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函数的单调性(教师版)


函数的单调性
1.函数 f ( x) ?

3 1 在区间 ( , ? ?) 上是( 2x ? 1 2 (A)增函数 (B)减函数

) (C)先递增后递减 (D)不确定

2.若函数 y ? ax 和函数 y ? 为

b 7) 上都是减函数,那么函数 y ? ax2 ? bx ? 1 在 (?? , 0) 上的单调性 在区间 (2 , x .

7) ,则函数 y ? f ( x) 在区间 [1,4] 上的单调性为( 3.已知函数 y ? f ( x) 的图象过点 A(1,4) 和点 (4 ,



(A)增函数

(B)减函数

(C)先递增后递减

(D)不确定

1) 上是增函数,在区间 [1,2] 上也是增函数,则函数 y ? f ( x) 在区间 [0 , 2] 上 4.若函数 y ? f ( x) 在区间 [0 ,

( ) (A)必是增函数 (C)可以既不是增函数也不是减函数

(B)必是减函数 (D)不是增函数就是减函数

5) 上是增函数,定义在 R 上的函数 g ( x) 在区间 (0 , 8) 上是增 5.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 在区间 (?2 , 函数,则下列区间中一定是函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间的是( ) 8) 0) 5) 8) (A) (?2 , (B) (?2 , (C) (0 , (D) (5 ,

C 2] 上的函数值恒为负值,则实数 b 的取值范围 6.已知函数 f ( x) ? 3x ? b 在区间 [?1,



? ?) 上是减函数,则 a 的取值范围是 7.函数 f ( x) ? 1? | x ? 1| 在 [a ,



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2 8.函数 f ( x) ? x ? (x ?[1, 2]) 的值域是 x



b] 上是增函数, 9. 如果函数 f ( x) 在 [a , 那么对任意 x1 ,x2 ?[a , 下列结论中一定正确的是 ( b]( x1 ? x2 ) ,





f ( x1 ) ? f ( x2 ) x2 ? x1 ?0; ?0. ② ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ; ③ f (a) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f (b) ; ④ x1 ? x2 f ( x2 ) ? f ( x1 )

①②④ 10.函数 f ( x) ? 5 ? 4x ? x2 的单调递增区间是 .

11.函数 f ( x) ?| x2 ? 2 x ? 3| 的单调递增区间是

;单调递减区间是



3) 上是增函数,则 y ? f ( x ? 3) 的单调递增区间是 12.函数 f ( x) 在区间 (?2 ,



13.已知一次函数 y ? (| k | ?1) x ? 3 为减函数,则整数 k 的取值范围是( ) 0, 1} (A) ? (B) {0} (C) {x | x ≥ 2 ,x ? Z} (D) {?1,

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? 2) 上单调递减,则 a 的取值范围是 14.函数 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 1) x ? 2 在区间 (?? ,



15.函数 f ( x) ? (a2 ? 1) x2 ? (a ? 1) x ? 1 是 R 上的单调函数,则 a 的值是



16.函数 f ( x) ?

ax ? 1 ? ?) 上单调递增,则 a 的取值范围是 在 (?2 , x?2



?2 x 2 ? 3 ,x ≥ 2 17.若函数 f ( x) ? ? 是在 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围是 ?ax ? 3 ,x ? 2



18.已知函数 f ( x ) ?

3 ? ax (a ? 1) . a ?1 (Ⅰ)若 a ? 0 ,则 f ( x) 的定义域是 ; 1] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是 (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 (0 ,



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3) 上的函数 f ( x) 是减函数,且满足 f (1 ? a) ? f (1 ? a) ,求实数 a 的取值范围. 19.定义在 (?2 ,

? x2 ? 4 x ,x ≥ 0 ? 20. f ( x) ? ? ,若 f (2 ? a2 ) ? f (a) ,求实数 a 的取值范围. 2 ? ?4 x ? x ,x ? 0

21.已知 f ( x) ?

x ( x ? a) . x?a ? 2) 内单调递增; (1)若 a ? ?2 ,求证: f ( x) 在 (?? , ? ?) 内单调递减,求 a 的取值范围. (2)若 a ? 0 且 f ( x) 在 (1,

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22.已知函数 f ( x) ?

x2 ? 2 x ? 3 ( x ?[1, 4]) ,求 f ( x) 的最小值与最大值. x

3] 上的值域为 [2 , 5] ,求 a , b 的值. 23.已知函数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 2 ? b 在 [2 ,

b ? R ,有 f (a ?b ) ? f (a ) ? f (b ) . 24.设函数 y ? f ( x) 的定义域为 R ,当 x ? 0 时, f ( x) ? 1 ,且对任意的 a , (Ⅰ)证明:对任意 x ? R , f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)证明: f ( x) 在 R 上单调递增.

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b, c ? R ,函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ,若 f (0) ? f (4) ? f (1) ,则( 25.已知 a , ( 4a ? b ? 0 (A) a ? 0 , 2a ? b ? 0 (C) a ? 0 , 4a ? b ? 0 (B) a ? 0 , 2a ? b ? 0 (D) a ? 0 ,



26 . 已 知 函 数 f ( x) ? x2 ? 2(a ? 2) x ? a 2 , g ( x) ? ? x2 ? 2(a ? 2) x ? a 2 ? 8 . 设 H1 ( x) ? m a x { f x (, ) g x ( , )}
q} 表示 p , q} 表示 p , H 2 ( x) ? min{ f ( x) , g ( x)}( max{ p , . 记 q 中的较大值,min{ p , q 中的较小值)

H1 ( x) 的最小值为 A , H 2 ( x ) 的最大值为 B ,则 A ? B ? (

) (D) a 2 ? 2a ? 16

(A)16

(B) ? 16

(C) a 2 ? 2a ? 16

1 13 b] 上的最小值为 2 a ,最大值为 2b ,求 [a , b] . 27.若函数 f ( x) ? ? x2 ? 在区间 [a , 2 2

? ?) 上是单调函数. 28.设函数 f ( x) ? x2 ? 1 ? ax(a ? 0) ,求 a 的取值范围,使函数 f ( x) 在区间 [0 ,
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x ? ?) 上的增函数,且 f ( ) ? f ( x ) ? f ( y ) . 29. f ( x) 是定义在 (0 , y

1 (Ⅰ)求 f (1) 的值; (Ⅱ)若 f (6) ? 1 ,解不等式 f ( x ? 3) ? f ( ) ? 2 . x

30.下列说法中正确的有(

)

① 若 x1,x2∈I,当 x1< x2 时,f(x1)<f(x2),则 y=f(x)在 I 上是增函数; ②函数 y=x2 在 R 上是增函数;

1 ③函数 y ? ? 在定义域上是增函数; x
1 ④y= 的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞). x A.0 个 B.1 个新 课 C.2 个 D.3 个

答案:A 0] 上是增函数,给出下列关于函 31.设 y ? f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,满足 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,且在 [?1, 数 y ? f ( x) 的判断: ① y ? f ( x) 是周期函数;
1] 上是增函数; ③ y ? f ( x) 在 [0 ,

② y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 1 对称;

1 ④ f( )?0. 2
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其中正确判断的序号是________(把你认为正确判断的序号都填上). 解析 ①由 f ( x ? 1) ? ? f ( x) ,得 f ( x ? 2) ? ? f ( x ? 1) ? f ( x) ,即①正确;②由 f (1 ? x) ? ? f (? x) ? ? f ( x)
? f (1 ? x) ; 知 ② 正 确 . ③ 由 偶 函 数 在 [ - 1,0] 与 [0,1] 上 具 有 相 反 的 单 调 性 知 ③ 不 正 确 . ④ 在

1 1 1 1 1 f ( x ? 1) ? ? f ( x) 中令 x ? ? ,得 f ( ) ? ? f (? ) ? ? f ( ) ,所以 f ( ) ? 0 .答案 2 2 2 2 2

①②④

32.函数 f ( x) 的定义域为 D ? {x | x ? R ,x ? 0} 且满足对于任意 x1 , x2 ? D ,有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) . (1)求 f (1) 的值; (2)判断 f ( x) 的奇偶性并证明;
? ?) 上是增函数,求 x 的取值范围. (3)如果 f (4) ? 1,f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ≤ 3 ,且 f ( x) 在 (0 ,

解析

(1)令 x1=x2=1,有 f(1× 1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0. (2)f(x)为偶函数,令 x1=x2=-1,有 f[(-1)× (-1)]=f(-1)+f(-1), 解得 f(-1)=0,令 x1=-1,x2=x 有 f(-x)=f(-1)+f(x),即 f(-x)=f(x). 所以 f(x)为偶函数.

(3)f(4× 4)=f(4)+f(4)=2,f(16× 4)=f(16)+f(4)=3. 所以 f(3x+1)+f(2x-6)≤3 即 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64)① 因为 f(x)在(0,+∞)上是增函数,所以①等价于不等式组:
?? 3 ?? 3 x+1? ? 2 x-6?>0, x+1? ? 2 x-6?<0, ? ? ? 或? ? ? x+1? ? 2 x-6? ≤64 , x+1? ? 2 x-6? ≤64. ?? 3 ?-? 3

?x>3或x<-3, ? 7 ?-3≤x≤5,

1

1 ? ?-3<x<3, 或? ?x∈R, ?

7 1 1 所以 3<x≤5 或- ≤x<- 或- <x<3. 3 3 3 7 1 1 故 x 的取值范围为{x|- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}. 3 3 3 33.在区间 D 上,如果函数 f ( x) 为增函数,而函数 函数 f ( x) ? 1 ?

1 f ( x) 为减函数,则称函数 f ( x) 为“弱增函数”,已知 x

1 . 1? x

1] 上是否为“弱增函数”; (Ⅰ)判断函数 f ( x) 在区间 (0 ,

1 ? ?) ,且 x1 ? x2 ,证明: | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? | x1 ? x2 | ; (Ⅱ)设 x1 ,x2 ?[0 , 2
1] 时,不等式 1 ? ax ≤ (Ⅲ)当 x ? [0 ,

1 b 的取值范围. ≤1 ? bx 恒成立,求实数 a , 1? x
1 ? 1+x-1 1 1 ? 1 f(x) = ·?1- = ?=x· x x ? 1+x? 1+x

解析

(1) 显 然 f(x) 在 区 间 (0,1) 上 为 增 函 数 , 因 为

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1 x 1 1 · = ,所以 f(x)为减函数,因此 f(x)是“弱增”函数. x 1+x? 1+x+1? 1+x+ 1+x x (2)证明:|f(x1)-f(x2)|=?

? 1 - 1 ?=| 1+x2- 1+x1| ? 1+x2? | 1+x1 1+x2| ? 1+x1
= . 1+x1· 1+x2· ? 1+x1+ 1+x2? |x1-x2|

因为 x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,所以 1+x1· 1+x2· ( 1+x1+ 1+x2)>2, 1 所以|f(x1)-f(x2)|< |x1-x2|. 2 (3) 当 x∈[0,1]时,不等式 1-ax≤ 1 ≤1-bx 恒成立. 1+x 1

?a≥xf?x?, 所以当 x=0 时,不等式显然成立,当 x∈(0,1]时,等于? 1 ?b≤xf?x?
1 2 1 1 1 2 恒成立由(1)知 f(x)为减函数,1- ≤ f(x)< ,所以 a≥ 且 b≤1- . x 2 x 2 2 2

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