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数列求和方法大全例题变式解析答案——强烈推荐


1.7 数列前 n 项和求法
知识点一 倒序相加法 特征描述:此种方法主要针对类似等差数列中

an ? a1 ? an?1 ? a2 ? ?? ,具有这样特点的数列.
思考: 你能区分这类特征吗?

知识点二

错位相减法

特征描述:此种方法主要用于数列 {an bn } 的求和,其中 {an } 为等差数列, {bn } 是公比为 q 的等比数列,只需用 Sn ? qSn 便可转化为等比数列的求和,但要注意讨论 q=1 和 q≠1 两种 情况. 思考:错位时是怎样的对应关系?

知识点三

分组划归法

特征描述:此方法主要用于无法整体求和的数列,例如 1, 1 ?

1 1 1 , 1 ? ? ,……, 2 2 4

1?

1 1 1 ? +……+ n ?1 ,可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和,再综 2 4 2

合求出所有项的和. 思考:求出通项公式后如何分组?

知识点四 奇偶求合法 特征描述:此种方法是针对于奇、偶数项,要讨论的数列 例如 Sn ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ?? (?1) 思考:如何讨论?
n?1

要求 Sn, 就必须分奇偶来讨论, 最后进行综合. (2n ?1) ,

1

知识点五

裂项相消法

特征描述:此方法主要针对

1 1 1 这样的求和,其中{an}是等差数列. ? ?? ? a1a2 a2 a3 an?1an

思考:裂项公式你知道几个?

知识点六

分类讨论法

特征描述: 此方法是针对数列{ an }的其中几项符号与另外的项不同, 而求各项绝对值的和的 问题,主要是要分段求. 思考:如何表示分段求和?

考点一

倒序相加法

例题 1:等差数列求和 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an

0 1 2 n 变式 1:求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)2n

2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 变式 2:数列求和 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ?? ? sin 89

考点二 错位相减法 例题 2:试化简下列和式: Sn ? 1 ? 2x ? 3x ? ?? nx
2 n?1

( x ? 0)

变式 1:已知数列 1,3a,5a ,?, (2n ? 1)a
2

n?1

(a ? 0) ,求前 n 项和。

2

变式 2:求数列 a, 2a2 ,3a3 ,?, na n ,?;的前 n 项和

变式 3:求和: S n ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a

考点三:分组划归法 例三:求数列 1, 1 ?

1 1 1 1 1 1 , 1 ? ? ,……, 1 ? ? +……+ n ?1 的和. 2 2 4 2 4 2

n 变式 1:5,55,555,5555,…, (10 ? 1) ,…;

5 9

变式 2: 1? 3, 2 ? 4,3 ? 5,?, n(n ? 2),? ;

变式 3:数列 1,(1+2),(1+2+22),……(1+2+2 2+…+2 n 1),……前 n 项的和是 A.2 n B.2 n-2 C.2 n+1-n-2 D.n2n







考点四:奇偶求合法 例四: Sn ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ?? (?1)
n?1

(2n ?1)

3

变式 1:求和:

n ?1 Sn ?? ?? ? ? ? ??? ? … ? (-1)( 4n-3)

?n ? N ? ?

变式 2:已知数列{an}中 a1=2,an+an+1=1,Sn 为{an}前 n 项和,求 Sn

变式 3:

已知数列{an}中 a1=1,a2=4,an=an-2+2 (n≥3) ,Sn 为{an}前 n 项和,求 Sn

考点五:裂项相消法 例五:{an}为首项为 a1,公差为 d 的等差数列,求 Sn ?

1 1 1 1 ? ? ??? a1a2 a2 a3 a3a4 an?1an

变式 1:

1 1 1 1 , , ,?, ,? ; 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

变式 2:数列通项公式为 an ?

1 n ? n ?1

;求该数列前 n 项和

22 42 (2n) 2 ? ??? 变式 3: :求和 S n ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1)

4

考点六:分类讨论法 例六:在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1=10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|.

变式 1:在等差数列 {an } 中, a16 ? a17 ? a18 ? a9 ? ?36, 其前 n 项和为 S n . (1)求 S n 的最小值,并求出 S n 的最小值时 n 的值; (2)求 Tn ? a1 ? a2 ? ? ? an .

变 式 2 : 设 数 列 {an } 满 足 a1 ? ?5, an?1 ? 2an ? 3n ? 1 , 已 知 存 在 常 数 p, q 使 数 列

{an ? pn ? q} 为等比数列.求 a1 ? a2 ? ? ? an .

变式 3:已知等比数列{ an }中, a1 =64,q=

1 ,设 bn =log2 an ,求数列{| bn |}的前 n 项和 S n . 2

5

答案及解析 考点一 例一: 等差数列求和

Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an
? a1 ? (a1 ? d ) ? ? ? [a1 ? (n ? 1)d ] ①
把项的次序反过来,则:

Sn ? an ? (an ? d ) ? ? ? [an ? (n ?1)d ] ②
①+②得:
n个 ?????? ? ??????? ? 2Sn ? ? a1 ? an ? ? (a1 ? an ) ? ? ? (a1 ? an )

? n(a1 ? an )
Sn ? n(a1 ? an ) 2

变式 1:
m n ?m 思路分析:由 Cn 可用倒序相加法求和。 ? Cn 0 1 2 n 证:令 S n ? Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ? ? (2n ? 1)Cn

(1) (2)

n n?1 2 1 0 则 S n ? (2n ? 1)Cn ? (2n ? 1)Cn ? ? ? 5Cn ? 3Cn ? Cn m n?m ? Cn ? Cn

0 1 2 n ? (1) ? (2)有 : 2S n ? (2n ? 2)Cn ? (2n ? 2)Cn ? (2n ? 2)Cn ? ? ? (2n ? 2)Cn 0 1 2 n ? S n ? (n ? 1)[Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ] ? (n ? 1) ? 2n

等式成立

变式 2: 设 S ? sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ?? ? sin 89 , 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 又∵ S ? sin 89 ? sin 88 ? sin 87 ? ?? ? sin 1 ,
2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

∴ 2 S ? 89 , S ? 考点二 例二:

89 . 2

Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? ?? nxn?1 ( x ? 0)
6

解:①若 x=1,则 Sn=1+2+3+…+n =

n(n ? 1) 2

②若 x≠1,则 Sn ? 1 ? 2x ? 3x2 ? ?? nxn?1

xSn ? x ? 2x2 ? 3x3 ? ?? nxn
两式相减得:

(1 ? x)Sn ? 1 ? x ? x2 +…+ x n?1 ? nxn
? 1 ? xn ? nx n 1? x



Sn ?

1 ? xn nx n ? ( 1? x 2) ? 1x

变式 1: 思路分析:已知数列各项是等差数列 1,3,5,…2n-1 与等比数列 a 0 , a, a 2 ,?, a n?1 对应项 积,可用错位相减法求和。 解 :

S n ? 1 ? 3a ? 5a 2 ? ? ? (2n ? 1)a n?1 ?1?

aSn ? a ? 3a 2 ? 5a 3 ? ? ? (2n ? 1)a n

?2?

?1? ? ?2? : (1 ? a)Sn ? 1 ? 2a ? 2a 2 ? 2a3 ? ?? 2a n?1 ? (2n ? 1)a n


a ? 1时, (1 ? a)S n ? 1 ?

2a(1 ? a n?1 ) ? (2n ? 1) n 2 (1 ? a)

Sn ?

1 ? a ? (2n ? 1)a n ? (2n ? 1)a n?1 (1 ? a) 2

当 a ?1 时, S n ? n 2 变式 2:

Sn ? a ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan ,
n(n ? 1) , 2 n 当 a ? 1 时, Sn ? a ? 2a2 ? 3a3 ? … ? na ,
当 a ? 1 时, Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? … ? n ?

aSn ? a2 ? 2a3 ? 3a4 ? … ? na n ?1 ,
两式相减得 (1 ? a)Sn ? a ? a2 ? a3 ? … ? a ? na
n n ?1

?

a(1 ? a n ) ? na n ?1 , 1? a

7

∴ Sn ?

na n? 2 ? (n ? 1)a n?1 ? a . (1 ? a)2

变式 3:

Sn ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a
n(n ? 1) 2

解:⑴

a ? 1时, S n ? 1 ? 2 ? 3? ? n ?

时,因为a ? 0 ⑵a ?1
Sn ? 1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a 1 1 2 n ?1 n S n ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 a a a a a
由①-②得: ① ②

1 1 1 1 n (1 ? ) S n ? ? 2 ? ? ? n ? n ?1 a a a a a 1 1 (1 ? n ) a ? n ? a 1 a n ?1 1? a n a (a ? 1) ? n(a ? 1) 所以 S n ? a n (a ? 1) 2 综上所述, n(n ? 1) ? ? ? 2 Sn ? ? a (a n ? 1) ? n(a ? 1) ? ? a n (a ? 1) 2 ?
考点三 例三:求数列 1, 1 ?

(a ? 1) a ? 1)

1 1 1 1 1 1 , 1 ? ? ,……, 1 ? ? +……+ n ?1 的和. 2 2 4 2 4 2

解:∵ an ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? n ?1 2 4 2

1 1 ? ( )n 2 ? 2? 1 ? 1 2n ?1 1? 2
∴ S n ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ?

1 2

1 1 ? ) ?? 2 4
8

? (1 ?

1 1 1 ? ? ? ? n ?1 ) 2 4 2

1 1 ? (2 ? 1) ? (2 ? ) ? (2 ? 2 ) 2 2 ? ? ? (2 ? 1 ) 2n ?1

1 1 1 ? 2n ? (1 ? ? ? ? ? n ?1 ) 2 4 2 ? 2n ? 2 ?
变式 1:
n个 n个 ? ? ? 5 ? ? ? Sn ? 5 ? 55 ? 555 ? ? ? 55? 5 ? (9 ? 99 ? 999 ? ? ? 99?9) 9 5 2 ? [(10 ? 1) ? (10 ? 1) ? (103 ? 1) ? ? ? (10 n ? 1)] 9 5 50 5 ? [10 ? 102 ? 103 ? ? ? 10n ? n] ? (10n ? 1) ? n . 9 81 9

1 2n ?1

变式 2: ∵ n(n ? 2) ? n2 ? 2n , ∴ 原式 ? (12 ? 22 ? 32 ? … ?n2 ) ? 2 ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? n) ?

n(n ? 1)(2n ? 7) . 6

变式 3:C 考点四 例四: 解:当 n = 2k (k ? N+)时,

Sn ? S2k ? (1 ? 3) ? (5 ? 7) ?
? ? [(4k ? 3) ? (4k ? 1)]
? ?2k ? ?n
当 n ? 2k ? 1(k ? N? )时 ,

Sn ? S2k ?1 ? S2k ? a2k ? ?2k ? [?(4k ?1)]
9

? 2k ? 1 ?n
综合得: Sn ? (?1)n?1 n 变式 1:

解:当 n 为偶数时: Sn ? ?1 ? 5 ? ? ? 9 ? 13? ??? ???n ? ???????n ? ??? ? ? 当 n 为奇数时: Sn ? ?1 ? 5? ? ? 9 ? 13? ??? ???n ?????????n ? ??? ? ? (4n-3) ?
变式 2:

n ? ?4 ? ? ??n 2

n -1 ? ?4 ? ?(4n-3)? ?n ?? 2

解:①当 n 为偶数时: Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? … ? an ?1 ? an
? (a1 ? a2 ) ? (a3 ? a 4 ) ? … ? (an ?1 ? an ) ? n n ?1? 2 2

②当 n 为奇数时: Sn ? a1 ? (a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ) ? … ? (an ?1 ? an )
? 2?
变式 3:

n ?1 n ? 3 ? 2 2

解:∵an-an-2=2 (n≥3) ∴a1,a3,a5,…,a2n-1 为等差数列;a2,a4,a6,…,a2n 为等差数列 n ?1 ? 1) ? 2 ? n 当 n 为奇数时: an ? 1 ? ( 2 n 当 n 为偶数时: an ? 4 ? ( ? 1) ? 2 ? n ? 2 2 即 n∈N+时,
n an ? n ? ? ?1 ? (?1) ? ?

∴①n 为奇数时:

S n ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? n) ?

n ?1 n(n ? 1) ?2 ? ? n ?1 2 2

n n(n ? 1) Sn ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? n) ? ? 2 ? ?n 2 2 ②n 为偶数时:

考点五 例五: 解:



1 1 1 a ? d ? ak ? ? ?k ak ak ?1 ak (ak ? d ) d ak (ak ? d )

10

?

1 1 1 1 1 1 ( ? )? ( ? ) d ak ak ? d d ak ak ?1

∴ Sn ?

1 1 1 1 1 1 ( ? )? ( ? ) d a1 a2 d a2 a3

?? ?

1 1 1 ( ? ) d an ?1 an

?

1 1 1 1 1 1 1 [( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] d a1 a2 a2 a3 an?1 an 1 1 1 ( ? ) d a1 an n ?1 a1[a1 ? (n ? 1)d ]

?

?

变式 1: ∵

1 1 1 1 ? ( ? ), n(n ? 2) 2 n n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 )] ? (1 ? ? ? ). ∴ S n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? 2 3 2 4 3 5 n n?2 2 2 n ?1 n ? 2

变式 2: 解:∵ an ?

1

n ? n ?1 1 1 ? ∴ Sn ? 2? 1 3? ? ( 2 ?1) ? ( 3 ?

?

n ?1 ? n ? n ?1 ? n ( n ? n ? 1)( n ? 1 ? n ) 1 ??? 2 n ?1 ? n 2) ? ?? ( n ?1 ? n ) ? n ? 1 ?1 .

变式 3: 思路分析:分式求和可用裂项相消法求和. 解 :

ak ?

(2k ) 2 (2k ) 2 ? 1 ? 1 1 1 1 1 ? ? 1? ? 1? ( ? ) (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 1) (2k ? 1)(2k ? 1) 2 2k ? 1 2k ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n(n ? 1) S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ? n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? n ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
11

练习:求 S n ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a

? n(n ? 1) (a ? 1) ? ? 2 答案: S n ? ? a(a n ? 1) ? n(a ? 1) ? (a ? 1) n 2 ? a ( a ? 1 ) ?

考点六 例六: 2 解:(1))由题意得 a1·5a3=(2a2+2) , 2 即 d -3d-4=0. 所以 d=-1 或 d=4. * * 所以 an=-n+11,n∈N 或 an=4n+6,n∈N . (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.因为 d<0,由(1)得 d=-1,an=-n+11,则 当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| 1 2 21 =- n + n. 2 2 1 2 21 当 n≥12 时, |a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=-Sn+2S11= n - n+110. 2 2 1 21 ? ?-2n + 2 n,n≤11, 综上所述,|a |+|a |+|a |+…+|a |=? 1 21 ? ?2n - 2 n+110,n≥12.
2 1 2 3 n 2

变式 1: 解: (1)当 n ? 20 或 21 时, S n 的最小值为-630.

3 2 123 ? ? ? 2 n ? 2 n, n ? 21 (2) Tn ? ? 3 123 ? n2 ? n ? 1260 , n ? 21 2 ?2

变式 2:

? 3n 2 ? 11n ? 4 ? 2 n ?1 , n ? 3 ? ? 2 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? 2 3 n ? 1 ?2 ? n ? 11n ? 60 , n ? 3 ? 2 ?

变式 3: 解: an = a1

q n?1 = 2 7?n
12

∴ bn = log2 an = 7 ? n (1)当 n ≤7 时, bn ≥0

此时, S n =-

1 2 13 n + n 2 2

(2)当 n >7 时, bn <0 此时, S n =

1 2 13 n - n +42( n ≥8) 2 2



1 2 13 n + n ( n ≤7) 2 2

∴ Sn =

1 2 13 n - n +42( n ≥8) 2 2

13


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