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两直线的夹角运用学习教材PPT课件


已知直线l1:3x?4y+6=0与直线l2:2x+y+2=0 (1)判断位置关系; 3 ?4 ?D ? ? 0, 2 1 ?两直线相交。 (2)求上述两直线的夹角。 cos ? ? | 3 ? 2 ? ( ?4 ) ? 1 | 3 2 ? ( ?4) 2 2 5 ? . 2 2 25 2 ?1 2 5 ?两 直 线 的 夹 角 为 arccos . 25 两条直线方程分别为 l1 : a1 x ? b1 y ? c1 ? 0? (1) (a1 , b1不 同 时 为 0) l2 : a2 x ? b2 y ? c2 ? 0? (2) (a2 , b2不 同 时 为 0) a1 b1 l1与l2相交, D ? ? a1b2 ? a2b1 ? 0 a2 b2 l1与l2平行, D ? a1b2 ? a2b1 ? 0,Dx ? 0或Dy ? 0 l1与l2重合,D ? Dx ? Dy ? 0 两直线的夹角?满足cos ? ? | a1a2 ? b1b2 | a1 ? b1 ? a2 ? b2 2 2 2 2 . 例1:已知△ABC的三个顶点为A(2,1)、B(6,2)、C(5,5), 求△ABC中?A的大小。 分析: ?A就是向量 AB与向量 AC的夹角。 解: AB ? (4,1), AC ? (3,4), 16 cos A ? ? 17 42 ? 12 ? 32 ? 42 85 | 4 ? 3 ? 1? 4 | y ?C(5,5) 16 17 ?A ? arccos . 85 O ? A(2,1) ? B(6,2) x 例2 已知等腰直角三角形的直角顶点是C(4,?1), 斜边所在直线方程是3x?y=0,求两直角边所 在直线方程。 分析:两腰所在直线与斜边所在直线夹角为450。 解:设两腰所在直线方程为a(x?4)+b(y+1)=0. ∵△ABC是等腰直角三角形, ∴腰所在直线与底边所在直线夹角为450. 2 cos45 ? ? , 2 2 2 10 a ? b 0 | 3a ? b | y A 解得a=2b或b=?2a, ∴直线方程为2x+y?7=0或 x?2y?6=0. B 0 ?C x 1. 已知三角形的顶点坐标求三角形的内角,转化 为以顶点为起点的两个向量的夹角。 2. 等腰三角形相关的问题,可利用两腰与底边的 夹角相等来解决问题。 1. 等腰三角形的一腰所在直线l1方程为x?2y?1=0,底 边所在直线方程是l2:x+y?1=0,点(?2,0)在另一腰上, 求这条腰所在直线l3的方程。 分析:因为构成等腰三角形,故考虑夹角公式。 解:设直线l3:a(x+2)+by=0. l1与l2的夹角为?1,l2与l3的夹角为?2. |1? 2 | |a?b| ? cos?1=cos?2 ? 5 2 2 a 2 ? b 2 l2 ? 2a 2 ? 5ab ? 2b2 ? 0 ? a ? ?2b或2a ? ?b. y l3 l1 x 当2a=?b时,l3与l1平行, 故舍去。 ?直线l3方程为2x?y+4=0. ?2 ?2 ?1 O 2. 如图,正方形ABCD的对角线AC在直线 x+2y?1=0上,且顶点A(?5,3),B(m,0)(m>?5), 求顶点B,C,D的坐标。 解:设AB直线方程为a(x+5)+b(y?3)=0, ∵直线AB与对角线AC的夹角为450. ? | a ? 2b | a 2 ? b2 2 ? cos45 ? , 2 2 2 1 ?2 0 y D A 解得a

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