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上海市上海中学高三数学综合练习试卷(共九套)


上海市上海中学高三综合练习 上海市上海中学高三综合练习

上海市上海中学高三综合练习( (数学) 上海市上海中学高三综合练习(一) 数学) 上海中学高三综合练习 (数学
班级___________学号__________姓名_______________成绩_________________、 编辑:苑娜娜 一. 填空题 1. 定义在 R 上的奇函数 f(x)以 2 为周期,则 f(1) =___________. 2. 如果复数

1 + bi ( b ∈ R )的实部和虚部互为相反数,则 b 等于_____________. 1+ i

n 3 3.(理) 若 (1 + 2 x) 展开式中含 x 项的系数等于含 x 项的系数的 8 倍,则 n=______. 理

?x ≥ 1 ? (文) 若 ? y ≥ 2 ,则目标函数 z = 2 x + y 的最小值为_______________. 文 ?x + y ≤ 6 ? 3a 4.已知 a < 0 ,则关于 x 的不等式 | |> 1 的解集为__________________. x+a x2 y 2 5. P 是椭圆 点 + = 1 上一点,F1、F2 是椭圆的两个焦点,且 ? PF1F2 的内切圆半径为 1, 25 16
当 P 在第一象限内时,P 点的纵坐标为_____________. ?1 ? 2n , n为奇数 ? 6.数列{an}满足:an= ? ,它的前 n 项和记为 Sn,则 lim Sn=__________. n →∞ ? 1 , n为偶数. n ?3 ? 7.某市为加强城市圈的建设,计划对周边如图所示的 A、B、 C、D、E、F、G、H 八个中小城市进行综合规划治理,第 一期工程拟从这八个中小城市中选取三个城市,但要求没 有任何两个城市相邻,则城市 A 被选中的概率为________. 8.若方程 4 ? x
2

= 2 ? kx 仅有一个实数根,则 k 的取值范围是

______________. 9. 在△ABC 中,已知|AB|=2,

| BC |2 1 = ,则△ABC 面积的最大值为___________. | CA |2 2

10.如图为一几何体的的展开图,其中 ABCD 是边长为 6 的正方形, SD=PD=6,CR=SC,AQ=AP,点 S,D,A,Q 及 P,D,C,R 共线,沿图中虚线将它们折 叠,使 P,Q,R,S 四点重合,则需要________个这样的几何体,就可以拼成 一个棱长为 12 的正方体.

11.若函数 y=ax(a>1)和它的反函数的图像与函数 y=

1 的图像分别交于点 A、B,若 x

|AB|= 2 2 ,则 a 约等于_____________(精确到 0.1). 12 . 老 师 告 诉 学 生 小 明 说 , 若 O 为 △ ABC 所 在 平 面 上 的 任 意 一 点 , 且 有 等 式 “ uuu r uuur uuu uuu r r AB cos C AC cos B r + uuur ) ,则 P 点的轨迹必过△ABC 的垂心” ,小明进一步思 OP = OA + λ ( uuu | AB | | AC | 考 何 时 P 点 的 轨 迹 会 通 过 △ ABC 的 外 心 , 得 到 的 条 件 等 式 应 为 uuu r OP = _______________________________. (用 O,A,B,C 四个点所构成的向量和角 A,B,C 的三角函数以及 λ 表示)

二.选择题 π 13.若函数 y=cos2x 与 y=sin(x+φ)在[0,2]上的单调性相同,则 φ 的一个值为( π A. 6 π B. 4 π C. 3 π D. 2 ( ) )

14.在 ? ABC 中,A= A.4 3 sin(B+ C.6sin(B+

π
3

,BC=3,则 ? ABC 的周长为 B. 4 3 sin(B+ D. 6sin(B+

π
3

)+3

π
6

)+3

π
3

)+3

π
6

)+3

15.若点 M(a, ( )

1 1 1 1 )和 N(b, )都在直线 l:x+y=1 上,则点 P(c, ),Q( ,b)和 l 的关系是 b c a c
B. P 和 Q 都不在 l 上 D. P 不在 l 上,Q 在 l 上

A. P 和 Q 都在 l 上 C. P 在 l 上,Q 不在 l 上

1 1 16.数列{an}满足:a1= ,a2= ,且 a1a2+a2a3+…+anan+1=na1an+1 对任何的正整数 n 都成立, 4 5 1 1 1 则 + +L + 的值为 ( ) a1 a2 a97
A. 5032 三.解答题 1. 已知函数 f ( x ) = 当 x= B. 5044 C. 5048 D. 5050

π
6

3 3 sin ωx ? cos ωx ? cos 2 ωx + (ω ∈ R, x ∈ R ) 的最小正周期为π,且 2

时,函数有最小值.

(1)求 f(x)的解析式; (2)作出 f(x)在[0,π]范围内的大致图象.

2.设虚数 z 满足|2z+15|= 3 | z +10|. (1)计算|z|的值;(2)是否存在实数 a,使 说明理由.

z a + ∈ R?若存在,求出 a 的值;若不存在, a z

3.如图所示,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长均为 2,侧棱与底 面所成角为

π
3

,且侧面 ABB1A1 垂直于底面.

(1)判断 B1C 与 C1A 是否垂直,并证明你的结论; (2)求四棱锥 B-ACC1A1 的体积.

4.在新的劳动合同法出台后,某公司实行了年薪制工资结构改革。该公司从 2008 年起,每 人的工资由三个项目构成,并按下表规定实施: 项目 基础工资 房屋补贴 医疗费 金额[元/(人?年)] 2007 年基础工资为 20000 元 800 3200 性质与计算方法 考虑到物价因素,决定从 2008 年 起每年递增 10%(与工龄无关) 按职工到公司年限计算,每年递增 800 元 固定不变

如果该公司今年有 5 位职工,计划从明年起每年新招 5 名职工。 (1)若今年(2008 年)算第一年,将第 n 年该公司付给职工工资总额 y(万元)表示成年限 n 的函 数; (2)若公司每年发给职工工资总额中,房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的 p%,求 p 的最小值.

5.已知函数 f(x)=(|x|-b)2+c,函数 g(x)=x+m, (1)当 b=2,m=-4 时,f(x) ≥ g(x)恒成立,求实数 c 的取值范围; (2)当 c=-3,m=-2 时,方程 f(x)=g(x)有四个不同的解,求实数 b 的取值范围.

6.若给定椭圆 C:ax2+by2=1(a>0,b>0,a ≠ b)和点 N(x0,y0),则称直线 l:ax0x+by0y=1 为椭圆 C

的“伴随直线” , (1)若 N(x0,y0)在椭圆 C 上,判断椭圆 C 与它的“伴随直线”的位置关系(当直线与椭圆的 交点个数为 0 个、1 个、2 个时,分别称直线与椭圆相离、相切、相交),并说明理由; (2)命题: “若点 N(x0,y0)在椭圆 C 的外部,则直线 l 与椭圆 C 必相交.”写出这个命题的逆 命题,判断此逆命题的真假,说明理由; (3)若 N(x0,y0)在椭圆 C 的内部,过 N 点任意作一条直线,交椭圆 C 于 A、B,交 l 于 M 点 (异于 A、B),设 MA = λ1 AN , MB = λ2 BN ,问 λ1 + λ2 是否为定值?说明理由.

uuur

uuur

uuur

uuur

2.0 (0) 3.(理)5 (0.14) (文) 4 4.(2a,-a) ∪ (-a,-4a) (0.34) 8 19 1 5. (0.46) 6. (0.26) 7. (0.43) 8. (?∞,?1) ∪ (1,+∞) ∪ {0} (0.37) 3 24 2 9. 2 2 (0.58) 10.24 (0.29)11.8.4 (0.55) ? ? ? AB cos C AC ? cos B ? 1 12. OB + OC + λ? + ? (0.98) 2 ? AB AC ? ? ?

一. 填空题 1.0 (0)

(

)

二. 选择题 13. D (0.36) 14. D (0.11) 三. 解答题 1.(1)f(x)=1–sin ? 2 x +

15. A

(0.11) 16. B (0.08)

? ?

π? ? 6?

(0.34) (2)略

2.(1)|z|=5 3 (2)a=±5 3 (0.06) 3.(1)几种常见处理方法:用空间直角坐标系解、传统方法解、基向量解. (2) VB? ACC1A1 = 2VB? A1AC = 2VA1 ? ABC = 2 × 4.(1)y=10n(1+10%)n+0.2n2+1.8n , n ∈ N*

1 3 × × 4 × 3 = 2 (0.42) 3 4

0 .2 n + 1 .8 0 .2 n + 1 .8 ,令 an= , n 10 × 1.1 10 × 1.1n ?a n ≥ a n +1 2 200 由? 得 1≤n≤2,∴p%≥a1=a2= ∴p≥ (0.69) 11 11 ?a n ≥ a n ?1 ?? x 2 + 5x ? 8, x ≥ 0 7 2 ? 5.(1)c≥x–4–(|x|–2) = ? ,由图象得 c≥– . (0.14) 2 4 ?? x ? 3x ? 8, x < 0 ?
(2)由 0.2n2+1.8n≤10n?1.1n?p%,得 p%≥ (2)(|x|–b)2–3=x–2,即(|x|–b)2=x+1 有四个不同的解, ∴ (x–b)2=x+1(x≥0)有两个不同解以及(x+b)2=x+1(x<0)也有两个不同解, 由根的分布得 b≥1 且 1<b<

5 5 ,∴1<b< . 4 4

(0.63)

?ax 2 + by 2 = 1 2 2 2 ? aby 0 + a 2 x 0 x 2 ? 2ax 0 x + 1 ? by 0 = 0 6.(1) ? ?ax 0 x + by 0 y = 1

(

)

即 ax2–2ax0x+ax02=0 ∴△=4a2x02–4a2x02=0 ∴l 与椭圆 C 相切. (0.34) (2)逆命题:若直线 l:ax0x+by0y=1 与椭圆 C 相交,则点 N(x0,y0)在椭圆 C 的外部. 是真命题。联立方程得(aby02+a2x02)x2–2ax0x+1–by02=0 则△=4a2x02–4a(by02+ax02)(1–by02)>0 ∴ax02–by02+b2y04–ax02+abx02y02>0 ∴by02+ax02>1 ∴N(x0,y0)在椭圆 C 的外部. (0.75) (3)同理可得此时 l 与椭圆相离,设 M(x1,y1),A(x,y)

x 1 + λ1 x 0 ? ?x = 1 + λ ? 1 则? 代入椭圆 C:ax2+by2=1,利用 M 在 l 上, ? y = y1 + λ 1 y 0 ? 1 + λ1 ? 即 ax0x1+by0y1=1,整理得(ax02+by02–1) λ 12+ax12+by12–1=0 同理得关于 λ 2 的方程,类似. 即 λ 1、 λ 2 是(ax02+by02–1) λ 2+ax12+by12–1=0 的两根 ∴ λ 1+ λ 2=0. (100%)

上海市上海中学高三综合练习( (数学) 上海市上海中学高三综合练习(二) 数学) (数学
班级___________ 学号________ 姓名_______________ 成绩__________ 编辑:卢立臻 一、选择题: 1. 复平面上有圆 C:|z|=2,已知
A.必在圆 C 上

z1 ? 1 (z1≠-1)是纯虚数,则复数 z1 的对应点 P( z1 + 1
C.必在圆 C 外部 D.不能确定



B.必在圆 C 内部

2. 一给定函数 y=f(x)的图象在下列图中,并且对任意 a1∈(0,1),由关系式 * an+1=f(an)得到的数列{an}满足 an+1>an,n∈N ,则该函数的图象是 ( )

(A)
2

(B)

(C)

(D)

3.已知 p: 方程 x +ax+b=0 有且仅有整数解, a, 是整数, p 是 q 的 q: b 则 ( ) A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C.充要条件 D、既不充分又不必要条 件 4.有一个各条棱长均为α的正四棱锥,现用一张正方形的包装纸将其完全包住,不能裁剪,可 以 折 叠 , 那 么 包 装 纸 的 最 小 边 长 为 ( ) A.(1+ 3 )a B.

1+ 3 a 2

C.

6+ 2 a 2

D. ( 2 + 6 )a

二、填空题:
5、方程

x2 y2 + = 1 表示椭圆,则 a∈__________ 2 ? a a +1
x n 3 2 ) 的展开式中二项式系数之和为 512,且展开式中 x 的系数为 9,常数

a 6.已知( x -

a 的值为__________。 7. 下列函数中周期是 2 的函数是_________________
2 ① . y = 2 cos πx ? 1

② . y = sin πx + cos πx

③ . y = tan(

π
2

x+

π
3

)

④ . y = sin π x cos π x 8.函数 y = 3 x +1 (?1 ≤ x < 0) 的反函数是______________

9. 已知集合 A = {x |-2<x<5} ,B = {x |p + 1<x<2p-1} ,A∪B = A,则实数 p 的取值范
围是____________。

10. 已知 E、F 分别是三棱锥 P-ABC 的棱 AP、BC 的中点,PC = 10,AB = 6,AB 与 PC 所成
的角为 600,则 EF = ________。

11. 设|z 1 |=5,|z 2 |=2, |z 1 - z 2 |= 13 ,求

z1 =_________。 z2

12.某数学家有两盒火柴,每盒都有 n 根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽 出一根,求他发现用完一盒时另一盒还有 r 根(1≤r≤n)的概率___________。 13.在平行六面体 ABCD?A1B1C1D1 中, AC = a , BD = b , AC1 = c ,试用 a 、 b 、 表示 BD1 =___________

c

14. 若关于 x 的不等式 2x + 1 <x+a 的解是 x>m,试求 m 的最小值为_________.
15. 设点 P 到 M(-1,0) ,N(1,0)的距离之差为 2m,到 x 轴、y 轴的距离之比为 2,求 m 取值范围___________________ 16.已知椭圆 4x2+y2-8kx-4ky+8k2-4=0(k 为参数),存在一条直线,使得此直线被这些椭圆截得的 线段长都等于 5 ,求直线方程_________

三、解答题: 17.斜三棱柱 ABC—A’B’C’中,底面是边长为 a 的正三角形,侧棱长为 b,侧棱 AA’与底面相
邻两边 AB、AC 都成 45 角,求此三棱柱的侧面积和体积。
0

18.已知在⊿ABC 中,角 A、B、C 的对边为 a, b, c, ,向量 m = (2 cos
n = (cos C ,2 sin( A + B )) , m ⊥ n . 2
2 2

C ,? sin( A + B )) , 2

(1)求角 C. (2)若 a = b +

1 2 c ,试求 sin( A ? B ) 的值. 2

z 2 均为实数,(i 为虚数单位),且复数(z+ai) 在复 2?i 平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围.

19.已知 z 是复数,z+2i,

(2)在(1)的条件下, f ( x ) > x + k 在区间 [ ?3, ?1] 上恒成立,试求 k 的取值范围; (3)若 a > 0 , f ( x ) 为偶函数,实数 m , n 满足 m ? n < 0 , m + n > 0 ,定义函数

, 20.已知函数 f ( x) = ax 2 + bx + 1 ( a , b 为为实数) x ∈ R . (1)若函数 f (x ) 的最小值是 f ( ?1) = 0 ,求 f (x ) 的解析式;

? f ( x) , 当x ≥ 0 F ( x) = ? ,试判断 F ( m) + F ( n) 值的正负,并说明理由. ?? f ( x) , 当x < 0

21.若 数列{an}前 n 项和为 Sn(n∈N*) (1)若首项 a1=1,且对于任意的正整数 n(n≥2)均有

S n + k an ? k = ,(其中 k 为正实常 S n ? k an + k

数),试求出数列{an}的通项公式. (2)若数列{an}是等比数列,公比为 q,首项为 a1,k 为给定的正实数,满足: ①a1>0,且 0<q<1 ②对任意的正整数 n,均有 Sn-k>0; S +k a ?k 试求函数 f(n)= n +k n 的最大值(用 a1 和 k 表示) Sn ? k an + k

x2 y2 22.已知椭圆及圆的方程分别为 2 + 2 = 1 和 x 2 + y 2 = r 2 ,若直线 AB 与圆相切 a b 于点 A,与椭圆有唯一的公共点 B,若 a>b>0 是常数,试写出 AB 长度随动圆半径变化 的函数关系式|AB|=f(x),并求其最大值

答案及错误率 一选择题 1,B (0.06) 2,A (0.14) 3,A (0.03) 4, C (0.11) 二填空题 1 1 5, (-1,)( ,) (0.11) ∪ 2 6, 16 (0.06) 2 2 8, y = log 3 x ? 1, (1 ≤ x < 3) (0.06) 9, p≤3 (0.46)
(1 )

7,(2)(3)

(0.06)

?r C2nn ? r ?1 3 10, 或 19 (0.11) 11,2 ± i (0.6) 12,2 × 2 n ? r 7 2 2

r r r 3 5 5 13, b + c ? a (0.02) 14, (0.75) 15, (? , 0) ∪ (0, ) (0.8) 2 5 5 16, y = 2 x ± 2 (0.6) 三解答题 1 17, s侧 = ( 2 + 1)ab, V = a 2b (0.34) 4 3 18, (1)C = 60° , (2) sin( A ? B ) = (0.45) 4 19,a<2<6 (0.03) 20,(1) f ( x) = x 2 + 2 x + 1 (2)k<1 (3)正数 (0.11) ? 1 n ?1 ? ?( ) , n ≥ 2 21, (1) an = ? 2 (0.11) ? 1, n = 1 ? a +k a ?k (2)f(n)关于 n 是一个单调递减的函数, 1 +k 1 (0.62) a1 ? k a1 + k 22,
a 2b 2 f ( x) = a + b ? 2 ? x 2 , a < x < b x
2 2

(0.8)

f ( x) max = a ? b, x = ab

上海市上海中学高三综合练习(三) (数学)

班级___________ 学号________ 姓名______________ 成绩________ 编辑:卢立臻 一、填空题 1.复数

1 + 2i 的虚部是 3 ? 4i
2 2

2.已知函数?(2x)的定义域为[-1,1],则函数 y=?(log2x)的定义域为 3 . 自 圆 x + y = 4上点A( 2,0) 引 此 圆 的 弦 AB, 则 弦 的 中 点 的 轨 迹 方 程 为 4.已知函数 f ( x) = ? .

?| lg | x ||,( x ≠ 0) ,则方程 f 2 ( x) ? f ( x) = 0 的实根共有 0, ( x = 0) ?

.

5.在 ?ABC中, 若∠C = 3∠B, 则 6.已知函数 y =

ax + 3 对定义域内的任意 x 的值都有 ? 1 ≤ f ( x ) ≤ 4 ,则 a 的取值范围为 x2 +1
(a ≠ 0) 的图象的顶点 A 在直线 mx + ny + 1 = 0 上,其中
.

c 的取值范围为 b

7.函数 f ( x ) = a ( x + 2) 2 ? 1

m ? n > 0 ,则

1 2 + 的最小值为 m n

8.一个四面体的各个面都是边长为 5 , 10 , 13 的三角形,则这个四面体体积为 9.考察下列一组不等式:

23 + 53 > 2 2 ? 5 + 2 ? 5 2 ,

2 4 + 5 4 > 2 3 ? 5 + 2 ? 53 ,

2 5 + 5 5 > 2 3 ? 5 2 + 2 2 ? 5 3 ,LL .

将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等 式的特例,则推广的不等式可以是
2 2

.

10.关于 x 的方程 2 x + 3ax + a ? a = 0 至少有一个模为 1 的复数根,则实数 a 的所有可 能值为 11.已知不等式

1 1 1 1 2 + +L+ > log a (a ? 1) + 对大于 1 的自然数 n 都成立, n +1 n + 2 2n 12 3

则实数 a 的取值范围为 12. 在一个给定的正(2n+1)边形的顶点中随机地选取三个不同的顶点, 任何一种选法的可能 性是相等的,则正多边形的中心位于所选三个点构成的三角形内部的概率为 . 二、选择题

13. 已知 A = x y = 的 ( )

{

5 x ? x 2 ? 4 , B = x x 2 ? 2ax + a + 2 ≤ 0 , 若A ∪ B = A , 那么实数 a
取 值 范 围 是

}

{

}

A.(-1,2)

B. ?2,

? 18 ? ? ? 7?

C. ? ? 1,

? ?

18 ? ? 7?

D. ? ? 1,

? ?

18 ? 7? ?

14.已知 ?ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足 PA + PB + PC = AB ,则点 P 与

?ABC
( ) A. P 在 ?ABC 内部 C. P 在 AB 边所在直线上









B. P 在 ?ABC 外部 D. P 是 AC 边的一个三等分点 ( )

15.若 a > 1, b > 1, 且 lg(a + b) = lg a + lg b, 则 lg(a ? 1) + lg(b ? 1)的值 A.等于 1 B.等于 lg 2 C.等于 0

D.不是常数

16.对 b>a>0,取第一象限的点 Ak(xk,yk)(k=1,2,…,n),使 a,x1,x2,…,xn,b 成等差数列,且 a,y1,y2,…,yn,b 成等比数列,则点 A1,A2,…,An 与射线 L:y=x(x>0)的关系为 ( A 各点均在射线 L 的上方; B 各点均在射线 L 的上面; C 各点均在射线 L 的下方; D 不能确定 三、解答题 )

5 x 2 ? 1 与 g ( x) = cos 2 x + a (1 + cos x) ? cos x ? 3 的 图 像 在 17 . 已 知 函 数 f ( x) = x 2 2 sin 2 sin

(0, π ) 内至少有一个公共点,求的 a 的取值范围.

18.在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C , 的对边,且

cos B b =? . cos C 2a + c

(1)求角 B 的大小;(2)若 b = 13 , a + c = 4 ,求 a 的值.

19 . 如 图 , 在 四 棱 锥

P ? ABCD 中 , PA ⊥ 底 面 ABCD , AB ⊥ AD,AC ⊥ CD,∠ABC = 60° PA = AB = BC , E 是 PC 的中点. ,

(1)求异面直线 CD 和 PB 所成角大小; (2)求直线 CD 和平面 ABE 所成角大小;

P E A B
20.设关于 x 的方程 2 x ? ax ? 2 = 0 的两根分别为 α 、 β
2

D C

(α < β ) ,函数 f ( x) = 4 x ? a 2
x +1

(1)证明 f (x ) 在区间 (α , β ) 上是增函数; (2)当 a 为何值时, f (x ) 在区间 [α ,

β ] 上的最大值与最小值之差最小

21.现有流量均为 300m3/s 的两条河流 A,B 汇合于某处后,不断混合,它们的含沙量分别 为 2kg/m3 和 0.2 kg/m3.假设从汇合处开始,沿岸设有若干个观测点,两股水流在流往 相邻两个观测点的过程中,其混合效果相当于两股水流在 1 秒内交换 100 m3 的水量, 其交换过程为从 A 股流入 B 股 100 m3 的水量,经混合后,又从 B 股流入 A 股 100 m3 水并混合,问从第几个观测点开始,两股河水的含沙量之差小于 0.01kg/m3.(不考虑泥 沙沉淀)

22. 已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上, F1、F2 分别为左、右焦点,椭圆的一个顶点与 → 两焦点构成等边三角形,且|F1F2|=2; (1)求椭圆方程 (2)对于 x 轴上的某一点 T,过 T 作不与坐标轴平行的直线 L 交椭圆于 P、Q 两点,若 存在 x 轴上的点 S, 使得对符合条件的 L 恒有∠PST=∠QST 成立, 我们称 S 为 T 的一个 配对点,当 T 为左焦点时,求 T 的配对点的坐标; (3)在(2)条件下讨论当 T 在何处时,存在有配对点?

答案及错误率 一. 填空题 1.

2 5

(0.26)

2. ? 2 ,? 4

?

2 2 ? (0.09) 3.(x-1) + y = 1, ( x ≠ 2) (0.06) 4. 7

(0.43) 5. ( 1 , 3 )( 0.26 ) 6,[-4,4] ( 0.23 ) 7. 8 ( 0.09 ) 8. 2 2

9. 2n + 5n > 2 n ? k 5k + 2k 5n ? k , n ≥ 3,1 ≤ k ≤ n (0.7) 10. a = 2 ± 2, a = ?1 二.选择题 13.D (0.11) 14.D (0.4) (0.17) (0.2) 15.C (0.03) 16.C (0.2)

(0.37) 11.

1< a <

1+ 5 2

(0.37) 12.

n+1 (0.97) 4n ? 2

17. [2, +∞)

18 . (1) B = 120° , (0.11)(2)a=1,c=3 或 a=3,c=1

19. (1) arccos

6 4

(0.11) (2) arcsin

7 7

(0.46)

20.(1)证明略 (0.86) (2)a=0, 差为 4 (0.63) 21.

3 1 bn = bn ?1 + an ?1 4 4 2 1 11 9 1 11 9 1 an = an ?1 + bn , an = + ( )n ?1 , bn = ? ( ) n ?1 , 第9个观测点。(0.68) 3 3 10 10 2 10 10 2

22.(1)

x2 y 2 + = 1 (0.17) 4 3

(2)(-4,0) (0.86) (3) x0 ∈ ( ?2, 0) ∪ (0, 2), 配对点 (

4 , 0) x0

(100%)

上海市上海中学高三综合练习( (数学) 上海市上海中学高三综合练习(四) 数学) (数学
姓名__________ 编辑:卢立臻 一.选择题 1. 已知函数 f(x)=ax+a-x,且 f(1)=3, 则 f(0)+f(1)+f(2)的值是 A.14 B. 13 C. 12 2. 设 f ( x ) = x + log 2 x +
3

( D. 11

)

(

x 2 + 1 ,则对任意实数 a,b,a+b≥0 是 f(a)+f(b)≥0(

)

)

A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件 C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图,B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地在 B 地的北偏东 30°方向 2 km 处,河流 的沿岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离 比到 B 的距离远 2 km.现要在曲线 PQ 上 选一处 M 建一座码头,向 B、C 两地转运 货物.经测算,从 M 到 B、M 到 C 修建公 路的费用都是 a 万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是 ( A.(2 7 -2)a 万元 C.(2 7 +1) a 万元 B.5a 万元 D.(2 3 +3) a 万元

)

4. 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 x=S2n+S22n, y=Sn(S2n+S3n)的大小关系是(

)

A. x≥y B.x=y C.x≤y D. 不确定 二.填空题 5. 若函数 y=?log2x?的定义域为[a,b],值域为[0,2],则区间[a,b]的长度 b-a 的最小值 为 . 6.已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,当 x∈[0,1]时,f(x)=x,且在[-1,3]内,关于 x 的方 程 f(x)=kx+k+1(k≠-1)有四个根,则 k 取值范围是 . 7. 已知函数 f(x)=Acos2(ωx+ ? )+1(A>0,ω>0)的最大值为 3,f(x)的图象在 y 轴上的截距为 2,其相邻两对称轴间的距离为 2,则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=____________ 8.如图,在杨辉三角中,斜线 l 上方,从 1 开始箭头所示的数组成一个锯齿数 列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前 n 项和为 Sn,则 S19 等于____________. 1 1 1 l 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … … … … … … … 9. 在△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,若 a、b、c 成等差数列,sinB= △ABC 的面积为

4 且 5

3 ,则 b= _________ . 2

10. 若对终边不在坐标轴上的任意角 x, 不等式 sinx+cosx≤m≤tan x+cot x 恒成立, 则实数 m 的取值范围是 ; 11. 对正整数 n,设抛物线 y2=2(2n+1)x,过点 P(2n,0)任作直线 l 交抛物线于 An , Bn 两点,则

2

2

uuuu uuuu r r OAn ? OBn 数列 { } 的前 n 项和为_ 2(n + 1)

_

12. 在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,各棱长都相等,M 是 BB1 的中点,则 BC1 与平面 AC1M 所成 角的大小是__________. 13. 设抛物线 y=ax2(a>0)与直线 y=kx+b 有两个公共点,其横坐标是 x1,x2,而 x3 是直线与 x 轴 交点的横坐标,则 x1,x2,x3 的关系是_________. 则复数 z0 在复平面 14. 满足?z-z0?+?z+2i?=4 的复数 z 在复平面上对应的点 Z 的轨迹是线段, 上对应的点的轨迹是__________ 15. 在?ABC 中,三个顶点的坐标分别是 A(2,4),B(-1,2),C(1,0),点 P(x,y)在?ABC 内部运动,若点 P 满足 PA + 2 PB + 3PC = 0 ,则 S?PAC:S?ABC=_______ 16. 近几年来,在欧美等国家流行一种“数独”推理游戏,游戏规则如下: ①在 9×9 的九宫格子中,分成 9 个 3×3 的小九宫格,用 1 到 9 这 9 个数字填满整个格子; ②每一行与每一列都有 1 到 9 的数字,每个小九宫格里也有 1 到 9 的数字,并且一个数 字在每行、每列及每个小九宫格里只能出现一次, 4 既不能重复也不能少. 9 A 3 5 7 那么 A 处应填入的数字为__________. 2 6 3 5 三.解答题 17. 已知函 数 f(x)=a+msin2x+ncos2x 的图象经过点 A(0,1),B(

π

,1),且当 x∈ ?0, ? 时,f(x)取得最大 4 ? 4?

? π?

4 1

2 6

8 9 2

6 3 9 8

9 7 5 7 4 4 B 6 5

值 2 2 -1.(1)求 f(x)的解析式;(2)是否存在向量

2 1

8

ur ur m ,使得将 f(x)的图象按向量 m 平移后可以得到一 ur ur 个奇函数的图象?若存在,求出 m 最小的 m ;若不存
在,说明理由.

18. 在五棱锥 P-ABCDE 中,PA=AB=AE=2a,PB=PE= 2 2 a,BC=DE=a,∠EAB=∠ABC=∠ DEA=90°.G 为 PE 的中点。 (1)求 AG 与平面 PDE 所成角的大小 (2)求点 C 到平面 PDE 的距离

19.(1)如图,设点 P,Q 是线段 AB 的三等分点,若 OA = a ,OB = b ,试用 a ,b 表示 OP ,

OQ ,并判断 OP + OQ 与 OA + OB 的关系;
(2)受(1)的启示,如果点 A1,A2,A3,…,An-1 是 AB 的 n(n≥3)等分点,你能得到什么结论? 请证明你的结论。
B Q P A

b

a

O

20. 设数列{an}和{bn}满足 a1=b1=6,a2=b2=4,a3=b3=3,且数列{an+1-an}(n∈N*)是等差数列,数 列{bn-2}(n∈N*)是等比数列。(1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)是否存在 k∈N*,使 a k ? bk ∈ (0, ) ?若存在,求出 k;若不存在,说明理由。

1 2

21. 在直角坐标平面上,O 为原点,M 为动点, | OM |= 5 , ON =

2 5 OM . 过点 M 作 5

MM1⊥y 轴于 M1,过 N 作 NN1⊥x 轴于点 N1, OT = M 1 M + N 1 N . 记点 T 的轨迹为曲 线 C,点 A(5,0)、B(1,0),过点 A 作直线 l 交曲线 C 于两个不同的点 P、Q(点 Q 在 A 与 P 之间). (1)求曲线 C 的方程; (2)问是否存在直线 l,使得|BP|=|BQ|;若存在,求出 直线 l 方程,若不存在,说明理由

22. 已知函数 f(x)=ax +2bx+4c(a,b,c∈R,a≠0) 2 (1)若函数 f(x)的图像与直线 y = ± x 均无公共点,求证:4b -16ac<-1 (2)若 b = 4, c =

2

3 时,对于给定的负数 a,有一个最大的正数 M(a),使 x∈[0,M(a)] 时,都 4

有?f(x)?≤5,求 a 为何值时 M(a)最大?并求 M(a)的最大值。 (3)若 a>0,且 a+b=1,又?x?≤2 时,恒有?f(x)?≤2,求 f(x)的解析式;

答案及错误率 一.选择题 1.C (0.03) 2.A 二.填空题 5.

(0.22)

3.A (0.17) 4.B (0.28)

3 (0.03) 4

6. (- , (0.2) 0) 10. [ 2, 2] (0.09)

1 3

7.200 (0.31) 11. ? n ? n (0.4)
2

8. 283 (0.17) 12. arcsin

9. 2 (0.31)

13. x1 x2 = ( x1 + x2 ) x3 15.1:3 (0.43) 三.解答题

1 4

(0.28)

(0.2) 14. 以 (0,-2)为圆心以 4 为半径的圆 (0.4) 16.1 (0.46)

17.

(1) f ( x) = 2 2 sin(2 x + ) ? 1 4 (2)( ,1) 8

π

π

(0.31)

2 a (0.11) 2 uuu 2 r 1 r uuur 1 r 2 r uuu uuur uuu uuur r r r 19. OP = a + b, OQ = a + b, OP + OQ = OA + OQ 3 3 3 3 uuur uuuu r uuuuur n ? 1 r r OA1 + OA2 + L + OAn ?1 = ( a + b) (0.11) 2
18.(1) 90
°

(0.06)

(2)

20. (1) an =

n 2 ? 7 n + 18 1 , bn = ( ) n ?3 + 2 2 2

(2)不存在

(0.2)

21.(1)

x2 y 2 + = 1 (2) 不存在 (0.22) 5 4 1+ 5 (0.51) (3) f ( x) = x 2 ? 2 2 (0.75)

22(1)证明略(0.08) (2) a = ?8, M ( a ) =

上海市上海中学高三综合练习(五) (数学)
班级___________ 学号_______ 姓名_______________ 成绩________ 编辑:卢立臻 一、填空题: 1 1.f(x)= (2 x + 2 ? x ) ,(x≥0),则 f –1(x)=___________. 2
? n ? 3? 2. lim? ? =_____________. n →∞ ? n ? 2 3.z=1–2i,则 ? (z+1)=___________. z+i
2n

4.已知:f(x)=x2–4x+8,x∈[1,a]的最大值为 f(a),则 a∈_______. π 5.tanα=3x,tanβ=3–x,若α–β= ,则 x=_________. 6 6. {a,b} ? {0,1,2,3,5}, ax+by=0 确定直线和(x+2)2+(y–1)2=1 相交的概率为______ 由 7.直线 l 经过抛物线 y2=4(x–1)的焦点,且与准线的夹角为 30o,则 l 的方程为 ____ __________________. 8.△ABC 中,AB=2a,BC=a,则∠A 最大值为__________. 9.理科:曲线 ρ =cosθ+sinθ与 ρ cosθ=1 的交点极坐标为_____________. 文科:工程总时数为__________天,关键路__________________(不必写虚 工序). 工序 紧前工 序 工期(天) 1 3 a b c a、b 2 d b 5 e d、e 7 f d 4

10.平面α内∠AOB=90o,P ?α,∠POA=∠POB=60o,M、N 是射线 OP 上两点, MN=4,则线段 MN 在α内射影长为____________. 11.已知曲线 C:x2+(k–1)y2–3ky+2k=0 (k≠2). 给出下列命题:(1)k=1,C 是抛物 线; (2)1<k<2, 是焦点在 y 轴上椭圆; C (3)k>2, 是焦点在 x 轴上椭圆; C (4)k<1, k≠0,C 是双曲线. 其中真命题序号是_______________. 12.命题:三角形中,顶点与对边中点连线所得三线段交于一点,且分线段长度 比为 2:1,类比可得四面体中,顶点与所对面的_________连线所得四线段交 于一点,且分线段比为_________. 二、选择题: 13.若{an}的前 n 项和 Sn=1+pan (p≠0,p≠1),则{an}是----------------------------( )

A. 等差数列

B. 等比数列

C. 常数列

D. 即非等差,又非等比数列 14.已知:P(t,m)为 y= 1 ? x 2 图象上一个动点,过点 P 作此曲线的切线,其斜 率 k 是 t 的 函 数 , 则 函 数 ) k=f(t) 在 (–1,1) 上 是 --------------------------------------------( A. 增函数 C. 减函数

B. (–1,0]上是增函数,[0,1)上是减函数 D. (–1,0]上是减函数,[0,1)上是增函数 )

15.正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,P 是面 AA1B1B 上点,P 到平面 A1B1C1D1 距离是 P 到 BC 距离的 2 倍,则 P 轨迹所在曲线是--------------------------------------( A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线 )

16.f(x)=x 的点称为函数 f(x)的不动点,设 f(x)、g(x)都有不动点,则下列陈述正 确的是----------------------------------------------------------------------------------------( A. f(g(x))与 f(x)具有相同数目的不动点 B. f(g(x))一定有不动点 C. f(g(x))与 g(x)具有相同数目的不动点 D. f(g(x))可以无不动点 三、解答题: 17.已知:a>1. 解关于 x 的不等式(x+a)(a–

x )>0.

18.在棱长为 1 的正方体 ABCD?A1B1C1D1 中,E 是 A1B1 中点. (1)求过 A、E、C1 的截面面积;(2)B 到截面距离.

19.已知数列{xn}、{yn},xn+1=

2x n + 1 x ?1 ,yn= n . ? xn xn +1

(1){yn}是否为等差数列?说明理由; ? 1 ? Sn . (2)Sn 是{yn}前 n 项和,Tn 是 ? ? 前 n 项和,求 lim n+∞ T ? x n + 1? n

20. 某公司用 300 万元买回客船一艘, 投入营运后, 每月需开支燃油费、 维修费、 员工工资. 已知每月燃油费 7000 元,第 n 个月的维修费和工资支出为 600(n–1)+3000 元,如果把购船费和所有支出费用平摊到的每一个月,叫做 每月平均消耗,当平均消耗最低时,营运成本最低. (1)设月平均消耗 y,写出 y 与 n(月)的函数关系; (2)投入营运几个月时,营运成本最低? (3)若第一年纯收入 50 万, 以后每年纯收入按 5%递减, 则多少年后可收回成 本?

21 . 已 知 △ ABC 三 个 内 角 满 足 A 、 B 、 C 成 等 差 , 设 x=cos
1 ? ? 1 f(x)=cosB ? + ?. ? cos A cos C ?

A?C , 2

(1)求 f(x)解析式及定义域;(2)讨论函数单调性,并证明;(3)求 f(x)值域.

22.(1)A(–2,0)、B(2,0),M 满足 MA ? MB =0. 求 M 轨迹;(2)若(1)中的轨迹按向量 x 2 y2 (1,–1)平移后恰与 x+ky–3=0 相切,求 k. (3)如图,l 过 2 + 2 =1 (a>b>0)长轴 a b

y

顶点 A 且与长轴垂直的直线, F 是两焦点, E、 P∈l, A 不重合, P、 若∠EPF=α, 2 2 c x y 则有 0<α≤arctan ,类比此结论到 2 ? 2 =1 (a>0,b>0),l 是过焦点 F 且垂 b a b 直 x 轴的直线,A、B 是两顶点,P∈l,P、F 不重合,∠APB=α,求α取值范 围.

答案及错误率 一.填空题 1. log 2 ( x +

x 2 ? 1), x ≥ 1 (0.4)

2. e

?6

(0.17)

3.-1+3i (0.06) 4. [3, +∞) (0.03) (0.09)

5.0.5 (0.06) 6. 9. (1, 0), ( 2, 二.选择题 13.B (0.06) 三.解答题

π
4

3 3 ( ) (0.72) 7. y = ± 3( x ? 2) (0.17) 8. 30° 10 7

1 2 ) (0.09)10. 2 2 (0.11) 11.○○ (0.86)

12.重心,3:1 (0.42)

14.C

(0.17) 15.B. (0.42) 16.D

(0.25)

17. (?∞, ? a 2 ) ∪ ( ? a, a 2 )

(0.17)

18.(1)

6 6 (2) 2 3

(0.31)

19.(1) yn +1 ? yn = 2 (2) lim 20.(1) y =

sn = ?2 n →∞ T n

(0.34)

300 + 0.97 + 0.03n (0.14) (2)n=100 (0.14) (3) 7 年 (0.6) n

21.(1) f ( x ) =

2x 1 3 3 ,( < x < , < x ≤ 1) (0.37) 2 4x ? 3 2 2 2

(2)( 1 , 23 ), ( 23 ,1]减区间 (0.75) 2
(3) (-∞,- ) [2, +∞) ∪
2 2

1 2

(0.86)

( 22. (1) x + y = 4,圆 (0.11) 2)k = 0, k =

4 3

(0.22) (3)0 < α ≤ arctan

a (0.63) b

上海市上海中学高三综合练习( 上海市上海中学高三综合练习(六) 数学
审核:王伶 校对:冯小丽 一、填空题(本大题满分 48 分)本大题共有 12 小题,每题 4 分。

x +1 在区间 [2,5]上的值域是__________ x ?1 1 1 1 + +L + =_____ 2。等比数列{an}的首项为 a1=a,公比 q≠1,则 a1a 2 a 2 a 3 a n a n +1
1.函数 y= 3 如果奇函数 y=f(x) (x ≠ 0),当 x ∈ (0,+ ∞ )时,f(x)=x?1,则使 f(x?1)<0 的 x 的取值范围是 ________________

1 2 x +2x 的准线方程为__________________ 4 3 4×3 5× 4×3 20 × 19 × L × 3 + +L+ =___________ 5. 1 + + 1 1× 2 1× 2 × 3 1 × 2 × 3 × L18
4.抛物线 y= 6.现有甲乙两船,其中甲船在某岛 B 的正南方 A 处,A 与 B 相距 7 公里,甲船自 A 处以 4 公里/小时的速度向北方向航行,同时乙船以 6 公里/小时的速度自 B 岛出发,向北 60o 西 方向航行,问_____分钟后两船相距最近? 7.有六根细木棒,其中较长的两条木棒长分别为 3 a、 2 a,其余四根木棒长均为 a,请 你用它们搭成一个三棱锥,其中较长的两条棱所在直线所成角的余弦值为_________ 8 若首项为 a1,公比为 q(q≠1)的等比数列{an}满足 lim (
n →∞

2 a1 3 -qn)= ,则 a1 的取值范围是 a1 + a 2 2

__________. 9.某甲 A 篮球队的 12 名队员(含 2 名外援)中有 5 名主力队员(含一名外援),主教练要从 12 名队员中选 5 人首发上场,则主力队员不少于 4 人,且有一名外援上场的概率是 ___________. 10.设复数 z=x+yi(x,y ∈ R)且|z?4i|=|z+2|,则 2x+4y 的最小值为___________ 11.右图是正方体的展开图,其中直线 AB 与 CD 在原正方体中所成角的大小是___________ 12.集合 S={1,2,3,4,5,6},A 是 S 的一个子集, 当 x ∈ A 时,若 x?1 ? A,x+1 ? A,则称 x 为 A 的一 个“孤立元素” ,那么 S 中无“孤立元素”的 4 元子 集的个数是______________ 二、选择题(本题满分 16 分)本大题 4 小题,每题 4 分 A B D C

r

13.已知向量 a ={cosα,sinα}, b ={cosβ,sinβ},那么----------(

r r A. a ⊥ b r r D. a 与 b 的夹角为α+β

r r r B. a // b

r r r r C. a + b ⊥ (a ? b)

(

)

)

14. 设函数 f(x)=Asin(ωx+ ? )(A>0,ω>0, ? π,则以下命题错误的是------( A. f(x)的图象过点 (0, ) C. f(x)的一个对称中心是点 ?

π π 2π < ? < )的图象关于直线 x= 对称,它的周期是 2 2 3
) B. f(x)在 ?

1 2

? 5π 2 π ? 上是减函数 , ? 12 3 ? ?

? 5π ? ,0? ? 12 ?

D. f(x)的最大值为 A )

15.设 x,y ∈ R+,且 xy?(x+y)=1,则------------------------------------------------------( A. x+y ≥ 2 2 +2 C. x+y ≤ ( 2 + 1) 16.已知函数 f (x) =
2

B. xy ≤

2 +1

D. xy ≥ 4 + 2 2

x ?1 a

( a > 0, a ≠ 1) ,在同一坐标系中,y=f ?1(x)与 y= a x ?1 的图象可
) y y y

能是-----------------------------------------------------( y

1 ?1 o

1

1

1

x

?1 o 1

x

?1 o 1

x

?1o 1

x

A

B

C

D

三、解答题(本大题满分 86 分)本大题共有 6 题 17. (本题满分 14 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对应边分别为 a、b、c,若 lga?lgb=lgcosB?lgcosA (1)判断△ABC 的形状; (2)若 a、b 满足:函数 y=ax+3 的图象与函数 y=

1 x?b 的图象关于直线 y=x 对称,求边长 c. 3

18. (本题满分 12 分,第(1)小题 5 分,第(2)小题 3 分,第(3)小题 4 分) 已知正三棱柱 ABC—A1B1C1,底面边长 AB=2, AB1⊥BC1,点 O、O1 分别是边 AC,A1C1 的中点,建 立如图所示的空间直角坐标系. (Ⅰ)求正三棱柱的侧棱长. (Ⅱ)若 M 为 BC1 的中点,试用基向量

AA1 、 AB 、 AC 表示向量 AM ;
(Ⅲ)求异面直线 AM 与 BC 所成角.

19. (本题满分 12 分第(1) ,小题 4 分,第(2)小题 10 分) 双曲线 3x2?y2=1 与直线 ax?y+1=0 相交于 A、B 两点. (1)求 a 的取值范围;(2)a 为何值时,∠AOB>900 (其中 O 为原点);

20. (本题满分 16 分第(1) ,小题 8 分,第(2)小题 8 分。 ) 设 M(k)是满足不等式 log 25 x + log 25 26 × 25k ?1 ? x ≥ 2k ? 1 的正整数 x 的个数,记 S=M(1)+M(2)+…+M(n) n∈ N .

(

)

(1)求 S;(2)设 t=5n?2+5n+2+n?2 (n ∈ N ),试比较 S 与 t 的大小.

21 (本小题满分 16 分) 程先生买了一套总价为 80 万元住房,首付 30 万元,其余 50 万元向银行申请贷款,贷 款月利率 0.5%,从贷款后的第一个月后开始还款,每月还款数额相等,30 年还清。问程先生 每月应还款多少元(精确到 0.01 元) (注:如果上个月欠银行贷款 a 元,则一个月后,程先生应还给银行固定数额 x 元,此时 贷款余额为 a(1+0.5%)-x 元)

22. (本题满分 18 分,第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分) 如果实系数 a1、b1、c1 和 a2、b2、c2 都是非零常数. (1)设不等式 a1x2+b1x+c1>0 和 a2x2+b2x+c2>0 的解集分别是 A、B,试问 A=B 的什么条件?并说明理由。 (2)在实数集中,方程 a1x2+b1x+c1=0 和 a2x2+b2x+c2=0 的解集分别为 A 和 B,试问

a1 b1 c1 = = 是 a 2 b 2 c2

a1 b1 c1 = = 是 A=B 的什么条件?并说明理由。 a 2 b 2 c2
(3)在复数集中,方程 a1x2+b1x+c1=0 和 a2x2+b2x+c2=0 的解集分别为 A 和 B, 证明:

a1 b1 c1 = = 是 A=B 的充要条件; a 2 b 2 c2

参考答案 一 填空题(每题 4 分,共 48 分)

3 1. [ , 3] 2
4 y= - 5

2.

q 2n ? 1 a 2 q(q 2 n ? q 2 n ?2 )
6

3 30

( - ∞,0)∪(1,2)

5. 1330

7.

6 3

8.

(0,

3 3 )∪( ,3) 2 2

9

13 396
6

10

4 2

11

600

12

二 选择题(每题 4 分,共 16 分) 13 C 14 A 15 A 16 C

三 解答题(本题共 86 分) 17 (1) 由 lg

a cos B a cos B sin A = lg 得 = = , 于是 b cos A b cos A sin B
………………………………………… 4分

sin2A=sin2B

所以三角形 ABC 为等腰三角形或直角三角形。 ……………… 6 分 ( 2 ) 因 为 y=ax+3 的 反 函 数 y = b=1 从而 c = 10

1 1 3 x? 与 函 数 y = x ? b 重 合 , 所 以 a=3, a a 3

…………………………………………… 10 分 ………………………………………… 12 分

18 (1)设侧棱长为 b,则 A(0,-1,0), B1( 3 ,0,b), B( 3 ,0,0), C1(0,1,b)

AB1 ={ 3 ,1,b}, BC1 ={- 3 ,1,b}
∵ (2) AB1 ⊥AB1 ∴

…………………………3 分 -3+1+b2=0, b=

2 …………5 分

AM =

1 ( AA1 + AB + AC ) 2

…………………… 8 分

(3) 设异面直线 AM 与 BC 所成角为α,

BC = {? 3 ,1,0} ,
BC ? AM = ?

AM = {

3 3 2 , , } 2 2 2
0

………… 10 分

3 3 + + 0 = 0, 2 2



α=90 …………… 12 分

19 (1)把直线方程 y=ax+1 代入双曲线方程得 (3-a2)x2-2ax-2=0 ?=24-4a2>0 ∴ a∈( ? 6, 6 )且a ≠ ± 3 …………… 4 分

(2)因为∠AOB>900,所以原点在以 AB 为直径的圆外,AB 中点( 圆方程为 ( x ?

a 3 , ) 2 3 ? a 3 ? a2
………………7 分

a 2 3 2 24 ? 4a 2 ) + (y ? ) = (1 + a 2 ) 3 ? a2 3 ? a2 4(3 ? a 2 ) 2 ( a 2 3 2 24 ? 4a 2 ) +( ) > (1+a2) 3 ? a2 3 ? a2 4(3 ? a 2 ) 2
4(a2+9)>(24-4a2)(1+a2) 1<a2<3

∴ 即 得 所以 20 (1) 化简得

………………10 分

a ∈ (? 3 ,?1) ∪ (1, 3 )
x2-26?25k-1x+252k-1≤0 ∴ ∴ 25k-1≤x≤25k M(k)=25k-25k-1+1
n n-1 n

…………12 分

………………3 分 ………………5 分

S=(251-250+1)+(252-251+1)+ …+(25 -25 +1)=25 +n-1………………8 分 (2) 要 只要 即 S-t= (52n-

626 n 1 ? 5 + 1 = (5 n ? )(5 n ? 25) > 0 25 25 1 5n>25 或 5n< 25
n>2 或 n<-2

…………11 分

……………13 分 …………16 分

∴ 当 n>2 时 s>t ; 当 n=2 时 s=t; 当 n=1 时 s<t

21 设程先生在第 n 个月时还欠银行贷款 an 万元,每月固定还款 x 万元,则 an=an-1(1+0.5%)-x,a0=50 an+k=1.005(an-1+k) an=1.005an-1+0.005k 所以 k=-200x, { an-200x }是公比为 1.005 的等比数列 即 由 a360=0 得 an-200x=(a0-200x)?1.005n. 0-200x=(50-200x) ?1.005360. ……………13 分 ……………8 分 ……………5 分

利用计算器可以求得 x=0.299775 万元,即每月还款 2997.75 元………16 分

22 (1)

a1 b1 c1 = = 是 A=B 的既不充分也不必要条件。 a 2 b 2 c2

………2 分

若 a=b=c=1, a1=b1=c1= -1,则 A≠B 若 A=B=Φ,则两个不等式的系数之间没有关系。 (2)

………4 分 ………6 分 ………8 分

a1 b1 c1 = = 是 A=B 的充分也不必要条件 a 2 b 2 c2

若 A=B=Φ,则两个方程的系数之间没有关系。

………10 分

由于两个方程的系数对应成比例,所以两个方程式同解方程。………12 分 (3)

a1 b1 c1 = = 是 A=B 的充要条件 a 2 b 2 c2

………14 分

由于两个方程的系数对应成比例,所以两个方程是同解方程。充分性得证。………16 分 由韦达定理可以证明必要性。………18 分

上海市上海中学高三综合练习(七) (数学)
班级___________ 学号_______ 姓名_______________ 成绩________ 编辑:卢立臻
二. 填空题 1.满足{1,2} U M = {1, 2, 3} 的所有集合 M 有___________个 2.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 a2 + a5 + a8 = 15 ,则 S9 等于____________ 3.已知 sin( α ? π ) = 7 2 , cos 2 α = 7 , 求 sin α = ________
4 10 25

4.已知 tan a , cot a 分别是关于 x 的二次方程 x 2 + px + q = 0 ( p > 0, q > 0) 的两实根的等差中项 和等比中项,则 p, q 满足的关系式为 . 5.已知 m∈R,复数 z=m +4m+3+(m +2m-3)i ,当 m=
1

2

2

时,z 是纯虚数 。

6、若集合 A={ x y = 3 1? x },B={ x s =

2 x ? 1 }, 则 A ∩ B =

7.设有编号为 1,2,3,4,5 的五个球和编号为 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将这五个球 放入 5 个盒子内只有一个盒子空着,共有____________种投放方法? 8、函数 y=x2-3x(x<1)的反函数是___________________ 9、已知 f(x)=log x,则不等式[f(x)] >f(x )的解集为_______________________________
1 2

2

2

10. 下列命题中的真命题为______________________ (1) 复平面中满足|z-2|-|z+2|=1 的复数 z 的轨迹是双曲线。 (2) 当 a 在实数集R中变化时,复数 z = a 2 + ai 在复平面中的轨迹是一条抛物线。 (3)已知函数 y = f ( x), x ∈ R + 和数列 an = f ( n), n ∈ N ,则 “数列 an = f ( n), n ∈ N 递增” 是“函数 y = f ( x), x ∈ R + 递增”的必要非充分条件。 (4)在平面直角坐标系 xoy 中,将方程 g ( x, y ) = 0 对应曲线按向量(1,2)平移,得到的新曲线 的方程为 g ( x ? 1, y ? 2) = 0 。 (5) 设平面直角坐标系 xoy 中方程 F(x,y)=0 表示一个椭圆,则总存在实常数 p、q,使得方程 F(px , qy)=0 表示一个圆。 11. 若 f (n) 为 n 2 + 1 的各位数字之和 (n ∈ N? ) .如:因为 142 + 1 = 197, 1 + 9 + 7 = 17 ,所以
f (14) = 17 .记 f1 (n) = f (n) , f 2 (n) = f ( f1 (n)) ,……, f k +1 (n) = f ( f k (n)) ,k ∈ N? ,则 f 2005 (8)




x2 y2 + = 1 9 4

12.设直线 l 过点 P(0,3) ,和椭圆 的取值范围_______. 二.选择题

交于 A、B 两点(A 在 B 上方),试求 | A P |
| PB |

13、函数 y=logax 当 x>2 时恒有 y >1,则 a 的取值范围是( ) (A) 1 ≤ a ≤ 2 且 a ≠ 1
2

(B) 0 < a ≤ 1 或 1 < a ≤ 2
2

(C) 1 < a ≤ 2

(D) a ≥ 1 或 0 < a ≤ 1

2

14. (| x | + 1 ? 2 ) 3 展开式中的常数项是___________
|x|

(A)5
x

(B)-5
x

(C)-20

(D)20 ( )

15.函数 y = xa (0 < a < 1) 的图象的大致形状是

A B C D 2 16.已知二次函数 y=a(a+1)x -(2a+1)x+1,当 a=1,2,…,n,…时,其抛物线在 x 轴上 截得的线段长依次为 d1,d2,…,dn,…,则 lim (d1+d2+…+dn)的值是(
n →∞

)

A 1 三. 解答题

B 2
2

C 3

D 4

17.若α,β是实系数方程 x +x+p=0 的二根,|α-β| =3,则求实数 p 的值及方程的根。

18.已知 ? π < x < 0 , sin x + cos x = 1 。
2 5

(I)求 sinx-cosx 的值; (Ⅱ)求
3 sin
2

x x x ? 2 sin cos + cos 2 2 2 tan x + cot x

2

x 2 的值。

19. 如图, 几何体 ABCDE 中, △ABC 是正三角形, 和 DC 都垂直于平面 ABC, EA=AB=2a, EA 且 DC=a,F、G 分别为 EB 和 AB 的中点. (1)求证:FD∥平面 ABC; (2) 求二面角 B—FC—G 的正切值.

20. 某县一中计划把一块边长为 20 米的等边三角形 ABC 的边 角地辟为植物新品种实验基地, 图中 DE 需把基地分成面积相 等的两部分,D 在 AB 上,E 在 AC 上. (1)设 AD=x(x≥10),ED=y,试用 x 表示 y 的函数关系式; (2)如果 DE 是灌溉输水管道的位置,为了节约,则希望它 最短,DE 的位置应该在哪里?如果 DE 是参观线路,则希望 它最长,DE 的位置又应该在哪里?说明理由

C E

y

A

x D

B

21.已知数列{an}满足条件:a1=1,a2=r(r>0),且{anan+1}是公比为 q(q>0)的等比数列, 设 bn=a2n-1+a2n(n=1,2,…). (1)求出使不等式 anan+1+an+1an+2>an+2an+3(n∈N*)成立的 q 的取值范围; (2)求 bn 和 lim

1 ,其中 Sn=b1+b2+…+bn; n →∞ S n
log 2 bn +1 1 ,求数列{ }的最大项和最小项的值 2 log 2 bn

(3)设 r=219.2-1,q=

22. 已知复数 z1 = m + ni ( m, n ∈ R ) , z = x + yi ( x, y ∈ R ) , z2 = 2 + 4i 且 z = z1i ? z2 , (1)若复数 z1 对应的点 M ( m, n) 在曲线 y = ?

1 2 ( x + 3) ? 1 上运动,求复数 z 所对应的点 2

P ( x, y ) 的轨迹方程;
(2) 将(1)中的轨迹上每一点按向量 a = ( ,1) 方向平移

r

3 2

13 个单位,得到新的轨迹 C ,求 C 2

的轨迹方程; (3) 过轨迹 C 上任意一点 A(异于顶点)作其切线,交 y 轴于点 B,求证:以线段 AB 为直径 的圆恒过一定点,并求出此定点的坐标。

答案及错误率 一.填空题 1. 4 (0)
2 2

2.

45

(0) (0.11) 7.

3.

0.6 1200

(0.14) (0.22)

4. 8.

p q = 2, p ? 4q ≥ 0 (0.83)
5. -1 (0.08) 6. [ 1 ,1) ∪ (1, +∞) 2

3 ? x + 9 ( x > ?2) (0.14) 4 2 1 9. (0, ) ∪ (1, +∞) (0.22) 10.(2)(3)(4) (0.53) 11. 4
y=
二.选择题 13.A (0.03) 三.解答题 14.C ( 0.03) 15.D

11 (0.17)

12. [ ,1) (0.22)

1 5

(0.03) 16.A (0.03)

17. p = ?2, x1 = ?2, x2 = 1; p = 18. (1) ? 19.

7 5

(2)

?108 (0.08) 125

5 ?1 + 3i ?1 ? 3i , x1 = , x2 = (0.07) 2 2 2

2 3 3

(0.06)

20. (0.03)

(1) y = x 2 +

40000 ? 200,10 ≤ x ≤ 20, (2)最大值10 3(x=10 or 20),最小值10 2 ( x = 10 2) x2

?1 ? q 1+ 5 1 ? n ?1 21.(1) 0 < q < (2) bn = (1 + r ) q , lim = ?1 + r x →∞ s 2 n ? 0 ?
(3)最大项 2.25 , 22.(1) ( y + 1) = 2( x + 1)
2

0 < q <1

q ≥1

最小项 -4 (0.14) (0.17) (0.75)

(0.33)

(2) y = 2 x ? 1 (3)定点(1,0)
2

上海市上海中学高三综合练习(八) (数学)
班级___________ 学号_______ 姓名_______________ 成绩________ 编辑:卢立臻
一、填空题 1.已知集合 A = x x = 1 , B = x ax = 1 , 若B ? A ,则 a 的值为
2

{

}

{

}

2.原命题是“已知 a,b,c,d 是实数,若 a=b,c=d,则 a+c=b+d”,则它的逆否命题是

3.已知 f ( x + 1) = ( x ? 1) 2 ( x ≤ 1), 则f

?1

( x + 1) =

.

4. 抛物线 y = x 2 ? 2 x sin α + 1 的顶点在椭圆 x 2 + my 2 = 1 上, 这样的抛物线有且只有二条, 则 m 的取值范围是 . .

5.已知函数 f ( x) = log a ( 2a ? x) 在(0,1)上是增函数,则 a 的取值范围是 6.已知 a, b不共线,且a ? b ≠ 0,若c = a ?
b

a?a a ?b

b, 则a与c 的夹角
c

?1? ?1? 7 已知实数 a, b, c满足 2 = log 1 a, ? ? = log 1 b, ? ? = log 2 c, 这三个数从小到大排列 ?2? ?2? 2 2
a

为 8.函数 y = 9

.

? x 2 + 4x ? 3 + 3 的值域为 x +1
. 已 . 知

f ( x) =

1 2 + 2
x

, 则f (?5) + f (?4) + L + f (0) + L + f (5) + f (6) =

10.有 8 本书,其中 3 本相同,其余各不相同,若有人来借书,每本书被借到的概率相同, 则借得4本书中有相同书的概率为 11.已知 ?ABC中,三边长a, b, c满足a 2 ? a ? 2b ? 2c = 0, a + 2b ? 2c + 3 = 0 ,则这个 三角形最大角的大小为 12.如果一个四面体的三个面是直角三角形,下列三角形: (1)直角三角形; (2)锐角三角 形; (3)钝角三角形; (4)等腰三角形; (5)等腰直角三角形。那么可能成为这个四 面体的第四个面是 (填上你认为正确的序号)

二、选择题 13.设 A,B 两点的坐标分别为(-1,0)(1,0) , 。条件甲:A、B、C 三点构成以∠C 为钝 角的三角形;条件乙:点 C 的坐标是方程 x + 2 y = 1( y ≠ 0) 的解,则甲是乙的:
2 2

(

) A.充分不必要条件 C. 充要条件

B.必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件

14 . 在 直 二 面 角 α ? l ? β中,A ∈ α , B ∈ β , A, B 都 不 在 l 上 , AB与α所成角为x,

AB与β 所成角为y, AB与l所成角为z,则 cos 2 x + cos 2 y + sin 2 z的值为
( ) A. 2
2

B. 2
2

C.3

D.

3
( )

15. 方程 x 1 ? y ? y 1 ? x = 1 所对应的曲线图形是:

x2 y2 16.已知椭圆 + = 1 ,过右焦点 F 做不垂直于 x 轴的弦交椭圆于 A、B 两点,AB 的垂 9 5
直平分线交 x 轴于 N,则 NF: = AB ( A. 三、解答题 17.已知函数 f ( x ) = a ( 2 cos
2

) B.

1 2

1 3

C.

2 3

D.

1 4

x + sin x) + b ( a > 0 ) 2

(1)求 f (x ) 的单调增区间;(2)当 x ∈ [0 ,π ] 时, f (x ) 值域为[3,4],求 a , b 的值。

18.已知 n 为自然数,实数 a>1,解关于 x 的不等式

log a x ? 4 log a 2 x + 12 log a 3 x ? L + n(?2)

n ?1

log a n

1 ? (?2) n x> log a ( x 2 ? a ) 3

19 . 斜 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 , 已 知 侧 面 BB1C1C 与 底 面 ABC 垂 直 且 ∠ BCA=90 ° , ∠ B1 BC = 60° , BC = BB1 =2,若二面角 A ? B1 B ? C 为 30° (1)求 AB1 与平面 BB1C1C 所成角的正切值; (2)在平面 AA1 B1 B 内找一点 P,使三棱锥 P ? BB1C 为正三棱锥,并求 P 到平面 BB1C 距离

20.如图,铁路线上 AC 段长 99km,工厂 B 到铁路的距离 BC 为 20km,现在要在 AC 上某一点 D 处,向 B 修一条公路,已知铁路每吨千米与公路每吨千米的运费之比为 λ(0<λ<1),为了使从 A 到 B 的运费最省,D 应选在离 C 距离多远处? A 99km C D 20km B

21.已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F2 在坐标轴上,焦距是实轴长的 2 倍且过点(4, - 10 ) (1)求双曲线方程;

(2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的圆上; (3)在(2)条件下,若 M F2 交双曲线另一点 N,求△F1MN 的面积.

22. 已知等差数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 T4=4,b5=6.

(1)求数列{bn}的通项公式; (2)若正整数 n1,n2,…,nt,…满足 5<n1<n2<…<nt,…且 b3,b5, b n1 , b n 2 ,…, b n t ,…成等比 数列,求数列{nt}的通项公式(t 是正整数); (3)给出命题:在公比不等于 1 的等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,若 am,am+2,am+1 成等 差数列,则 Sm,Sm+2,Sm+1 也成等差数列.试判断此命题的真假,并证明你的结论.

答案及错误率 一.填空题 1. {0,-1,1} (0.14)

2.已知 a,b,c,d 是实数,若 a+c ≠ b+d,则 a ≠ b 或 c ≠ d (0.46) 3. 2- x + 1 (0.08) 8. [ , (0.11) 4.(0,1) (0.46) 5.[0.5,1) (0.22) 6. 90 (0.06) 7.a,b,c,
°

3 9 + 17 ] (0.83) 9 . 3 2 (0.23) 1 0 . 4 8

1 ° (0.54) 1 1 . 120 (0.37) 2

1

2.(1)(2)(3)(4)(5) (0.95) 二.选择题 13.B (0.23) 14.B (0) 15.D (0.06) 16.B (0.2)

三.解答题 17. (1).[2kπ ?

3 π π , 2kπ + ], k ∈ Z 4 4

(2).a = 2 ? 1, b = 3

(0.25)

18. 当n为奇数时,( a,

1+ 1+4a 1+ 1+4a ),当n为偶数时,( ,+∞) (0.57) 2 2

19. (1). 20.

1 2

(2)

1 ( P为?ABB1的中心)(0.4) 3

当0<λ ≤

9 20λ 9 时,在离C点 处运费最省。当 <λ <1时,在A点处运费最省。(0.83) 2 11 11 1- λ

21.( ). 1

x2 y 2 ? = 1 (2).证明略 (3)12+4 3 (0.5) 6 6
t +1

22. (1).bn = 2n ? 4. (0.08) (2) nt = 3

? 2. (0.22) (3)是 (0.34)

上海市上海中学高三综合练习(九) (数学)
班级___________ 学号_______ 姓名_______________ 成绩________ 编辑:卢立臻
一.选择题 1. 已知函数 f(x)(0≤x ≤1)的图象的一段圆弧(如图所示)若 0<x1<x2<1,则( A. )

f ( x1 ) f ( x2 ) < x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) > x1 x2

B.

f ( x1 ) f ( x2 ) = x1 x2

y

C.

O D.当 x <

1

x

1 f ( x1 ) f ( x2 ) 1 f ( x1 ) f ( x2 ) 时 ,当 x ≥ 时 < > x1 x2 x1 x2 2 2

2. 已知函数 f ( x ) = 2 sin ωx在区间[ ?

π π

9 A. ? ? ∞,? ? U [6,+∞ ) ? ? ? 2?
C. (? ∞,?2] U [6,+∞ )

, ] 上的最小值为-2,则 ω 的取值范围是( 3 4 9? ?3 ? ? B. ? ? ∞,? ? U ? ,+∞ ? 2? ?2 ? ?
D. (? ∞,?2] U ? 3 ,+∞ ? ? ?2 ? ?

)

3. 如果数列{an}满足:首项 a1=1 且 an +1 = ? ( )

? 2an , n为奇数, 那么下列说法中正确的是 ?an + 2 , n为偶数,

A 该数列的奇数项 a1,a3,a5,….成等比数列,偶数项 a2,a4,a6,….成等差数列 B 该数列的奇数项 a1,a3,a5,….成等差数列,偶数项项 a2,a4,a6,….成等比数列 C 该数列的奇数项 a1,a3,a5,….分别加 4 后构成一个公比为 2 的等比数列 D 该数列的偶数项项 a2,a4,a6,….分别加 4 后构成一个公比为 2 的等比数列 4. 点 O 为△ABC 内一点,且存在正数 λ1 , λ 2 , λ3 使λ1 OA + λ 2 OB + λ3 OC = 0 ,设△AOB, △AOC 的面积分别为 S1、S2,则 S1:S2= ( ) A.λ1:λ2 B.λ2:λ3 C.λ3:λ2 D.λ2:λ1 二.填空题 2 5. 已知方程 x +(1+a)x+4+a=0 的两根为 x1,x2,且 0<x1<1<x2,则 a 的取值范围是_______. 6. 已知函数 f ( x) = a log 2 x + b log 3 x + 2且f ( 7. 已知 {a n }为等差数列, 若

1 ) = 4, 则f (2008) 的值为=_______ 2008

a11 < ?1, 且它的前n项和S n 有最大值,那么当 Sn 取得最小正 a10

值时,n =___________ 8. 一单位正方体形积木,平放在桌面上,在其上放置 5 个小正方体形积木摆成塔形,其中 上面正方体中下底的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点,则 6 个正方体暴露

在外面部分的面积和为

.

9. 已知函数 f ( x ) = A sin(ωx + ? ), ( A > 0, ω > 0,0 ≤ ? ≤ π ) 的部分图象如图所示, 记

∑ f (i) =
i =1

n

f (1) + f (2) + L + f (n), 则 ∑ f (i ) 的值为
i =1

27

2

10. 在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件首饰是 由 6 颗珠宝构成如图 1 所示的正六边形, 第三件首饰是由 15 颗珠宝构成如图 2 所示的正六 边形, 第四件首饰是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示的正六边形, 第五件首饰是由 45 颗珠宝构 成如图 4 所示的正六边形, 以 后 每 件 首 饰 都 在 前 一 件 上 ,按 照 这 种 规 律 增 加 一 定 数 量 的 珠 宝 ,使 它 构 成 更 大 的 正 六 边形 ,依 此 推 断 第 6 件 首饰上应有_____ ___颗珠宝;则前 n 件 首 饰 所 用 珠 宝 总 数 为 ____________颗.(结果用 n 表示)

图1

图2 图3 图4

11. 已知复数 z = a + bi ( a, b ∈ R ), 且 | z |= 相等,则 u=______ 12. 定 义 max {a, b} = ?

2 ,又 (1 ? i )u = (1 + i ) z ,而 u 的实部和虚部

?a ?b

a≥b a<b

, 设 实 数 x,y 满 足 约 束 条 件 ?

?x ≤2 ? ?y ≤2 ?



z = max {4 x + y,3x ? y} ,则 z 的取值范围是_____________.
13. 已知函数 f(x)=?x-a?x+b, 给出下列命题: ①当 a=0 时, f(x)的图像关于点(0,b)成中心对称; ②当 x>a 时,f(x)是递增函数;③f(x)=0 至多有两个实数根;④当 0≤x≤a 时,f(x)的最大值为 a 2 + b ,其中正确的序号是___ ____. 4 14. F1、F2 是双曲线

x2 y2 ? = 1 的两个焦点,P 为双曲线上一点, PF1 ? PF2 = 0 ,且△ 4a a

F1PF2 的面积为 1,则 a 的值是 15. 平面上有相异的 11 个点, 每两点连成一条直线, 共得 48 条直线, 则任取其中的三个点,

构成三角形的概率是_________ 16. 已知,f(1,1)=1,f(m,n)∈N* (m,n∈N*)且对任意 m,n∈N*都有①f(m,n+1)=f(m,n)+2; ②f(m+1, 1)=2f(m,1).则 f(2007,2008)的值=____________ 三. 解答题 17. 已知函数 f ( x ) = 2 sin (
2

π
4

+ x) ? 3 cos 2 x ? 1, x ∈ R.

(1)若函数 h( x ) = f ( x + t )的图象关于点( ? (2)设 p : x ∈ [

π
6

,0)对称, 且t ∈ (0, π ), 求t的值.

π π

, ], q :| f ( x) ? m |< 3.若p是q 的充分条件,求实数 m 的取值范围。 4 2

18. 如图: PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,PA=AB=1, PD 与平面 ABCD 所成的角是 30° ,点 F 是 PB 的中点,点 E 在 边 BC 上移动. (1)当点 E 为 BC 的中点时,试判断 EF 与平面 PAC 的位置关 系,并求出 EF 到平面 PAC 的距离; (2)命题: “不论点 E 在边 BC 上何处,都有 PE⊥AF” ,是否成 立,并说明理由。

P F A E D
C

B

19. 已知定点 A(0,1) ,B(0,-1) ,C(1,0) .动点 P 满足: AP ? BP = k | PC | .
2

(1)求动点 P 轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型; (2)当 k=2 时,求 | 2 AP + BP | 的最大、最小值.

uuu uuu r r

20. 阳光商场节日期间为促销,采取“满一百送三十,连环送”的酬宾方式,即顾客在店内 花钱满 100 元(这 100 元可以是现金,也可以是奖励券,或二者合计) ,就送 30 元奖励券 (奖励券不能兑换现金) ;满 200 元就送 60 元奖励券…… (注意:必须满 100 元才送奖励券 30 元,花费超过 100 元不足 200 元也只能得 30 元奖励 券,以此类推) 。 (1)按这种酬宾方式,一位顾客只用 7000 元现金在阳光商场最多能购回多少元钱的货物? (2)在一般情况下,顾客有 a 元现金,而同时新世纪百货在进行 7 折优惠活动,即每件商品 按原价的 70%出售,试问该顾客在哪个商场购物才能获得更多优惠?

21. 已 知 一 次 函 数 f(x) 的 图 象 关 于 直 线 x-y=0 对 称 的 图 象 为 C , 且 f(f(1))=-1 , 若 点

? a ? a a * ?n, n+1 ? n ∈ N 在曲线 C 上,并有 a1 = 1, n+1 ? n = 1(n ≥ 2) . an ? an an?1 ?

(

)

(1)求 f(x)的解析式及曲线 C 的方程; (2)求数列{an}的通项公式; (3)设 S n =

a1 a 2 a 3 an + + +…+ ,求 lim S n 的值. n →∞ 3! 4! 5! (n + 2)!




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