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1.3.1柱锥台的表面积


发挥你的空间想象能力!
将立方体纸盒沿某些棱剪开,并使 六个面连在一起,你能画出怎样的 平面图形?

展开方式不同,但面积一样,都是正方体的表面积 初中知识:正方体、长方体的表面积就是各个面的 面积的和,也就是展开图的面积 迁移类比:如何求多面体和旋转体的表面积?

柱、锥、台的表面积

思考1:棱柱、棱锥

、棱台的侧面展开图是什么?
如何计算它们的表面积? 平行四边形组成

设柱体的底面周长为c,高为l,则S侧=c· l S表=2S底+S侧

三角形组成

h' h'

1 称h’为斜高,设底面周长为c,S侧= c ? h' 2 S表=S底+S侧

梯形组成

h'

h'

称h’为斜高,设上底面周长为c’,下底面周长 1 为c,S侧= (c'?c ) ? h' 2 S表=S上底+ S下底+S侧

思考2:圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图是什么?
矩形

扇形

扇环

思考3:怎样计算圆柱、圆锥的表面积?
底面半径为r,母线长为l,

l

S 底 ? ?r 2,S侧 ? 2?rl

r

2?r

S 表 ? 2?r 2 ? 2?rl ? 2?r ( r ? l )

2?r

底面半径为r,母线长为l, S 底 ? ?r 2,S侧 ? ?rl S 表 ? ?r 2 ? ?rl ? ?r ( r ? l )

l

r

思考4:怎样计算圆台的表面积? x S
O’

r' A

x 2?r '
l

上、下底面半径分别为 r '、r, 母线长为l, 1 S圆 台 侧 ? ?C 上 底 面 ? C下 底 面?l 2 ? ? ?r '? r ?l

2?r

O

r

B

? S 表 面 积 ? S 底 面 积 ? S侧 面 积

?立体几何的计算问题,? S 圆台表 ? ? 常常转化为平面几何 的计算问题 ?类比的思维方法

?r' ?r
2

2

? r ' l ? rl

?

思考5:你发现圆柱、圆锥、圆台三者的表面
积计算式之间有什么关系吗?

O?

r 'O’
l
l

r

l
O

r
r’ = r

O

r
r ’= 0

O

S 表 ? 2?r ( r ? l )

S 表 ? ?r ( r ? l )

S 表 ? ? ( r ?2 ? r 2 ? r ?l ? rl )

题型1:多面体的表面积
1.求棱长为 a的正四面体的表面积 .
A

S

C
B

2.已知正四棱锥底面正方 形的边长为4cm, 高与斜高的夹角为30 ?,求其表面积.
计算中的基本三角形: △POE,△POA

题型1:多面体的表面积
3.已知正四棱台上底面边 长为6, 高和下底面边长都是12,求它 的侧面积. 变式:一个正四棱台两 底面边长 分别为m , n,侧面积等于两个底 面积之和,求棱台的高.
计算中的基本直角梯形:梯 形O1OMM1和O1A1AO

题型2:旋转体的表面积
1. 如图所示,一个圆台形花盆盆口直径为20 cm,盆底 直径为15cm,底部渗水圆孔直径为1.5cm,盆壁长 15cm. 为了美化花盆的外观,需要涂油漆. 已知每平 方米用100毫升,涂100个这样的花盆需要多少油漆?
分析:只要求出每一个花盆 外壁的面积,就可求出油漆 的用量。而花盆面积等于花 盆的侧面面积加上底面积, 再减去底面圆孔的面积。

20cm 15cm 15cm

题型2:旋转体的表面积
2.一个圆柱形锅炉的底面半径 为1m,侧面展开图为正方形, 则它的表面积为__________.

变式:一个圆柱的侧面展开图 是一个正方形,求圆柱的全面 积与侧面积的比.
3.已知圆锥的表面积为a m2,且它的侧面展 开图是一个半圆,求这个圆锥的底面直径.

题型3:组合体的表面积
1. 平行四边形邻边长为3和4,夹角为 45? . 以长为4的边所在直线为轴,旋 转这个平行四边形360? 所得的几何体 的表面积是多少? 变式1:若分别以两边所在的直线为 轴旋转,得到的几何体的表面积为 S1,S2,比较S1,S2的大小. 变式2:若邻边长改为a和b(a>b),夹 角大小为θ,比较S1,S2的大小.

题型3:组合体的表面积
2. 圆锥的高和底面半径相等,它的 一个内接圆柱的高和圆柱的底面 半径也相等,求圆柱的表面积和 圆锥的表面积之比. 变式1:设圆锥的底面半径为R, 高为H,内接圆柱的高为x,用 R,H,x表示圆柱的侧面积. 变式2:在变式1的基础上,当x 为何值时,圆柱的侧面积最大?
函数思想:转化为函数最值

常用的轴截面

题型4:最短距离问题
1. 长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a, BC=b,BB1=c,且a>b>c,求沿着长方 体的表面自A到C1的最短线路的长. 变式:(2006江西)已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为1,高为8,一质 点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行 两周到达点A1的最短路线的长为_____.

题型4:最短距离问题
2. 圆锥的半径为r,母线长为4r,M是 底面圆上任意一点,从M拉一根绳 子,环绕圆锥的侧面再回到M,求 最短绳长. 变式:圆柱的轴截面是边长为5的 正方形ABCD,从A到C圆柱侧面上 的最短距离是______.

练习
四棱柱底面为菱形,各侧面为矩形,过不相邻的两 条侧棱的截面面积分别为k1、k2,求它的侧面积.

2 有两个相同的直三棱柱的高为 ,底面三角形的三 a
四棱柱,在所有可能的情形中,表面积最小的是一 个四棱柱,则a的取值范围是多少?

边长分别为3a,4a,5a(a>0). 用它们拼成一个三棱柱或

总结:多面体与旋转体的表面积
S 表 面 积 ? S 底 面 积 ? S侧 面 积

S圆 柱 侧 ? C 底 面l ? 2?rl

S圆 锥 侧 ? 1 C 底 面l ? ?rl 2
S圆 台 侧 ?
1 2

? ? ?r ? R ?l

?C上 底 面? C下 底 面?l

总结: 本节学习了柱体、锥体、台体的表面积,在推导过程中我们 把它们转化为平面图形,它是解决立体几何问题最常用的方法。 1,棱柱、棱锥和棱台的表面积。 2,圆柱、圆锥和圆台的表面积。


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