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2015届高三理科数学综合检测题(含答案)


周三检测题 2015/1/21
10i 1.设 z= ,则 z 的共轭复数为 3+i A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-3i 2. “-3<m<5”是“方程 A.充分不必要条件 C.充要条件 x2 y2 + =1 表示椭圆”的 5-m m+3 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( ) ( ) ( )

3.直线 y=kx+2 与抛物线 y2=8x 有且只有一个公共点,则 k 的值为 A.1 4.由曲线 y ? A. B.1 或 3 C .0 D.1 或 0

x ,直线 y ? x ? 2及y 轴所围成的图形的面积为
B.4 C.





10 3

16 3

D.6

x2 y2 x2 y2 5.若双曲线 - =1(a>0,b>0)和椭圆 + =1(m>n>0)有共同的焦点 F1,F2,P 是两条曲线 a b m n 的一个交点,则|PF1|·|PF2|=( A.m2-a2 B. m- a )

1 C. (m-a) D.m-a 2

6 .已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数 , 且在区间 [0, ??) 单调递增.若实数 a 满足
f (log 2 a ) ? f (log 1 a ) ? 2 f (1) , 则 a 的取值范围是(
2



A. [1, 2]

? 1? B. ? 0, ? ? 2?

?1 ? C. ? , 2 ? ?2 ?

D. (0, 2]

7.执行如图所示的程序框图, 若输入的 x 的值为 1,则 输出的 n 的值为____.

?x ? y ? 0 ? 8. 已知实数 x , y 满足 ? x ? 1 且目标函数 z ? 2ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大值是 1 , 则 ab ? y?0 ?
的最大值为 9.已知 F 为双曲线 C:x2-my2=3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为 x2 y2 10.在平面直角坐标系 xOy 中,设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦距为 2c,以点 O 为圆心,a 为半 a b a2 ? 径作圆 M.若过点 P? ? c ,0?作圆 M 的两条切线互相垂直,则该椭圆的离心率为________.

2 11 . ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c 且 2sin

A? B ? cos 2C ? 1 . 2

(1)求角 C 的大小; (2)若向量 m ? (3a, b) ,向量 n ? (a, ? ) ,且 m ? n , (m ? n) ? (m ? n) ? 16 ,求 a, b, c 的值.

b 3

12.如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P—ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90° , PA⊥平面 ABCD,PA=3,AD=2,AB=2 3,BC=6. (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P—BD—A 的大小.

13.在等差数列{an}中,a1+a3=-8,a2+a4=-14. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an+bn}是首项为 1,公比为 c 的等比数列,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

x2 y2 6 14.已知椭圆 C: 2+ 2=1 (a>b>0)的离心率为 ,右焦点为(2 2,0),斜率为 1 的直线 l 与 a b 3
椭圆 C 交于 A、B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2). (1)求椭圆 C 的方程; (2)求△PAB 的面积.

周三检测题 2015/1/21
1-6 DBD CDC 7. 3 8.

1 8

9.

3

10.

2 2

2 11.解: (1)∵ 2sin

A? B ? cos 2C ? 1 2 2 A? B ? cos( A ? B) ? ? cos C , ∴ cos 2C ? 1 ? 2sin 2 1 ∴ 2cos 2 C ? cos C ? 1 ? 0 ,∴ cos C ? 或 cos C ? ?1 2
C ? (0, ? ), ∴ C ?

?

3
2

b2 ? 0 ,即 b2 ? 9a 2 3 8b 2 b2 2 ? 16 ,即 a 2 ? ? 2 ② 又 (m ? n) ? (m ? n) ? 16 ,∴ 8a ? 9 9 2 2 由①②可得 a ? 1, b ? 9 ,∴ a ? 1, b ? 3
(2)∵ m ? n ∴ 3a ? 又 c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C ? 7, ∴ c ? 7 ,∴ a ? 1, b ? 3, c ? 7 12.(1)证明 如图,建立坐标系, 则 A(0,0,0),B(2 3,0,0),C(2 3,6,0), D(0,2,0),P(0,0,3), → → ∴AP=(0,0,3),AC=(2 3,6,0), → BD=(-2 3,2,0). → → → → ∴BD· AP=0,BD· AC=0. ∴BD⊥AP,BD⊥AC. 又∵PA∩AC=A,∴BD⊥面 PAC. (2)解 设平面 ABD 的法向量为 m=(0,0,1),设平面 PBD 的法向量为 n=(x,y,z), → → 则 n· BD=0,n· BP=0. → ∵BP=(-2 3,0,3), y= 3x, ? ? ?-2 3x+2y=0, ∴? 解得? 2 3 ?-2 3x+3z=0 ? ?z= 3 x. 令 x= 3,则 n=( 3,3,2), m· n 1 ∴cos〈m,n〉= = . |m||n| 2 ∴二面角 P—BD—A 的大小为 60° .

13.解:(1)设数列{an}的公差为 d,∵a1+a3=-8,a2+a4=-14, ? ?2a1+2d=-8, ∴? 解得 a1=-1,d=-3. ?2a1+4d=-14, ?

∴数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d=-1-3(n-1)=-3n+2. (2)由数列{an+bn}是首项为 1,公比为 c 的等比数列, - - - 得 an+bn=cn 1,即-3n+2+bn=cn 1,∴bn=3n-2+cn 1, n?3n-1? - - ∴Sn=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+c+c2+?+cn 1)= +(1+c+c2+?+cn 1). 2 n?3n-1? 3n2+n ∴当 c=1 时,Sn= +n= ; 2 2 n n?3n-1? 1-c n?3n-1? cn-1 当 c≠1 时,Sn= + = + . 2 2 1-c c-1 c=1, ? ? 综上,数列{b }的前 n 项和 S =? n?3n-1? c -1 ? ? 2 + c-1 ,c≠1.
n n n

3n2+n , 2

14.解 (1)由已知得 c=2 2, = 解得 a=2 3,又 b =a -c =4. 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 12 4 (2)设直线 l 的方程为 y=x+m.
2 2 2

c a

6 . 3

x

2

y

2

y=x+m ? ? 2 2 由? x y + =1 ? ?12 4
2 2

, ①

得 4x +6mx+3m -12=0. 设 A、B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2) (x1<x2),AB 中点为 E(x0,y0), x1+x2 3m m 则 x0= =- ,y0=x0+m= ; 2 4 4 因为 AB 是等腰△PAB 的底边, 所以 PE⊥AB. 2- 4 所以 PE 的斜率 k= =-1. 3m -3+ 4 2 解得 m=2.此时方程①为 4x +12x=0. 解得 x1=-3,x2=0.所以 y1=-1,y2=2. 所以|AB|=3 2.此时,点 P(-3,2)到直线 AB:x-y+2=0 的距离 |-3-2+2| 3 2 d= = , 2 2 1 9 所以△PAB 的面积 S= |AB|·d= . 2 2

m


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