 .
2

?

?

?

2

?

2

【总结升华】对数型复合函数一般可分为两类:一类是对数函数为外函数,即 y ? loga f ( x) 型;另一 类是内函数为对数函数,即 y ? f (loga x) 型.对于 y ? loga f ( x) 型的函数的单调性,有以下结论:函数

y ? loga f ( x) 的单调性与函数 u ? f ( x) ? f ( x) ? 0? 的单调性,当 a ? 1 时相同,当 0 ? a ? 1 时相反.

研究 y ? f (loga x) 型复合函数的单调性,一般用复合法来判定即可.复合函数的单调性就是内函数与 外函数的单调性“同增异减” . 研究对数型复合函数的单调性, 一定要注意先研究函数的定义域, 也就是要坚持 “定义域优先” 的原则. 举一反三:
2 【变式 1】求函数 y ? log 2 x ? 4 的值域和单调区间.

?

?

【答案】 ?2,??? ;减区间为 ? ??,0? ,增区间为 ? 0,??? .

? y ? log 2 ? x 2 ? 4 ? 的值域为 ?2,??? .
再由: y ? log2 ( x2 ? 4) 的定义域为 R

【解析】设 t ? x ? 4 ,则 t ? x ? 4 ? 4 ,∵ y= log2 t 为增函数,?log 2 t ? log 2 ( x2 ? 4) ? log 2 4 ? 2
2 2

?t ? x2 ? 4 在 ? 0,??? 上是递增而在 ? ??,0? 上递减,而 y= log2 t 为增函数
∴ 函数 y= log2 ( x2 ? 4) 的减区间为 ? ??,0? ,增区间为 ? 0,??? . 【变式 2】求函数 y ? loga (a ? a x ) 的单调区间 【答案】减区间是: ? ??,1? 和 ?1, ?? ? 【解析】①若 a ? 1, 则 y ? loga t 递增,且 t ? a ? a 递减,而 a ? a ? 0 ,即 a x ? a,? x ? 1 ,
x x

? y ? loga (a ? a x ) 在 ? ??,1? 上递减.

② 若 0 ? a ? 1 ,则 y ? loga t 递减,且 t ? a ? a 递增,而 a ? a ? 0 ,即 a x ? a,? x ? 1,
x x

? y ? loga (a ? a x ) 在 ?1, ?? ? 上递减.

综上所述,函数 y ? loga (a ? a x ) 的单调递减区间是: ? ??,1? 和 ?1, ?? ? . 类型三、函数的奇偶性 例 5. 判断下列函数的奇偶性. (1) f ( x ) ? ln

2- x ; (2) f ( x) ? lg( 1 ? x 2 - x) . 2? x

【思路点拨】 判断函数奇偶性的步骤是: 先求函数的定义域, (1) 如果定义域关于原点对称, 则进行 (2) , 如果定义域不关于原点对称,则函数为非奇非偶函数。 (2)求 f (? x) ,如果 f (? x) ? f ( x) ,则函数是偶 函数,如果 f (? x) ? ? f ( x) ,则函数是奇函数。 【答案】 (1)奇函数; (2)奇函数. 【解析】首先要注意定义域的考查,然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行. (1)由

2- x ? 0可得 - 2 ? x ? 2 2? x

所以函数的定义域为:(-2,2)关于原点对称

2? x 2 ? x ?1 2? x ? ln( ) ? - ln ? ? f ( x), 即f (? x) ? ? f ( x) 2? x 2? x 2? x 2- x 所以函数 f ( x) ? ln 是奇函数; 2? x
又 f (? x) ? ln 【总结升华】此题确定定义域即解简单分式不等式,函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明 判断对数形式的复合函数的奇偶性,不能轻易直接下结论,而应注意对数式的恒等变形.

(2)【解析】由 1 ? x2 - x ? 0可得x ? R 所以函数的定义域为 R 关于原点对称 又 f (- x) ? lg( 1 ? x ? x) ? lg
2

( 1 ? x 2 ? x)( 1 ? x 2 - x) 1? x ? x
2

? lg

1 1? x - x
2

? -lg( 1 ? x 2 - x) ? - f ( x)

即 f(-x)=-f(x);所以函数 f ( x) ? lg( 1 ? x - x)是奇函数 . 【总结升华】 此题定义域的确定可能稍有困难, 函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧, 要求掌握. 类型四、反函数 例 6.求出下列函数的反函数
2

?1? (1) y ? log 1 x ; (2) y ? ? ? 。 ?e? 6 ?1? 【答案】 (1) y ? ? ? ; (2) y ? log 1 x ?6? e
1 ?1? 【解析】 (1)对数函数 y ? log 1 x ,它的底数为 ,所以它的反函数是指数函数 y ? ? ? ; 6 ?6? 6
x
x

x

?1? (2)指数函数 y ? ? ? 的反函数是对数函数 y ? log 1 x . ?e? e
【总结升华】 反函数的定义域都由原函数的值域来确定的, 特别是当反函数的定义域与由反函数解析式有意义所确定 的自变量的取值范围不一致时,一定要注明反函数的定义域. 举一反三: 【高清课堂:对数函数 369070 例 5】 【变式 1】 若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a x (a ? 0 , 且 a≠1)的反函数,且 f (2) ? 1 ,则 f ( x) ? ( (A) log2 x 【答案】 A 【解析】解法 1:? 函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a x (a ? 0 , 且 a≠1)的反函数 ,又 f (2) ? 1 ? f ( x)? l oag x ?l o g 2 ,? a ? 2 , ? 1 a 故选 A. 解法 2:? 函数 y ? f ( x) 是函数 y ? a x (a ? 0 , 且 a≠1)的反函数,且 f (2) ? 1 )

x

(B)

1 2x

(C) log1 x
2

(D)2

x?2

? 点(1,2)在函数 y ? a x 的图象上,? a ? 2
故选 A. 类型五、利用函数图象解不等式 例 7.若不等式 2x ? loga x ? 0 ,当 x ? ? 0, ? 时恒成立,求实数 a 的取值范围. 【思路点拨】画出函数 y ? 2 的图象与函数 y ? log a x 的图象,然后借助图象去求借。
x

? ?

1? 2?

?1? 2 【答案】 ? ? ? a ? 1 ?2?
【答案】 要使不等式 2x ? loga x ? 0 在 x ? ? 0, ? 时恒成立, 即函数 y ? log a x 的图在 ? 0, ? 内恒在函

2

? ?

1? 2?

? ?

1? 2?

数 y ? 2x 图象的上方,而 y ? 2x 图象过点 ?

1 ?1 ? , 2 ? .由右图可知, log a ? 2 ,显 2 ?2 ?
1 ? 2 ? log a a 2 ,∴ a 2
2

然这里 0<a<1,∴函数 y ? log a x 递减.又 log a
2 2

?

1 ,即 2

?1? 2 ?1? 2 a ? ? ? .∴所求的 a 的取值范围为 ? ? ? a ? 1 . ?2? ?2?
【总结升华】 “数”是数学的特征,它精确、量化,最有说服力;而“形”则形象、直观,能简化思维 过程,降低题目的难度,简化解题过程,把它们的优点集中在一起就是最佳组合.本例中,利用图形的形 象直观快速地得到答案,简化了解题过程.正因为如此,数形结合成为中学数学的四个最基本的数学思想 方法之一,因此我们必须熟练地掌握这一思想方法,并能灵活地运用它来分析和解决问题. 在涉及方程与不等式的问题时, 往往构造两个函数 f ( x ) 与 g ( x) , f ( x ) = g ( x) 的实数解等价于两个 则 函数 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图象的交点的横坐标;而 f ( x) ? g ( x) 的的解等价于函数 y ? f ( x) 的图象在

y ? g ( x) 的图象下方的点的横坐标的取值范围.利用图象的形象性、直观性,可使问题得到顺利地解决,
而且分散了问题解决的难度、简化了思维过程.因此,我们要善于用数形结合的方法来解决方程与不等式 的问题. 举一反三: 【变式 1】 当 x∈(1,2)时,不等式 ( x ?1)2 ? loga x 恒成立,求 a 的取值范围. 【答案】1<a≤2 【答案】设 f1 ( x) ? ( x ?1)2 , f 2 ( x) ? log a x ,要使当 x∈(1,2)时,不等式 ( x ?1)2 ? loga x 恒成 立,只需 f1 ( x) ? ( x ?1)2 在(1,2)上的图象在 f 2 ( x) ? log a x 的下方即可.当 0<a<1 时, 由图象知显然不成立. a>1 时, 当 如图 2-2-5 所示, 要使在 (1, 上,f1 ( x) ? ( x ?1) 2) 的图象在 f 2 ( x) ? log a x 的下方, 只需 f1 (2) ? f 2 (2) , 即 (2 ?1) ? loga 2 , loga 2 ? 1 ,∴1<a≤2.
2 2

类型六、对数函数性质的综合应用 例 8. (1)已知函数 y ? lg( x ? 2x ? a) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围;
2

(2)已知函数 y ? lg( x2 ? 2x ? a) 的值域为 R ,求实数 a 的取值范围; (3) f ( x) ? loga (? x2 ? log2a x) 的定义域为 (0, ) ,求实数 a 的取值范围. 【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比,本题属非常规问题,关键在于转化成常规问 题. f ( x ) 的定义域为 R,即关于 x 的不等式 x ? 2 x ? a ? 0 的解集为 R,这是不等式中的常规问题.
2

1 2

f ( x) 的值域为 R 与 x2 ? 2 x ? a 恒为正值是不等价的,因为这里要求 f ( x) 取遍一切实数,即要求 u ? x2 ? 2 x ? a 取遍一切正数,考察此函数的图象的各种情况,如图,我们会发现,使 u 能取遍一切正数 的条件是 ? ? 0 . 1 【答案】 (1) a ? 1 ; (2) a ? 1 ; (3) . 32
【解析】 (1)? y ? lg( x2 ? 2x ? a) 的定义域为 R,

? x2 ? 2 x ? a ? 0 恒成立,? ? ? 4 ? 4a ? 0 ,? a ? 1 . (2)? y ? lg( x2 ? 2x ? a) 的值域为 R, ? x2 ? 2 x ? a 取遍一切正数,? ? ? 4 ? 4a ? 0 ,? a ? 1 .
1? 2? ?1 1? C1 : y ? x2 , C2 : y ? log2a x,作 图 形 C1与C2 , 如 图 所 示 , 只 需 C2 过 点 ? , ? , ?2 4? 1 1 1 1 . ? 0 ? 2a ? 1 ,即满足 0 ? a ? ,且 log 2 a ? ( ) 2 即可,解得 a ? 2 2 2 32 【总结升华】如果函数 f ( x ) 的定义域为某个区间 D,则函数 f ( x ) 在这个区间 D 的任何子集内部都有意 义;如果函数 f ( x ) 在区间 E 上有意义,而 f ( x ) 的定义域为 D,则必有 E ? D .
(3)由题意,问题可等价转化为不等式 x2 ? log2a x ? 0 的解集为 ? 0, ? ,记 举一反三: 【变式 1】 已知函数 f ( x) ? lg(ax ? 2 x ? 1) .
2

? ?

(1)若函数 f ( x ) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围;(2)若函数 f ( x ) 的值域为 R,求实数 a 的取值范 围.

【答案】 (1)a>1; (2)0≤a≤1. 【解析】(1) f ( x ) 的定义域为 R,即:关于 x 的不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 的解集为 R, 当 a=0 时,此不等式变为 2x+1>0,其解集不是 R;
2

?a ? 0 ? a>1.∴ a 的取值范围为 a>1. ?? ? 4 ? 4a ? 0 ?a ? 0 2 (2)f(x)的值域为 R,即 u=ax +2x+1 能取遍一切正数 ? a=0 或 ? ? 0≤a≤1, ?? ? 4 ? 4a ? 0
当 a≠0 时,有 ? ∴ a 的取值范围为 0≤a≤1.
x x 例 9.已知函数 f ( x) ? lg a ? b (常数 a ? 1 ? b ? 0 ) .

?

?

(1)求 y ? f ( x) 的定义域; (2)在函数 y ? f ( x) 的图象上是否存在不同的两点,使过此两点的直线平行于 x 轴;

(3)当 a , b 满足什么关系时, f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上恒取正值. 【思路点拨】本题为对数指数问题的综合题,求定义域首先保证对数的真数为正,再利用指数运算性质 求出定义域. (2)中证明是否存在要由单调性来确定,若单调递增或递减,就不存在两点两线平行于 x 轴. 【答案】 (1) ? 0,??? (2)不存在(3) a ? b ? 1 【解析】 (1)由 a ? b ? 0 ,得 ?
x x

?0,??? .

a ?a? ? ? 1 ,由 a ? 1 ? b ? 0 ,得 b ? 1 ,故 x ? 0 ,即函数 f ( x) 的定义域为 ?b?

x

(2)设 x1 ? x2 ? 0,? a ? 1 ? b ? 0 ,
1 ?a x1 ? a x 2 ? bx 2? bx ? 0, x x x x 故? a 1 ? b 1 ? a 2 ? b 2 ? 0,

? lg ? a x1 ? b x1 ? ? lg ? a x2 ? b x2 ? ,

? f ( x) 在 ? 0,??? 上为增函数.
假设函数 y ? f ( x) 的图象上存在不同的两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,使直线 AB 平行于 x 轴,即

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

x1 ? x2 , y1 ? y2 ,这与 f ( x) 是增函数矛盾. 故函数 y ? f ( x) 的图象上不存在不同的两点,使过这两点的直线平行于 x 轴.
(3)由(2)知 f ( x ) 在 ? 0,??? 上是增函数

? f ( x) 在 ?1, ?? ? 上也是增函数

? 当 x ? ?1, ??? 时, f ( x) ? f (1) ? 只需 f (1) ? 0 ,即 lg(a ? b) ? 0, a ? b ? 1 ? 当 a ? b ? 1 时, f ( x) 在 ?1, ?? ? 上恒取正值.
【总结升华】 此题综合性较强, 综合考查对数函数性质和指数函数性质的关系, 提问方式灵活. 灵 活掌握转化的思想,基础知识扎实是解决此类问题的关键. 举一反三:

x 2 ? ax ? b , x ? ? 0, ?? ? ,是否存在实数 a 、 b ,使 f ( x) 同时满足下列两 x 个条件:①在 ? 0,1? 上是减函数, ?1, ?? ? 上是增函数;② f ( x ) 的最小值是 1.若存在,求出 a 、 b 的值,
【变式 1】已知 f ( x) ? log 3 若不存在,说明理由. 【答案】 a ? 1, b ? 1

? f ( x) 在 ? 0,1? 上是减函数, ?1, ?? ? 上是增函数,

【解析】设存在满足条件的 a 、 b

? 当 x ? 1 时, f ( x) 最小,从而 log3

1? a ? b ? 1 ? a ? b ? 2, 1

设 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,

?

2 x12 ? ax1 ? b x2 ? ax2 ? b 恒成立, ? x1 x2 ? x1 ? x2 ?? x1x2 ? b ? ? 0 恒成立, 即 x1 x2

又 x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 0, 因此 x1 x2 ? b ? 0 恒成立,从而 b ? 1 . 设 1 ? x3 ? x4 ,则 f ( x3 ) ? f ( x4 ) 恒成立,化简得

x3 x4 又 x3 ? x4 ? 0, x3 x4 ? 0, 所以 x3 x4 ? b 恒成立,故 b ? 1 . 综上, a ? 1, b ? 1 .

? x3 ? x4 ?? x3 x4 ? b ? ? 0 恒成立,


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