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高中数学选修4-4、4-5试题及答案


选修 4-4、4-5 测试题
姓名: 成绩

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.) 1.已知 c<d, a>b>0, 下列不等式中必成立的一个是 ( A.a+c>b+d
x 2 2 x

B.a–c>b–d

C.ad<bc ( )

) a b D.

? c d

2.函数 y ? 8 ? ? ( x ? 0) 的最大值是 A. 6 B. 8

C. 10

D. 18 )

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( 3.若直线的参数方程为 ? ? y ? 2 ? 3t

A.

2 3

B. ?

2 3

C.

3 2

D. ?

3 2

? 1? t2 x? ? ? 1 ? t 2 (t 为参数)化为普通方程为( 4.参数方程 ? ? y ? 2t ? 1? t2 ?



A. x 2 ? y 2 ? 1 C. x 2 ? y 2 ? 1 去掉(1,0)点

B. x 2 ? y 2 ? 1 去掉(0,1)点 D. x 2 ? y 2 ? 1 去掉(-1,0)点 ) D.一个圆 )

5.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 B.两条直线

C.一条直线和一个圆

6.在极坐标系中与圆 ? ? 4sin ? 相切的一条直线的方程为( A. ? cos ? ? 2 B. ? sin ? ? 2 C. ? ? 4sin(? ? ) 3

?

D. ? ? 4sin(? ? ) 3

?

1 ? ?x ? 1? 2 t ? (t为参数) 和圆 x 2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, AB 的中点坐标为 7. 直线 ? 则 ( ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2



A. (3, ?3)

B. (? 3,3)

C. ( 3, ?3) )

D. (3, ? 3)

8.圆 ? ? 5cos ? ? 5 3 sin ? 的圆心是( A. (?5, ?
4? ) 3

B. ( ?5, ) 3

?

C. (5, ) 3

?

D. (?5,

5? ) 3

9.若曲线 ? ? 2 2 上有 n 个点到曲线 ? cos( ? ? A.1 B.2 C.3 D.4

?
4

) ? 2 的距离等于 2 ,则 n =(



1 1 1 1 1 1 1 1 ”时,由 n ? k ? ? ??? ? ? ? ??? 2 3 4 2n ? 1 2n n ? 1 n ? 2 2n 的假设证明 n ? k ? 1时,如果从等式左边证明右边,则必须证得右边为( ) 1 1 1 1 1 1 1 A. B. ??? ? ??? ? ? k ?1 2k 2 k ? 1 k ?1 2 k 2k ? 1 2 k ? 2 1 1 1 1 1 1 C. D. ??? ? ??? ? k?2 2k 2 k ? 1 k?2 2k ? 1 2k ? 2 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)

10.用数学归纳法证明“ 1 ?

11.若 1 ? a ? 4 , ?2 ? b ? 4 ,则 2a-b 的取值范围是

.

? x ? 3sin ? ? 4 cos ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_____________。 12.圆的参数方程为 ? ? y ? 4sin ? ? 3cos ?

13.极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。 14.曲线的极坐标方程为 ? ? tan ? ?
1 ,则曲线的直角坐标方程为________________。 cos ?

15.不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集为________________ 三、解答题(本大题共 5 小题,共 75 分.)

16、(14分)已知A ? {x x ? 1 ? c, c ? 0}, B ? {x x ? 3 ? 4}, 且A ? B ? ?, 求c的范围.

17. (本小题 14 分) 已知 a、b、x、y 均为正实数,且 > ,x>y. 求证:
1 a 1 b
y x > . y?b x?a

18. (本小题 16 分) 已知函数 f ( x) ?| x ? 8 | ? | x ? 4 | . (Ⅰ)作出函数 y=f(x)的图像: (Ⅱ)解不等式 | x ? 8 | ? | x ? 4 |? 2 .

19.(16 分)已知椭圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ?

12 ,点 F1、F2 为其左,右焦点, 3 cos ? ? 4 sin 2 ?
2

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数,t∈R). ?y ? 2 t ? 2 ?

(1)求直线 l 和曲线 C 的普通方程; (2)求点 F1、F2 到直线 l 的距离之和.

20(15 分) .点 P 在椭圆

x2 y2 ? ? 1 上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。 16 9

1、B

2、A

3、D 12. 5

4、D 13.
2 2

5、C

6、 A

7、D

8、A

9、C

10、D

11、 (?2,10) 16.0<c≤2.

14. x 2 ? y (去掉原点)

17.证法一: (作差比较法)∵

y bx ? ay x 1 1 - = ,又 > 且 a、b∈R+, y ? b (x ? a)(y ? b) a b x?a

bx ? ay y x ∴b>a>0.又 x>y>0,∴bx>ay. ∴ >0,即 > . (x ? a)(y ? b) y?b x?a

证法二: (分析法) ∵x、y、a、b∈R+,∴要证 而由
y x > ,只需证明 x(y+b)>y(x+a) ,即证 xb>yA. y?b x?a

1 1 > >0,∴b>a>0.又 x>y>0,知 xb a b

>ya 显然成立.故原不等式成立. 18.解:

?4, (x ? 4) ? (1) ? f ?x ? ? ?12-2x, (4 ? x ? 8) ?-4, (x ? 8) ? ?函数 f ?x ?的图像如图所示
(分段函数 3 分,图象 3 分,共 6 分)

?2? 解法一:当x ? 5时,f ?x ?=2 (10 分) 由图可知,不等式的解集为?? ?,?; 5
?x ? 4 ?4 ? x ? 8 ?x ? 8 解法二: 或? 或? ? x ? 4 或 4 ? x ? 5 或 ? ? ?4 ? 2 ?12 ? 2x ? 2 ??4 ? 2
?原不等式的解集是 ? ??,?。 5

19.解:(Ⅰ) 直线 l 普通方程为 y ? x ? 2 ; 曲线 C 的普通方程为
x2 y 2 ? ?1 . 4 3

(Ⅱ) ∵ F1 (?1, 0) , F2 (1, 0) ,∴点 F1 到直线 l 的距离 d1 ? 点 F2 到直线 l 的距离 d 2 ?
1? 0 ? 2 2 ? 2 , 2

?1 ? 0 ? 2 2

?

3 2 , 2

∴ d1 ? d 2 ? 2 2.

20.解:设 P(4cos ? ,3sin ? ) ,则 d ?

12 cos ? ? 12sin ? ? 24 5

12 2 cos(? ? ) ? 24 4 即d ? , 5

?

? 12 当 cos(? ? ) ? ?1 时, d max ? (2 ? 2) ; 4 5 ? 12 当 cos(? ? ) ? 1 时, d min ? (2 ? 2) 。 4 5


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