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2011年深圳市高三年级第一次调研考试(理科)数学试题


2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

绝密★启用前

试卷类型:A

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试 年深圳市高三年级第一

数学(理 数学 理科)
本卷共 6 页,21 小题,满分 150 分. 考试时间 120 分钟. 参考公式 公式: 参考公式 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B); 若圆柱的底面积为 S,高为 h,则圆柱的体积为 V=Sh; 若锥体的底面积为 S,高为 h,则锥体的体积为 V =

2011.3

1 Sh . 3

个小题;每小题 在每小题给出的四个选项中,有且只有一项是符 一、选择题:本大题共 8 个小题 每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中 有且只有一项是符 选择题: 共 在每小题给出的四个选项中 合题目要求的. 合题目要求的 1.已知 a,b∈R,若 a+bi=(1+i ) ·i3 (i 为虚数单位),则 A.a=-1,b=1 B.a=-1,b=-1 C. a=1,b=-1 D. a=1,b=1 2.已知 p: a = “

2 ” “直线 x+y=0 与圆 x2+(y-1)2=1 相切” ,q: ,则 p 是 q 的
B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

A.充分非必要条件要 C.充要条件

3.已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 S1=1,

S S4 = 4 ,则 6 的值为 S2 S4
D. 4 y -π O πx

A.

9 4

B.

3 2
2

C.

5 4

4.如图,圆 O:x2+y2= π 内的正弦曲线 y=sinx 与 x 轴围城的 区域记为 M(图中阴影部分),随机往圆 O 内一个点 A,则 点 A 落在区域 M 内的概率是 A.

4 π2

B.

4 π3

C.

2 π2

D.

2 π3

5.在一条公路上每隔 10 公里有一个仓库,共有 5 个仓库,一号仓库存有 10 吨货物,二号仓库存有 20 吨货 物,五号仓库存有 40 吨货物,其余两个仓库是空的,现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里,若每 吨货物运输 1 公里需要 0.5 元运输费,则最少需要的运费是 10 一号 20 二号 0 三号 0 四号 40 五号 1 1 1 正(主)视图 1 1 侧(左)视图

A. 450 元 B. 500 元 C. 550 元 D. 600 元 6.一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 A. 2 B. 1

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俯视图

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

C.

2 3

D.

1 3
2

7.设平面区域 D 是由双曲线 x ?

y2 = 1 的两条渐近线和直线 6x-y-8=0 所围成三角形的边界及内部,当 4

(x,y)∈D 时,x2+y2+2x 的最大值为 A.24 B.25 C.4 D.7 8.已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数 y y =f′(x)的图像如图所示. x f(x) -1 1 0 2 4 2 5 1 -1 O 2 4 5 x

下列关于函数 f(x)的命题 : ①函数 y =f (x)是周期函数; ②函数 y =f (x)在[0,2]是减函数; ③如果当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值是 4; ④当 1<a<2]时,函数 y =f (x)-a 有 4 个零点. 其中真命题的个数有 A.4 个 B.3 个 C. 2 个 D.1 个 填空题: 个小题,每小题 本大题分必做题和选做题两部分 分必做题和选做题两部分. 二、 填空题 本大题共 7 个小题 每小题 5 分,满分 30 分,本大题分必做题和选做题两部分 满分 (一) 必做题 第 9、10、11、12、13 题为必做题,每道题考生都必作答 必做题:第 为必做题,每道题考生都必作答. 9.已知全集 U=R,集合 A 为函数 f(x)=ln(x-1) 的定义域,则?UA=_______. 10.设随机变量 X~N(1,32),且 P(X≤0)= P(X>a-6),则实数 a 的值为 ___________. 11. 在 ∴ABC 中 , 已知 a, b , c 分 别为 ∠A , ∠B , ∠C 所 对的 边 ,S 为 ∴ABC 的 面积 , 若向量

r p = (4,a 2 + b 2 ? c 2 ) , r r r q = (1 S) ,满足 p // q ,则∠C=______ . ,
12.已知命题“?x∈R,|x-a|+|x+1|≤2”是 假命题,则实数 a 的取值范围是_________. 13.已知 a 为如图所示的程序框图中输出 的结果,则二项式 (a x ? 开始 a=2,i=1 i<2011 是 否

1 6 ) 的展开 x

式中含 x2 项的系数是__________. (二) 选做题 (第 14、15 题为选做题 考生只能选做一题,两题全答的, 选做题: 第 做题,考生只能选做 考生只能选做一 两题全答的, 只计算前一题的得分) 只计算前一题的得分 14.(坐标系与参数方程 坐标系与参数方程)在极坐标系中,设 P 是直线 l:ρ(cosθ+sinθ)=4 上 坐标系与参数方程 任 一 点 , Q 是 圆 C:ρ 2=4 ρ cosθ - 3 上 任 一 点 , 则 |PQ|的 最 小 值 是 D ___________. 15.(几何证明选讲 如图,割线 PBC 经过圆心 O, 几何证明选讲) 几何证明选讲 E C P 0 B O OB=PB=1,OB 绕点 O 逆时针旋转 120 到 OD, 连 PD 交圆与点 E,则 PE=_________.
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a=

1 1? a

输出a 结束

i=i+1

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解答题 个小题,满分 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 二、 解答题: 本大题共 6 个小题 满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x) = 2 3 sin( (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若将 f(x)的图象向右平移 值.

x π x π + )co s( + ) ? sin(x + π) . 2 4 2 4 π 个单位,得到函数 g(x)的图象,求函数 g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小 6

17.(本小题满分 12 分) 第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日至 23 日在深圳举行,为了搞好接待工作,组委 会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者,调查发现,这 30 名志愿者的身高如下:(单位:cm) 男 女 9 15 7 7 8 9 9 9 8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 7 4 2 1 18 0 1 1 19 若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子”, 身高在 175cm 以下定义为“非高个子”, 且只有“女高个 子”才能担任“礼仪小姐”. (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取 5 人, 再从这 5 人中选 2 人, 则至少有一人是“高 个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ξ 表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出 ξ 的分布 列,并求 ξ 的数学期望.

18.(本小题满分 14 分) 如图,AC 是圆 O 的直径,点 B 在圆 O 上,∠BAC=300,BM⊥AC 交 AC 于点 M,EA⊥平面 ABC,FA∥EA,AC=4,EA=3,FC=1. (1)证明:EM⊥BF; (2)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值. E

F A O B M C

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19.(本小题满分 14 分) 已知点 F 是椭圆

x2 + y 2 = 1 (a>0)的右焦点,点 M(m,0)、N(0,n)分别是 x=轴、y 轴上的动点,且满 2 1+ a

足 MN ? NF = 0 .若点 P 满足 OM = 2ON + PO . (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹交于 A、B 两点,直线 OA、OB 与直线 x=-a 分别交于点 S、T(0 为 坐标原点),试判断 FS ? FT 是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.

uuuu uuu r r

uuuu r

uuur uuu r

uur uur

20.(本小题满分 14 分) 公差为 d, n 为其前 n 项和, S 且满足 an2=S2n-1, ∈N*. 数列{bn} n 已知数列{an}是各项均不为 0 的等差数列, 满足 b n =

1 ,Tn 为数列{bn}的前 n 项和. a n ? a n+1

(1)求 a1、d 和 Tn; (2)若对任意的 n∈N*,不等式 λTn<n+8(-1)n 恒成立,求实数 λ 的取值范围; (3)是否存在正整数 m,n (1<m<n),使得 T1,Tm,Tn 成等比数列?若存在,求出所有 m,n 的值;若不存 在,请说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f(x) = lnx +

a (a∈R). x +1

(1)当 a=4.5 时,如果函数 g(x)=f(x)-k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围; (2)当 a=2 时,试比较 f(x)与 1 的大小; (3)求证: ln(n +1) >

1 1 1 1 + + + ... + (n∈N*). 3 5 7 2n + 1

2011 年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)答案及评分标准
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比
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照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影 响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后续部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数,选择题和填空题不给中间分数. 一、选择题 选择题:本大题每小题 5 分,满分 40 分. 选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 B 5 B 6 C 7 A 8 D

二、填空题 填空题:本大题每小题 5 分,满分 30 分. 填空题 9.(-∞,1]; 10.8; 14. 2 ? 1 ; 11.

π ; 4

12.(-∞,-3)∪(1,+∞);

13.-192; 三、解答题 解答题: 解答题

15.

3 7 . 7

16.解:(1) f(x) = 3 sin(x +

π ) + sin x = 3co s x + sin x , 2

……2 分

1 3 π = 2( sin x + co s x) = 2 sin(x + ) . 2 2 3
所以 f(x)的最小正周期为 2π. (2)Q 将 f(x)的图象向右平移

……4 分 ……6 分

π 个单位,得到函数 g(x)的图象, 6 π π π π ∴ g(x) = f(x ? ) = 2sin[(x ? ) + ] = 2 sin(x + ) , ……8 分 6 6 3 6
∵x∈[0,π] 时, x +

π π 7π ∈[ , ] , ……9 分 6 6 6 π π π π ∴ x + = ,即 x = 时, sin(x + ) = 1 ,g(x)取得最大值 2. 6 2 3 6 π 7π π 1 = ,即 x=π时, sin(x + ) = ? , 6 6 6 2

……10 分 当x+

g(x)取得最小值-1. ……12 分 【说明】 本小题主要考查了三角函数中诱导公式、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式、三角函数的 性质和图象,以及图象变换等基础知识,考查了化归思想和数形结合思想,考查了运算能力. 17.解:(1)根据茎叶图,有“高个子”12 人,“非高个子”18 人, ……1 分

用分层抽样的方法,每个人被抽中的概率是

5 1 = , 30 6

……2 分

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所以选中的“高个子”有 12 × ……3 分

1 1 = 2 人,“非高个子”有 18 × = 3 人. 6 6

用事件 A 表示“至少有一名“高个子”被选中”,则它的对立事件 A 表示“没有一名“高个子”被选中”,则
2 C3 7 P(A) = 1 ? 2 = . C5 10

……5 分

因此,至少有一人是“高个子”的概率是 12 ×

1 = 2. 6

……6 分

(2)依题意,ξ 的取值为 0,1,2,3.

……7 分

P(ξ = 0) =

3 C8 14 C1 C2 28 C2 C1 12 = , P(ξ = 1) = 4 3 8 = , P(ξ = 2) = 4 3 8 = , 3 C12 55 C12 55 C12 55

P(ξ = 3) =

C3 1 4 = . 3 C12 55
0 1 2

……9 分

因此,ξ 的分布列如下: ξ P 3

14 55

28 55

12 55

1 55
……10 分 ……12 分

∴ Eξ = 0 ×

14 28 12 1 + 1× + 2 × + 3 × = 1 . 55 55 55 55

【说明】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数 学期望等基础知识,考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力,数据处理能力和应用意识. 18.解:(法一)(1)∵EA⊥平面 ABC ,BM? 平面 ABC,∴EA⊥BM. ……1 分 又∵BM⊥AC,EA∩AC=A, ∴BM⊥平面 ACFE,而 EM? 平面 ACFE,∴BM⊥EM. ……3 分 0 0 ∵AC 是圆 O 的直径,∴∠ABC=90 . 又∵∠BAC=30 ,AC=4, ∴ AB=2 3 ,BC=2,AM=3,CM=1. ∵EA⊥平面 ABC,FA∥EA,FC=1,∴FC ⊥平面 ABCD. ∴∴EAM 与△FCM 都是等腰直角三角形. E ∴∠EMA=∠FMC =400. ∴∠EMF=900,即 EM⊥MF (也可由勾股定理证得). ……5 分 O ∵MF∩BM=M,∴EM⊥平面 MBF. A 而 BF? 平面 MBF,∴EM⊥BF. B
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F M C

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……6 分 (2)延长 EF 交 AC 于 G,连 BG,过 C 作 CH⊥BG,连结 FH. 由(1)知 DC⊥平面 ABC,BG? 平面 ABC, ∴FC⊥BG . 而 FC∩CH=C,∴ BG⊥平面 FCH. ∵FH ? 平面 FCH,∴FH⊥BG, ∴∠FHC 为平面 BEF 与平面 ABC 所成的 E 二面角的平面角. ……8 分 在 Rt△ABC 中,∵∠BAC=300,AC=4, ∴BM=ABsin30 = 3 . 由 FC:EA=GC:GA=1:3,得 GC=2. B ∵ BG= BM +MG = 2 3 . 又∵△GCH∽△GBM,
2 2

F A O M C H G

0

∴GC:BG=CH:BM,则 CH=

GC ? BM 2 × 3 = = 1. BG 2 3

……11 分

∴△FCH 是等腰直角三角形,∠FCH=450. ∴平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 (法二)(1)同法一,得 AM=3, BM = 3 .

2 . 2

……12 分

……3 分

如图,以 A 为坐标原点,垂直于 AC、AC、AE 所在的直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系.由已知条 件得 A(0,0,0),M(0,3,0),E(0,0,3),B( z3 ,3,0),F(0,4,1),

? 3) 1 1) ∴ ME = (0, 3, , BF = ( ? 3, , .
……4 分 由 ME ? BF = (0, 3, ? 3, , = 0 , ? 3)( 1 1)

uuur

uuu r

E

uuur uuu r

F A x E z O B M C y

uuur uuu r 得 ME ⊥ BF ,∴EM⊥BF. uuu r

……6 分

(2)由(1)知 BE = (? 3,? 3, , 3)

uuu r BF = (? 3, , . 1 1) r 设平面 BEF 的法向量为 n = (x, , , y z)
x A O B M

F C y

r uuu r r uuu r ?? 3x ? 3y+ 3z=0 ? 由 n ? BE = 0, ? BF = 0 ,得 ? n , ? 3x + y+ z=0 ? ? r 令 x = 3 得 y=1,z=2,∴ n = ( 3, , , 1 2)

……9 分

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由已知 EA⊥平面 ABC,所以取面 ABC 的法向量为 AE = (0, 3) , 0, 设平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角为 θ,

uuu r

AE >|= 则 cos θ =| cos < n,

r uuu r

3 × 0 + 1× 0+ 2 × 3 2 = , 2 3× 2 2

……11 分

∴平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为

2 . ……12 分 2

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,考查应用向量知识解决数学问题的 能力,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.

x2 19.解:(1)∵椭圆 + y 2 = 1 (a>0)右焦点 F 的坐标为(a,0),……1 分 2 1+ a
∴ NF = (a, n) , ? ∵ MN = ( ? m,n) ,∴由 MN ? NF = 0 ,得 n2+am=0. 设点 P 的坐标为(x,y),由 OM = 2ON + PO ,

uuu r

uuuu r

uuuu uuu r r uuuu r

……3 分

uuur uuu r

?m = ? x ? 2 2 有(m,0)=2(0,n)+(-x,-y), ? y 代入 n +am=0,得 y =4ax. ?n = 2 ?
……5 分 (2)(法一)设直线 AB 的方程为 x=ty+a, A(
2 y1 y2 ,y1 ) 、 B( 2 ,y 2 ) , 4a 4a

则 lOA: y =

4a 4a x ,lOB: y = x. y1 y2

……6 分

4a ? x 4a 2 4a 2 ?y = y1 ,得 S(?a, 由? ? ) , 同理得 T(?a, ? ). y1 y2 ? x = ?a ?
∴ FS=( ?2a, ?

……8 分

uur

uur 4a 2 4a 2 ) , FT=(?2a, ? ), y1 y2
4a 2 4a 2 16a 4 )(?2a, ? ) = 4a 2 + . y1 y2 y1 y 2
……9 分

则 FS ? FT=( ?2a, ?

uur uur

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由?

? x = ty + a ? y = 4ax
uur uur
2

,得 y2-4aty-4a2=0,∴y1y2=-4a2.

……11 分

则 FS ? FT=4a +
2

16a 4 = 4a 2 ? 4a 2 = 0 . 2 ?4a

……13 分

因此, FS ? FT 的值是定值,且定值为 0.

uur uur

……14 分

(法二)①当 AB⊥x 时,A(a,2a),B(a,-2a),则 lOA: y=2x, lOB: y=-2x. 由?

uur ? y = 2x 得点 S 的坐标为 S(-a,-2a),则 FS=( ?2a, 2a) . ? ? x = ?a uur ? y = ?2x 得点 T 的坐标为 T(-a,2a),则 FT=(?2a, . 2a) ? x = ?a uur uur
……7 分

由?

∴ FS ? FT=( ?2a, 2a)( ?2a, = 4a 2 ? 4a 2 = 0 . ? 2a) ②当 AB 不垂直 x 轴时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-a)(k≠0),

A(

2 uur uur y1 y2 16a 4 ,y1 ) 、 B( 2 ,y 2 ) ,同解法一,得 FS ? FT=4a 2 + . ……10 分 4a 4a y1 y 2

由?

? y = k(x ? a)
2 ? y = 4ax

,得 ky2-4ay-4ka2=0,∴y1y2=-4a2.

……11 分

则 FS ? FT=4a +
2

uur uur

16a 4 = 4a 2 ? 4a 2 = 0 . ?4a 2

……13 分

因此, FS ? FT 的值是定值,且定值为 0.

uur uur

……14 分

【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量、直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查学生运算能 力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力,考查数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想. 20.解:(1)(法一)在 an2=S2n-1,中,令 n=1,n=2,得
2 2 ?a1 = S1 ?a1 = a1 ? ? ,即 ? , ? 2 2 ?(a1 + d) = 3a1 + 3d ?a 2 = S3 ? ?

……2 分 ……3 分

解得 a1=1,d=2, ∴an=2n-1. ∵ bn = ∴ Tn =

1 1 1 1 1 = = ( ? ), a n ? a n+1 (2n ? 1)(2n + 1) 2 2n ? 1 2n + 1
1 1 1 1 1 1 1 1 n [(1 ? ) + ( ? ) + ( ? ) + ... + ( ? )] = . 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n + 1 2n + 1
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……5 分 (法二)∵{an}是等差数列,∴ a n = ∴ S2n ?1 =

a n + a 2n ?1 (2n ? 1) = (2n ? 1)a n . 2

a n + a 2n ?1 , 2
……2 分

由 an2=S2n-1,得 an2=(2n-1) an, 又∵an≠0,∴an=2n-1,则 a1=1,d=2. ……3 分 (Tn 求法同法一) (2)①当 n 为偶数时,要使不等式 λTn<n+8(-1)n 恒成立,即需不等式

λ<

(n + 8)(2n +1) 8 = 2n + + 17 恒成立. n n 8 ∵ 2n + ≥ 8 ,等号在 n=2 时取得. n

……6 分

∴此时 λ 需满足 λ<25. ……7 分 n ②当 n 为奇数时,要使不等式 λTn<n+8(-1) 恒成立,即需不等式

(n ? 8)(2n +1) 8 = 2n ? ? 15 恒成立. ……8 分 n n 8 8 ∵ 2n ? 是随 n 的增大而增大, ∴n=1 时 2n ? 取得最小值-6. n n λ<
∵此时 λ 需满足 λ<-21. 综合①、②可得 λ 的取值范围是 λ<-21. (3) T1 = ……9 分 ……10 分

1 m n , Tm = , Tn = , 3 2m +1 2n +1 m 2 1 n 若 T1,Tm,Tn 成等比数列,则 ( ) = ( ), 2m +1 3 2n +1



m2 n = . 2 4m + 4m +1 6n + 3

……11 分

m2 n 3 ?2m 2 + 4m +1 (法一)由 = ,可得 = >0, 4m 2 + 4m +1 6n + 3 n m2
即-2m2+4m+1>0, ∴1 ? ……12 分 ……13 分

6 6 < m < 1+ . 2 2

又 m∈N,且 m>1,所以 m=2,此时 n=12. 因此,当且仅当 m=2, n=12 时,数列{Tn}中的 T1,Tm,Tn 成等比数列. ……14 分 (法二)因为

n 1 1 m2 1 = < ,故 < , 2 6n + 3 6 + 3 6 4m + 4m +1 6 n
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即 2m -4m-1<0, ∴1 ?

2

6 6 < m < 1+ .(以下同上). 2 2

……13 分

【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质,以及数列的求和、利用均值不等式求最值等知识; 考查了学生的函数思想方法,及其推理论证和探究的能力. 21.解: (1)当 a=4.5 时, f(x) = lnx +

9 ,定义域是(0,+∞), 2(x +1)

f ′(x) =

1 9 (2x ? 1)(x ? 2) ? = , 2 x 2(x +1) 2x(x +1)2

令 f′(x)=0,得 x=0.5 或 x=2. ……2 分 ∵当 0<x<0.5 或 x>2 时,f′(x)>0,当 0.5<x<2 时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)在(0,0.5)、 (2,+∞)上单调递增,在(0.5,2)上单调递减. ……4 分 ∴函数 f(x)的极大值是 f(0.5)=3-ln2,极小值是 f(2)=1.5+ln2. ∵当 x→+0 时,f(x)→-∞; 当 x→+∞时,f(x)→+∞, ∴当 g(x)仅有一个零点时,k 的取值范围是 k>3-ln2 或 k<1.5+ln2. ……5 分 (2)当 a=2 时, f(x) = lnx +

2 ,定义域为(0,+∞), x +1 2 令 h(x) = f(x) ? 1 = lnx + ?1, x +1

∵ h′(x) =

1 2 x2 +1 ? = > 0, x (x +1)2 x(x +1) 2
……7 分

∴h(x)在(0,+∞)上是增函数. ①当 x>1 时,h(x)>h(1)=0,即 f(x)>1; ②当 0<x<1 时,h(x)<h(1)=0,即 f(x)<1; ③当 x=1 时,h(x)=h(1)=0,即 f(x)=1.

……9 分

2 x ?1 > 1 ,即 lnx > . (3)(法一)根据(2)的结论,当 x>1 时, lnx + x +1 x +1
令x =
n k +1 k +1 1 k +1 n 1 ,则有 ln > , ∴ ∑ ln . > ∑ ln k k 2k +1 k 2k +1 k =1 k =1

……12 分 ∵ ln(n + 1) =

∑ ln
k=1

n

1 1 1 1 k +1 ,∴ ln(n + 1) > + + + ... + . 3 5 7 2n + 1 k

……14 分 (法二)当 n=1 时,ln(n+1)=ln2.
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2011 年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题

∵3ln2=ln8>1,∴ lnx + ……10 分

2 1 > 1 ,∴ lnx2 > ,即 n=1 时命题成立. x +1 3 1 1 1 1 + + + ... + . 3 5 7 2n + 1

设当 n=k 时,命题成立,即 ln(k + 1) > ∴n=k+1 时,

ln(n + 1) = ln(k + 2) = ln(k + 1) + ln
根据(2)的结论,当 x>1 时, lnx +

2 x ?1 > 1 ,即 lnx > . x +1 x +1 k+2 k+2 1 ,则有 ln > , 令x = k +1 k +1 2k + 3 1 1 1 1 1 则有 ln(k + 2) > + + + ... + + ,即 n=k+1 时命题也成立. 3 5 7 2n + 1 2n + 3
……13 分 因此,由数学归纳法可知不等式成立. (法三)如图,根据定积分的定义, 得 ×1 + ……14 分

k+2 1 1 1 1 k+2 . > + + + ... + + ln k +1 3 5 7 2n + 1 k +1

1 5

n 1 1 1 × 1 + ... + ×1 < ∫ dx . 1 2x + 1 7 2n + 1

y

……11 分 ∵

1 1 n 1 dx = ∫ ∫1 2x + 1 2 1 2x + 1 d(2x + 1) 1 1 n o 123456 … = [ln(2x + 1) |1 = [ln(2n + 1) ? ln 3] , 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ + + + ... + = + ( + + ... + ) 3 5 7 2n + 1 3 5 7 2n + 1
n

n-1 n x

1 n 1 1 1 < +∫ dx = + [ln(2n + 1) ? ln 3] . 1 2x + 1 3 3 2


……12 分

1 1 + [ln(2n + 1) ? ln 3] ? ln(n + 1) 3 2

=

2 ? 3ln 3 1 + [ln(2n + 1) ? ln(n 2 + 2n + 1] , 6 2
1 1 + [ln(2n + 1) ? ln 3] < ln(n + 1) . 3 2
……14 分

又∵2<3<3ln3,ln(2n+1)<ln(n2+2n+1),∴ ∴

1 1 1 1 + + + ... + < ln(n + 1) . 3 5 7 2n + 1

【说明】本题主要考查函数导数运算法则、利用导数求函数的极值、证明不等式等基础知识,考查分类讨 论思想和数形结合思想,考查考生的计算能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识.

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