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函数的最大值与最小值(一)




题:

3.8 函数的最大值与最小值(一)

教学目的: ⒈使 学 生 理解函数的最大值和最小值的概念,掌 握 可 导 函 数 f (x ) 在 闭

区 间 ?a, b? 上 所 有 点 ( 包 括 端 点 a, b ) 处 的 函 数 中 的 最 大 ( 或 最 小 ) 值 必 有的充分条件; ⒉使 学 生 掌 握 用 导 数 求 函 数 的 极 值 及 最 值 的 方 法 和步骤 教学重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法. 教学难点:函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.极大值: 一般地,设函数 f(x)在点 x0 附近有定义,如果对 x0 附近的所有 的点,都有 f(x)<f(x0),就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0), x0 是极大值点 2.极小值: 一般地, 设函数 f(x)在 x0 附近有定义, 如果对 x0 附近的所有的点, 都有 f(x)>f(x0).就说 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小 值点 3.极大值与极小值统称为极值 注意以下几点: (ⅰ)极值是一个局部概念 由定义,极值只是某个点的函数值与它附近点的 函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 (ⅱ) 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极 小值可以不止一个 (ⅲ) 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于
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极小值,如下图所示, x1 是极大值点, x 4 是极小值点,而 f ( x 4 ) > f ( x1 )

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(ⅳ)函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点 4. 判别 f(x0)是极大、极小值的方法:
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若 x 0 满足 f ?( x0 ) ? 0 , 且在 x 0 的两侧 f (x ) 的导数异号, x 0 是 f (x ) 的 则 极值点, f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?(x) 在 x 0 两侧满足“左正右负” ,则 x 0 是

f (x ) 的极大值点, f ( x0 ) 是极大值;如果 f ?(x) 在 x0 两侧满足“左负右正” ,

则 x 0 是 f (x ) 的极小值点, f ( x0 ) 是极小值

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5. 求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数 f′(x) (2)求方程 f′(x)=0 的根 (3)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并 列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个 根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不 改变符号即都为正或都为负,那么 f(x)在这个根处无极值 二、讲解新课:
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1.函数的最大值和最小值 观察图中一个定义在闭区间 ?a, b? 上的函 数 f (x ) 的图象. 图中 f ( x1 ) 与 f ( x3 ) 是极小值, 函数 f (x ) 在 ?a, b? 上的最大值 f ( x2 ) 是极大值. 是 f (b) ,最小值是 f ( x3 ) .
a x1

y

O

x2

x3

b

x

一般地,在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f (x ) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值. 说明:⑴在开区间 ( a , b ) 内连续的函数 f (x ) 不一定有最大值与最小值.如函 数 f ( x) ?

1 在 (0,?? ) 内连续,但没有最大值与最小值; x

⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极 值点附近函数值得出的. ⑶函数 f (x ) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f (x ) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与 最小值的充分条件而非必要条件. (4)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值 可能不止一个,也可能没有一个
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⒉利用导数求函数的最值步骤: 由上面函数 f (x ) 的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区

间端点的函数值进行比较,就可以得出函数的最值了. 设函数 f (x ) 在 ?a, b? 上连续,在 ( a , b ) 内可导,则求 f (x ) 在 ?a, b? 上的最 大值与最小值的步骤如下: ⑴求 f (x ) 在 ( a , b ) 内的极值; ⑵将 f (x ) 的各极值与 f (a ) 、 f (b) 比较得出函数 f (x ) 在

y
12 10 8

?a, b? 上的最值

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三、讲解范例:

例 1 求 函 数 y ? x 4 ? 2x 2 ? 5 在区间 ?? 2,2? 上 的最大值与最小值 解 : 先求导数,得 y ? 4x ? 4x
/ 3

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6 4 2

令 y = 0 即 4 x ? 4 x ? 0 解 得 x1 ? ?1, x2 ? 0, x3 ? 1
/
3

y=x4-2x2+5 O
2 4

导 数 y / 的正负以及 f (?2) , f ( 2) 如下表
-4 -2

x

X y
/

-2 13

( -2,-1) - ↘

-1 0 4

( -1,0) + ↗

0 0 5

( 0,1) - ↘

1 0 4

( 1,2) + ↗

2 13

y

从上表知,当 x ? ?2 时,函数有最大值 13,当 x ? ?1时,函数有最小值 4 例 2 已知 f ( x) ? log 3

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x 2 ? ax ? b , x ∈(0,+∞).是否存在实数 a、b ,使 f (x ) x

同时满足下列两个条件: (1) f (x ) )在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是 增函数; (2) f (x ) 的最小值是 1,若存在,求出 a、b ,若不存在,说明理由.

x 2 ? ax ? b 解:设 g(x)= x
∵f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数 ∴g(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数. ∴?

? g ' (1) ? 0 ? g (1) ? 3

∴?

?b ? 1 ? 0 ?a ? b ? 1 ? 3

解得 ?

?a ? 1 ?b ? 1

经检验,a=1,b=1 时,f(x)满足题设的两个条件. 四、课堂练习: 1.下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x) ( A.等于 0 B.大于 0 C.小于 0 D.以上都有可能 3.函数 y= A.0

)

1 4 1 3 1 2 x ? x ? x ,在[-1,1]上的最小值为( 4 3 2 13 B.-2 C.-1 D. 12
)

)

2x ? x 2 4.函数 y= 的最大值为( x ?1
A.

3 3

B.1

C.

1 2

D.

3 2

5.设 y=|x|3,那么 y 在区间[-3,-1]上的最小值是( ) A.27 B.-3 C.-1 D.1 3 2 6.设 f(x)=ax -6ax +b 在区间[-1,2]上的最大值为 3,最小值为-29,且 a>b, 则( ) A.a=2,b=29 B.a=2,b=3 C.a=3,b=2 D.a=-2,b=-3 答案:1.D 2.A 3.A 4.A 5.D 6.B
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五、 小结 : ⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中: 导数等于零的点, 导数不存在的点,区间端点;⑵函数 f (x ) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f (x ) 在闭 区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件;⑶闭 区 间 ?a, b? 上 的 连 续 函 数 一 定 有 最 值 ; 开 区 间 (a, b) 内 的 可 导 函 数 不 一 定 有 最 值 , 若 有 唯一的极值,则此极值必是函数的最值 六、课后作业:?
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七、板书设计(略) 八、课后记:
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