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河南省安阳市第一中学2014届高三第五次模拟考试数学(理)试题


安阳市第一中学 2014 届高三第五次模拟考试 数学(理)试题
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
1、设全集 U 是实数集 R ,M= x x ? 1 ? x ? 1 ,N= 则图中阴影部分表示的集合是 ( ) C.{ x |1≤ x ≤2 } D.{ x | x <0} )

?

?

?x y ? 2

2x ? x2 ,

?

A.{ x |1< x ≤2 } B.{ x |0≤ x ≤2}

2、 从编号为 1,2,?,10 的 10 个大小相同的球中任取 4 个, 则所取 4 个球的最大号码是 6 的概率为 ( A.

1 84
8 3


B.

1 21
4 3

C.

2 5


D.

3 5

3、某三棱锥的三视图如右图所示,该三棱锥的体积是( A、 B、 4 ) ” 的 否 定 C、 2 D、

4、下列说法不正确的是( A .

2 ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 1 ? 0



“ ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ”
2

B.命题“若 x>0 且 y>0,则 x +y>0”的否命题是假命题 C. ?a ? R, 使方程2x ? x ? a ? 0的两根x1 , x2 满足 x1<1<x2”和“函数 f ( x) ? log2 (ax ? 1) 在[1,2]
2

上单调递增”同时为真 D.△ABC 中,A 是最大角,则 sin B ? sin C <sin A 是△ABC 为钝角三角形的充要条件
2 2
2

5、在 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 的任一排列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 中,使相邻两整数互质的排列方式种数共有( ) A. 1152 B. 864 C.

720

D. 576

6、设 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点,过 F1 引圆 x 2 ? y 2 ? 9 的切线 F1P 交双曲线的右支于 9 16


点 P , T 为切点, M 为线段 F1P 的中点, O 为坐标原点,则 | MO | ? | MT | 等于( A.4 7、已知函数 f ( x) ? B.3 C.2 D.1

x3 mx 2 ? (m ? n) x ? 1 ? 的两个极值点分别为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0,1) , x2 ? (1, ??) ,点 3 2

P(m, n) 表示的平面区域为 D ,若函数 y ? log a ( x ? 4)(a ? 1) 的图像上存在区域 D 内的点,则实数 a 的取
值范围为( A. ?1, 3? ) B. ?1, 3 ? C. ? 3, ?? ? D. ?3, ?? ?

9、设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是 ( ) A、 (0, 2) B、 (0, 3) C、 (1, 2)
x

D、 (1, 3) ( )

10、已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) ? ( ) 有两个零点 x1 , x2 ,则有 A、 x1 x2 ? 1 11 、 设 函 数 B、 x1 x2 ? x1 ? x2 C、 x1 x2 ? x1 ? x2

1 3

D、 x1 x2 ? x1 ? x2

f ( x) ? cos2 x ? 4t sin 2

x 3 ? t ? 3t ( x ? R), 其中 | t |? 1, 将f ( x) 的 最 小 值 记 为 2
) C. ( , ??)

g (t ), 则函数g (t ) 的单调递增区间为(
A. (??, ? ) ? (1, ??)

1 3

B. [?1, ? ]

1 3

1 3

D. [ ,1]

1 3

12、定义域为 ? a , b ? 的函数 y ? f ( x) 图象的两个端点为 A, B , M ( x, y ) 是 f ( x) 图象上任意一点,其中

uuu r uur uu u r uuu r x ? ?a ? (1 ? ? )b ,? ? ? 0,1? 已知向量 ON ? ? OA ? (1 ? ? )OB ,若不等式 | MN |? k 恒成立,则称函
数 f ( x) 在 ? a , b ? 上“ k 阶线性近似”.若函数 y ? x ? 值范围为( ) B.[

1 在 ?1, 2 ? 上“ k 阶线性近似”,则实数 k 的取 x 3 ? 2 ,+∞) 2

A.[0,+∞)

1 ,+∞) 12

C.[

3 ? 2 ,+∞) 2

D.[

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13、 在正三棱锥 S-ABC 中, 侧面 SAB、 侧面 SAC、 侧面 SBC 两两垂直, 且侧棱 SA ? 2 3 , 则正三棱锥 S ? ABC 外接球的表面积为____________. 14、如图,过抛物线 x ? 4 y 焦点的直线依次交抛物线与圆 x ? ( y ? 1) ? 1 于点 A、
2 2 2

B、C、D,则 AB ? CD 的值是________.

15、椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a 为定值,且 a ? 5) 的的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B 两点, a2 5

?FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。
16、在等差数列 ?a n ?中, a1 ? 1 , a6 ? 21 ,记数列 { 成立,则正整数 m 的最小值为 .

1 m } 的前 n 项和为 S n ,若 S ? Sn ? 对 n ? N? 恒 2 n ? 1 an 15

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 u r r u r r 17、 (本题满分 10 分)已知 m ? (2cos x ? 2 3 sin x,1), n ? (cos x, ? y) ,满足 m ? n ? 0 .
(1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的最小正周期; (2)已知 a, b, c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 对应的边长,若 f ( x) ? f ( ) 对所有 x ? R 恒成立,且

A 2

a ? 2 ,求 b ? c 的取值范围

18、 (本题满分 12 分)今天你低碳了吗?近来,国内网站流行一种名为“碳排放计算器”的软件,人们可以 用它计算出自己每天的碳排放量。例如:家居用电的碳排放量(千克)= 耗电度数× 0.785,汽车的碳排放 量(千克)=油耗公升数× 0.785 等。某班同学利用寒假在两个小区逐户进行了一次生活习惯进否符合低碳 观念的调查。若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”。这二族人数占各自小区总 人数的比例 P 数据如下: A 小区 比例 P 低碳族 非低碳族 B 小区 比例 P 低碳族 非低碳族

1 2

1 2

4 5

1 5

(I)如果甲、乙来自 A 小区,丙、丁来自 B 小区,求这 4 人中恰有 2 人是低碳族的概率; (II)A 小区经过大力宣传,每周非低碳族中有 20%的人加入到低碳族的行列。 如果 2 周后随机地从 A 小区中任选 25 个人,记 ? 表示 25 个人中低碳族人数,求 E? .

19、 (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? ?an ? ( ) n ?1 ? 2 (n 为正整数) 。 (1)令 bn ? 2n an ,求证数列 ?bn ? 是等差数列,并求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 cn ?

1 2

n ?1 an , Tn ? c1 ? c2 ? ........ ? cn ,试求 Tn 。 n

20、 (本小题满分 12 分)如图,平面 ABDE ? 平面ABC , ?ABC 是等腰直角三角形, AC ? BC ? 4 ,四 边形 ABDE 是直角梯形, BD // AE , BD ? BA , BD ? (I)求证: OD //平面 ABC ; (II)求直线 CD 和平面 ODM 所成角的正弦值; (III) 能否在 EM 上找一点 N , 使得 ON ? 平面ABDE ON⊥平面 ABDE? 若能, 请指出点 N 的位置, 并加以证明; 若不能, 请说明理由。

1 AE ? 2 , O, M 分别为 CE , AB 的中点。 2

21、 (本小题满分 12 分)?ABC 的内切圆与三边 AB、BC、CA 的切点 分别为 D、E、F ,已知 B(? 2 ,0), C ( 2 ,0) ,内切圆圆心 I (1, t ), t ? 0 ,设点 A 的轨迹为 L 。 (1)求 L 的方程; (2)过点 C 的动直线 m 交曲线 L 于不同的两点 M、N ,问在 x 轴上是否存在一定点 Q ( Q 不 与 C 重 合 ), 使

QM ? QC | QM |

?

QN ? QC | QN |

恒成立,若存在,试求出 Q 点的坐标,

若不存在,说明理由。

22、 (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? x ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 .
2

(1)当 b ?

1 时,判断函数 f ( x) 在定义域上的单调性; 2

(2)求函数 f ( x) 的极值点; (3)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln ?

?1 ? 1 1 ? 1? ? 2 ? 3 都成立. ?n ? n n

安阳一中 2014 届高三第五次模拟考试 理科数学参考答案
一、选择题:CBBCB DBCAB BD 二、填空题:13、 36? 、 ;14、1;15、

2 ;16、5 3

( II ) 因 为

f ( x) ?

A A ? ? f ( 对所有 ) x ? R 恒成立,所以 f ( ) ? 3 ,且 A ? ? 2k? ? , k ? Z 。因为 A 为三角形内角, 2 2 6 2

所以 0 ? A ? ? ,所以 A ? 由 正 弦

?

3


. 理 得
b? 4 3 sin B 3



c?

4 3 sin C 3



b?c ?

4 3 4 3 4 3 4 3 2? ? sin B ? sin C ? sin B ? sin( ? B) ? 4 sin(B ? ) 3 3 3 3 3 6

? 2? ? B ? ? 0, ? ? 3 ?



? sin(B ?

?

1 ) ? ( ,1] ,? b ? c ? (2,4] ,所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4] 6 2

18、解: (I)记这 4 人中恰好有 2 人是低碳族为事件 A

P( A) ?

1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 4 4 33 ? ? ? ? 4? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 5 5 2 2 5 5 2 2 5 5 100 1 1 a ? ? (1 ? ) 2 2 5 ? 8 (II)设 A 小区有 a 人,2 周后非低碳族的概率 P ? a 25
2 周后低碳族的概率 P ? 1 ? 所以 E? ? 25 ?

8 17 ? 17 ? , 依题意 ? : B ? 25, ? ? 25 ? 25 25 ?

17 ? 17 25 1 2

19、解: (1)n=1 时, S1 ? ?an ? 1 ? 2 ? a1 ,即 a1 ? 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? ?an ?1 ? ( )

1 2

n?2

1 ? 2, ? an ? Sn ? Sn?1 ? ?an ? an?1 ? ( )n?1 , 2

1 ? 2a n ? an?1 ? ( )n?1 ,即2n an ? 2n?1 an?1 ? 1 . 2
? bn ? 2n an ,? bn ? bn ?1 ? 1,即当n ? 2时,bn ? bn ?1 ? 1 .

又 b1 ? 2a1 ? 1,? 数列 bn ? 是首项和公差均为 1 的等差数列.

?

? bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n ? 2n an ,? an ?
(2)由(1)得 cn ?

n ?1 1 an ? (n ? 1)( )n , n 2 1 1 1 1 所以 Tn ? 2 ? ? 3 ? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? K ? (n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 4 1 Tn ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? 4 ? ( ) ? K ? (n ? 1)( ) n?1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 由①-②得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? K ? ( ) ? (n ? 1)( ) 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 3 n?3 2 ? 1? 4 ? (n ? 1)( ) n ?1 ? ? n ?1 1 2 2 2 1? 2 n?3 ?Tn ? 3 ? n 2 1 1 EA, 又BD // AE且BD ? AE 2 2

n . 2n

20、 (I)证明:取 AC 中点 F,连结 OF、FB

? F是AC中点, O为CE中点,? OF // EA且OF ?

∴OF//DB,OF=DB∴四边形 BDOF 是平行四边∴OD//FB 又? FB ? 平面 ABC ,OD ? 平面 ABC∴OD//平面 ABC。 (II)∵DB⊥面 ABC,又

Q 平面ABDE ? 平面ABC , 平面ABDE I 平面ABC ? AB

DB ? 面 ABDE,? DB ? 面 ABC,∵BD//AE,∴EA⊥面 ABC
如图,以 C 为原点,分别以 CA、CB 为 x、y 轴,以过点 C 且与平面 ABC 垂直的直线为 z 轴,建立 空间直角坐标系∵AC=BC=4, ∴C(0,0,0) ,A(4,0,0) ,B(0,4,0) ,D(0,4,2) ,E(4,0,4)

? O(2,0,2), M (2,2,0), CD ? (0,4,2), OD ? (?2,4,0), MD ? (?2,2,2) , 设 面 ODM 的 法 向 量

r uuu r n ? ( x, y, z ) ,则由 n ? MD , n ? OD ,可得
?? 2 x ? 4 y ? 0 令 x=2, ? ?? 2 x ? 2 y ? 2 z ? 0
得: y ? 1, z ? 1,? n ? (2,1,1) ,设直线 CD 和平面 ODM 所成角为 ? 。 则: sin ? ?|

n ? CD | n || CD |

|?|

(2,1,1) ? (0,4,2) |? | (2,1,1) | ? | (0,4,2) |

6 6 ?2 5

?

30 . 10

∴直线 CD 和平面 ODM 所成角正弦值为

30 . 10

(III)方法一:当 N 是 EM 中点时,ON⊥平面 ABDE。 证明:取 EM 中点 N,连结 ON、CM,∵AC=BC,M 为 AB 中点,∴CM⊥AB, 又∵面 ABDE⊥面 ABC,面 ABDE ? 面 ABC=AB,CM ? 面 ABC, ∴CM⊥AB,∵N 是 EM 中点,O 为 CE 中点,∴ON//CM, ∴ON⊥平面 ABDE。 方法二 当 N 是 EM 中点时,ON⊥平面 ABDE。 ∵DB⊥BA,又∵面 ABDE⊥面 ABC,面 ABDE ? 面 ABC=AB,DB ? 面 ABDE ∴DB⊥面 ABC, ∵BD//AE,∴EA⊥面 ABC。 如图,以 C 为原点,分别以 CA、CB 为 x、y 轴,以过点 C 与平面垂直的直线为 z 轴,建立空间直角 坐标系,∵AC=BC=4, 则 C(0,0,0) ,A(4,0,0) ,B(0,4,0)D(0,4,2) ,E(4,0,4) ∴O(2,0,2) ,M(2,2,0) ,设 N(a,b,c) ,? MN ? (a ? 2, b ? 2, c),

NE ? (4 ? a,?b,4 ? c) ? 点N在ME上,? MN ? ? NE,即(a ? 2, b ? 2, c) ? ? (4 ? a,?b,4 ? c)

4? ? 2 ? ?a ? ? ? 1 ?a ? 2 ? ? ( 4 ? a ) ? 2 4? ? 2 2 4? ? ? ? ?b ? 2 ? ? (?b) ? ?b ? ? N( , , ) ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ?c ? ? (4 ? c) ? ? 4? ? ?c ? ? ? 1 ?
? BD ? (0,0,2) 是面 ABC 的一个法向量,? ON ? BD,?

4? ? 2, 解得? ? 1. ? ?1

? MN ? NE 即 N 是线段 EM 的中点,∴当 N 是 EM 中点时,ON⊥平面 ABDE。
21、解: (1)设点 A( x, y ) ,由题知|AB|-|AC|=|BE|-|CE|=|CE|+2|OE|-|CE|=2 根据双曲线定义知,点 A 的轨迹是以 B、C 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的右支除去点 E(1,0) , 故 L 的方程为 x ? y ? 1( x ? 1)
2 2

4分

(2)设点 Q( x0 ,0), M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ) 由(I)可知 C ( 2 ,0)

?

QM ? QC | QM |

?

QN ? QC | QN |

?

| QM | ? | QC cos ? QM , QC ?| | QM |

?

| QN || QC | cos ? QN , QC ? | QN |

? cos ?MQC ? cos ?NQC ? ?MQC ? ?NQC

①当直线

MN ? x 轴时
点 Q ( x 0 ,0) 在 x 轴上任何一点处都能使得 ?MQC ? ?NQC 成立 ②当直线 MN 不与 x 轴垂直时,设直线 MN : y ? k ( x ? 2 ) 由?
2 2 ? ?x ? y ? 1 2 2 2 2 得 (1 ? k ) x ? 2 2k x ? (2k ? 1) ? 0 ? ? y ? k(x ? 2)

? 2 2k 2 2 2k 2 2k 2 ? 1 ? x1 ? x 2 ? ? x1 x 2 ? 2 9分 k ?1 1? k 2 k ?1 ? y1 ? y 2 ? k ( x1 ? 2 ) ? k ( x 2 ? 2 ) ? k ( x1 ? x 2 ) ? 2 2k ? 2 2k k 2 ?1

? tan ?MAC ?

y1 y2 ? k QM tan ?NQC ? ?k QN ? ? x1 ? x0 x 2 ? x0

要使 ?MQC ? ?NQC ,只需 tan ?MQC ? tan ?NQC 成立



y1 y2 ?? 即 x 2 y1 ? x0 y1 ? x1 y 2 ? x0 y 2 ? 0 x1 ? x0 x 2 ? x0

? ( y1 ? y 2 ) x0 ? x2 ? k ( x1 ? 2 ) ? x1 ? k ( x2 ? 2 ) ? 2kx1 x2 ? 2 x( x1 ? x2 )


2 2k 2k x0 ? 2 2 k ?1 k ?1
QM ? QC | QM | ?

故 x0 ?

2 2 ,0 ) 时 ,故所求的点 Q 的坐标为 ( 2 2

使?

QN ? QC | QN |

成立。

即 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ? 0 在 (?1 , ? ?) 上恒成立,?当 x ? (?1, ? ?) 时, f ?( x) ? 0 ,
2

1 ? ?) 上单调递增. ?当 b ? 时,函数 f ( x) 在定义域 (?1, 2 1 (2)①由(1)得,当 b ? 时,函数 f ( x) 无极值点. 2
1? ? 2? x ? ? 1 1 2? ? ② b ? 时, f ?( x) ? ? 0 有两个相同的解 x ? ? , x ?1 2 2
3

1? ? ? 1 ? ? ? ? 时, f ?( x) ? 0 , ? x ? ? ?1, ? ? 时, f ?( x) ? 0 , x ? ? ? , 2? ? 2 ? ?

?b ?

1 时,函数 f ( x) 在 (?1 , ? ?) 上无极值点. 2
?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 1 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, x1 ? , x2 ? , 2 2 2 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1 , x2 ? ? 0, 2 2

③当 b ?

?b ? 0 时, x1 ?

? ?? . , ? ?) , x2 ? ? ?1, 即 x1 ? (?1

?b ? 0 时, f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x)

(?1,x1 )
?

x1

( x2, ? ?)

0
极小值

?
?

f ( x)

?

由此表可知: b ? 0 时, f ( x) 有惟一极小值点 x1 ?

?1 ? 1 ? 2b , 2

当0 ? b ?

?1 ? 1 ? 2b 1 ? ?1 ,? x1,x2 ? (?1 ? ?) , 时, x1 ? 2 2

此时, f ?( x) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x)
f ( x)

(?1,x1 )

x1

( x1,x2 )
?

x1

( x1, ? ?)

?
?

0
极大值

0
极小值

?
?

?

由此表可知: 0 ? b ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 1 时, f ( x) 有一个极大值 x1 ? 和一个极小值点 x2 ? ;综 2 2 2

上所述: b ? 0 时, f ( x) 有惟一最小值点 x ?

?1 ? 1 ? 2b ; 2

0?b?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 1 1 时,f ( x) 有一个极大值点 x ? 和一个极小值点 x ? ; b ≥ 时,f ( x) 2 x 2 2

无极值点. ( 3 ) 当 b ? ?1 时 , 函 数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) , 令 函 数 h( x) ? x ? f ( x) ? x ? x ? ln( x ? 1) , 则
2 3 3 2

h?( x) ? 3x 2 ? 2 x ?

1 3x 2 ? ( x ? 1) 2 ? . x ?1 x ?1

? ? ? 时, f ?( x) ? 0 ,所以函数 h( x) 在 ? 0, ? ? ? 上单调递增,又 h(0) ? 0 . ?当 x ? ? 0,

? x ? (0, ? ?) 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 x3 ? x 2 ? ln( x ? 1) 恒成立.
故当 x ? (0, ? ?) 时,有 ln( x ? 1) ? x ? x .
2 3

对任意正整数 n 取 x ?

1 ?1 ? 1 1 ? (0, ? ?) ,则有 ln ? ? 1? ? 2 ? 3 .所以结论成立 n ?n ? n n


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