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北京市2016届高三数学理一轮复习专题突破训练:数列


北京市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练


一、选择、填空题



1、(2015 年北京高考)设 ?an ?是等差数列. 下列结论中正确的是 A.若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 C.若 0 ? a1 ? a2 ,则 a2 ? B.若 a1 ? a3 ? 0 ,则 a1

? a2 ? 0 D.若 a1 ? 0 ,则 (a2 ? a1 )?a2 ? a3 ? ? 0

a1a3

2、(2014 年北京高考)若等差数列 ?an ? 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0 , a7 ? a10 ? 0 ,则当 n ? ______时,

?an ? 的前 n 项和最大.
3、(2013 年北京高考)若等比数列{an}满足 a2+a4=20,a3+a5=40,则公比 q=__________;前 n 项和 Sn=__________. 4、(朝阳区2015届高三一模)设S n为等差数列 项公式 =____。 的前n 项和。若 ,则通

5、 (东城区 2015 届高三二模) 已知 {an } 为各项都是正数的等比数列, 若 a4 ? a8 ? 4 , 则 a5 ?a6 ?a7 ? (A) 4 (C) 16 (B) 8 (D) 64

6、(丰台区 2015 届高三一模)在等比数列 {a n } 中, a3 ? a4 ? 4 , a2 ? 2 ,则公比 q 等于 (A) -2 (B) 1 或-2 (C) 1 (D)1 或 2

7、(海淀区 2015 届高三二模)若等比数列 {an } 满足 a2 a6 ? 64 , a3a4 ? 32 ,则公比 q ? _____;
2 2 a12 ? a2 ??? an ?



8、(石景山区 2015 届高三一模)等差数列 ?an ? 中, am ? 之和为( A. ) B.

1 1 , ak ? (m ? k ) ,则该数列前 mk 项 k m

mk ?1 2

mk 2

C.

mk ? 1 2

D.

mk ?1 2


9、(西城区2015届高三一模)若数列an满足a1 ??-2,且对于任意的m, n ? N ,都有 am?n ? am ? an ?, 则 a3 ?? ;数列?? an??? 前10 项的和S10 ?? .

10、(大兴区 2015 届高三上学期期末)已知数列 ?an ? 为等差数列,若 a1 ? a3 ? 4 , a2 ? a4 ? 10 ,则

?an ? 的前 n 项和 Sn ? _____.
11、 (丰台区 2015 届高三上学期期末) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 如果 a1 ? 2 ,a3 ? a5 ? 22 , 那么 S3 等于_____ 12、(北京四中 2015 届高三上学期期中)在等差数列 {an } 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则该数列前

11 项和 S11 =

.

13 、 (东 城区 示范 校 2015 届高 三 上学 期综 合能力 测 试 ) 数列 ?an ? 的 前 n 项 和 记 为 S n , 若

1 , 2a n ?1 ? S n ? 0 , n ? 1, 2, ...,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ? _______________ 2 14、 (东城区 2015 届高三 4 月综合练习 (一) ) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 若 S2 ? 8 , S4 ? 12 , a1 ?
则 {an } 的公差 d ? .

15、()已知 m, 4, n 是等差数列,那么 ( 2)m ? ( 2)n =______; mn 的最大值为______

二、解答题 1 、 ( 2015

年 北 京 高 考 ) 已 知 数 列

?an ?

满 足 : a1 ? N* ,

a1 ? 36 , 且

? 2an , an ? 18 ?n ? 1,2?? . an?1 ? ? ?2an ? 36, an. ? 18
? 记集合 M ? an n ? N .

?

?

(Ⅰ)若 a1 ? 6 ,写出集合 M 的所有元素; (Ⅱ)若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,证明: M 的所有元素都是 3 的倍数; (Ⅲ)求集合 M 的元素个数的最大值. 2、(2014 年北京高考)对于数对序列 P(a1 , b1 ),(a2 , b2 ),?,(an , bn ) ,记 T1 ( P) ? a1 ? b1 ,

Tk ( P) ? bk ? max{Tk ?1 ( P), a1 ? a2 ? ? ? ak }(2 ? k ? n) ,其中 max{Tk ?1 ( P), a1 ? a2 ? ? ? ak }表示 Tk ?1 ( P) 和 a1 ? a2 ? ? ? ak 两个数中最大的数,
(1)对于数对序列 P(2,5), P(4,1) ,求 T1 ( P), T2 ( P) 的值. (2)记

m 为 a, b, c, d

四个数中最小值,对于由两个数对

(a, b),(c, d ) 组 成 的 数 对 序 列

试分别对 m ? a 和 m ? d 的两种情况比较 T2 ( P) 和 T2 ( P ') 的大 P(a, b),(c, d ) 和 P '(a, b),(c, d ) , 小.

(3)在由 5 个数对 (11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6) 组成的所有数对序列中,写出一个数对序 列 P 使 T5 ( P) 最小,并写出 T5 ( P) 的值.(只需写出结论).

3、(2013 年北京高考)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前 n 项的最大值记为 An, 第 n 项之后各项 an+1,an+2,?的最小值记为 Bn,dn=An-Bn. (1)若{an}为 2,1,4,3,2,1,4,3,?,是一个周期为 4 的数列(即对任意 n∈N*,an+4=an),写出 d1, d2,d3,d4 的值; (2)设 d 是非负整数, 证明: dn=-d(n=1,2,3, ?)的充分必要条件为{an}是公差为 d 的等差数列; (3)证明:若 a1=2,dn=1(n=1,2,3,?),则{an}的项只能是 1 或者 2,且有无穷多项为 1. 4、 (朝阳区2015届高三一模) 若数列 是数列 (1)若数列 (2)若数列 中不超过 f (m)的项数恰为b m (m∈N * ), 则称数列 生成
2 的控制函数。设 f (m) = m 。

的生成数列,称相应的函数 f (m)是

单调递增,且所有项都是自然数, b1 =1,求a1; 单调递增,且所有项都是自然数, a 1= b1 ,求a1 ; 生成
2 的控制函数 g(n) = pn + qn + r (其

(3)若an = 2 n (n =1 ,2 ,3 ) ,是否存在 中常数p,q,r∈Z),使得数列 说明理

也是数列{ } m b 的生成数列?若存在,求出 g (n);若不存在,

5、 (东城区 2015 届高三二模) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且满足 a1 ? a(a ? 3) , an?1 ? S n ? 3n , 设 bn ? S n ? 3n , n ? N? . (Ⅰ)求证:数列 {bn } 是等比数列; (Ⅱ)若 an?1 ? an , n ? N? ,求实数 a 的最小值; (Ⅲ)当 a ? 4 时,给出一个新数列 {en } ,其中 en ? ?

?3 , n ? 1, 设这个新数列的前 n 项和为 C n , ?bn , n ? 2.

若 C n 可以写成 t p ( t , p ? N? 且 t ? 1, p ? 1 )的形式,则称 C n 为“指数型和”.问 {Cn } 中的项 是否存在“指数型和”,若存在,求出所有“指数型和”;若不存在,请说明理由.

6、(房山区 2015 届高三一模)下表给出一个“等差数阵”: 4 7 ( ) ( ) ? 7 12 ( ( ? ) ) ( ( ( ( ? ) ) ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ? ( ( ( ( ? ) ) ) ) ? ? ? ? ? ? ?

a1 j
a2 j a3 j a4 j
?

? ? ? ? ? ? ?

ai1
?

ai 2
?

ai 3
?

ai 4
?

ai 5
?

aij
?

其中每行、每列都是等差数列, aij 表示位于第 i 行第 j 列的数. (I)写出 a45 的值; (II)写出 aij 的计算公式; (III)证明:正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2 N ? 1 可以分解成两个不是 1 的正整数之 积.. 7、 (丰台区 2015 届高三一模)如果数列 A :a1 ,a2 ,?,am (m ? Z ,且 m ? 3) ,满足: ① ai ? Z ,

?

m m ? ai ? (i ? 1, 2,? , m) ; 2 2

② a1 ? a2 ? ? ? am ? 1 ,那么称数列 A 为“Ω”数列.

(Ⅰ)已知数列 M :-2,1,3,-1;数列 N :0,1,0,-1,1.试判断数列 M , N 是否为“Ω” 数列; (Ⅱ)是否存在一个等差数列是“Ω”数列?请证明你的结论; (Ⅲ)如果数列 A 是“Ω”数列,求证:数列 A 中必定存在若干项之和为 0. 8、(海淀区 2015 届高三二模)对于数列 A : a1 , a2 ,L , an ,经过变换 T : 交换 A 中某相邻两段的位置 (数列 A 中的一项或连续的几项称为一段),得到数列 T ( A) .例如,数列 A :

a1 , ???, ai , ai ?1 , ???, ai ? p , ai ? p ?1 , ???, ai ? p ? q , ai ? p ? q ?1 , L , an ( p ? 1 , q ? 1 ) 1444 42 4444 3 1444442 444443
M N

经交换 M , N 两段位置,变换为数列 T ( A) :

a1 , ???, ai , ai ? p ?1 , ???, ai ? p ? q , ai ?1 , ???, ai ? p , ai ? p ? q ?1 , L , an . 1444442 444443 1444 42 4444 3
N M

设 A0 是有穷数列,令 Ak ?1 ? T ( Ak )(k ? 0,1, 2,L ) .

(Ⅰ)如果数列 A0 为 3, 2,1 ,且 A2 为 1, 2,3 . 写出数列 A 1 ;(写出一个即可) (Ⅱ)如果数列 A0 为 9,8,7,6,5, 4,3, 2,1, A 1 为 5, 4,9,8,7,6,3, 2,1 , A2 为 5,6,3, 4,9,8,7, 2,1 , A 5 为 1, 2,3, 4,5,6,7,8,9 .写出数列 A3 , A4 ;(写出一组即可) (Ⅲ)如果数列 A0 为等差数列: 2015, 2014, L ,1, An 为等差数列:1, 2,L , 2015 ,求 n 的最小值.

9、(石景山区 2015 届高三一模)设数列 ?an ? 满足: ① a1 ? 1 ; ②所有项 an ? N * ; ③ 1 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? an?1 ? ?. 设集合 Am ? ?n|an ? m, m ? N *?,将集合 Am 中的元素的最大值记为 bm ,即 bm 是数列 ?an ? 中满 足不等式 an ? m 的所有项的项数的最大值.我们称数列 ?bn ? 为数 ?an ? 的伴随数列.例如,数列 1, 3,5 的伴随数列为 1,1,2,2,3. (Ⅰ)若数列 ?an ? 的伴随数列为 1,1,1,2,2,2,3,请写出数列 ?an ? ; (Ⅱ)设 an ? 3
n ?1

,求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bn ? 的前 30 项之和;
2

(Ⅲ)若数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? n ? c (其中 c 常数),求数列 ?an ? 的伴随数列 ?bm ? 的前 m 项和 Tm .

10、 (西城区2015届高三一模) 已知点列

(k∈N*,k≥2)满足P 1(1,1), 一个成立. ⑴写出满足k = 4且P 4(1,1)的所有点列; ⑵证明:对于任意给定的k (k∈N*,k≥2),不存在点列T ,使得 ;

中有且只有

⑶当k = 2n ?1且

时,求

的最大值.

11、(朝阳区 2015 届高三上学期期末)若有穷数列 a1 , a2 , a3 ,?, am ( m 是正整数)满足条件: 则称其为 “对称数列” . 例如, “对称数列” . 1,2,3,2,1 和 1,2,3,3,2,1 都是 ai ? am?i ?1 (i ? 1, 2,3,?, m) , (Ⅰ) 若 {bn } 是 25 项的 “对称数列” , 且 b13 , b14 , b15 ,? ,b25 是首项为 1, 公比为 2 的等比数列. 求

{bn } 的所有项和 S ;
(Ⅱ) 若 {cn } 是 50 项的 “对称数列” , 且 c 26 , c 27 , c28 ,? ,c50 是首项为 1, 公差为 2 的等差数列. 求

{cn } 的前 n 项和 S n , 1 ? n ? 50, n ? N? .
12、(东城区 2015 届高三上学期期末)已知数列 {an } 是等差数列,满足 a2 ? 3 , a5 ? 6 ,数列

{bn ? 2an } 是公比为 3 等比数列,且 b2 ? 2a2 ? 9 .
(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn .

13、(北京四中 2015 届高三上学期期中)已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ? 1, n ? N? .

?1? 数列 {bn } 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 9 ? ? ? ? 3?
(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式;

n?2

, n ? N? .

(Ⅱ)设 cn ? an ? bn , n ? N? .求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

14 、(东城区示范校 2015 届高三上学期综合能力测试 )给定正奇数 n?n ? 5? ,数列 ?an ? :

a1 , a2 , ..., an 是 1 , 2 , ? , n 的 一 个 排 列 , 定 义 E ( a1 , a2 , ? , an ) ?| a1 ? 1 | ? | a2 ? 2 | ?...? | an ? n | 为数列 ?an ? : a1 , a2 ,?, an 的位差和。
(I)当 n ? 5 时,求数列 ?an ? :1,3,4,2,5 的位差和; (II)若位差和 E( a1 , a2 ,?, an )=4,求满足条件的数列 ?an ? : a1 , a2 ,?, an 的个数;

(III) 若位差和 E ?a1 , a 2 , ..., a n ? ?

n2 ?1 , 求满足条件的数列 ?an ? :a1 , a2 , ..., an 的个数。 2

15、(北京市朝阳区 2015 届高三第二次综合练习)已知数列, 是正整数 1,2,3, 称 为 H 数列. (Ⅰ)写出满足 (Ⅱ)写出一个满足 (Ⅲ)在 H 数列 求证: 或 中,记 . 的所有 H 数列 ; 的 数列 的通项公式; 是公差为 d 的等差数列, ,n 的一个全排列.若对每个 都有 或 3,则

.若数列

参考答案 一、选择、填空题 1、C 解析: d ? 0
2 a1a3 ? ?a2 ? d ??a2 ? d ? ? a2 ? d2

2 2 ? a2 ? a2 ? d 2 ? a2 ? a1a3

2、 8 由等差数列的性质,a7 ? a8 ? a9 ? 3a8 ,a7 ? a10 ? a8 ? a9 , 于是有 a8 ? 0 ,a8 ? a9 ? 0 , 故 a9 ? 0 . 故
S8 ? S7 , S9 ? S8 , S 8 为 {an } 的前 n 项和 Sn 中的最大值

3、答案:2 2n 1-2


解析:由题意知 q ?

a3 ? a5 40 ? ? 2. a2 ? a4 20

由 a2+a4=a2(1+q2)=a1q(1+q2)=20,

2?1 ? 2 n ? + ∴a1=2.∴Sn= =2n 1-2. 1? 2
4、答案:

5、B 6、B 7、2,

4n ? 1 3

8、C

9、答案:-8,682

10、 n2 ? n

3 2

5 2

11、15

12、88

?1 , n ? 1, ? ?2 13、 a n ? ? ?? 1n , n ? 2 ? ? 2

14、-1

15、 16,16

二、解答题 1、解析:(Ⅰ) 6 , 12 , 24 . (Ⅱ)因为集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,所以不妨设 ak 是 3 的倍数. 由 an ?1

?2an , an ? 18, ?? 可归纳证明对任意 n ? k , an 是 3 的倍数. ?2an ? 36, an ? 18
? 2ak ?1 或 ak ? 2ak ?1 ? 36 , 所以 2ak ?1 是 3 的倍数, 于是 a k ?1 是 3 的倍数. 类

如果 k ? 1 ,则 M 的所有元素都是 3 的倍数. 如果 k ? 1 , 因为 ak

似可得, ak ?2 ,?, a1 都是 3 的倍数.从而对任意 n ? 1 , an 是 3 的倍数.因此集合 M 的所有元素 都是 3 的倍数. 综上,若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,则集合 M 的所有元素都是 3 的倍数. (Ⅲ)由 a1

?2an?1 , an?1 ? 18, ? 36 , an ? ? 可归纳证明 an ? 36(n ? 2,3,?) . ?2an?1 ? 36, an?1 ? 18

因为 a1 是正整数, a2

?2a , a1 ? 18, ?? 1 ?2a1 ? 36, a1 ? 18

所以 a2 是 2 的倍数.

从而当 n ? 3 时, an 是 2 的倍数. 如果 a1 是 3 的倍数,由(Ⅱ)知对所有正整数 n , an 是 3 的倍数.

12,24,36} .这时 M 的元素的个数不超过 5 . 因此当 n ? 3 时, an ?{

如果 a1 不是 3 的倍数,由(Ⅱ)知对所有正整数 n , an 不是 3 的倍数.

} .这时 M 的元素的个数不超过 8 . 因此当 n ? 3 时, an ?{4,8,16,20,28,32
当 a1

? 1 时,M ? {1,2,4,8,16,20,28,32} 共 8 个元素. 综上可知, 集合 M 元素个数的最大值为 8 .

2、⑴ T1 ? P ? ? 2 ? 5 ? 7 , T2 ? P? ? 1 ? max ?T1 ? P ? ? 2 ? 4? ? 1 ? max ?7 ? 6? ? 8 ; ⑵当 m ? a 时:

T1 ? P ? ? a ? b , T2 ? P ? ? d ? max ?a ? b ? a ? c? ? a ? d ? max ?b ? c? ; T1 ? P? ? ? c ? d , T2 ? P?? ? b ? max ?c ? d ? c ? a? ? b ? c ? max ?a ? d ? ? b ? c ? d ;
因为 a 是 a ? b ? c ? d 中最小的数,所以 a ? max ?b ? c? ≤ b ? c ,从而 T2 ? P ? ≤ T2 ? P?? ; 当 m ? d 时,

T1 ? P ? ? a ? b , T2 ? P ? ? d ? max ?a ? b ? a ? c? ? a ? d ? max ?b ? c? ; T1 ? P? ? ? c ? d , T2 ? P?? ? b ? max ?c ? d ? c ? a? ? b ? c ? max ?a ? d ? ? a ? b ? c ;
因为 d 是 a ? b ? c ? d 中最小的数,所以 d ? max ?b ? c? ≤ b ? c ,从而 T2 ? P ? ≤ T2 ? P?? 。 综上,这两种情况下都有 T2 ? P ? ≤ T2 ? P?? 。 ⑶数列序列 P : ? 4,6 ? , ?11,11? , ?16,11? , ?11,8 ? , ? 5, 2 ? 的 T5 ? P ? 的值最小;

T1 ? P ? ? 10 , T2 ? P ? ? 26 , T3 ? P ? ? 42 , T4 ? P ? ? 50 , T5 ? P ? ? 52 .
3、解:(1)d1=d2=1,d3=d4=3. (2)(充分性)因为{an}是公差为 d 的等差数列,且 d≥0, 所以 a1≤a2≤?≤an≤?. 因此 An=an,Bn=an+1,dn=an-an+1=-d(n=1,2,3,?). (必要性)因为 dn=-d≤0(n=1,2,3,?), 所以 An=Bn+dn≤Bn. 又因为 an≤An,an+1≥Bn,所以 an≤an+1. 于是,An=an,Bn=an+1, 因此 an+1-an=Bn-An=-dn=d, 即{an}是公差为 d 的等差数列. (3)因为 a1=2,d1=1, 所以 A1=a1=2,B1=A1-d1=1. 故对任意 n≥1,an≥B1=1. 假设{an}(n≥2)中存在大于 2 的项. 设 m 为满足 am>2 的最小正整数,

则 m≥2,并且对任意 1≤k<m,ak≤2. 又因为 a1=2,所以 Am-1=2,且 Am=am>2. 于是,Bm=Am-dm>2-1=1,Bm-1=min{am,Bm}≥2. 故 dm-1=Am-1-Bm-1≤2-2=0,与 dm-1=1 矛盾. 所以对于任意 n≥1,有 an≤2,即非负整数列{an}的各项只能为 1 或 2. 因为对任意 n≥1,an≤2=a1, 所以 An=2. 故 Bn=An-dn=2-1=1. 因此对于任意正整数 n,存在 m 满足 m>n,且 am=1,即数列{an}有无穷多项为 1. 4、

5、解:(Ⅰ) 因为 bn?1 ? Sn?1 ? 3

n?1

? 2Sn ? 3n ? 3n?1 ? 2bn , n ? N? ,且 a ? 3 ,

所以 {bn } 是首项为 a ? 3 ,公比为 2 等比数列. 所以 bn ? (a ? 3) ? 2 n?1 . (Ⅱ) 由(Ⅰ)可得 S n ? 3n ? (a ? 3) ? 2 n?1 , ???4 分

an ? Sn ? Sn?1 , n ? 2, n ? N? .

a, n ?1 ? an ? ? n ?1 n?2 ?2 ? 3 ? (a ? 3) ? 2 , n ? 2
因为 an?1 ?a n , 所以 a ? ?9 ,且 a ? 3 . 所以 a 的最小值为 ?9 . (Ⅲ)由(Ⅰ)当 a ? 4 时, bn ? 2 n?1
n 当 n ? 2 时, Cn ? 3 ? 2 ? 4 ? ?? 2n?1 ? 2 ? 1 , C1 ? 3 ,

???9 分

所以对正整数 n 都有 Cn ? 2 n ? 1. 由 t p ? 2 n ? 1 , t p ? 1 ? 2 n ,( t , p ? N? 且 t ? 1, p ? 1 ), t 只能是不小于 3 的奇数. ① 当 p 为偶数时, t ? 1 ? (t
p
p p

p 2

? 1)(t ? 1) ? 2 n ,

p 2

因为 t 2 ? 1 和 t 2 ? 1 都是大于 1 的正整数,
p g p h

所以存在正整数 g , h ,使得 t 2 ? 1 ? 2 , t 2 ? 1 ? 2 ,

2 g ? 2 h ? 2 , 2 h (2 g ?h ? 1) ? 2 ,所以 2 h ? 2 且 2 g ?h ? 1 ? 1 ? h ? 1, g ? 2 ,
相应的 n ? 3 ,即有 C3 ? 32 , C3 为“指数型和”; ② 当 p 为奇数时, t p ? 1 ? (t ? 1)(1 ? t ? t 2 ? ? ? t p?1 ) , 由于 1 ? t ? t 2 ? ? ? t p ?1 是 p 个奇数之和,仍为奇数,又 t ? 1 为正偶数, 所以 (t ? 1)(1 ? t ? t 2 ? ? ? t p?1 ) ? 2 n 不成立, 此时没有“指数型和”. ???14 分

6、(I)解:a45=49. ??????3 分 (II)解:该等差数阵的第一行是首项为 4,公差为 3 的等差数列:a1j=4+3(j-1),第二行是首项 为 7,公差为 5 的等差数列:a2j=7+5(j-1), ?? 第 i 行是首项为 4+3(i-1),公差为 2i+1 的等差数列, 因此 aij=4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)=2ij+i+j=i(2j+1)+j. ??????7 分 (III)证明:必要性:若 N 在该等差数阵中,则存在正整数 i、j 使得 N=i(2j+1)+j,

从而 2N+1=2i(2j+1)+2j+1=(2i+1)(2j+1), 即正整数 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积. 充分性:若 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积,由于 2N+1 是奇数,则它必为两个不是 1 的奇数之积,即存在正整数 k、l,使得 2N+1=(2k+1)(2l+1), 从而 N=k(2l+1)+l=akl, 可见 N 在该等差数阵中. 综上所述,正整数 N 在该等差数阵中的充要条件是 2N+1 可以分解成两个不是 1 的正整数之积 ??????13 分 7、解:(Ⅰ)数列 M 不是“Ω”数列;数列 N 是“Ω”数列. ????????2 分 (Ⅱ)不存在一个等差数列是“Ω”数列. 证明:假设存在等差数列是“Ω”数列, 则由 a1 ? a2 ? ? ? am ? 1 得 a1 ? am ?

2 ? Z ,与 ai ? Z 矛盾, m
????????7 分

所以假设不成立,即不存在等差数列为“Ω”数列. (Ⅲ)将数列 A 按以下方法重新排列: 设 S n 为重新排列后所得数列的前 n 项和( n ? Z 且 1 ? n ? m ),

m m ? 1 ? S1 ? , 2 2 m m 假设当 2 ? n ? m, n ? N 时, ? ? 1 ? S n ?1 ? 2 2
任取大于 0 的一项作为第一项,则满足 ? 若 S n ?1 ? 0 ,则任取大于 0 的一项作为第 n 项,可以保证 ?

m m ? 1 ? Sn ? , 2 2

若 S n ?1 ? 0 ,则剩下的项必有 0 或与 S n ?1 异号的一项,否则总和不是 1, 所以取 0 或与 S n ?1 异号的一项作为第 n 项,可以保证 ? 如果按上述排列后存在 S n ? 0 成立,那么命题得证; 否则 S1 , S 2 ,?, S m 这 m 个整数只能取值区间 [? 因为区间 [?

m m ? 1 ? Sn ? . 2 2

m m ? 1, ] 内的非 0 整数, 2 2

m m ? 1, ] 内的非 0 整数至多 m-1 个,所以必存在 Si ? S j (1 ? i ? j ? m) , 2 2

那么从第 i ? 1 项到第 j 项之和为 Si ? S j ? 0 ,命题得证. 综上所述,数列 A 中必存在若干项之和为 0. 8、解:(Ⅰ) A1 : 2,1,3 或 A1 :1,3, 2 . . (Ⅱ) A3 : 5,6,7, 2,3, 4,9,8,1; ??????4 分 ??????6 分 ????????13 分 ??????2 分

A4 : 5,6,7,8,1, 2,3, 4,9 .

(Ⅲ)考虑数列 A : a1 , a2 ,L , an ,满足 ai ? ai ?1 的数对 ai , ai ?1 的个数,我们称之为“顺序数”.则 等差数列 A0 : 2015, 2004, L ,1的顺序数为 0 ,等差数列 An : 1, 2,L , 2015 的顺序数为 2014 . 首先,证明对于一个数列,经过变换 T ,数列的顺序数至多增加 2.实际上,考虑对数列

L , p, a,L , b, c,L , d , q,L ,交换其相邻两段 a,L , b 和 c,L , d 的位置,变换为数列 L , p, c,L , d , a,L , b, q,L .
显然至多有三个数对位置变化.假设三个数对的元素都改变顺序,使得相应的顺序数增加,即 由 p ? a, b ? c, d ? q 变为 p ? c, d ? a, b ? q . 分别将三个不等式相加得 p ? b ? d ? a ? c ? q 与 p ? b ? d ? a ? c ? q ,矛盾. 所以 经过变换 T ,数列的顺序数至多增加 2. 其次,第一次和最后一次变换,顺序数均改变 1.设 n 的最小值为 x ,则

2 ? 2 ? x ? 2? ? 2014 ,即 x ? 1008 .
最后,说明可以按下列步骤,使得数列 A1008 为 1, 2,L , 2015 . 对数列 A0 : 2015, 2014, L ,1, 第 1 次交换 1, 2,L ,1007 和 1008,1009 位置上的两段,得到数列 A 1:

??????10 分

1008,1007, 2015, 2014,L ,1010,1009,1006,1005,L , 2,1 ;
第 2 次交换 2,3,L ,1008 和 1009,1010 位置上的两段,得到数列 A2 :

1008,1009,1006,1007, 2015, 2014,L ,1011,1010,1005,1004,L , 2,1 ;
第 3 次交换 3, 4,L ,1009 和 1010,1011位置上的两段,得到数列 A3 :

1008,1009,1010,1005,1006,1007, 2015, 2014, L ,1012,1011,1004,1003,L , 2,1 ;
L L ,以此类推
第 1007 次交换 1007,1008,L , 2013 和 2014, 2015 位置上的两段,得到数列 A1007 :

1008,1009,L , 2013, 2014,1, 2,L ,1006,1007, 2015 ;
最终再交换 1, 2,L ,1007 和 1008,1009,L , 2014 位置上的两段,即得 A1008 : 1, 2,L , 2015 . 所以 n 的最小值为 1008. ??????13 分

9、(Ⅰ)1,4,7 (Ⅱ)由 an ? 3
n?1

……………………3 分

? m ,得 n ? 1 ? log3 m (m ? N * )
……………………4 分 ……………………5 分 ……………………6 分 ……………………7 分 ……………………8 分

当 1 ? m ? 2, m ? N * 时, b1 ? b2 ? 1 当 3 ? m ? 8, m ? N * 时, b3 ? b4 ? ??? ? b8 ? 2 当 9 ? m ? 26, m ? N ? 时, b9 ? b10 ? ? ? ? ? b26 ? 3 当 27 ? m ? 30, m ? N ? 时, b27 ? b28 ? b29 ? b30 ? 4 ∴ b1 ? b2 ? ? ? ? ? b30 ? 1 ? 2 ? 2 ? 6 ? 3 ? 18 ? 4 ? 4 ? 84 (III)∵ a1 ? S1 ? 1 ? c ? 1 ∴c ? 0

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ∴
* an ? 2 n ? 1 (n ? N )

……………………9 分

由 an ? 2n ? 1 ? m 得: n ?

m ?1 (m ? N * ) 2

因为使得 an ? m 成立的 n 的最大值为 bm , 所以 b1 ? b2 ? 1, b3 ? b4 ? 2, ???, b2t ?1 ? b2t ? t (t ? N )
*

当 m ? 2t ? 1 (t ? N * ) 时:

Tm ? 2 ?

1 ? (t ? 1) 1 ? (t ? 1) ? t ? t 2 ? (m ? 1) 2 2 4

……………………11 分

当 m ? 2t (t ? N * ) 时:

Tm ? 2 ?

1? t 1 ? t ? t 2 ? t ? m(m ? 2) 2 4

……………………12 分

? (m ? 1)2 ( m ? 2t ? 1 , t ? N * ) ? ? 4 所以 Tm ? ? ? m(m ? 2) (m ? 2t , t ? N * ) ? ? 4
10、

……………………13 分

11、(Ⅰ)依题意, b13 ? 1, b14 ? 2 ,…, b25 ? b13 ? 212 ? 212 . 则 b1 ? b25 ? 212 , b2 ? b24 ? 211 ,…, b12 ? b14 ? 2 .

1 ? ? 212 ?1 ? ( )12 ? 2 ? ? 则 S ? 2 ? b1 ? b2 ? ... ? b12 ? ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 214 ? 3 1 1? 2

……………..6 分

(Ⅱ)依题意, c50 ? c26 ? 24 ? 2 ? 49 ,因为 {cn } 是 50 项的“对称数列”,所以

c1 ? c50 ? 49, c2 ? c49 ? 47, …, c25 ? c26 ? 1.
所以当 1 ? n ? 25 时, Sn ? ?n2 ? 50n ; 当 26 ? n ? 50 时, S n ? S 25 ? (n ? 25) ?

1 ? (n ? 25)(n ? 26) ? 2 , 2

Sn ? n2 ? 50n ? 1250.
综上, S n ? ? 12、

??n 2 ? 50n ? 2 ? ?n ? 50n ? 1250

1 ? n ? 25,n ? N?, 26 ? n ? 50, n ? N? .

……………..13 分

1 , n ? N? ,又 a1 ? 1 ,所以数列 {an } 是以 1 2 1 n ?1 为首项, 为公差的等差数列,于是 an ? a1 ? (n ? 1)d ? , n ? N? . 2 2
13、解: (Ⅰ)由 2an?1 ? 2an ? 1 得 an ?1 ? an ?

?1? 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 9 ? ? ? ? 3? ?1? 当 n ? 2 时, Sn?1 ? 9 ? ? ? ? 3?

1? 2

?6,

n ?3



? ? 1 ? n ? 2 ? ? ? 1 ? n ?3 ? 2 bn ? Sn ? Sn ?1 ? ?9 ? ? ? ? ? ?9 ? ? ? ? ? n ? 2 , ? ? ?3? ? ? ? ? ?3? ? ? 3

又 n ?1时

2 3
n?2

? 6 ? b1 ,所以 bn ?

2 3
n?2

, n ? N? .
n?2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an ?
?1

n ?1 2 ?1? , bn ? n ? 2 , n ? N? ,所以 cn ? an ? bn ? (n ? 1) ? ? 2 3 ? 3?
0 1 n ?2

, n ? N? .

?1? ?1? ?1? ?1? 所以 Tn ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
1 等式两边同乘以 得 3

???(1)

1 ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? ? (n ? 1) ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3? ? 3?
(1)-(2)得

0

1

2

n ?1

???(2)

2 ?1? ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?3? ? 3? ? 3? ? 3? ?1? 1? ? ? 3 =6+ ? ? 1 1? 3
n ?1

?1

0

1

n?2

?1? ? (n+1) ? ? ? 3?

n ?1

?1? ? (n+1) ? ? ?3?

n ?1

所以 Tn ?

45 2n ? 5 ? 1 ? ? ? ? 4 4 ? 3?

n?2

, n ? N? .

14、解:(I)E(1,3,4,2,5)=|1-1|+|3-2|+|4-3|+|2-4|+|5-5|=4;(3 分) (II)若数列 ?an ? : a1 , a2 ,…, an 的位差和 E( a1 , a2 ,?, an )=4,有如下两种情况: 情况一:当 ai ? i ? 1, ai ?1 ? i , a j ? j ? 1 , a j ?1 ? j ,且 ?ai , ai ?1 ?? a j , a j ?1 ? ? ,其 他项 ak ? k (其中 k ? ?i, i ? 1, j, j ? 1? )时,有 ?n ? 3? ? ?n ? 4 ? ? ? ? 2 ? 1 ? 可能;(5 分)

?

?

?n ? 2??n ? 3? 种
2

i 或 i ?1, i 或i ? 2 , i ?1, i?2, i ?1, 情况二: 当 ai , ai ?1 , ai ?2 分别等于 i ? 2 , 其他项 ak ? k
(其中 k ? ?i, i ? 1, i ? 2?)时,有 3?n ? 2? 种可能;(7 分) 综上,满足条件的数列 ?an ? : a1 , a2 , ..., an 的个数为

?n ? 2??n ? 3? ? 3?n ? 2? ? ?n ? 2??n ? 3? 。(8 分)
2 2
例如: n ? 5 时, 情况一:形如 2,1,4,3,5,共有 2+1=3 种:2,1,4,3,5;2,1,3,5,4;1,3,2,5, 4; 情况二:形如 3,2,1,4,5,共有 5-2=3 种:3,2,1,4,5;1,4,3,2,5;1,2,5,4, 3; 形如 2,3,1,4,5,共有 5-2=3 种:2,3,1,4,5;1,3,4,2,5;1,2,4,5,3; 形如 3,1,2,4,5,共有 5-2=3 种:3,1,2,4,5;1,4,2,3,5;1,2,5,3,4。 (III)将 | a1 ? 1 | ? | a2 ? 2 | ?...? | an ? n | 去绝对值符号后,所得结果为

?1?1?2?2?3?3?…? n ? n
的形式,其中恰好有 n 个数前面为减号,这表明

E ?a1 , a2 , ?, an ? ? ? | ai ? i |
i ?1

n

n ? 3 ? n ?1 n ?1 ? n ?1 ? ? ? 2? n ? ?n ? 1? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? 2 ? 1? ?? 2 ? 2 2 ? ? 2 ?
2 ?? n ?1? ? n ? 3? ? n ? 3 ?? n ?1 ,(10 分) ? 2? n ? ? n ? 1 ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ?? ??

此不等式成立是因为前面为减号的 n 个数最小为:2 个 1,2 个 2,…,2 个 (11 分)

n ?1 n ?1 和1个 。 2 2

上面的讨论表明,题中所求的数列 ?an ?: a1 , a2 , ?, an 是使得 E( a1 , a2 , ?, an )最大的 数列,这样的数列在 n ? 2k ? 1 时,要求从 1,2,…, n 中任选一个数作为 a k ?1 ,将剩余数中较大 的 k 个数的排列作为 a1 , a 2 , …,ak 的对应值, 较小的 k 个数的排列作为 ak ?2 ,ak ?3 , …,a2 k ?1 的 对应值,于是所求数列的个数为 ?2k ? 1??k!? 。
2

?? n ?1? ? 综上,满足条件的数列的个数为 n? ? ? 2 ?!? ? (14 分) ?? ??
例如: n ? 5 时, E( a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) ?

2

?| a
i ?1

5

i

? i |。

? 2?5 ? 4? ? 3 ? 3 ? 2?2 ? 1? ? 2??5 ? 2? ? ?4 ? 1??
5 ?1? ? 5 ?1? ? ? 2 ? ?5 ? ??? ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ???
每组之差 组数

? 5 ? 1 ?? 5 ? 1 ? ? 2? ?? ? ? 2 ?? 2 ?
? 52 ? 1 ? 12 2

此不等式成立是因为前面为减号的 5 个数最小为:2 个 1,2 个 2 和 1 个 3。 若 E( a1 , a2 , a3 , a4 , a5 )=12, n ? 2k ? 1 ? 5 ,此时 k ? 2 时,要求从 1,2,3,4,5 中任 选一个数作为 a3 ,将剩余数中较大的 2 个数的排列作为 a1 , a2 的对应值,较小的 2 个数的排列作 为 a4 , a5 的对应值,于是所求数列的个数为 5 ? ?2!? ? 20。
2

4,5,1,2,3;4,5,1,3,2;5,4,1,2,3;5,4,1,3,2; 4,5,2,1,3;4,5,2,3,1;5,4,2,1,3;5,4,2,3,1; 4,5,3,1,2;4,5,3,2,1;5,4,3,1,2;5,4,3,2,1;

3,5,4,1,2;3,5,4,2,1;5,3,4,1,2;5,3,4,2,1; 3,4,5,1,2;3,4,5,2,1;4,3,5,1,2;4,3,5,2,1。 题目背景:假设现在有 n 种物品,已经按照某种标准排列,并依次确定编号为 1,2,…, n , 鉴别师事先不知道物品的标准排列编号,而是根据自己的判断,对这 n 种物品进行排列依次编号为

a1 , a2 , ?, an ,其中 a1 , a2 , ?, an 是 1 , 2 , … , n 的一个排列,那么可以用数列 ?an ? : a1 , a2 , ?, an 的位差和
E( a1 , a2 , ?, an )= | a1 ? 1 | ? | a2 ? 2 | ??? | an ? n | , 来评判鉴别师的能力。 当 E( a1 , a2 , ?, an )越小,说明鉴别师能力越强;反之越大,说明鉴别师能力越弱; 当 E( a1 , a2 , ?, an )=0,说明鉴别师给出的排列编号与标准排列编号一致,判断完全正确; 第二问,位差和 E( a1 , a2 , ?, an )=4 时,给出数列 ?an ? : a1 , a2 , ?, an 的情况;

n2 ?1 第三问,说明位差和 E( a1 , a2 , ?, an )最大值为 ,且给出取得最大值时,数列 ?an ? : 2

a1 , a2 , ?, an 的情况。
15、解:(Ⅰ)满足条件的数列有两个: (Ⅱ)由(1)知数列 为 ,所得数列 满足 显然满足 .其中 的 数列 为: , . ,把各项分别加 后,所得各数依次排在后,因 或 , ,即得 数列

.如此下去即可得到一个满足

(其中



(写出此通项也可以

(其中

))

(Ⅲ)由题意知

, 有解:

,且









,则

,这与

是矛盾的. ② ③ ④ 若 若 ④ 若 若 ⑤ 若 若 时,与①类似可得不成立. 时, 时, 或 或 时, 同号,则 或 时, 异号,则 同号,则 ,不行; ,同样由前面的讨论可知与 矛盾. ,由上面的讨论可知不可能; ,则 或 ; ,则 ,则 或 . ,则 不可能成立.

,类似于③可知不成立.

综上, 只能为 或 ,且(2)中的数列是 过来就是 ,所以 为 或 .

的情形,将(2)中的数列倒


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