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1.2.2组合(一)


1.2.2(一)

1.2.2
【学习要求】
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组合(一)

1.理解组合及组合数的概念. 2.能利用计数原理推导组合数公式,并会应用公式解决简单 的组合问题. 【学法指导】 组合研究的问题与排列是平行的,两者的区别是有无“顺 序”.学习中可和排列相比较,领悟概念的本质,组

合数公 式推导中要研究组合与排列的关系.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.2.2(一)

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1.组合:一般地,从 n 个不同元素中取出 m (m≤n)个元素 合成一组 ,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一 个组合(combination). 2.组合数:从 n 个不同元素中取出 m (m≤n)个元素的 所有

不同组合 的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元
m 素的组合数,用符号 Cn 表示. m n?n-1??n-2???n-m+1? A n m 3.组合数公式:Cn = m= m! Am n! = m!?n-m?! (n,m∈N*,m≤n).

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1.2.2(一)

探究点一
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组合的概念

问题 1

从 3 名同学甲、乙、丙中选 2 名去参加一项活动,有

多少种不同选法?



可能选法有三种,列举如下:

甲、乙,甲、丙,乙、丙.

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问题 2

1.2.2(一)

问题 1 和“从 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,

其中 1 名参加上午的活动, 1 名参加下午的活动”有何 区别?
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答 问题 1 只是从 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动,而 不需要排列他们的顺序. 问题 3 排列与组合有什么联系和区别? 答 排列与组合都是从 n 个不同元素中取出 m 个元素;不
同之处是组合选出的元素没有顺序,而排列选出的元素是 有顺序的.

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例 1 判断下列各事件是排列问题,还是组合问题. (1)10 个人相互各写一封信,共写了多少封信?

1.2.2(一)

(2)10 个人规定相互通一次电话,共通了多少次电话? (3)10 支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次), 这次比赛
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需要进行多少场次? (4)10 支球队以单循环进行比赛,这次比赛冠、亚军获得者 有多少种可能? 解 (1)是排列问题,因为发信人与收信人是有顺序区别的. (2)是组合问题,因为甲与乙通了一次电话,也就是乙与甲通了

一次电话,没有顺序的区别.

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1.2.2(一)

(3)是组合问题,因为每两个队比赛一次,并不需要考虑谁先谁 后,没有顺序的区别.
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(4)是排列问题,因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、 乙队得冠军是不一样的,是有顺序区别的. 小结 判断一个问题是排列问题还是组合问题的关键是正确 区分事件有无顺序,区分有无顺序的方法是:把问题的一个选 择结果解出来,然后交换这个结果中任意两个元素的位置,看 是否产生新的变化.

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1.2.2(一)

跟踪训练 1 判断下列各事件是排列问题,还是组合问题. (1)从 50 个人中选 3 个人去参加同一种劳动,有多少种不同的 选法?
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(2)从 50 个人中选 3 个人到三个学校参加毕业典礼,有多少种 选法? (3)从 1,2,3,?,9 九个数字中任取 3 个,组成一个三位数,这 样的三位数共有多少个? (4)从 1,2,3,?,9 九个数字中任取 3 个,然后把这三个数字相 加得到一个和,这样的和共有多少个? 解 (1)(2)都是选出 3 人,但参加同一劳动没有顺序,而到三个

学校参加毕业典礼却有顺序, 故(1)是组合问题, (2)是排列问题.

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1.2.2(一)

(3)当取出 3 个数字后, 如果改变三个数字的顺序, 会得到不同
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的三位数,此问题不但与取出元素有关,而且与元素的安排顺 序有关,是排列问题.

(4)取出 3 个数字之后,无论怎样改变这三个数字之间的顺序, 其和均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安排顺序 无关,是组合问题.

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探究点二 组合的列举问题

1.2.2(一)

问题 怎样写一个问题的所有组合? 答 和解排列问题类似, 可以借助树形图来写一个问题的所有
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组合,组合的树形图中其元素也不能重复出现,但元素出现的 次序必须按照从左到右的顺序(如元素 b 后面不能出现 a, 元素 c 后面不能出现 a、b 等)来考虑,否则就会出现重复或遗漏.

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例2

从 4 个不同元素 a、b、c、d 中任取 3 个元素,写出所有

的组合形式.
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如图 得出 abc,abd. 得 acd. 得 bcd.

故其组合为 abc、abd、acd、bcd. 小结 用树形图来写所有组合时,当前面的元素写完后,后面

再不能出现该元素,要避免重复和遗漏.

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1.2.2(一)

跟踪训练 2
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写出从 A,B,C,D,E 5 个元素,依次取 3 个

元素的所有组合.



所有组合为 ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、

BCE、BDE、CDE.

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探究点三 问题 1 组合数公式及应用

1.2.2(一)

3 由例 2 看出组合数 C3 与排列数 A 4 4有什么关系?你能

写出求 Cm n 的公式吗?
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由例 2 可知,每一个组合都对应着 6 个不同的排列,因

此,求从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排列数 A3 4,可以 分如下两步: ①考虑从 4 个不同元素中取出 3 个元素的组合,
3 共有 C4 个;

②对每一个组合的 3 个不同元素进行全排列,各有 A3 3种方 3 A 4 3 3 3 法.由分步乘法计数原理得:A3 = C · A ,所以, C = . 4 4 3 4 A3 3

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1.2.2(一)

问题 2

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组合数公式的两种形式在应用中如何选择?

在具体选择公式时要根据题目的特点正确选择.公式 m A n Cm = 常用于 n 为具体自然数的题目.一般偏向于组合数 n Am m n! m 的计算. 公式 Cn = 常用于 n 为字母的题目, 一 ?n-m?!· m! 般偏向于不等式的求解或恒等式的证明.

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例3
n 9 n (1)求值:C5 + C n n+1;
- -

1.2.2(一)


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? ?n≥5-n, ?n+1≥9-n, 由? ?9-n≥0, ? ?5-n≥0,

得 4≤n≤5,

又 n∈N*,∴n=4 或 5,
5 当 n=4 时,原式=C1 + C 4 5=5; 4 当 n=5 时,原式=C0 + C 5 6=1+15=16.

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4 6 {6,7,8,9} . (2)若 Cn >Cn ,则 n 的取值集合为________

1.2.2(一)

解析

6 因为 C4 >C n n,

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4 6 ? ?Cn>Cn, 所以? ? ?n≥6

n! n! ? ? > , 4 ! ? n - 4 ? ! 6 ! ? n - 6 ? ! ?? ? ?n≥6
? ?-1<n<10, ?? ? ?n≥6.

2 ? ?n -9n-10<0, ?? ? ?n≥6

因为 n∈N*,所以 n=6,7,8,9,所以 n 的取值集合为{6,7,8,9}.

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1.2.2(一)

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小结

处理组合数的计算问题, 首先要注意组合数中的隐含条

件,涉及具体数字的可以用展开式计算;涉及字母的可以用阶 乘式计算.

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-n 3n (1)计算:C38 + C 3n n+21的值. m+1 m+1 m (2)求证:Cn = · C . n-m n

1.2.2(一)

跟踪训练 3

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?3n≥38-n, ? (1)解 由?3n≤n+21, ?n∈N*, ? ∴n=10,
30 ∴原式=C28 + C 30 31=

19 21 ? ? ≤n≤ , 2 得? 2 * ? ?n∈N ,

30! 31! + 28!?30-28?! 30!?31-30?!

30×29 = 2 +31=466.

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(2)证明
m ∵Cn =

1.2.2(一)

n! , m!?n-m?!

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m+1 m+1 m+1 n! · C = · n-m n n-m ?m+1?!?n-m-1?! m+1 n! = · ?m+1?! ?n-m??n-m-1?! n! = , m!?n-m?! m+1 m+1 m ∴Cn = · C . n-m n

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例 4

1.2.2(一)

一位教练的足球队共有 17 名初级学员,他们中以前没

有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队 的上场队员是 11 人.问:
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(1) 这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场 方案? (2)如果在选出 11 名上场队员时,还要确定其中的守门员, 那么教练员有多少种方式做这件事情?
解 (1)由于上场学员没有角色差异, 所以可以形成的学员上场 方案种数为 C11 17=12 376.

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(2)教练员可以分两步完成这件事情:

1.2.2(一)

第 1 步,从 17 名学员中选出 11 人组成上场小组,共有 C11 17种 选法;
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第 2 步,从选出的 11 人中选出 1 名守门员,共有 C1 11种选法.
1 所以教练员做这件事情的方式种数为 C11 17×C11=136 136.

小结

组合数公式意义的理解是应用的前提;应用组合数公式

求解应用问题要正确分类和分步.

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1.2.2(一)

跟踪训练 4 现有 10 名教师,其中男教师 6 名,女教师 4 名. (1)现要从中选出 2 名去参加会议,有多少种不同的选法? (2)现要从中选出男、 女教师各 2 名去参加会议, 有多少种不同
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的选法?
解 (1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法数,就是从 10 10×9 2 个不同元素中取出 2 个元素的组合数, 即 C10= =45(种). 2×1 2 (2)从 6 名男教师中选 2 名的选法有 C6 种, 从 4 名女教师中选 2 名的选法有 C2 根据分步乘法计数原理, 因此共有不同的选 4种, 法 6×5 4×3 2 2 C6· C4= · =90(种). 2×1 2×1

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.2.2(一)

1.已知 C2 n=10,则 n 的值等于
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( B ) D.2

A.10

B. 5

C.3

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1.2.2(一)

4 2.如果 A3 = 6C m m,则 m 等于

( B ) D.9

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A.6

B. 7

C.8

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3.给出下列问题:

1.2.2(一)

①从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某两个乡镇的 社会调查,有多少种不同的选法?
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②有 4 张电影票,要在 7 人中确定 4 人去观看,有多少种 不同的选法? ③某人射击 8 枪,击中 4 枪,且命中的 4 枪均为 2 枪连中, 则不同的结果有多少种? 其中是组合问题的个数是 A.0 B. 1 C.2 ( C ) D.3

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1.2.2(一)

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4.下列等式不正确的是 n! m A.Cn = m!?n-m?! m+1 m+1 m C.Cn = C+ n+ 1 n 1

( D )
m B.Cn =Cn n
-m

m 1 D.Cm = C n n+1


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1.2.2(一)

5.某餐厅供应饭菜,每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选 2 荤 2 素共 4 种不同的品种.现在餐厅准备了 5 种不同的荤 菜,若要保证每位顾客有 200 种以上不同的选择,则餐厅
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至少还需准备不同的素菜品种_____ 7 种.(结果用数值表示)

解析 设餐厅至少还需准备 x 种不同的素菜.
由题意,得 C2 C2 5· x ≥200, 从而有 C2 x ≥20.即 x(x-1)≥40. 又 x≥2,所以 x 的最小值为 7.

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1.2.2(一)

1.排列与组合的联系与区别
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(1)联系: 二者都是从 n 个不同的元素中取 m(m≤n)个元素. (2)区别:排列问题中元素有序,组合问题中元素无序. 2.关于组合数的计算:
m A n (1) 涉 及 具 体 数 字 的 可 以 直 接 用 公 式 C m = = n Am m n?n-1??n-2???n-m+1? 计算; m! n! m (2)涉及字母的可以用阶乘式 Cn = 计算; m!?n-m?! n-m (3)计算时应注意利用组合数的性质 Cm = C 简化运算. n n


高中数学(人教版)选修2-3教学设计:1.2.2组合

1.2.2 组合教学目标: 知识与技能:理解组合的意义,能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与 区别,能判断一个问题是排列问题还是组合问题。 ?? ...

2012高二数学选修2-3教案06组合(2)

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选修2-3教案1.2.2组合 教学设计

§2-3:1.2.2 组合教学设计(3 课时)课标要求:通过实例,理解组合的概念;能...m ? n? 个元素并成一组,叫做从 n 个不同元素中取王新敞奎屯 新疆 出 m...

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2015-2016学年高中数学 1.2.4组合(二)学案 新人教A版选修2-3

2015-2016学年高中数学 1.2.4组合(二)学案 新人教A版选修2-3_数学_高中...想一想:4 本不同的书平均分给 2 人,共有 6 种分法. 自测自评 1.将...

1.2.1排列(优质公开课教案)

1.2.1排列(优质公开课教案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。排列(优质公开...排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素,或排成一排或并成一组,并求有...

2-3 1.2排列组合

2-3 1.2排列组合_数学_高中教育_教育专区。排列组合(1)分类计数原理(加法原理) :做一件事,完成它可以有 n 类办法,第一类办法中有 m1 种不同的方法,第二...

1.2.1排列说课稿

过程是分步乘法计数 原理的一个重要的应用, 同时排列数公式又是推导组合数公式...“树形图”列举时适当引导 思考:问题 12 的共同特点是什么,你能从中概括出...

第四章1 《数字逻辑》(第二版)习题答案

4 ○ 实现该电路功能的简化电路如图2所示。 图2 4.设计一个组合电路,该电路输入端接收两个2进制数A=A2A1,B=B2B1。当A>B时,输出 Z=1,否则Z=0。 ...

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