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数量积应用


学 而 思 则 优
一.课标要求:

习惯成就未来

细节决定成败!

高中数学

陈老师

高中数学复习------- 平面向量的数量积及应用
1.平面向量的数量积 ①通过物理中"功"等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义;②体会平面向量的数量积与向量投影的关系; ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算; ④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。 2.向量的应用:经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一 种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。 二.命题走向 本讲以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质,重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数 几何的结合体,此类题难度不大,分值 5~9 分。 平面向量的综合问题是“新热点”题型,其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系,解决角度、垂直、共线等问 题,以解答题为主。 高考预测: (1)一道选择题和填空题,重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题;属于中档题目。 (2)一道解答题,可能以三角、数列、解析几何为载体,考察向量的运算和性质; 三.要点精讲 1.向量的数量积 (1)两个非零向量的夹角:已知非零向量 a 与 a,作 OA = a ,OB = b ,则∠AOA=θ(0≤θ≤π)叫 a 与 b 的夹角; 说明: (1)当θ=0时, a 与 b 同向; (2)当θ=π时, a 与 b 反向;

(3)当θ = ? 时, a 与 b 垂直,记 a ⊥ b ; (4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,范围 0?≤?≤180?。

2

(2)数量积的概念:已知两个非零向量 a 与 b ,它们的夹角为 ? ,则 a ? b =︱ a ︱?︱ b ︱cos ? 叫做 a 与 b 的数量 积(或内积) 。规定 0 ? a

?0;
|a|

向量的投影:︱ b ︱cos ? = a ? b ∈R,称为向量 b 在 a 方向上的投影。投影的绝对值称为射影;

(3)数量积的几何意义: (4)向量数量积的性质: ②乘法公式成立

a ?b

等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积。

①向量的模与平方的关系: a ? a ? a 2 ?| a |2 。
2 2 ?b2 ? a ? b ; a ?b 2

?a ? b ? ? ?a ? b ? ? a

?

?

2

? a 2 ? 2a ? b ? b 2 ? a ? 2a ? b ? b

2

2

③平面向量数量积的运算律:交换律成立: a ? b ? b ? a ;对实数的结合律成立: ? ? a ? ? b ? ? a ? b ? a ? ?b ? ? ? R ? ;

? ?

? ?

x1 x 2 ? y1 y 2 a ?b = 分配律成立: a ? b ? c ? a ? c ? b ? c ? c ? a ? b 。④向量的夹角:cos ? = cos ? a , b ?? 2 2 2 2 a?b x1 ? y1 ? x 2 ? y 2
当且仅当两个非零向量 a 与 b 同方向时,θ=0 ,当且仅当 a 与 b 反方向时θ=180 ,同时 0 与其它任何非零向量之间不谈
0 0

?

?

?

?

1

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夹角这一问题。

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(5)两个向量的数量积的坐标运算:已知两个向量 a
0

? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1 x2 ? y1 y2 。

(6)垂直:如果 a 与 b 的夹角为 90 则称 a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 。 两个非零向量垂直的充要条件: a ⊥ b

?

?

? ? ? a ? b =O ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,平面向量数量积的性质。
x 2 ? y 2 。如果表示向量 a 的有向线段的起点

(7)平面内两点间的距离公式:设 a ? ( x, y) ,则 | a | 2 ? x 2 ? y 2 或 | a |? 和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y 2 ) ,那么 | a |? 四.典例解析 题型 1:数量积的概念 例 1.下列命题: (1) 0 ? a (4)若 a ? b

( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)。

?0;

(2) 0 ? a

?0;

(3)若 a

? 0, a ? b ? a ? c ,则 b ? c ;

? a ? c ,则 b ? c 当且仅当 a ? 0 时成立; (5) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) 对任意 a, b , c 向量都成立;
2

(6)对任意向量 a ,有 a

? a

2

。其中真命题有

。 ) D. (a ? b) ? c

例 2. (1)若 a 、 b 、 c 为任意向量,m∈R,则下列等式不一定 成立的是( ... A. (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) B. (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

C.m( a ? b )=m a +m b

? a ? (b ? c)

(2)设 a 、 b 、 c 是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①( a ? b ) c -( c ? a ) b = 0

②| a |-| b |<| a -

b|

③( b ? c ) a -( c ? a ) b 不与 c 垂直 ④(3 a +2 b ) (3 a -2 b )=9| a | -4| b | 中,
2 2

是真命题的有( 题型 2:向量的夹角



A.①②

B.②③

C.③④

D.②④

例 3. (1)已知向量 a 、 b 满足 | a |? 1 、 | b |? A.

4 ,且 a ? b ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为(



? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2


(2)已知向量 a =(cos ? ,sin ? ), b =(cos ? ,sin ? ),且 a (3)已知两单位向量 a 与 b 的夹角为 120 ,若 c (4)|
0

? ? b ,那么 a ? b 与 a ? b 的夹角的大小是

? 2a ? b , d ? 3b ? a ,试求 c 与 d 的夹角。


a |=1,| b

|=2, c =

a + b ,且 c ⊥ a ,则向量 a 与 b 的夹角为(
C.120°

A.30°

B.60°

D.150° 、 b3 ,满足 | bi

例 4. (1)设平面向量 a1 、 a2 、 a3 的和 a1 时针旋转 30 后与 bi 同向,其中 i
o

? a 2 ? a3 ? 0 。如果向量 b1 、 b2


|? 2 | a i | ,且 ai



? 1, 2,3 ,则(

2

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A.- b1 + b2 + b3 = 0 (2)已知 | a |? A. [0, ? ]

习惯成就未来 B. b1 - b2 + b3 = 0 且关于 x 的方程 x B. [? , ? ]
2

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C. b1 + b2 - b3 = 0

D. b1 + b2 + b3 = 0 则 a 与 b 的夹角的取值范围是( )

2 | b |? 0,

? | a | x ? a ? b ? 0 有实根,
3 3

6

3

C. [ ? , 2? ]

D. [? , ? ]

6

题型 3:向量的模 例 5. (1)已知向量 a 与 b 的夹角为 120 , a ? 3, a ? b ? 13, 则 A.5 B.4 C.3 D.1
2
o

b

等于(



(2)设向量 a, b, c 满足 a ? b ? c ? 0 , a ? b,| a |? 1,| b |? 2 ,则 | c | A.1 B. 2 C.4 D.5

?(



? ? ? ? ? ? ? 例 6.已知 a =(3,4) , b =(4,3) ,求 x,y 的值使(x a +y b )⊥ a ,且|x a +y b |=1。
题型 4:向量的投影 例 7. 影的数量为 的外接圆的圆心为 O,半径为 1,若 ( ) A . B . ,且 C . 3 ,则向量 D. 在向量 方向上的射

练习、设

A(a,1) , B(2, b) , C (4,5) 为坐标平面上三点, O 为坐标原点,若 OA 与 OB 在 OC 方向上的投影相同,
) (B) 5a ? 4b

则 a 与 b 满足的关系式为( (A) 4a ? 5b

?3

?3

(C) 4a ? 5b

? 14

(D) 5a ? 4b

? 14


题型 5:向量的平移 例 8、若函数

y ? f ( x) 的图象按向量 a 平移后,得到函数 y ? f ( x ? 1) ? 2 的图象,则向量 a = (
, ? 2) B. (1
(B) e -2
x+3

, ? 2) A. (?1
(A) e +2 2、把函数 A. e
x
x-3

, 2) C. (?1
(C) e +3
x-2

, 2) D. (1
) (D) ex+2-3 )

练习 1、把函数 y=ex 的图象按向量 a=(2,3)平移,得到 y=f(x)的图象,则 f(x)=(

y ? ex 的图像按向量 a ? (2,0) 平移,得到 y ? f ( x) 的图像,则 f ( x) ? (
B. e
x

?2

?2

C. e

x?2

D. e

x?2

题型 6:向量垂直、平行的判定 例 8.已知向量 a 例 9. 已知 a

? (2,3) , b ? ( x,6) ,且 a // b ,则 x ?



按下列条件求实数 ? 的值。 (1)m ? n ; (2)m // n ; ? ? 4,3? ,b ? ? ?1, 2? ,m ? a ? ?b , n ? 2a ? b , 。

(3) m ? n

题型 7:综合应用
22 22 例 10.已知 a 。 ? bc ? 1 , ? d ? 1 , 求 证 : | a c ? b d | ? 1

3

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? ?

例 11.已知 a ,其中 0 ? ? ? c o s , s i n , b ? c o s , s i n
? ? ? ?

? ?? ? ?? ? ?
? ?

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?? ??



(1)求证: a + b 与 a - b 互相垂直; (2)若 ka )的长度相等,求 ? ??。 ?b与 ka?b( k?0

? ?

例 12.已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,求 PA ? PB 的最小值. k#s5_u.c

A

O

P

B

例 13.【2012 高考真题上海理 12】在平行四边形 ABCD 中, ?A ? 别是边 BC 、 CD 上的点,且满足 | BM | ? | CN | ,求

?
3

,边

AB 、 AD 的长分别为 2、1,若 M 、 N
【答案】[2,5].



AM ? AN 的取值范围。

| BC |

| CD |

4

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课后考点专项巩固 考点一:向量的概念、向量的基本定理

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→ → → → → → 1、在△ABC 中,有如下命题,其中正确的是(C )①AB-AC=BC ②AB+BC+CA=0 则△ABC 为等腰三角形 A.①② → → ④若AB· BC>0,则△ABC 为锐角三角形 ( C.②③ B.a⊙b=b⊙a ) D.②③④

→ → → → ③若(AB+AC)· (AB-AC)=0,

B.①④

2、定义向量间的一种运算“⊙”如下:对任意的 a=(m,n),b=(p,q),令 a⊙b=mq-np,下面说法错误的是( A.若 a 与 b 共线,则 a⊙b=0 3、直角坐标系 C.对任意的 λ∈R,有(λa)⊙b=λ(a⊙b)
2 2

)
2

D.(a⊙b) +(a· b) =|a| |b|2

xOy 中, i , j 分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量.在直角三角形 ABC 中,
? ? ? AC ? 3 i ? k j ,则 k 的可能值个数是(
C.3 D.4 )

若 AB ? 2 i ? j , A.1 B.2

?

4、如图,平面内有三个向量 OA 、 OB 、 OC ,其中与 OA 与 OB 的夹角为 120°,

OA 与 OC 的夹角为 30°,且| OA |=| OB |=1,| OC |
则λ +μ 的值为 考点二:向量的运算 一、选择题 (1)设 a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=( (2)已知平面向量 A. (-2,-4) .

= 2 3 ,若 OC =λ

OA +μ OB (λ

,μ ∈R),

) A.(-15,12)

B.0 )

C.-3

D.-11

a ? (1,2), b ? (?2, m) ,且 a ∥ b ,则 2a ? 3b =(
B. (-3,-6) C. (-4,-8)

D. (-5,-10) )

(3)已知平面向量 a =(1,-3) , b =(4,-2) , ? a ? b 与 a 垂直,则 ? 是( A. -1 B. 1 C. -2 D. 2

(4 ) 在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O, E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交于点 F. 若 AC

? a , BD ? b ,



AF ? (

1 1 a? b 4 2 ) A.

2 1 a? b 3 3 B.

1 1 a? b 2 4 C.

1 2 a? b 3 3 D.


(5)设向量 a,b,c 满足 A.2

a

b =
3

1 a ? c, b ? c = 600 ,则 c 的最大值等于( =1, a b = 2 , ?
C.

B.

2

D.1 )

(6)在四边形 ABCD 中,

AC ? (1, 2) , BD ? (?4, 2) ,则四边形的面积为(
B. 2

A.

5

5

C.5

D.10

? π ? ?x π? a ? ?? , ? 2? y ? 2 cos ? ? ? 4 3 6 ? ? 平移,则平移后所得图象的解析式为( ? ? (7)将 的图象按向量
?x π? y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? A. ? x π? y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? B.



?x π ? y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ? C

?x π ? y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ? D

5

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二、填空题

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? ? ? ?

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? ?

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2 ? (1)已知 e1 , e2 是夹角为 3
? ?

的两个单位向量, a ? e1 ? 2 e2 , b ? k e1 ? e2 , 若 a? b ? 0 ,则 k 的值为

? ?

.

(2)已知向量 a, b 满足 (a ? ?b) ? (a ? b) ? ?? ,且 (3)已知

a ? 1 , b ? 2 ,则 a 与 b 的夹角为

.

a ? b ? 2 (a ? 2b) (a ? b) , · =-2,则 a 与 b 的夹角为
0

(4)已知向量 a 和 b 的夹角为 120 ,

| a |? 1,| b |? 3 则 | 5a ? b |?

PA ? 3PB 0 (6)已知直角梯形 ABCD 中, AD // BC , ?ADC ? 90 , AD ? 2, BC ? 1 , P 是腰 DC 上的动点,则 的最小 值为____________.
考点三:向量与三角函数的综合问题 1、已知向量 a ? ( 3sin x,cos x), b ? (cos x,cos x) ,函数 f ( x) ? 2a ? b ?1 (1)求 f ( x) 的最小正周期;
x ?[ , ] 6 2 时, 若 f ( x) ? 1, 求 x 的值.

?

?

(2)当

→ → → 2、已知向量OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-(3+m)). (1)若点 A、B、C 不能构成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若△ABC 为直角三角形,求实数 m 的值.

3、已知点 A(1,0),B(0,1),C(2sinθ,cosθ). → → (1)求|AC|=|BC|,求 tanθ 的值; → → → (2)若(OA+2OB)· OC=1,其中 O 为坐标原点,求 sin2θ 的值.

6

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例 1.解析: (1)错; (2)对; (3)错; (4)错; (5)错; (6)对。 点评:通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系,重点清楚 0 ? a 为零向量,而 0 ? a 为零。 例 2.解析: (1)答案:D;因为 (a ? b) ? c

?| a | ? | b | cos? ? c ,而 a ? (b ? c) ?| b | ? | c | cos ? ? a ;而 c 方向与 a 方向

不一定同向。 (2)答案:D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假;②由向量的减法运算可知| a |、| b |、| a - b | 恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边” ,故②真;③因为[ ( b ? c ) a -( c ? a ) b ] ? c =( b ? c ) (3 a -2 b )=9? a ? a -4 b ? b =9| a | -4| b | a ? c -( c ? a ) b ? c =0,所以垂直.故③假;④(3 a +2 b )
2 2

成立。故④真。点评:本题考查平面向量的数量积及运算律,向量的数量积运算不满足结合律。 例 3 解析: (1)C; (2) 所以, a ? b

? ; (3)由题意, a ? b ? 1 ,且 a 与 b 2
1 , 2
2

的夹角为 120 ,

0

? a b cos1200 ? ?

c ? c ? c ? (2a ? b ) ? (2a ? b ) ? 4a 2 ? 4a ? b ? b 2 ? 7 ,

? c ? 7 ,同理可得? d ? 13 。而 c ? d ? (2a ? b ) ? (3b ? a ) ? 7a ? b ? 3b 2 ? 2a 2 ? ?
设 ? 为 c 与 d 的夹角,则 cos?

17 , 2

?

17 2 7 13
? ?

??

17 91 。 182
? ?

(4)C;设所求两向量的夹角为 ?

c ? a ? b    c?a

?

? c . a ? ( a? b ) . a?

?

?

?

?

?2

?

a? .a b ?0

?

?

?| a | ? ? | a || b | cos ?
2

?

?

?

即: cos ?

?

? | a |2 | a || b |
? ?

?

??

|a| |b|
?

?

??

1 2

所以 ?

? 120o.

点评:解决向量的夹角问题时要借助于公式 cos?
? ? ? ?

?

a ?b | a |?|b|

,要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间

的乘法计算可见一斑。对于 a . b 必需掌握。

?| a || b | cos ? 这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直(平行)的充要条件

例 4 解析: (1)D; (2)B;点评:对于平面向量的数量积要学会技巧性应用,解决好实际问题。 例 5.解析: (1)B; (2)D;点评:掌握向量数量积的逆运算 |

a |?

a ?b | b | cos Q

,以及 a

2

?| a | 2 。

例 6 解析:由 a =(3,4) , b =(4,3) ,有 x a +y b =(3x+4y,4x+3y);又(x a +y b )⊥ a

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? (x a +y b )? a =0

? 3(3x+4y)+4(4x+3y)=0;即 25x+24y=0 ? (3x+4y)
2 2

①;又|x a +y b |=1 ? |x a +y b | =1;
2 2 2 2

?

?

?

?

+(4x+3y) =1;整理得 25x +48xy+25y =1即 x(25x+24y)+24xy+25y =1


②;

由①②有 24xy+25y =1

③;将①变形代入③可得:y=±

5 ; 7

7

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24 ? 24 ? 再代回①得: ? ? x ? 35 ? ? x ? ? 35 。点评:这里两个条件互相制约,注意体现方程组思想。 和? ? ?y ? ? 5 ?y ? 5 ? 7 ? 7 ? ?

例 7.解析:∵ a // b ,∴ x1 y 2 例 8 解析: m ? a ? ?b (1) m

? x2 y1 ,∴ 2 ? 6 ? 3 x ,∴ x ? 4 。

? ? 4 ? ? ,3 ? 2? ? , n ? 2a ? b ? ? 7,8?

52 ; 9 1 (2) m // n ? ?4 ? ? ? ? 8 ? ?3 ? 2? ? ? 7 ? 0 ? ? ? ? ; 2
? n ? ?4 ? ? ? ? 7 ? ?3 ? 2? ? ? 8 ? 0 ? ? ? ?

(3) m ? n ?

?4 ? ? ?2 ? ?3 ? 2? ?2

? 7 2 ? 8 2 ? 5?2 ? 4? ? 88 ? 0 ? ? ?

2 ? 2 11 。 5

点评:此例展示了向量在坐标形式下的平行、垂直、模的基本运算。 例 9 分析: ab ,可以看作向量 x ?? 1 , c ?? d1
2 2 2 2

则是 x 、 c ? b d ? (a,b), y ? (c,d ) 的模的平方,而 a

y 的数量积,从而运用数量积的性质证出该不等式。
则x?

证明:设 x

? (a,b), y ? (c,d )

y ? ac ? bd, | x |? a 2 ? b 2 , | y |? c 2 ? d 2



?| x ? y |?| x | ? | y | , ?| ac ? bd |? a 2 ? b 2 ? c 2 ? d 2 ? 1

点 评 : 在 向 量 这 部 分 内 容 的 学 习 过 程 中 , 我 们 接 触 了 不 少 含 不 等 式 结 构 的 式 子 , 如 等。 | a ? b | ? | a | ? | b | , | a ? b | ? | a | ? | b | ; a ? b ? | a ? b | ? | a | ? | b |

a + b ) · ( a - b ) ? a ? a · b + b · a - b 例 10 解析: (1)因为 (
2 2 2 2 2 2 ? a ? b ? || a ? || b ? c o s ? s i n ? c o s ? s i n 所以 a + b 与 a - b 互相垂直。 2 2? ? ? ?

2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?? ? ?
? ?

?

?

?

?

? 1 ? 1 ? 0

a + b ? k c o sc ? o s , k s i n ? s i n a ? b ? k c o s ? c o s , k s i n ? s i n (2) k ,k ,

? ?

?

?? ?? ?
? ? ? ?
2

?

?? ?? ?

k a ? b | ? k ? 2 k c o s? ? 1 k a ? b | ? k ? 2 k c o s? ? 1 所以 | , | ,
2 2

? ?

? ?

因为 | ,所以 k , ?? 2 k c o s? 1 ? k ?? 2 k c o s? 1 k a ? b | ? |k a ? b |
2

??

??

k c o s ? ? ? 2 k c o s ? o s 有2 因为 k?0 ,故 c
又因为 0

? ?

? ? ? ? ? ?

??

? ?
?
2


??

? ?

? ? ? ?

?? ? ? 0 , ? ?

? ? ? ? ? ?, 0 ? ? ? ? ? ? ,所以 ??? ?

点评:平面向量与三角函数在“角”之间存在着密切的联系。如果在平面向量与三角函数的交汇处设计考题,其形式 多样,解法灵活,极富思维性和挑战性。若根据所给的三角式的结构及向量间的相互关系进行处理。可使解题过程得到简 化,从而提高解题的速度。 例 11【答案】D 【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生 8

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综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析 1】如图所示:设 PA=PB= x

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( x ? 0) ,∠APO= ? ,则∠APB= 2?



A O P B

PO=

1 ? x2

, sin ?

?

1 1? x
2



PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2? = x2 (1 ? 2sin 2 ? ) =
即x
4

x 2 ( x 2 ? 1) x 4 ? x 2 = 2 x2 ? 1 x ?1

,令 PA ?PB

?y

,则

y?

x4 ? x2 x2 ? 1



? (1 ? y) x2 ? y ? 0 ,由 x 2 是实数,所以 w_w w. k#s5_u.c o*m


? ? [?(1 ? y)]2 ? 4 ?1? (? y) ? 0

y2 ? 6 y ?1 ? 0

, 解 得

y? ? 3

? 2

或 y ? ?3 ? 2 2 2

. 故

(PA ? PB)min ? ?3 ? 2 2 .此时 x ?

2 ?1 .
? ? OA ? a,OP ? b
? OB ? ? a ? ? ? PA ? OA ? OP ? a ? b



12. 证 明 : 联 结

OP , 设 向 量

, 则





? ? ? ? ? ? ? PB ? OB ? OP ? a ? b ? PA? PB ? b 2 ? a 2 ?| b | 2 ? | a | 2 ? 0 ? PA ? PB,即∠APB=90°。
点评:平面向量是一个解决数学问题的很好工具,它具有良好的运算和清晰的几何意义。在数学的各个分支和相关学科中 有着广泛的应用。 例 13.【解析】设

BM BC

?

CN CD

= ? (0≤ ? ≤1) ,则 BM

? ? BC = ? AD , DN ? (1 ? ?)DC = (1 ? ? ) AB ,

则 =

AM ? AN = ( AB ? BM )( AD ? DN ) = ( AB ? ? AD)[AD ? (1 ? ?) AB]
2

AB ? AD + (1 ? ? ) AB

+ ? AD + (1 ? ? ) AD ? AB , 又∵ AB ? AD =2×1× cos

2

?
3

=1, AB =4, AD =1,

2

2



AM ? AN = ? ?2 ? 2? ? 5 ? ?(? ? 1) 2 ? 6 ,

∵0≤ ? ≤1,∴2≤ AM ? AN ≤5,即 AM ? AN 的取值范围是[2,5].

9


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