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河南省三门峡市陕州中学2015届高三高考考前仿真考试(二)数学(文)试题


2015 年高考仿真考试

文数
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分,在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={4,5,6,7,9} ,B={3,4,7,8,9} ,全集 U =A ? B,则集合[u(A ? B) 中的子集个数为 A.4 B.7 C.8 D.9

2.如图,在复平面内,点 A 表示复数 z,则图中表示 z 的共轭复数的点是 A.A B .B C.C D.D → 3.已知点 A(1,3),B(4,-1),则与向量AB同方向的单位向量为 3 4 A.( ,- ) 5 5 4.若函数 f ( x ) ? ? 4 3 B.( ,- ) 5 5 3 4 C. (- , ) 5 5 4 3 D. (- , ) 5 5

2 ? ? x ? 5 x, x ? 0 是奇函数,则实数 a 的值是 2 ? x ? ax , x ? 0 ? ?

A. ?10 B. 10 C. ?5 D. 5 5.下面是关于公差 d>0 的等差数列{an}的四个命题: p1:数列{an}是递增数列; p2:数列 {nan}是递增数列; an p3:数列{ }是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列.其中的真命题为 n A.p1,p2 B.p3,p4 C.p2,p3 D.p1, p4 6.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为 π π A.8- B.8- C.8-π D.8-2 4 2 π 7. 已知正三角形 ABC 的顶点 A(1,1),B(1,3),顶点 C 在第一象限, 若点 (x,y)在△ABC 内部,则 z ? ? x ? y 的取值范围是 A.(1- 3,2) B.(0,2) C.( 3-1,2) D.(0,1+ 3) 8 .如果执行右边的程序框图,输入正整数 N ( N ≥ 2) 和实数 a1 ,

a2 ,…, aN ,
输出 A , B ,则

A . A + B 为 a1 , a2 ,…, aN 的和

A? B 为 a1 , a2 ,…, aN 的算术平均数 2 C . A 和 B 分别为 a1 , a2 ,…, aN 中的最大数和最小数
B. D . A 和 B 分别为 a1 , a2 ,…, aN 中的最小数和最大数

π π 9.将函数 y=3sin?2x+ ?的图像向右平移 个单位长度,所得图像对应的函数 2 3? ? π 7π π 7π A.在区间? , ?上单调递减 B.在区间? , ?上单调递增 ?12 12 ? ?12 12 ? π π π π C.在区间?- , ?上单调递减 D.在区间?- , ?上单调递增 ? 6 3? ? 6 3?

e?x ? e x 1 10.已知函数 f(x)= x +1,则 f(lg 2)+f(lg )= ?x 2 e ?e
A.-1
2 2

B.0

C.1

D.2

x y 11. 已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A, a b 4 B 两点,联结 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为 5 4 5 C. D. 5 7 a 12. 在同一直角坐标系中,函数 y=ax2-x+ 与 y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的图像不可能是 2 B. 3 A. 5 6 7

A. B. C. D. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 2 13.已知等比数列{an}是递增数列,Sn 是{an}的前 n 项和.若 a1,a3 是方程 x -5x+4=0 的两 个根,则 S6=________. 14. 若一个球的表面积为 100? ,现用两个平行平面去截这个球面,两个截面圆的半径为
r1 ? 4, r2 ? 3 .则两截面间的距离为________.

15. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的准线分别交 a 2 b2

于 A, B 两点, O 为坐标原点, 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p =________.

16.为了考察某校各班参加课外书法小组的人数,从全校随机抽取 5 个班级,把每个班级参 加该小组的人数作为样本数据,已知样本平均数为 7,样本方差为 4,且样本数据互不 相同,则样本数据中的最大值为________. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)

1 → → 在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知BA·BC=2,cos B= , 3 b=3. 求:(Ⅰ)a 和 c 的值; (Ⅱ)cos(B-C)的值.

18. (本小题满分 12 分) 如图,棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形, B1C ? A1B (Ⅰ)证明:平面 AB1C ? 平面 A 1 BC1 ; (Ⅱ)设 D 是 AC 1 1 上的点,且 A 1B // 平面 B 1CD ,求被平面 B1 DC 分成 左右两部分几何体的体积比.

19. (本小题满分 12 分) 某商品计划每天购进某商品若干件,商品每销售一件该商品可获利润 50 元,若供大于求,剩 余商品全部退回,但每件商品亏损 10 元,若供不应求,则从外部调剂,此时每件调剂商品可 获利润 30 元. (Ⅰ)若商品一天购进商品 10 件,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位: 件 n ? N )的函数解析式; (Ⅱ)商品记录了 50 天该商品的日需求量 n(单位:件) ,整理得下表:
?

若商品一天购进 10 件该商品,以 50 天记录的各需求量的频率作为个需求量发生的概率, 求当天的利润在区间 ? 400,550? 的概率.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? 2ax ( x ? 0), g ( x) ? 3a 2 ln x ? b, 其中 a ? 0. 2

(Ⅰ)若 a ? e 时,两曲线 y ? f ( x), y ? g ( x) 有公共点,且在公共点处的切线相同,求 b 的 值; (Ⅱ)若 f ( x) ? g ( x) ? b 对任意 x ? (0, ??) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 圆 x2+y2=4 的切线与 x 轴正半轴、y 轴正半轴围成一个三角形, 当该三角形面积最小时,切点为 P. (Ⅰ)求点 P 的坐标; (Ⅱ)焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 P,且与直线 l:y=x+ 3交于 A,B 两点, 若△PAB 的面积为 2,求 C 的标准方程.

请考生从 22、23、24 题中任选一题作答;如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C, 过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (Ⅰ)求证:AD∥EC; (Ⅱ)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=6,PC=2,BD=9,求 AD 的长.

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,以原点 o 为极点,以 x 轴正半轴为极轴.已
2 2 知 l 是过定点 p (2, 2) 且倾斜角为 ? 的直线,曲线 C 的极坐标方程为 ? (1 ? 8sin ? ) ? 9.

(Ⅰ)写出直线 l 的参数方程,并将曲线 C 化为直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C 的横坐标不变,纵坐标扩大为原来的 3 倍,得到曲线 C ,曲线 C 与直线 l 交
/ /

于 A, B 两点, 求 PA ? PB 的取值范围.

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? x ? a +1, a ? R . (Ⅰ)当 a ? 4 ,解不等式 f ( x) ? 1 ? 2 x ? 1 ; (Ⅱ)若 f ( x ) ? 2 的解集为 ? 0, 2? ,

1 1 ? ? a(m ? 0, n ? 0) ,求证: m ? 2n ? 3+2 2 . m n

2015 年高考仿真训练文科数学参考答案
1—6 CBACDC 7—12 ACBDDB 13. 63 14.1 或 7 15. 2 16. 10 1 → → 17. 解:(1)由BA·BC=2 得 c· a· cos B=2, 又 cos B= ,所以 ac=6. 3 由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B, 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×2=13. ? ? ?ac=6, ?a=2, ? ?a=3, 解? 2 2 得? 或? 因为 a>c,所以 a=3,c=2. ?a +c =13, ? ?c=3 ?c=2. ? ? 1?2 2 2 (2)在△ABC 中,sin B= 1-cos2B= 1-? ?3? = 3 . c 2 2 2 4 2 由正弦定理,得 sin C= sin B= · = . 因为 a=b>c,所以 C 为锐角, b 3 3 9 1 4 2?2 7 因此 cos C= 1-sin2C= 1-? = . 所以 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= 3 ? 9 ? 9 7 2 2 4 2 23 × + × = . 9 3 9 27 18. 解 : ( 1 ) 当 日 需 求 量

n ? 10











y ? 50 ?10 ? (n ? 10) ? 30 ? 30n ? 200 ;

………2 分 …………4 分 系 式 为 :

当日需求量 n ? 10 时,利润为 y ? 50 ? n ? (10 ? n) ?10 ? 60n ? 100 所 以 , 关 于

y









n







?30n ? 200,(n ? 10, n ? N ) . y?? ?60n ? 100,(n ? 10, n ? N )

………6 分

(2)50 天内有 9 天获得的利润 380 元,有 11 天获得的利润为 440,有 15 天获得利润为 500, 有 10 天获得的利润为 530,有 5 天获得的利润为 560.……………8 分②若利润在区间

[400,550] 时,日需求量为 9 件、10 件、11 件该商品,其对应的频数分别为 11 天、15
天、10 天.…10 分 则利润区间 [400,550] 的概率为:

p?

11 ? 15 ? 10 36 18 ? ? . 50 50 25

…………12 分

x0 x0 21.解:(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为- ,切线方程为 y-y0=- (x y0 y0 4 ? ? 4? -x0),即 x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为? ?x ,0?,?0,y ?,
0 0

1 4 4 8 2 其围成的三角形的面积 S= · · = .由 x0 +y2 0=4≥2x0y0 知当且仅当 x0=y0= 2时 2 x0 y0 x0y0 x0y0 有最大值,即 S 有最小值,因此点 P 的坐标为( 2, 2). x2 y2 2 2 (2)设 C 的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),点 A(x1,y1),B(x2,y2).由点 P 在 C 上知 2+ 2 a b a b

x y ? ?a2+b2=1, = 1 ,并 由 ? 得 b2x2 + 4 3 x + 6 - 2b2 = 0. ? ?y=x+ 3,

2

2

又 x1 , x2 是 方程的 根,所 以

?x +x =-4b 3, 由 y =x + ? 6-2b ?x x = b .
1 2 2 2 1 1 1 2 2

3,y2=x2+ 3,得

|AB|= |AB|=2,

4

48-24b2+8b4 6 3 1 3 |x1-x2|= 2· . 由点 P 到直线 l 的距离为 及 S△PAB= × 3 b2 2 2 2 4 3 6 ,即 b4-9b2+18=0,解得 b2=6 或 3,因此 b2=6,a2=3(舍)或 b2=3,

得|AB|= a2=6,

x2 y2 从而所求 C 的方程为 + =1. 6 3 22.解: (1)证明:连接 AB,∵AC 是⊙O1 的切线,∴∠BAC=∠D,……………………………1 分 又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E,∴AD∥EC.………………………4 分 2 2 (2)∵PA 是⊙O1 的切线,PD 是⊙O1 的割线, ∴PA =PB?PD, ∴6 =PB?(PB+9)∴PB=3,……6 分 在⊙O2 中由相交弦定理,得 PA?PC=BP?PE, ∴PE=4,………8 分 2 ∵AD 是⊙O2 的切线,DE 是⊙O2 的割线,∴AD =DB?DE=9×16,∴AD=12…………………10 分 2 23.(1)∵ρ=4cos θ,∴ρ =4ρcos θ, ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=4x…………………3 分 ?x=4+tcos α, ? ? (2)直线 l 的参数方程: (t 为参数), 代入 x2+y2=4x, 得 t2+4(sin α+cos α)t ?y=2+tsin α ? +4=0, Δ=16?sin α+cos α? -16>0, ? ? ?t1+t2=-4?sin α+cos α?, ? ?t1t2=4,
2

………………………………6 分

π? ∴sin α· cos α>0,又 0≤α<π,∴α∈? ?0,2?,且 t1<0,t2<0. π? ∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4(sin α+cos α)=4 2sin? ?α+4?,…………………8 分 π? π ?π 3π? 2 ? π? 由 α∈? ?0,2?,得 α+4∈?4, 4 ?,∴ 2 <sin?α+4?≤1, 故|PM|+|PN|的取值范围是(4,4 2 ].…………………………………………………10 分 24、解:(1)当 x ? 4 时 2x+1-(x-4)=x+5>0 得 x>-5,所以 x ? 4 成立

1 ? x ? 4 时, 2x+1+x-4=3x-3>0 得 x>1,所以 1<x<4 成立 2 1 当 x ? ? 时-x-5>0 得 x<-5 所以 x<-5 成立,……………………………………4 分 2
当? 综上,原不等式的解集为{x|x>1 或 x<-5} ..............................5 分 或:当 a ? 4 ,不等式 f ( x) ? 1 ? 2 x ? 1 即为 x ? 4 ? 2x ?1 两边平方 得 x ? 8x ? 16?4 x ? 4 x ? 1 ……………………………………2 分
2 2

解得 x?1或x??5

所以不等式的解集为{x|x>1 或 x<-5}

................5 分

(2)依题可知 | x ? a |? 1 ? a ? 1 ? x ? a ? 1 ,所以 a ? 1 ,即

1 1 ? ? 1(m ? 0, n ? 0) m n

? ( 所以 m ? 2n=(m ? 2n)

1 1 2n m ? ) =3+ + ? 3+2 2 m n m n

当且仅当 m ? 1 ? 2, n ? 1 ?

2 时取等号 2

……10 分


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