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人教A版高中数学必修1第二章基本初等函数单元测试题(含参考答案)


诺成教育

高一数学单元测试题 第二章《基本初等函数》
姓名 一.选择题. (每小题 5 分,共 50 分) n a 1. m ? 0 , ? 0 , ? 0 且 a ? 1 , 若 则下列等式中正确的是
1

得分 ( )

A. ( a ) ? a
m n

m?n

B. a m ?

1 a
m

4

C. lo g a m ? lo g a n ? lo g a ( m ? n )

D. m n ? ( m n ) 3
3 4 4

2. 函数 y ? lo g a (3 x ? 2 ) ? 2 的图象必过定点 A. (1, 2 ) B. ( 2 , 2 ) C. ( 2 , 3)
2 2

( D. ( , 2 )
3 2

)

3. 已知幂函数 y ? f ( x ) 的图象过点 ( 2 ,

) , f () 则 4
1 2

的值为





A. 1
0 ,) 4. x ? (1 若

B. 2 , 则下列结论正确的是
1 1

C.

D. 8 (
1 1 x


x

A. 2 ? lg x ? x 2
x

B. 2 ? x 2 ? lg x
x

C. x 2 ? 2 ? lg x

D.lg x ? x 2 ? 2 (

5. 函数 y ? lo g ( x ? 2 ) (5 ? x ) 的定义域是 A. (3, 4 ) B. ( 2 , 5 ) C. ( 2, 3) ? (3, 5) D. ( ? ? , 2 ) ? (5, ? ? )



6.某商品价格前两年每年提高 1 0 % ,后两年每年降低 1 0 % ,则四年后的价格与原来价格比 较, 变化的情况是 ( ) A.减少 1 .9 9 % B.增加 1.99% C.减少 4 % D.不增不减 7. 10 若0 A. 0
a

5? 1 , 0

2

b

?

, 2a ? b ? 则 C. 2
x 2

( D. 3 ( C.既奇且偶函数 D.非奇非偶函数 ( D. ( ? ? , 0 )



B. 1
x

8.函数 f ( x ) ? lg (1 0 ? 1) ? A.奇函数
2





B.偶函数

9. 函数 y ? lo g a ( x ? 2 x ) (0 ? a ? 1) 的单调递增区间是 A. (1, ? ? ) B. ( 2 , ? ? ) C. ( ? ? ,1)



10. y ? lo g 2 ( 2 ? a x ) ( a ? 0 且 a ? 1 )在 [0 ,1] 上是 x 的减函数, a 的取值范围是 ( 若 则 A. (0 ,1) B. ( 0 , 2 ) C. (1, 2 )
1



D. [ 2, ? ? )

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二.填空题.(每小题 5 分,共 25 分) 11.计算: lo g 4 2 7 ? lo g 5 8 ? lo g 9 6 2 5 ? 12.已知函数 f ( x ) ? ?
( ? lo g 3 x, x > 0 ) ? 2 , ( x ? 0)
x


1

,则 f [ f ( )] ?
3



13.若 f ( x ) ? a ln ( x ? 1 ? x ) ? b x ? 2 ,且 f ( 2 ) ? 5 ,则 f ( ? 2 ) ?
2 3

. .

14. 若函数 f ( x ) ? lo g a x (0 ? a ? 1) 在区间 [ a , 2 a ] 上的最大值是最小值的 3 倍, a = 则 15.已知 0 ? a ? 1 ,给出下列四个关于自变量 x 的函数:
1

① y ? lo g x a ,② y ? lo g a x , ③ y ? (lo g 1 x )
2
a

3

④ y ? (lo g 1 x ) 2 .
a

其中在定义域内是增函数的有 三.解答题(6 小题,共 75 分) 16.(12 分)计算下列各式的值:
4



(Ⅰ) ( 3 2 ?

3 ) ? (2 ?
6

2)3 ? 4 ? (

16 49

?

1 2

)

?

4

2 ?8

0 .2 5



(Ⅱ) ln ( e e ) ? lo g 2 (lo g 3 8 1) ? 2

1 ? lo g 2 3

?

lo g lo g 9

3

2 ? 2 lo g 3 5 ? 1 3 lo g 3 1 2 5

1 4



17. 12 分)已知函数方程 x ? 8 x ? 4 ? 0 的两根为 x1 、 x 2 ( x1 ? x 2 ) ( .
2

2

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(Ⅰ)求 x1

?2

? x2

?2

的值;

(Ⅱ)求 x1

?

1 2

? x2

?

1 2

的值.

18.(共 12 分)(Ⅰ)解不等式 a

2 x ?1

1 x?2 ? ( ) a

(a ? 0且 a ? 1) .

(Ⅱ) 设集合 S ? { x | lo g 2 ( x ? 2 ) ? 2} , 集合 T ? { y | y ? ( ) ? 1, x ? ? 2} 求 S ? T ,S ? T .
x

1

2

19. 12 分) 设函数 (
1 4

? 2 f (x) ? ? ? lo g 4 x

?x

x ?1 x ?1



(Ⅰ)求方程 f ( x ) ?

的解.

(Ⅱ)求不等式 f ( x ) ? 2 的解集.

20. 13 分)设函数 f ( x ) ? lo g 2 ( 4 x ) ? lo g 2 ( 2 x ) 的定义域为 [ , 4 ] , (
4
3

1

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(Ⅰ)若 t ? log

2

x ,求 t 的取值范围;

(Ⅱ)求 y ? f ( x ) 的最大值与最小值,并求出最值时对应的 x 的值.

21. (14 分)已知定义域为 R 的函数 f ( x ) ? (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)证明函数 f ? x ? 在 R 上是减函数;

?2 ? b
x

2

x ?1

?2

是奇函数.

(Ⅲ)若对任意的 t ? R ,不等式 f ( t ? 2 t ) ? f ( 2 t ? k ) ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.
2 2

4

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参考答案
一.选择题 题号 答案 二.填空题. 11. 9 . 三.解答题: 16. (Ⅰ) 解:原式 ? 4 ? 2 7 ? 2 ? 7 ? 2 ? 1 0 1 . . (Ⅱ)解:原式 ?
3 2 ? 2 ? 2?3? lo g 3 ( 4 ? 2 5 ) lo g 3 ( 1 2 ? 1 5 ) ? 3 2 ? 2 ? 2?3? 2 ? 15 2

1 D

2 A

3 C

4 B

5 C

6 A

7 B

8 B

9 D

10 C

12.

1 2



13. 1 .

14.

2 4



15. ③,④.



17. 解:由条件得: x1 ? 4 ? 2 3 , x 2 ? 4 ? 2 3 . (Ⅰ) x1
?2

? x2

?2

? (

1 x1

?

1 x2

)(

1 x1

?

1 x2

)?

( x1 ? x 2 )( x 2 ? x1 ) ( x1 x 2 )
2

?

8? 4 3 16

? 2 3 .

(Ⅱ) x1

?

1 2

? x2

?

1 2

?

1 4?2 3

?

1 4?2 3

?

1 3 ?1

?

1 3 ?1

?1.

18.解: (Ⅰ)原不等式可化为: a

2 x ?1

? a

2? x



当 a ? 1 时, 2 x ? 1 ? 2 ? x ? x ? 1 .原不等式解集为 (1, ? ? ) . 当 a ? 1 时, 2 x ? 1 ? 2 ? x ? x ? 1 .原不等式解集为 ( ? ? ,1) . (Ⅱ)由题设得: S ? { x | 0 ? x ? 2 ? 4} ? ( ? 2, 2 ] , T ? { y | ? 1 ? y ? ( )
2 1
?2

? 1} ? ( ? 1, 3] .

∴ S ? T ? ( ? 1, 2 ] , S ? T ? ( ? 2, 3] .
?x ?1 ? f (x) ? ? ? ?x 1 4 ?2 ? 4 ? 1
1 4

19.解: (Ⅰ)

?x ? 1 ? (无解)或 ? 1 ? x ? ? lo g 4 x ? ? 4

2 .

∴方程 f ( x ) ?

的解为 x ?
?x ?1 ?2
?x

2 .
?x ? 1 ?x ?1 ? ? 或? . ? x ? 16 ? lo g x 4 ? 2 ? x ? ?1
?x ?1

(Ⅱ) f ( x ) ? 2 ? ?

? 2

或?

? ? 1 ? x ? 1 或1 ? x ? 1 6 即 ? 1 ? x ? 1 6 .
5

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∴不等式 f ( x ) ? 2 的解集为: [ ? 1,1 6 ] . 20.解: (Ⅰ) t 的取值范围为区间 [lo g 2
1 4 , lo g 2 4 ] ? [ ? 2 , 2 ] .

(Ⅱ)记 y ? f ( x ) ? (lo g 2 x ? 2 )(lo g 2 x ? 1) ? ( t ? 2 )( t ? 1) ? g ( t ) ∵ y ? g (t ) ? (t ?
3 2 ) ?
2

(?2 ? t ? 2) .
, 2 ] 是增函数

1 4

在区间 [ ? 2 , ?
? 3 2

3 2

] 是减函数,在区间 [ ?

3 2

∴当 t ? lo g 2 x ? ?

3 2

即x ? 2
2

?

2 4

时, y ? f ( x ) 有最小值 f (

2 4

) ? g (?

3 2

)? ?

1 4



当 t ? lo g 2 x ? 2 即 x ? 2 ? 4 时, y ? f ( x ) 有最大值 f ( 4 ) ? g ( 2 ) ? 1 2 . 21.解: (Ⅰ)∵ f ? x ? 是奇函数,所以 f ( 0 ) ? (Ⅱ)由(1)知 f ( x ) ? ?
2 ?1
x

1? b 4

? 0 ? b ? 1 (经检验符合题设) .

2 ( 2 ? 1)
x

.对 ? x1 , x 2 ? R ,当 x1 ? x 2 时,总有

2

x2

? 2

x1

? 0, ( 2

x1

? 1)( 2

x2

? 1) ? 0 .
x1 x1

∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) .

1 2

?(

2 2

?1 ?1

?

2 2

x2 x2

?1 ?1

)?

1

?

2
x1

x2

?2

x1

2 (2

? 1)( 2

x2

? 1)

? 0,

∴函数 f ? x ? 在 R 上是减函数. (Ⅲ)∵函数 f ( x ) 是奇函数且在 R 上是减函数, ∴ f (t ? 2 t ) ? f ( 2 t ? k ) ? 0 ? f (t ? 2 t ) ? ? f ( 2 t ? k ) ? f ( k ? 2 t ) .
2 2 2 2 2

? t ? 2 t ? k ? 2 t ? k ? 3 t ? 2 t ? 3( t ?
2 2 2

1 3

) ?
2

1 3

. (*)

对于 ? t ? R (*)成立 ? k ? ? ∴ k 的取值范围是 ( ? ? , ? ) .
3 1

1 3



6


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