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2013高考百天仿真冲刺卷(文科数学试卷四)


2013 高考百天仿真冲刺卷

数 学(文) 试 卷(四)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求 的一项. 1.已知集合 A = A. C.

?x | ?2 ? x ? 1? ?x | 2 ? x ? 3?

?x | x ? 2?, B = ?x | x
B. D.

2

? 4x ? 3 ? 0 ,则 A ? B 等于

?x | 1 ? x ? 2? ?x | ?2 ? x ? 3?

?

5 ? 3? ? ) ,则 tan( ? ? ) 的值是 ,? ? ( , 13 2 2 4 7 17 7 A. - B. - C. 17 7 17 3.等差数列 {a n } 中, a4 ? 2 ,则 S7 等于
2.已知 sin ? ?

D.

17 7

A. 7 B. 14 C. 28 D. 3.5 4.已知直线 l、 m ,平面 ? ,且 m ? ? ,那么“ l // m ”是“ l // ? ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.椭圆两焦点为 F1 (?4,0) , F2 (4,0) ,P 在椭圆上,若△ PF F2 的面积的最大值为 12,则该椭圆的标准 1 方程为 A. C.

x2 ? 25 x2 ? 16

y2 ?1 9 y2 ?1 9

B. D.

x2 y 2 ? ?1 25 16 x2 y2 ? ?1 10 6

6.通过全国人口普查工作,得到我国人口的年龄频率分布直方图如下所示: 频率/组距

0.018 0.015 0.011 0.0055 0.0004 0 20 40 60 80 100 120 年龄

那么在一个总人口数为 200 万的城市中,年龄在[20,60)之间的人大约有 A. 58 万 B. 66 万 C. 116 万 D. 132 万 7.投掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为正实验,若 第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为负实验,若两次面向上的点数相等我们称其为无 效。那么一个人投掷该骰子两次后出现无效的概率是

1 1 1 C. D. 12 6 2 8.已知函数 f (x) 满足:① ?x ,y ? R , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,② ?x ? 0 , f ( x) ? 0 ,则
A. B.
1

1 36

A. f (x) 是偶函数且在 (0,??) 上单调递减 B. f (x) 是偶函数且在 (0,??) 上单调递增 C. f (x) 是奇函数且单调递减 D. f (x) 是奇函数且单调递增

第Ⅱ 卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分.

9.向量 a ? (3, ?4) , 向量 b =2,若 a ? b ? ?5 ,那么向量 a , b 的夹角是 10.一几何体的三视图如左下图所示,则该几何体的体积是 输入 A,B,C 15 10 输入 a,b,r

?

?

? ?

? ?

主视图 10

左视图

d?

|

? A2 ? B 2
d ?r

|

否 (第 11 题图)

10 (第 10 题图) 俯视图

是 输出直线与圆相切

11.右上图所示为一个判断直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系的程序框图的 一部分,在?处应该填上 . 12.在长度为 1 的线段 AB 上随机的选取一点 P , 则得到 | PA |? 13.已知函数 f ( x) ? ?

1 的概率是 2

. .

? 2x ?1 x?0 ,若 f (a) ? 1,则实数 a 的值是 ? x 2 ? 2x x ? 0 ?

14.已知定义在 R 上的函数 f (x) 是周期函数,且满足 f ( x ? a) ? ? f ( x) 期为

? a ? 0? ,函数 f (x) 的最小正周

三、解答题:本题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15.(本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状.

2

16.(本小题满分 13 分) 如图所示, PA 垂直矩形 ABCD 所在的平面, E、F 分别为 AB、PC 的中点. (Ⅰ) 求证 EF // 平面PAD ; (Ⅱ)求证 EF ? CD .

P

F A E B C D

17.(本小题满分 13 分) 已知曲线 y ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 满足下列条件: ①过原点;②在 x ? 0 处导数为-1;③在 x ? 1 处切线方程为 y ? 4 x ? 3 . (Ⅰ) 求实数 a、b、c、d 的值; (Ⅱ)求函数 y ? ax ? bx ? cx ? d 的极值.
3 2

18.(本小题满分 14 分)

3

x2 y2 ? 2 =1 (b ? N * ) 的两个焦点为 F1 、 F2 ,P 是双曲线上的一点, 已知双曲线 4 b 2 且满足 PF1 ? PF2 ? F1F2 , PF2 ? 4 ,
(Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 与该双曲线的右顶点重合,斜率为 1 的直线经过点 F 与该 抛物线交于 A、B 两点,求弦长|AB|.

19.(本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足以下两个条件: ①点 (an , an?1 ) 在直线 y ? x ? 2 上,
2 ②首项 a1 是方程 3x ? 4 x ? 1 ? 0 的整数解,

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,等比数列 {bn } 中, b1 ? a1 , b2 ? a2 , 数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,解不等式 Tn ? S n .

20.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)已知 a1 , a2 ? R , a1 ? a 2 ? 1 ,求证: a1 ? a2 ?
2 2

1 ; 2
2 2 2

(Ⅱ)若 a1 , a2 , ?, an ? R , a1 ? a2 ? ? ? an ? 1,求证: a1 ? a2 ? ? ? an ?

1 . n

4

2013 高考百天仿真冲刺卷

数学(文)试卷(四)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 1 2 3 4 答案 B C B D 5 A 6 C 7 C 8 D

二、填空题:本题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分.有两个空的前一个 2 分后一个 3 分。 题号 9 10 11 12 13 答案

14

2? 3

3500 3

Aa ? Bb ? C

1 2

?1

2a

三、解答题:本题共 6 小题,共 80 分,解答仅供参考,如有其它解法按相应步骤给分。 15.解: (Ⅰ)由正弦定理

a b c ? ? 及已知,得 sin A sin B sin C 2a 2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc 整理,得 b2 ? c2 ? a2 1 cos A ? ? 有余弦定理 cos A ? ,得 2 2bc 2? A? 在 ?ABC 中, 0 ? A ? ? ,所以 3 a b c ? ? (Ⅱ)由正弦定理 及已知,得 sin A sin B sin C 2 sin 2 A ? (2 sin B ? sin C) sin B ? (2 sin C ? sin B) sin C


????2 分 ????3 分 ????5 分 ????7 分

????9 分

2 sin A ? 2(sin B ? sin C) ? 2 sin B sin C
2 2

结合 A ?

2? 及已知 sin B ? sin C ? 1 解得 3 B?C 即 因此 ?ABC 是一个等腰钝角三角形

sin B ? sin C ?

1 2
????12 分

????13 分 P

16. 证明:(Ⅰ)取 PD 中点 G ,连结 AG 、 FG ,

1 因 为 E、F 分 别 为 AB、PC 的 中 点 , 所 以 AE ? AB , GF // = 2 1 DC ,????2 分 2
又在矩形 ABCD 中 AB // DC ,所以 AE // GF , = = 所以四边形 AEFG 是平行四边形,所以 AG // EF ????5 分 = 又 , AG ? 平面P A D, EF ? 平面PAD . 所 以 EF // 平面PAD ????7 分 (Ⅱ)因为 PA ? 平面ABCD ,所以 PA ? CD 在矩形 ABCD 中

C F A

G

D

E B

AD ? CD 又 PA ? AD ? A ,所以 CD ? 平面PAD , ????11 分 因为 AG ? 平面PAD所以 CD ? AG , 因为 AG // EF 所以 EF ? CD ???13 分

5

17. 解 (Ⅰ) y ? ? 3ax2 ? 2bx ? c 根据条件有

d ?0 ? ? a ?1 ? ? b ?1 c ? ?1 ? ? 解得 ? ? ? 3a ? 2b ? c ? 4 ?c ? ?1 ?a ? b ? c ? d ? 1 ?d ? 0 ? ? 3 2 (Ⅱ)由(Ⅰ) y ? x ? x ? x , y? ? 3x 2 ? 2 x ? 1 1 令 y? ? 0 得 x ? 或 ? 1 3 x、y、y ? 的关系如表所示

????6 分

????7 分 ????9 分

x
y?
y

(??,?1)
+ ↑

-1 0 极大值 1

1 (?1, ) 3
- ↓

1 3
0 极小值 ?

1 ( ,?? ) 3
+

5 27



因此函数 y ? x 3 ? x 2 ? x 在 x ? ?1 处有极大值 1,在 x ? 18. 解 (I)根据题意 a 2 ? 4 , a ? 2
2 2 2

1 5 处有极小值 ? 。??13 分 3 27
????2 分,
2

又, a ? b ? c , || PF | ? | PF2 ||? 2a ? 4 ,又|P F 1 |?|PF 2 |=| F 1 F 2 | = 4c 2 , 1

|P F 2 |<4, 得

| PF2 | ?4 | PF2 | ?4c ? 0 在区间(0,4)上有解, 所以 c ? 8 ????4 分 因此 b 2 ? 4 ,又 b ? N * ,所以 b ? 1 ????6 分 2 x ? y 2 =1,右顶点坐标为(2,0) F (2,0) (II)双曲线方程为 ,即 ????7 分 4 2 (2) ????9 分 所以抛物线方程为 y ? 8x 直线方程为 y ? x ? 2 (1)
2 2
2

由(1) (2)两式联立,解得 ?

? x1 ? 6 ? 4 2 ? y1 ? 4 ? 4 2

和?

? x2 ? 6 ? 4 2 ? y2 ? 4 ? 4 2

????11 分 ????14 分 ????2 分 ????4 分 ????6 分

2 2 所以弦长|AB|= ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) =16

19. 解 (I)根据已知 a1 ? 1 , an?1 ? an ? 2 即 an?1 ? an ? 2 ? d , 所以数列 {an } 是一个等差数列, an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 (II)数列 {an } 的前 n 项和 S n ? n
2

等比数列 {bn } 中, b1 ? a1 ? 1 , b2 ? a2 ? 3 ,所以 q ? 3 , bn ? 3n?1 ????9 分

1 ? 3n 3n ? 1 ? 数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ? 1? 3 2 n 3 ?1 ? n 2 ,又 n ? N * ,所以 n ? 1 或 2 Tn ? S n 即 2 20. 证明: (I)构造函数 f ( x) ? ( x ? a1 ) 2 ? ( x ? a2 ) 2
2 2 2

????11 分 ????14 分 ????2 分
2

f ( x) ? 2x 2 ? 2(a1 ? a2 ) x ? a1 ? a2 ? 2x 2 ? 2x ? a1 ? a2 2 2 因为对一切 x?R,恒有 f (x) ≥0,所以 ? ? 4 ? 8(a1 ? a2 ) ≤0, 1 2 2 从而得 a1 ? a2 ? , 2 (II)构造函数 f ( x) ? ( x ? a1 ) 2 ? ( x ? a2 ) 2 ? ? ? ( x ? an ) 2

????4 分 ????6 分 ????8 分
6

2 2 ? nx2 ? 2(a1 ? a2 ? ? ? an ) x ? a12 ? a2 ? ? ? an 2 2 ? nx2 ? 2x ? a12 ? a2 ? ? ? an

????10 分

2 2 2 因为对一切 x?R,都有 f (x) ≥0,所以△= 4 ? 4n(a1 ? a2 ? ? ? an ) ≤0,

从而证得: a1 ? a2 ? ? ? an ?
2 2 2

1 . n

????13 分

7


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