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广东省深圳市南头中学2013届高三上学期12月月考数学理试题


广东省深圳市南头中学2013届高三上学期12月月考数学理试题 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150 分,考试时间120分钟。
第Ⅰ卷(选择题共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项 是符合题目要求的,答案填入答题卡内。
2 1.已知全集 U ? R ,则正确表示集合 M ? {?1,0,1} 和 N ? x | x ? x ? 0 关系的韦恩

?

?

(Venn)图是 (



2.命题“ ?x0 ? ?R Q , x03 ?Q ”的否定是( A. ?x0 ? ?R Q , x0 ?Q
3



B. ?x0 ? ?R Q , x03 ?Q D. ?x ? ? Q , x3 ?Q

? ? ? ? ?R ? 3.已知两个非零向量 a , b 满足| a + b |=| a ? b |,则下面结论正确的是( ) ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? (A) a ∥ b (B) a ⊥ b (C) | a |?| b | (D) a + b = a ? b
4.公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则 log2 a16 =( )

C. ?x ? ?R Q , x3 ?Q

( A) 4

(B) 5

(C ) ?

( D) ?

5.一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( ) 3 4 (A)3×3! (B) 3×(3!) (C)(3!) (D) 9! 6.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( ) (A)9π (B)10π (C)11π (D)12π

x2 y 2 2 7. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y ? 12 x 的焦点重合, 且双曲 a b 线的离心率等于 3 ,则该双曲线的标准方程为( )

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 y 2 x2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 B. C. D. 27 18 18 27 3 6 12 24 3 8. 设函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? f ( x), f ( x) ? f (2 ? x) , 且当 x∈[o, 1]时, f ( x) ? x 1 3 又函数 g ( x) ?| x cos(? x) | ,则函数 h( x) ? g ( x) ? f ( x) [ ? . ]上的零点个数为( ) 2 2
A. A.5 B. 6 C.7 D. 8

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在答题卡横线上。
第 1 页 共 9 页

9.已知递增的等差数列{an}满足 a1=1, a3 ? a2 ? 4 ,则 an=____.
2

cos 10. 设△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 a =1,b=2, C ?
sin B ?

1 ,则 4

? x?0 ? 11.若 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 _____ ?2 x ? y ? 3 ?
12. 设 a ? 0 . 若 曲 线 y ? a ? ______.

x 与 直 线 x ? a, y ? 0 所 围 成 封 闭 图 形 的 面 积 为 a 2 , 则

13.已知抛物线 y ? ax 2 ? 1 的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的 三角形面积为 . 14.已知菱形 ABCD 中, AB ? 2 , ?A ? 120 ,沿对角线 BD 将 △ ABD 折起,使二面角
?

. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15、 (本小题共 13 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x ,求函数 g ( x) 在区间

A ? BD ? C 为 120? ,则点 A 到 △BCD 所在平面的距离等于

? ) 部分图象如图所示. 2
y
1
?? 3

? x ? [0, ] 上的最大值和最小值. 2

o
?1

? 6

x

16. (本小题满分 13 分) 某地区举办科技创新大赛,有 50 件科技作品参赛,大赛组委会对这 50 件作品分别 从“创新性”和“实用性”两项进行评分,每项评分均按等级采用 5 分制,若设“创新性” 得分为 x , “实用性”得分为 y ,统计结果如下表: 作品数量

y
1分 2分

实用性 3分 4分 0 5 9 0 1
E

x

5分 1 1 3

1分 1 3 1 创 2分 1 0 7 新 3分 2 1 0 性 4分 1 6 b 5分 0 0 1 (Ⅰ)求“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率; (Ⅱ)若“实用性”得分的数学期望为

a
3 的值. 垂直,

167 ,求 a 、b 50

17、 (本小题共 14 分) F 如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相 AD ? CD , AB ∥ CD , AB ? AD ? 2 , CD ? 4 ,
第 2 页 共 9 页

M

D

C

A

B

M 为 CE 的中点. (Ⅰ)求证: BM ∥平面 ADEF ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BEC ; (Ⅲ)求平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角

18. (14 分)已知椭圆 G : A,B 两点. 的最大值.

x2 ? y 2 ? 1.过点(m,0)作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 L 交椭圆 G 于 4 (I) 求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; II) | AB | 表示为 m 的函数, ( 将 并求 | AB |

19. (本小题满分 14 分)

第 3 页 共 9 页

, g ( x) ? c1nx ? b ,且 x ? 2 是函数 y ? f ( x) ?bx, x ? 0 的极值点. (1)若方程 f ( x) ? m ? 0 有两个不相等的实数根,求实数 m 的取值范(2) 若直线 l 是函数 y ? f ( x) 的图象在点(2, f (2))处的切线,且直线 l 与函数 y ? g ( x) ) 的图象相切于点 P( x0 , y0 ), x0 ?[e?1, e] ,求实数 b 的取值范围.
已知函数, f ( x) ? ?

?( x 2 ? 2ax)e x , x ? 0

20. (本小题满分 14 分)
2 2 已知各项均为正数的数列 {an } 满足 an?1 ? 2an ? an an?1 ,且 a2 ? a4 ? 2a 3 ? 4 ,其中

n? N* . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 cn ? 1 ?
其中 n ? N 试比较 Tn 与 9 的大小,并加以证明。
*

n ,记数列 {an } 的前 n 项积为 Tn , an

2012-2013 学年度深圳市南头中学高三年级 12 月月考理科数学试卷 2012.12.21

命题人 陈松俭 审题人 王艳红

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要 求的, 答案填入答题卡内 1. 已知全集 U 关系的韦恩(Venn)图是 ( B )
2 ? R, 则正确表示集合 M ? {?1,0,1} 和 N ? ? x | x ? x ? 0?

2.命题“ ?x0 ? ?R Q , x0 ?Q ”的否定是( D
3



第 4 页 共 9 页

A. ?x0 ? ?R Q , x0 ?Q B. ?x0 ? ?R Q , x0 ?Q
3 3

C. ?x ? ?R Q , x ?Q D . ?x ? ?R Q ,
3

x3 ?Q
(A) 4.公比为

3.已知两个非零向量 a , b 满足| a + b |=| a

?

?

? ?

? ? a ∥b
3

(B)

? ? a ⊥b

(C)

? ? ? b |,则下面结论正确的是( B ? ? ? ? ?? ? ? (D) a + b = a ? b | a |?| b |
B



2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a3a11 ? 16 ,则 log2 a16 =( ( A) 4 (B) 5 (C ) ? ( D) ?



5.一排 9 个座位坐了 3 个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为( C ) 3 4 (A)3×3! (B) 3×(3!) (C)(3!) (D) 9! 6.右图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是( D ) (A)9π (B)10π (C)11π (D)12π

x2 y 2 2 7. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点与抛物线 y ? 12 x 的焦点重合, 且双曲线的离心 a b x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 B . ? ?1 率等于 3 ,则该双曲线的标准方程为( A )A. 3 6 12 24 x2 y 2 y 2 x2 ? ?1 ? ?1 C. D. 27 18 18 27 3 8.设函数 f ( x)( x ? R) 满足 f (? x) ? f ( x), f ( x) ? f (2 ? x) ,且当 x∈[o,1]时, f ( x) ? x 又 1 3 ? 函数 g ( x) ?| x cos( x ) |,则函数 h( x) ? g ( x) ? f ( x)[ ? . ]上的零点个数为(B ) A.5 2 2
B. 6 C.7 D. 8 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。把答案填在答题卡横线上。 9.已知递增的等差数列{an}满足 a1=1, a3 10. 设△ ABC 的内角

? a2 ? 4 ,则 a =____ 2n ? 1
2
n

A、B、C

b 的对边分别为 a、b、c , a =1, 且

=2, C ? cs o

1 i , s B? 则n 4

15 4
? x?0 ? 11.若 x, y 满足约束条件: ? x ? 2 y ? 3 ;则 x ? y 的取值范围为 _____ [?3, 0] ?2 x ? y ? 3 ?
12.设 a

? 0 .若曲线 y ? x 与直线 x ? a, y ? 0 所围成封闭图形的面积为 a 2 ,则 a ? _____ a ?

4 9

13.已知抛物线 2 14. 已 知 菱 形

则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 y ? ax 2 ? 1 的焦点是坐标原点,

A B C D中 , AB ? 2



?A ? 120?

,沿对角线

BD

将 △ ABD 折 起 , 使 二 面 角

A ? B D? C为 120? , 则点 A 到 △BCD 所在平面的距离等于
15、 (本小题满分 13 分) 函数 部分图象如图所示.

3 y 2 1 ? f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ) 2

f ( x) 的最小正周期及解析式; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? cos 2 x , ? 求函数 g ( x ) 在区间 x ? [0, ] 上的最大值和最小值. 2 T 2? ? ? ? ? ? ,所以 T ? ? . ??2 分 解: (Ⅰ)由图可得 A ? 1 , 2 3 6 2
(Ⅰ)求 第 5 页 共 9 页

?? 3

o
?1

? 6

x

所以

??2
? . 6





x?

? 6

时,

f ( x ) ? 1, 可 得 sin(2 ?

? ? ? ? ) ? 1 , 因 为 | ? |? 6 2

,所以

??

???5 分

所以

? ? ? ? f ( x) ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? cos 2 x 6 6 6 ? ? 3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) . ? ? ? ? ? ? 10 分 因 为 0 ? x ? , 所 以 6 2 2 2 ? ? 5 ? ? ?2 x ? ? . 6 6 6 ? ? ? ? ? 当 2 x ? ? ,即 x ? 时, g ( x ) 有最大值,最大值为 1 ;当 2 x ? ? ? ,即 x ? 0 时, g ( x ) 6 2 3 6 6 1 有最小值,最小值为 ? .??13 分 2
(Ⅱ) g ( x) 16. (本小题满分 13 分)某地区举办科技创新大赛,有 50 件科技作品参赛,大赛组委会对这 50 件作品分 别 从“创新性”和“实用性”两项进行评分,每项评分均按等级采用 5 分制,若设“创新性”得分为 x , “实 用性”得分为 y ,统计结果如下表: 作品数量

? f ( x) 的解析式为 f ( x) ? sin(2 x ? ) .?????6 分 6

y
1分 1分 2分 3分 4分 1 1 2 1 2分 3 0 1

实用性

x
创 新 性

3分 1 7 0 6 1

4分 0 5 9 0 1

5分 1 1 3

b

a
3

5分 0 0 (Ⅰ)求“创新性为 4 分且实用性为 3 分”的概率; (Ⅱ)若“实用性”得分的数学期望为

167 ,求 a 、 b 的值. 50 解: (Ⅰ)从表中可以看出, “创新性为 4 分且实用性为 3 分”的作品数量为 6 件,∴“创新性为 4 分且实 6 ? 0.12 . 用性为 3 分”的概率为 ????4 分 50 (Ⅱ)由表可知“实用性”得分 y 有 1 分、 2 分、 3 分、 4 分、 5 分五个等级,且每个等级分别有 5 件, b ? 4 件, 15 件, 15 件, a ? 8 件. ????5 分∴“实用性”得分 y 的分布列为: y 1 2 4 3 5 p 5 b?4 15 15 a?8 50 50 50 50 50 167 又 ∵ “ 实 用 性 ” 得 分 的 数 学 期 望 为 , ∴ 50 5 b? 4 1 5 a ?1 5 8 1 6 7 1? ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4? ? ? 5 . ?????10 分 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 5 0 ∵作品数量共有 50 件,∴ a ? b ? 3 解得 a ? 1 , b ? 2 . ????????13 分
17、 (本小题共 14 分) 第 6 页 共 9 页

ADEF 与 梯 形 ABCD所 在 的 平 面 互 相 垂 直 , AD ? CD , AB ∥ CD , AB ? AD ? 2 , CD ? 4 , M 为 CE 的中点. (Ⅰ)求证: BM ∥平面 ADEF ; (Ⅱ)求证:平面 BDE ? 平面 BEC ; (Ⅲ)求平面 BEC 与平面 ADEF 所成锐二面角的余弦值. (Ⅰ)证明:取 DE 中点 N ,连结 MN , AN .在△ EDC 中, M , N 分别为 EC , ED 的中点, E 1 1 所以 MN ∥ CD ,且 MN ? CD .由已知 AB ∥ CD , AB ? CD , 2 2 F 所以 MN ∥ AB ,且 MN ? AB . 所以四边形 ABMN 为平行四边形. 所以 BM ∥ AN .又因为 AN ? 平面 ADEF ,且 BM ? 平面 ADEF , D 所以 BM ∥平面 ADEF .???????4 分 (Ⅱ) 证明: 在正方形 ADEF 中,ED ? AD . 又因为平面 ADEF ? 平面 ABCD , ? A D 所 以 ED ? 平 面 A B C D 所 以 A ? 且平面 ADEF 平面 ABCD , . B E D? B C . 在直角梯形 ABCD 中, AB ? AD ? 2 , CD ? 4 ,可得 BC ? 2 2 . 在△ BCD 中, BD ? BC ? 2 2, CD ? 4 ,所以 BC ? BD .所以 BC ? 平面 BDE . 又因为 BC ? 平面 BCE ,所以平面 BDE ? 平面 BEC .????????9 分 (Ⅲ)解:由(Ⅱ)知 ED ? 平面 ABCD ,且 AD ? CD . 以 D 为原点, DA, DC , DE 所在直 线为 x, y , z 轴,建立空间直角坐标系. B(2, 2, 0), C (0, 4, 0), E (0, 0, 2) . 平面 ADEF 的一个法
如图,正方形 向量

M

C

m ? (0,1,0) . 设 n ? ( x, y, z ) 为 平 面 BEC 的 一 个 法 向 量 , 因 为 ??? ? ??? ? ??2 x ? 2y ? 0 ,令 x ?1 ,得 BC ? (?2, 2,0), , CE ? (0, ?4, 2) 所 以 ? ?4 y ? 2 z ? 0 ? F y ? 1,z ? 2. 所 以 n ? (1,1, 2) 平 面 BEC 的 一 个 法 向 量 . 为 设 平 面 BEC 与 平 面 ADEF 所 成 锐 二 面 角 为 ? . 则


z E

N

M

| m ?n| 1 6 . 所 以 平 面 BEC 与 平 面 cos ? ? ? ? A | m | ? | n | 1? 1 ? 1 ? 4 6 B x 6 A D E F 成锐二面角的余弦值为 所 .???14 分 6 x2 ? y 2 ? 1.过点(m,0)作圆 x2 ? y 2 ? 1的切线 L 交椭圆 G 于 A,B 两 18. (14 分) 已知椭圆 G : 4
点. (I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 | 解: Ⅰ)由已知得 (

D

C

y

AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值.
所以椭圆 G 的焦点坐标为

a ? 2, b ? 1,

所以

c ? a 2 ? b 2 ? 3.

(? 3,0), ( 3,0)

e?
离心率为

c 3 ? . a 2 (Ⅱ)由题意知, | m |? 1 .当 m ? 1 时,切线

l 的方程

x ? 1 ,点 A、B 的坐标分别为
此时

(1,

3 3 ), (1,? ), 2 2

| AB |? 3 当 m=-1 时,同理可得 | AB |? 3 当 | m |? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m),



? y ? k ( x ? m), ? 2 得(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 m x ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 ?x 2 ? ? y ? 1. ?4

设 A、B 两点的坐标分别为

第 7 页 共 9 页

( x1 , y1 )(x2 , y 2 )
x 2 ? y 2 ? 1相切, 得





x1 ? x2 ?

8k 2 m 1 ? 4k
2

, x1 x2 ?

4k 2 m 2 ? 4 1 ? 4k 2





L





| km | k ?1
2

? 1,即m 2 k 2 ? k 2 ? 1.
所 以
? 4 3|m| . m2 ? 3

| AB |? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2

? (1 ? k 2 )[

64 k m 4( 4 k m ? 4) ? ] 2 2 (1 ? 4k ) 1 ? 4k 2
4 2 2

?

由 于 当

m ? ?3
| AB |?





| AB |? 3,
4 3 3 |m|? |m| ? 2,

| AB |?
所 以

4 3|m| , m ? (?? ,?1] ? [1,?? ) m2 ? 3

.





4 3|m| ? m2 ? 3

且当 m ? ?

3 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2.

?( x 2 ? 2ax)e x , x ? 0 19. (本小题满分 14 分)已知函数, f ( x) ? ? , g ( x) ? c1nx ? b ,且 x ? 2 是 ?bx, x ? 0 函数 y ? f ( x) 的极值点. (1)若方程 f ( x) ? m ? 0 有两个不相等的实数根,求实数 m 的取值范围; (2)若直线 l 是函数 y ? f ( x) 的图象在点(2, f (2))处的切线,且直线 l 与函数 y ? g ( x) )的图 ?1 象相切于点 P( x0 , y0 ), x0 ?[e , e] ,求实数 b 的取值范围.

第 8 页 共 9 页

20 . 本 小 题 满 分 14 分 ) 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 (

2 2 {an } 满 足 an?1 ? 2an ? an an?1 , 且 n (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 cn ? 1 ? ,记数列 {an } 的 a2 ? a 4 ? 2a 3? 4 ,其中 n ? N * . an
*

前 n 项积为 Tn ,其中 n ? N 试比较 Tn 与 9 的大小,并加以证明。

第 9 页 共 9 页


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