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湖南省2013年高中学业水平考试数学试卷


2013 年学业水平考试数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分。 1.已知集合 M ? ?0,1,2? , N ? ?x? ,若 M ? N ? ?0,1,2,3?,则 x 的值 A.3 B.2 C. 1 D.0

?1 ? ,x ?1 2. 已知函数 f ? x ? ? ? x ,则 f ?1? 的值为 ? 2 ,

x ? 1 ?
A.0 B.1 C .2 D.?1 3.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为 A.球 B.圆锥 C.圆柱 D.圆台 4.函数 y ? 2 cos x ? 1 , x ? R 的最小值是 A. ? 3 B.?1 B.2 C.3 D.1 DB.?2

? ? ? ? 5.已知向量 a ? ?1,2? , b ? ?x,4?,若 a ∕∕ b ,则实数 x 的值为
A.8 C.?8

6.某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为 600,400,800.为了解教师的教学情况,该校 采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取 45 名学生进行座谈,则高一、高二、高三年级抽取的 学号 人数分别为 A.15,5,25 球恰好是白球的概率为 A. 姓名 B.15,15,15 C.10,5,30 D.15,10,20 7.某袋中有 9 个大小相同的球,其中有 5 个红球,4 个白球,现从中任意取出一个,则取出的

1 5

B.

1 4

C.

5 9

D.

4 9

8.已知点 ? x, y ? 在如图所示的平面区域(阴影部分)内运动,则 z ? x ? y 的最大值是 A.1 B.2 C.3 D. 5

班次

8题

10 题

9.已知两点 P?4,0? , Q?0,2? ,则以线段 PQ 为直径的圆的方程是 A. ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

B. ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 10
2 2

C. ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 5
2 2

D. ?x ? 2? ? ? y ? 1? ? 10
2 2

1

10.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点 A 、B 到点 C 的距离 AC ? BC ? 1km ,且 ?ACB ? 120 ? ,则两点 A 、 B 间的距离为 A. 3 km 题号 答案 二、填空题:填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分。 11.计算 log2 1 ? log2 4 ? . 1 2 B. 2 km 3 4 C. 1.5km 5 6 7 D. 2km 8 9 10

12.若 1, x ,9 成等比数列,则实数 x ? ___________. 13.经过点 A?0,3? ,且与直线 y ? ? x ? 2 垂直的直线 方程是___________. 14.某程序框图如图所示,若输入的 x 值为 2,则输出 的 y 值为___________. 15.已知向量 a 与 b 的夹角为 则 b ? ___________. 三、解答题: 本大题共 5 小题,共 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 6 分)已知 cos? ?

?

?

?

? ? ? ? , a ? 2 且a ?b ? 4 , 4

1 ?? ? ?? ? (2)求 sin ? ? ? ? 的值 , ? ? ? 0, ? .(1)求 tan ? 的值; 2 6? ? 2? ?

2

17.(本小题满分 8 分)某公司为了解本公司职工的早餐费用情况,抽样调查了 100 为职员的早餐 日平均费用(单位:元) ,得到如图所示的频率分布直方图,图中标注 a 的数字模糊不清. (1)试根据频率分布直方图求 a 的值,并估计该公司职员早餐日平均费用的众数; (2)已知该 公司有 1000 名职工,试估计该公司有多少职工早餐日平均费用不少于 8 元?

18.(本小题满分 8 分)如图,在三棱锥 A ? BCD 中, AB ? 平面 BCD , BC ? BD , BC ? 3 , BD ? 4 ,直线 AD 与平面 BCD 所成的角为 45 ? ,点 E , F 分别是 AC , AD 的中点. (1)求证: EF ∕∕ 平面; (2)求 A ? BCD 三棱锥的体积.

3

19.(本小题满分 8 分)已知数列 ?an ? 满足: a3 ? ?13, an ? an?1 ? 4

?n ? 2, n ? N ?.
*

(1)试写出 a1 , a2 ,并求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)设 S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,则数列

S1 , S 2 , S 3 ,?中哪一项最小?并求出这个最小值.

20.(本小题满分 10 分)已知函数 f ?x ? ? 2 ? ? ? 2
x

?x

?? ? R? .

(1)当 ? = ?1 时,求函数 f ?x ? 的零点; (2)若函数 f ?x ? 为偶函数,求实数 ? 的值; (3)若不等式

1 ? f ?x ? ? 4 在 x ? ?0,1? 上恒成立,求实数 ? 的取值范围. 2

4

一、选择题 二、填空题 三、解答题

5


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