kl800.com省心范文网

函数的最大值与最小值(一)




题:

3.8 函数的最大值与最小值(一)

教学目的: ⒈使 学 生 理解函数的最大值和最小值的概念,掌 握 可 导 函 数 f (x ) 在 闭

区 间 ?a, b? 上 所 有 点 ( 包 括 端 点 a, b ) 处 的 函 数 中 的 最 大 ( 或 最 小 ) 值 必 有的充分条件

; ⒉使 学 生 掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 的 方 法 和步骤 教学重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法. 教学难点:函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.极大值: 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有 的点,都有 f(x)<f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0), x0 是极大值点 2.极小值: 一般地, 设函数 f(x)在 x0 附近有定义, 如果对 x0 附近的所有的点, 都有 f(x)>f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小 值点 3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的 函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (ⅱ) 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极 小值可以不止一个 (ⅲ) 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

极小值,如下图所示, x1 是极大值点, x 4 是极小值点,而 f ( x 4 ) > f ( x1 )

王新敞
奎屯

新疆

(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点 4. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

若 x 0 满足 f ?( x0 ) ? 0 , 且在 x 0 的两侧 f (x ) 的导数异号, x 0 是 f (x ) 的 则 极值点, f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?(x) 在 x 0 两侧满足“左正右负” ,则 x 0 是

f (x ) 的极大值点, f ( x0 ) 是极大值;如果 f ?(x) 在 x0 两侧满足“左负右正” ,

则 x 0 是 f (x ) 的极小值点, f ( x0 ) 是极小值

王新敞
奎屯

新疆

5. 求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) (2)求方程 f′(x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并 列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个 根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不 改变符号即都为正或都为负,那么 f(x)在这个根处无极值 二、讲解新课:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

1.函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间 ?a, b? 上的函 数 f (x ) 的图象. 图中 f ( x1 ) 与 f ( x3 ) 是极小值, 函数 f (x ) 在 ?a, b? 上的最大值 f ( x2 ) 是极大值. 是 f (b) ,最小值是 f ( x3 ) .
a x1

y

O

x2

x3

b

x

一般地,在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f (x ) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值. 说明:⑴在开区间 ( a , b ) 内连续的函数 f (x ) 不一定有最大值与最小值.如函 数 f ( x) ?

1 在 (0,?? ) 内连续,但没有最大值与最小值; x

⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极 值点附近函数值得出的. ⑶函数 f (x ) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f (x ) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与 最小值的充分条件而非必要条件. (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值 可能不止一个,也可能没有一个
王新敞
奎屯 新疆

⒉利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f (x ) 的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区

间端点的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了. 设函数 f (x ) 在 ?a, b? 上连续,在 ( a , b ) 内可导,则求 f (x ) 在 ?a, b? 上的最 大值与最小值的步骤如下: ⑴求 f (x ) 在 ( a , b ) 内的极值; ⑵将 f (x ) 的各极值与 f (a ) 、 f (b) 比较得出函数 f (x ) 在

y
12 10 8

?a, b? 上的最值

王新敞
奎屯

新疆

三、讲解范例:

例 1 求 函 数 y ? x 4 ? 2x 2 ? 5 在区间 ?? 2,2? 上 的最大值与最小值 解 : 先求导数,得 y ? 4x ? 4x
/ 3

王新敞
奎屯

新疆

6 4 2

令 y = 0 即 4 x ? 4 x ? 0 解 得 x1 ? ?1, x2 ? 0, x3 ? 1
/
3

y=x4-2x2+5 O
2 4

导 数 y / 的正负以及 f (?2) , f ( 2) 如下表
-4 -2

x

X y
/

-2 13

( -2,-1) - ↘

-1 0 4

( -1,0) + ↗

0 0 5

( 0,1) - ↘

1 0 4

( 1,2) + ↗

2 13

y

从上表知,当 x ? ?2 时,函数有最大值 13,当 x ? ?1时,函数有最小值 4 例 2 已知 f ( x) ? log 3

王新敞
奎屯

新疆

x 2 ? ax ? b , x ∈(0,+∞).是否存在实数 a、b ,使 f (x ) x

同时满足下列两个条件: (1) f (x ) )在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是 增函数; (2) f (x ) 的最小值是 1,若存在,求出 a、b ,若不存在,说明理由.

x 2 ? ax ? b 解:设 g(x)= x
∵f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数 ∴g(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数. ∴?

? g ' (1) ? 0 ? g (1) ? 3

∴?

?b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 3

解得 ?

?a ? 1 ?b ? 1

经检验,a=1,b=1 时,f(x)满足题设的两个条件. 四、课堂练习: 1.下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) ( A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能 3.函数 y= A.0

)

1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ,在[-1,1]上的最小值为( 4 3 2 13 B.-2 C.-1 D. 12
)

)

2x ? x 2 4.函数 y= 的最大值为( x ?1
A.

3 3

B.1

C.

1 2

D.

3 2

5.设 y=|x|3,那么 y 在区间[-3,-1]上的最小值是( ) A.27 B.-3 C.-1 D.1 3 2 6.设 f(x)=ax -6ax +b 在区间[-1,2]上的最大值为 3,最小值为-29,且 a>b, 则( ) A.a=2,b=29 B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=-2,b=-3 答案:1.D 2.A 3.A 4.A 5.D 6.B
王新敞
奎屯 新疆

五、 小结 : ⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中: 导数等于零的点, 导数不存在的点,区间端点;⑵函数 f (x ) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f (x ) 在闭 区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件;⑶闭 区 间 ?a, b? 上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 值 ; 开 区 间 (a, b) 内 的 可 导 函 数 不 一 定 有 最 值 , 若 有 唯一的极值,则此极值必是函数的最值 六、课后作业:?
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

七、板书设计(略) 八、课后记:
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆


最大值与最小值问题(1)

使材料最省、时间最少、 效率最高等问题,这往往可以归结为求函数的最大值与最小值. 如图,有一长 80cm,宽 60cm 的矩形不锈钢薄板, 用此薄板折成一个长方...

函数的最大值与最小值教案

(a,b)上既无最大值 也无最小值;图(4)中的函数 y=f(x)在(a,b)上有 最大值也有最小值. 二、讲授新课 观察下图一个定义在区间[a,b]上的函数 f(x...

关于一元二次方程最大值与最小值的问题

关于一元二次方程最大值与最小值的问题_数学_初中教育_教育专区。关于一元二次方程最大值与最小值的问题 对于二次函数 y=ax2+bx+c(a 不等于 0)(这个...

函数的最大(小)值与导数说课稿

(b)比较,其中最大的个是最大值,最小的个是最小值. 例 1 求函数 y= x4-2 x2+5 在区间[-2,2]上的最大值与最小值. 解: y′=4 x3-4x, ...

初中几何中线段和差的最大值与最小值练习题(最全)

初中几何中线段和差的最大值与最小值练习题(最全)_数学_初中教育_教育专区。...正比例函数 y= x 的图象与反比例函数 y= (k≠0)在第一象限的图象交于 A...

1.3.3函数的最大(小)值与导数教案

§1.3.3 函数的最大(小)值与导数 一、教学内容分析 1.在教材中的位置: 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书数学选修 2-2》人教 A 版, 第一章。...

3.8 函数的最大值和最小值(教案与课后反思)

3.8 【教学目标】 函数的最大值和最小值(第 1 课时)嵊州市马寅初中学 袁...剩下的问题就是有没有一种 更一般的方法,能运用于更多更复杂函数的求最值...

《函数的最大值和最小值与导数》教学设计

函数的最大值和最小值与导数》教学设计【课本教材内容分析】 本节教材知识间的前后联系,以及在课堂教学中的地位与作用: 导数(导函数的简称)是一个特殊函数,它...

函数的最大值与最小值

本节教材的地位与作用 . 本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里 是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且...

二次函数的最大值与最小值

二次函数的最大值与最小值威海市实验中学 初四·七班—戚东平 许多人都知道当把一个苹果抛向空中时,苹果会飞向空中,但它的速度会逐 渐减小,并最终不向上运动...

函数最大值和最小值 | 函数的最大值与最小值 | 函数最大值最小值公式 | 函数的最大值和最小值 | 三角函数最大值最小值 | 最大值最小值分布函数 | 二次函数最大值最小值 | java最大值最小值函数 |