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浙江版2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编:专题03 导数(解析版)


一.基础题组 1. 【浙江省 2013 学年第一学期十校联合体高三期初联考】 若 f ( x) 的定义域为 R ,f ?( x) ? 2
恒成立, f (?1) ? 2 ,则 f ( x) ? 2 x ? 4 解集为( A. (?1,1) ) D. (??, ??)

, ? ?) B. (?1

C. (??, ?1)

2.【浙江省嘉兴一中 2014 届高三上学期入学摸底测试】记定义在 R 上的函数 y ?

f ( x)

的导函数为 f ' ( x ) . 如果存在 x 0 ? [a , b] , 使得 f (b) ? f (a ) ? f ' ( x 0 )(b ? a ) 成立, 则称 x 0 为函数 f ( x ) 在区间 [a , b] 上的“中值点” .那么函数 f ( x ) ? x 3 ? 3 x 在区间[-2,2]上 “中值点”的为____ .

3.【浙江省 2013 学年第一学期十校联合体高三期初联考】若
1 f ?x ? = ? x 2 ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是___________. 2

1

4. 【 浙 江 省 嘉 兴 市

2014 届 高 三 上 学 期 9 月 月 考 理 】 ( 本 题 14 分 ) 已 知 函 数

f ? x ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c ,曲线 y ? f ? x ? 在点 P(0, f ? 0?) 处的切线是 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 .
(Ⅰ)求 b , c 的值; (Ⅱ)若 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,求 a 的取值范围.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? ? x ? ax ? 2x ? 3 , f ? ? x ? ? 3x ? 2ax ? 2 ,
3 2
2

因为 f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增,所以 f ? ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成 立. ...........8 分

① 当 a ? 0 时, f ? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, 又因为 f ? ? 0? ? 2 ? 0 ,所以 f ? ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上恒成 立. ...................10 分

2

5.【浙江省绍兴市第一中学 2014 届高三上学期回头考理】已知函数 f ? x ? ? x x ? a ? ln x ,
a? R .
(Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ? x ? 在区间 ?1, e? 上的最值; (Ⅱ)若 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. 注: e 是自然对数的底数

试题解析:(Ⅰ) 若 a ? 2 ,则 f ( x) ? x x ? 2 ? ln x .

e] 时, f ? x ? ? x2 ? 2x ? ln x , 当 x ? [2 ,
2 f ? ? x ? ? 2x ? 2 ? 1 ? 2x ? 2x ? 1 ? 0 , x x

所以函数 f ? x ? 在 ? 2 , e? 上单调递增; 当 x ??1, 2? 时, f ? x ? ? ? x2 ? 2x ? ln x ,
2 f ? ? x ? ? ?2 x ? 2 ? 1 ? ?2 x ? 2 x ? 1 ? 0 . x x

3

综上可得,满足条件的 a 的取值范围是 ? ?? , 1? . 考点:利用导数求函数的最值、分段函数、参数分离法

二.能力题组 1.【浙江省嘉兴一中 2014 届高三上学期入学摸底测试】已知函数 f ( x) ?
区间 (0, 4] 上是增函数,则实数 a 的取值范围为 【答案】 (0, ] 【解析】 .
3 ? ax (a ? 1) 在 a ?1

3 4

4

2.【浙江省 2014 届金华一中高三 9 月月考数学试卷】 (本小题满分 15 分)
已知函数 f ? x ? ? x x ? a ? ln x , a ? R . (Ⅰ)若 a ? 2 ,求函数 f ? x ? 在区间 ?1, e? 上的最值; (Ⅱ)若 f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. (注: e 是自然对数的底数)

(ⅰ)当 x ? ? 0 , 1? 时, x ? a ? 0 , ln x ? 0 ,不等式(*)恒成立,所以 a ? R ; x (ⅱ)当 x ? 1 时,

5

考点:绝对值的计算、函数的最值求法、利用导数求函数单调性.

3.【浙江省 2013 学年第一学期十校联合体高三期初联考】 (本小题满分 15 分)已知函数
f ( x) ? a ln x ? 2 (a ? R) . x ?1

(1)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 x ? [1,??) 最小值; (2)若 f ( x) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (3)求证: ln( n ? 1) ?

1 1 1 1 ? ? ??? ( n ? N* ) . 3 5 7 2n ? 1

1 2 x2 ?1 ? f ' ( x) ? ? ? ? 0, x ( x ? 1) 2 x( x ? 1) 2
? h( x) 在 (0,??) 上是增函数.

f ( x)min ? f (1) ? 1 .

6

综合①②③知: a ?

1 . 2

??? 9 分

(法二)当 n ? 1 时, ln(n ? 1) ? ln 2 .

1 ? 3ln 2 ? ln 8 ? 1 ,? ln 2 ? ,即 n ? 1 时命题成立. 3

7

考点:1.求导判单调性;2.方程与根的关系;3.数学归纳法.

三.拔高题组 1. 【温州市十校联合体 2014 届高三 10 月测试理】 已知 f ? x ? 是可导的函数, 且 f ?( x) ?
对于 x ? R 恒成立,则( ) B. f (1) ? ef (0), f (2014 ) ? e 2014 f (0) D. f (1) ? ef (0), f (2014 ) ? e 2014 f (0) A. f (1) ? ef (0), f (2014 ) ? e 2014 f (0) C. f (1) ? ef (0), f (2014 ) ? e 2014 f (0)

f ( x)

2. 【 浙 江 省 嘉 兴 一 中

2014 届 高 三 上 学 期 入 学 摸 底 测 试 】 已 知 函 数

f ( x) ? x 2 ? a ln x(a ? 0, a ? R).
(Ⅰ)若对任意 x ? [1,??) ,使得 f ( x ) ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 证明: 对 n? N * , 不等式
1 1 1 2013 ? ??? ? 成立. ln(n ? 1) ln(n ? 2) ln(n ? 2013) n( n ? 2013)

8

考点:查导数,函数的单调性,数列求和,不等式证明

3.【2013 学年浙江省五校联考理】 (本题满分 15 分)
1 (ax ? 1)2 , x ? (0,1] ,它的一个极值点是 x ? . 已知函数 f ( x) ? 2 2? x
(Ⅰ) 求 a 的值及 f ( x) 的值域;

9

(Ⅱ)设函数 g ( x) ? ex ? 4 x ? 4x ? a ,试求函数 F ( x) ? g ( x) ? f ( x) 的零点的个数.

g ' ( x) ? e x ?

2 4 4 ? 4 ? x ?1? ? 4 ? 2 ( x ? 1)? ? 4 ? 0 .所以,函数 g ( x) 在区间 x ?1 x ?1 x

(0,1] 上单调递增.

10

4. 【浙江省 2013 学年第一学期温州八校高三期初联考】 设函数 f ( x) ? x ?1e x 的定义域为 (0,
? ? ).
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 在 [m, m ? 1](m ? 0) 上的最小值; (Ⅱ)设函数 g ( x ) ?

1 ,如果 x1 ? x 2 ,且 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,证明: x1 ? x2 ? 2 . f ( x)

当 0 ? m ? 1时,函数 f ( x ) 在[m, 1]上是减函数,在[1,m+1]上是增函数, 此时 f ( x) min ? f (1) ? e ; (Ⅱ)证明:考察函数 g ( x) ? xe
?x

???6 分
?x

, g ( x) ? (1 ? x)e
'

11

因为 x2 ? 1 ,所以 2 ? x2 ? 1,又由结论 1 可知函数 g(x)在区间(-∞,1)内是增函数, 所以 x1 > 2 ? x2 , 即 x1 ? x2 >2. 分 考点:导数,函数的单调性,分类讨论. ????????? 15

5.【浙江省温州市十校联合体 2014 届高三 10 月测试理】
已知函数 f ? x ? ? ?2 x ? 2 ?e
?x

( e 为自然对数的底数)

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; ( 2 ) 设 函 数 ? ?x ? ?

1 1 xf ? x ? ? tf ?? x ? ? e ? x , 是 否 存 在 实 数 x1 , x 2 ? ?0,1? , 使 得 2 2

2? ?x1 ? ? ? ?x 2 ? ?若存在,求出实数 t 的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) f ( x) 在 ?? ?,0 ? 上单调递增,在 ?0,?? ? 上单调递减; (2)

e t ? (??,3 ? 2e) ? (3 ? , ??) . 2
【解析】 试题分析: (1)求函数 f ( x) 的导数 f ?? x ? ?

? 2x ,从而求出函数的单调区间; (2)这是一 ex

个能成立问题,转化为 2[? ? x ?] min ? [? ? x ?] max ,再结合分类讨论求解实数 t 的取值范围.

12

6.【浙江省 2014 届金华一中高三 9 月月考数学试卷】 (本小题满分 15 分)
已知函数 f ( x) ?
mx x ?n
2

(m, n ? R) 在 x ? 1 处取得极值 2 .

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)设 A 是曲线 y ? f ( x) 上除原点 O 外的任意一点,过 OA 的中点且垂直于 x 轴的直线 交曲线于点 B ,试问:是否存在这样的点 A ,使得曲线在点 B 处的切线与 OA 平行? 若存在,求出点 A 的坐标;若不存在,说明理由;

13

(Ⅲ)设函数 g ( x) ? x 2 ? 2ax ? a ,若对于任意 x1 ? R ,总存在 x2 ?[?1,1] ,使得

g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,求实数 a 的取值范围.

2 ∴ x0 ? ,得 x0 ? ?

4

2 5 5

5

.故存在满足条件的点 A

14

∵对于任意的 x1 ? R ,总存在 x2 ?[?1,1] ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) ,∴当 x ? [?1,1] 时, g ( x) ? x2 ? 2ax ? a ? ?2 有解,即 (2 x ? 1)a ? x 2 ? 2 在 [ ?1,1] 上有解.令 2 x ? 1 ? t ,则

x2 ?

t ? 2t ? 1 4

2

,

15

16


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