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四川省邛崃一中2013届高三10月月考数学(理)试题


邛崃市 2013 届高三月考(十月)

数学(理科)试题卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)

时间 120 分钟 总分 150 分

1.设集合 A={1,2,3,4},B={3,4,5},U=A∪ B,则?U(A∩B)的元素个数为 A.1 个 2. 复数 z 满足 z = A.第一象限 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2-i ,则复数 z 对应的点在 1-i B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

24 ? π ? ? 3. 已知 sin 2α=-25,α∈ -4,0?,则 sin α+cos α= ? ? 1 A. -5 1 B. 5 7 C. -5 7 D. 5

4. 设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数, 如图表示该函数在区间(-2,1]上的图象, 则 f(2 011)+f(2 012)= A.3 B.2 C.1 D.0 5.已知 p:x2-x< 0,那么命题 p 的一个必要不充分条件是 A.0 < x < 1 1 2 C. 2 < x < 3 B.-1< x < 1 1 D. 2 < x < 2

6. 如图,是一个程序框图,运行这个程序, 则输出的结果为
A. 13 21 B. 21 13 C. 8 13 D. 13 8

7. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积等于 A. 3 B.3+2 3
·1·

C.2 3

D.6+2 3

8. 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S9=-36,S13=-104,等比数列{bn}中, b5=a5,b7=a7,则 b6 的值为 A.± 2 4 B.-4 2 C.4 2 D.无法确定

9. 从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没 有入选的不同选法的种数为 A.85 B.56 C.49 D.28

10. 设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f /(x),且函数 y = (1?x) f /(x)的图像如图所示,则下列 结论中一定成立的是 A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(?2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(?2) D.函数 f(x)有极大值 f(?2)和极小值 f(2) 11. 甲乙二人玩猜数字游戏,先由甲任想一数字,记为 a,再由乙猜甲刚才想的数字,把 乙猜出的数字记为 b,且 a,b∈ {1,2,3},若|a-b| ≤ 1,则称甲乙“心有灵犀”,现任 意找两个人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为 1 A. 3 5 B. 9 2 C. 3 7 D. 9
· ?2 O · 1 · 2 x y

?a,a-b≤1 12. 对实数 a 和 b,定义运算“⊕”:a⊕b=? ?b,a-b>1. 2 2 设函数 f(x)=(x -2)⊕(x-x ),x∈ R,若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共 点,则实数 c 的取值范围是 3? ? ? A.(-∞,-2]∪ -1,2? ? ? 1? ?1 ? ? ? C. ?-1,4?∪ 4,+∞? ? ? ? ? 3? ? ? B.(-∞,-2]∪ -1,-4? ? ? 3? ?1 ? ? ? D. ?-1,-4?∪ 4,+∞? ? ? ? ?

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) ? 13.在?x ? ? 2?6 x? 的二项展开式中,常数项等于 _________ . ?
·2·

?x+2y-5 ≤ 0 ? 14. 变量 x,y 满足条件:?x-y-2 ≤ 0 ,则目标函数 z=2x+3y+1 的最大值为____. ?x ≥ 0 ? 15. 已知函数 f(x) = |lgx|,若 a < b,且 f(a) = f(b),则 a + 2b 的取值范围是________ . 16.给出以下五个命题: ①x, y ? R ,若 x 2 ? y 2 ? 0 ,则 x ? 0 或 y ? 0 的否命题是假命题; ② 函数 y ? 3x ? 3? x ( x ? 0) 的最小值为 2; ③ 若函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 2 的图象关于点(1,0)对称,则 a 的值为-3; ④ f ( x ? 2) ? 若
1 ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 是以 4 为周期的周期函数; f ( x)

⑤若(1+ x)10 = a0 +a1x + a2x2 +… + a10x10,则 a0 +a1 + 2a2 + 3a3 + … + 10a10=10×29. 其中真命题的序号是___________. 三、解答题(共六小题,共 74 分) 17. (本小题满分 12 分) 1 π 3sinωxcosωx + sin2ωx + 2 ,其图像相邻两条对称轴之间的距离为 2. (Ⅰ)求 ω 的值; ?A? 3 (Ⅱ) 若 A 为△ABC 的内角,且 f ? 2 ? = 2,求 A 的值. ? ? 函数 f(x) = 18. (本小题满分 12 分) 1 如图,直三棱柱 ABC?A1B1C1 中, AC = BC = 2AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD. (Ⅰ)证明:DC1⊥BC; (Ⅱ)求二面角 A1?BD?C1 的大小.
A1 C1 B1

D C A B

·3·

19. (本小题满分 12 分) 某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分 布直方图如图所示,成绩分组区间是: ?40,50?、?50,60?、?60,70?、?70,80?、 ?80,90?、?90,100?. (Ⅰ )求图中 x 的值;

频率 组距 0.054

x 0.01 0.006 0 40 50 60 70 80 90 100 成绩

(Ⅱ )从成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人, 2 人中成绩在 90 分以上(含 90 分) 该 的人数记为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 20. (本小题满分 12 分) 已知 f(x) = |ax + 1| (a∈R),不等式 f(x)≤3 的解集为{x | ?2≤x≤1}. (Ⅰ a 的值; )求 x ? ? (Ⅱ ?f(x) ? 2f( 2 )?≤ k 恒成立,求 k 的取值范围. )若 ? ? 21. (本小题满分 12 分) 已知等比数列{an}的各项均为正数,且 2a1 + 3a2 = 1,a3 = 9a2a6. (Ⅰ 求数列{an}的通项公式; )
?1? (Ⅱ)设 bn= log3a1 + log3a2 + … + log3an,求?b ?的前 n 项和 Tn ; ? n?
2

(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求使 22. (本小题满分 14 分)

kn·2 n+1

n+1

≥ (7 ? 2n)Tn 恒成立的实数 k 的取值范围.

已知函数 f ( x) ? a ln x ? ax ? 3(a ? R且a ? 0) . (Ⅰ 求函数 f (x) 的单调区间; ) (Ⅱ)若函数 y ? f (x) 的图像在点 (2, f (2)) 处的切线的倾斜角为 45 ? ,问: m 在什么范 ?m ? 围取值时, 对于任意的 t ? ?1,2?, 函数 g(x)=x3 + x2? 2 + f /(x)?在区间 (t ,3) 上总存在极值? ? ? (Ⅲ)当 a ? 2 时,设函数 h( x) ? ( p ? 2) x ? p ? 2e ? 3 ,若在区间 ?1, e? 上至少存在一个 x 0 ,
x

使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) 成立,试求实数 p 的取值范围.

·4·

邛崃市 2013 届高三月考(10 月)

数学(理科)参考答案
一、1. C;2. A;3.B;4. A;5B;6.D;7. D;8. A;9. C;10.D;11. D;12. B 二、填空题
13.?160 14. 10

15. (3,+∞)

16.①、③、④

三、解答题 3 1 ? cos2ωx 1 17.解析: (Ⅰ)f(x) = 2 sin2ωx + +2 2 3 1 ? = 2 sin2ωx ? 2cos2ωx + 1 = sin?2ωx ? ?

π? 6?+ 1 ? π ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为 2,∴最小正周期 T = π 2π ∴2ω = π,ω = 1. π? ? ∴f(x) = sin?2x ? 6 ? + 1 ? ? π? 3 π? 1 ?A? ? ? (2) ∵f ? 2 ? = sin?A ? 6 ? + 1 = 2 ∴sin?A ? 6 ? = 2 ? ? ? ? ? ? π π 5π ∵ A∈(0,π) ∴ ? 6 < A ? 6 < 6 π π π ∴ A ? 6 = 6 ,故 A = 3. 18.解析: (Ⅰ)证明:由题设知,三棱柱的侧面为矩形. C1 ∵D 是 AA1 的中点, ∴ DC = DC1
·5· A1 M

B1

1 又 AC = 2AA1,∴ DC12 + DC2 = CC12 ∴ DC1⊥DC 又 DC1⊥BD,且 DC1∩DC = D ∴ DC1⊥平面 DCB. ∴ DC1⊥BC (Ⅱ) 解:由(Ⅰ)知,DC1⊥BC, 又 CC1⊥BC, DC1∩CC1 = C1 ∴ BC⊥平面 CDC1 ∵ B1C1∥BC ∴B1C1⊥平面 CDC1 ∴ B1C1⊥A1C1,△A1C1B1 为等腰直角三角形 取 A1B1 的中点为 M,连结 C1M、DM ∵ 直棱柱的底面 A1B1C1⊥侧面 AB1,C1M⊥A1B1 ∴ C1M⊥平面 AB1,C1M⊥BD. 由(Ⅰ)知,DC1⊥平面 DCB,∴DC1⊥BD 又 C1M∩DC1 = C1,∴BD⊥平面 C1MD MD⊥BD ∴∠C1DM 是 A1?BD?C1 的平面角. 2 在 Rt △C1MD 中,C1M = 2 A1C1,C1D = DA12 + A1C12 = C1 M 1 ∴sin∠C1DM = C D = 2, ∴∠C1DM = 30o 1 ∴二面角 A1?BD?C1 的大小为 30o. 19. 解析:(Ⅰ 由 ? 0.006 ? 3 ? 0.01 ? 0.054 ? x ? ?10 ? 1 ,解得 x ? 0.018 . ) (Ⅱ 分数在 ?80,90 ? 、 ?90,100? 的人数分别是 )
50 ? 0.018 ? 10 ? 9 人、 50 ? 0.006 ? 10 ? 3 人.

2A1C1,

所以 ? 的取值为 0、1、2.
P ?? ? 0 ? ?
0 C3 C92 36 6 C1C1 27 9 C 2C 0 3 1 ? ? , P ?? ? 1? ? 3 2 9 ? ? , P ?? ? 2 ? ? 3 2 9 ? ? , 2 C12 66 11 C12 66 22 C12 66 22

所以 ? 的数学期望是 E? ? 0 ?

6 9 1 11 1 ? 1? ? 2 ? ? ? . 11 22 22 22 2

20. 解析:(Ⅰ 由|ax + 1|≤ 3 得 ?4≤ax≤2, f(x)≤3 的解集为{x | ?2≤x≤1}, ) 当 a≤0 时,不合题意. 4 2 当 a > 0 时,? a≤x≤a 得 a = 2.……………………………………5 分

·6·

??4x ? 3,?1<x< ? 1 ? x? 2 (Ⅱ h(x) = f(x) ? 2f ?2?,则 h(x) = ? )记 ? ? 1 x≥ ? 2 ??1,
1, x≤?1 所以 | h(x) |≤1,因此 k≥1. 21.解析: (Ⅰ)设数列 {an } 的公比为 q (q > 0 ),
1 1 得 q ? , a1 ? . 3 3 1 故数列 {an } 的通项公式为 an ? n . 3



?2a1 + 3a2 = 1 ? 2 ? a3 = 9a2a6

(Ⅱ )bn = log3a1 + log3a2 + … + log3an = ?

n(n + 1) 2

1 1 ? ?1 故 b = ?2?n ? n + 1? ? ? n 1 1 1 1 Tn = b + b + b + … + b 1 2 3 n 1? ?1 1? ?1 1? 1 ?? 2n ?? ?1 = ?2??1 ? 2? + ?2 ? 3? + ?3 ? 4? + … + ?n ? n + 1?? = ? n + 1 ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?1? 2n 所以数列 ?b ? 的前 n 项和为 ? n + 1. ? n? 2n ? 7 (Ⅲ )化简得 k ? 对任意 n ? N ? 恒成立 2n 2n ? 7 9 ? 2n 设 dn ? ,则 d n ?1 ? d n ? n 2 2n 当 n ? 5, dn?1 ? dn ,{dn }为单调递减数列,

1 ? n ? 5, dn?1 ? dn ,{dn }为单调递增数列, 3 所以,n=5 时, dn 取得最大值为 . 32 3 2n ? 7 所以, 要使 k ? 对任意 n ? N ? 恒成立, k ? n 32 2
22. 解析: (Ⅰ)由 f ' ( x) ?
a(1 ? x) 知 x

当 a ? 0 时,函数 f (x) 的单调增区间是 (0,1) ,单调减区间是 (1,??) ; 当 a ? 0 时,函数 f (x) 的单调增区间是 (1,??) ,单调减区间是 (0,1) .

·7·

(Ⅱ)由 f ' ? 2 ? ? ?

a ? 1 ? a ? ?2 , 2

2 ∴ f ? x ? ? ?2 ln x ? 2x ? 3 , f ' ? x ? ? 2 ? . x

m ?m ? 故 g ( x) ? x3 ? x 2 ? ? f '( x) ? ? x3 ? (2 ? ) x 2 ? 2 x , 2 ?2 ?

∴g '( x) ? 3x2 ? (4 ? m) x ? 2 . ∵ 函数 g (x) 在区间 (t ,3) 上总存在极值, ∴g ' ( x) ? 0 有两个不等实根且至少有一个在区间 (t ,3) 内 又∵ 函数 g ' ( x ) 是开口向上的二次函数,且 g ' (0) ? ?2 ? 0 , ∴ ?

? g ' (t ) ? 0 2 由 g ' (t ) ? 0 ? m ? ? 3t ? 4 , t ? g ' (3) ? 0
2 ? 3t ? 4 在 ?1,2? 上单调递减,所以 H (t ) min ? H (1) ? ?9 ; t
37 ; 3

∵H (t ) ?

∴m ? ?9 ,由 g ' (3) ? 27 ? (4 ? m) ? 3 ? 2 ? 0 ,解得 m ? ? 综上得: ?

37 ? m ? ?9. 3
37 ?m ? ,?9) 内取值时,对于任意的 t ? ?1,2?,函数 g ( x) ? x 3 ? x 2 ? ? f ' ( x)? 3 ?2 ?

所以当 m 在 (?

在区间 (t ,3) 上总存在极值。 (Ⅲ)? a ? 2,? f ( x) ? 2 ln x ? 2 x ? 3. 令 F ( x) ? h( x) ? f ( x) ,则
F ( x) ? ( p ? 2) x ? p ? 2e ? 3 ? 2 ln x ? 2 x ? 3 ? px ? p ? 2e ? 2 ln x .
x

x

x

① p ? 0 时,由 x ? ?1, e? 得 px ? p ? 0,? 2e ? 2 ln x ? 0 ,从而 F ( x) ? 0 , 当
x x

所以,在 ?1, e? 上不存在 x0 使得 h( x0 ) ? f ( x0 ) ;
2 ② p ? 0 时, F '( x) ? px ? 2 x 2? p ? 2e ,? x ??1, e? ,?2e ? 2x ? 0 , 当

x

px2 ? p ? 0, F '( x) ? 0 在 ?1,e? 上恒成立,
·8·

故 F ( x) 在 ?1,e? 上单调递增。

? F ( x) max ? F (e) ? pe ?

p ? 4. e

故只要 pe ?

4e p . ? 4 ? 0, ,解得 p ? 2 e ?1 e

? 4e ? 综上所述, p 的取值范围是 ? 2 , ?? ? ? e ?1 ?

·9·


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