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重庆市永川中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题 理


重庆市永川中学 2015-2016 学年高一数学下学期期中试题 理
(本试卷共 2 页,总分 150 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定位置。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦 擦干净,再选涂其他答案标号。 3.所有试题必须在答题卡上作答,在试题卷上

答题无效。 4.答非选择题时,必须用 0.5 毫米黑色签字笔将答案书写在答题卡规定位置。 一、选择题(共 60 分) 1.若 a、b、c ? R , a ? b ,则下列不等式成立的是( )

6.公比为 3 2 等比数列 {an } 的各项都是正数,且 a5a9 ? 16 ,则 log 2 a16 =( ) A. 4 B. 5 C. ? D. ?

?x ? 2 ? 0 ? 7.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 则目标函数 z ? x ? 6 y 的最大值为( ) ?2x ? y ? 3 ? 0 ?
A.18 B.40 C.3 D.4? )

8.已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x +1 A. 4 B. 5

(

)( y +1) = 9 ,则 x + y 的最小值是(
C.

11 2 2 2 2 9.在 ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是( )
D. A. (0, ]

9 2

a b ? 2 A. 2 c ?1 c ?1

B. a ? b
2

2

1 1 C. ? a b

?

D. a c ? b c

6

B. [ ,? )

?

6

C. [ ,? )

?

3

D. (0, ]

?

3

x?2 ? 0 的解集为( ) 2.分式不等式 x ?1
A.

10.已知 a ? (?2,?1), b ? (? ,1) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则实数 ? 的取值范围是( A. (?

?

?

?

?



{x x ? 1}

B.

{x x ? ?2}

C.

{x ?2 ? x ? 1}


D.

{x x ? ?2或x ? 1}

1 , ??) 2

B. (2, ??)

C. (??, ? )

1 2

D. (?

1 , 2) U (2, ??) 2

11.已知 O 为 ?ABC 的外心, AB ? 2a, AC ?

3.数列 1,3,6,10,? 的一个通项公式是(
2
2

n(n ? 1) n(n ? 1) A. an ? n ? (n ? 1) B. an ? n ? 1 C. a n ? D. a n ? 2 2 S S 4.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 3 ? 2 ? 1 ,则数列 ?an ? 的公差是( ) 3 2

???? ??? ? ???? AO ? ? AB ? ? AC ?? , ? ? R ? ,则 ? ? ? 的最小值为( )
A .1 B. 2 C. 3 D.2

2 ? a ? 0, a ? R ? , ?BAC ? 120? .若 a

1 A. 2

B.1

C.2

D.3

12.已知数列 ?an ?满足 an ?

5an ?1 ? 2 (n ? 2, n ? N * ) ,且 ?an ?前 2014 项的和为 403,则数列 an ?1 ? 5
) C.2 D.4

5.已知点 A(1,1) , B (4, 2) 和向量 a=(2, ?) ,若 a / / AB ,则实数 ? 的值为( ) A. ?

?

?

??? ?

?an ? an?1?的前 2014 项的和为(
A.-4 二.填空题(20 分) B.-2

2 3

B.

2 3

C.

3 2

D. ?

3 2

2 13、函数 f ? x ? ? ln 2 ? x ? x 的定义域为________

?

?

14. 已知数列 1,

1 1 1 , , ?, ,? , 则其前 n 项的和等于________ 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ?? ? n
2

15. 若关于 x 的不等式 sin x ? ? a ? 1? sin x ? 1 ? 0 对一切 x ? ? 0,

? ?? 恒成立,则 a ?________ ? 2? ?
1

?3 x ? y ? 6 ? 0 ? 16.设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 ,若目标函数 z ? ax ? by ? a ? 0, b ? 0? 的最大值为 12, ? x ? 0, y ? 0 ?


a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, ?ABC 中, 20. (12 分) 向量 m ? (1, 3), n ? (sin 2C, cos(A ? B)) ,
且m?n ? 0. (1)若 a ? 4, c ? 13 ,求 ?ABC 的面积; (2)若 A ?

2 3 ? 的最小值为________ a b

三、解答题(70 分) 17.(12 分)已知单位向量 a , b 满足 (2 a ? 3 b ) ? (2 a ? b ) ? 3 。 (1)求 a ? b ; (2)求 2 a ? b 的值.
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?

?
3

, cos B ? cos C , 求 AB ? BC ? 2 BC ? CA ? 3CA ? AB 的值.

21.(12 分)已知函数 f ( x ) 是二次函数,不等式 f ( x ) ? 0 的解集为 {x | ?2 ? x ? 3} ,且 f ( x ) 在 区间 [?1,1] 上的最小值是 4. (1)求 f ( x ) 的解析式;

18.(12 分).设 ?ABC 的内角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,且 cos B ? (1)当 A ? 30 时,求 a 的值;
o

4 ,b ? 2. 5

(2)设 g ( x ) ? x ? 5 ? f ( x ) ,若对任意的 x ? ? ??, ? ? , g ( ) ? g ( x ? 1) ? 4 ? ?m g ( x ) ? g (m) ? ? m 4
2

? ?

3? ?

x

均成立,求实数 m 的取值范围.

(2)当 ?ABC 的面积为 3 时,求 a ? c 的值.

22.(本题共 10 分,第Ⅰ问 3 分,第Ⅱ问 7 分)已知数列 ?an ? 满足递推式:

1 a 1 * 19.(12 分)在数列 ?an ?中,已知 a1 ? , n ?1 ? , bn ? 2 ? 3 log1 an (n ? N ) . 4 an 4 4
(1)求数列 ?an ?的通项公式; (2)求证:数列 ?bn ?是等差数列; (3)设数列 ?cn ?满足 cn ? an ? bn ,求 ?cn ?的前 n 项和 Sn .

an?1 ?

2 2 ? an ? ? n ? 2, n ? N ? , a1 ? 1, a2 ? 3 . an an?1
1 ,求 bn ?1 与 bn 的递推关系(用 bn 表示 bn ?1 ); 1 ? an

(1)若 bn ?

(2)求证: a1 ? 2 ? a2 ? 2 ? ?? an ? 2 ? 3? n ? N? ? .

2

∴数列 {bn } 是首项 b1 ? 1 ,公差 d ? 3 的等差数列. 参考答案 一.选择题 1-6:ACDCBB 二、填空题 13 、 三、解答题 17. 解:1)由条件 4 a ? 2 a ? b ? 6 a ? b ? 3 b ? 3 ,即 4 ? 4 a? b ? 3 ? 3 ,
? ? 1 ? a ? b ? ? .................................6 分 2

……………………7 分

1 (Ⅲ)由(Ⅰ)知, an ? ( ) n , bn ? 3n ? 2 (n ? N * ) 4

7-12:AADDDC 14 、

? ?2,1?

2n n ?1
?2

15、

? ??,1?

25 16、 6

1 ∴ cn ? (3n ? 2) ? ( ) n , (n ? N * ) . 4

………………………………8 分 ① ②

1 1 1 1 1 ∴ S n ? 1? ? 4 ? ( ) 2 ? 7 ? ( )3 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n?1 ? (3n ? 2) ? ( ) n , 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 于是 S n ? 1? ( ) 2 ? 4 ? ( )3 ? 7 ? ( ) 4 ? ?? (3n ? 5) ? ( ) n ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4 3 1 1 1 1 1 两式①-②相减得 S n ? ? 3[( ) 2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ] ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 4 4 4 4 4 4
1 1 = ? (3n ? 2) ? ( ) n?1 . 2 4

?2

?

?

?

?

? ?

…………………………… 9 分

1 (2) 2 a ? b ? 4 a ? 4 a ? b ? b ? 4 ? 1 ? 4 ? (? ) ? 7 , 2
所以 2 a ? b ?
? ?

?

?2

?2

?

?

?2

………………………………11 分
n

∴ Sn ?

2 3n ? 2 ? 1 ? ? ? ? . 3 3 ?4?

………………………………12 分

7 .................................12 分
20. 解(Ⅰ)由 m ? n ? 0 得 sin 2C ? 3 cos(A ? B) ? 0且A ? B ? C ? ? 有 2 sin C cosC ? 3 cosC ? 0所以, cosC ? 0或 sin C ?

4 3 18 解:(1)∵在 ?ABC 中 cos B ? ,则 sin B ? -------------(2 分) 5 5 5 a b a 10 ? ? ,则 a ? 由正弦定理 可得 --------(6 分) ? 3 sin A sin B sin 30 3 1 3 (2)∵ ?ABC 的面积 S ? ac sin B 且 sin B ? 2 5 3 ac ? 3 即 ac ? 10 ------------------------------------(8 分) ∴ 10
2 2 2 由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 可得:

3 ………2 分 2

由 a ? 4, c ? 13, 有c ? a, 所以只能sin C ?
2 2 2 2

3 ? , 则C ? ,………3 分 2 3

由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab ? cosC有b ? 4b ? 3 ? 0, 解得b ? 1或b ? 3 ……5 分 当 b ? 3时, S ?

8 18 4 ? a ? c ? ac ? (a ? c) 2 ? ac ? (a ? c) 2 ? 36 5 5 2 ∴ (a ? c) ? 40,即a ? c ? 2 10 ------------------------(12 分)
2 2

1 ab ? sin C ? 3 3 2

当b ? 1时, S ?

1 ab ? sin C ? 3. …7 分 2

(Ⅱ)由 cos B ? cos C , 有C ? B又A ? 则C ?

?
3

, 所以应取 cos C ? 0,

19 解:(Ⅰ)∵

an?1 1 1 1 ? ∴数列{ a n }是首项为 ,公比为 的等比数列, 4 4 an 4

?
2

,B ?

?
6

,……………………9 分

1 ∴ an ? ( ) n (n ? N * ) . 4

……………………………3 分 ………………………… 4 分

由 a ? 3b, 得AB ? BC ? 2BC ? CA ? 3CA ? AB ? AB ? BC ? 3CA ? AB

(Ⅱ)∵ bn ? 3 log1 an ? 2
4

? ac ? cos

5? 2? 3 3 ? 3bc ? cos ?? ac ? bc ? 0 ………………12 分 6 3 2 2

∴ bn ? 3 log1 ( ) n ? 2 ? 3n ? 2 .
2

1 4

……………………… 5 分

21.解:(Ⅰ) f ( x ) ? 0 解集为 {x | ?2 ? x ? 3} ,

∴ b1 ? 1 ,公差 d=3
3

设 f ( x) ? a( x ? 2)( x ? 3) ? a( x 2 ? x ? 6) ,且 a ? 0 ,对称轴 x0 ?
2

1 ,开口向下, 2

f ( x)min ? f (?1) ? ?4a ? 4 ,解得 a ? ?1 , f ( x) ? ? x ? x ? 6 ;………………………5 分
(Ⅱ) g ( x) ? x ? 5 ? x 2 ? x ? 6 ? x 2 ? 1 , g (

化简得: an ? 2 ?

3 ? 1? 1? ? ? ? ? 2?
n

?3 ?

3

? ?2 ?
?1

n

?1

………………………………5 分

x ) ? g ( x ? 1) ? 4 ? m 2 g ( x ) ? g (m) ? ? ? 恒成立 m

对 n 分奇数与偶数讨论: a2 k ?1 ? 2 ?

3 2
2 k ?1

, a2 k ? 2 ?

3? x2 ? 2 m2 ( x 2 ? 1) ? m2 ? 1? 即 2 ? 1 ? ( x ? 1) ? 1 ? 4 ? 对 x ? ? ??, ? ? 恒成立 ? ? m 4? ?
化简 (

3 ,则 2 ?1
2k

1 ? 4m 2 ) x 2 ? x 2 ? 2 x ? 3 , 2 m

1 ? 22k ?1 ? 22 k 22k ?1 ? 22 k 1 ? ? 1 ? 1 a2k ?1 ? 2 + a2 k ? 2 =3 ? 2k ?1 + 2k ? 3? ? 3 ? ? 2k ?1 + 2 k ? ? =3 ? 4k ?1 2k ?1 4k ?1 2 ? 2 ?1 2 2 ? ? 2 ? 1 2 ?1 ? ?2
,则 a1 ? 2 ? a2 ? 2 ? ? ? a2 k ? 1 ?2 ? a 2 k ? 2 ? 3? ? 分 又 a1 ? 2 ? a2 ? 2 ? ? ? a2 k ?1 ? 2 ? a2 k ?1 ? 2 ? 3 ? ?1 ?



3 2 1 3? ? ? 4m 2 ? ? 2 ? ? 1 对 x ? ? ??, ? ? 恒成立…………………………………8 分 2 m x x 4? ?
3 2 1 ? 4 ? ? ? 1 ,记 t ? ? ? ? , 0 ? , 2 x x x ? 3 ? 1 , 3

1 ? 1 ? ? ?1 1 ? 2 ? ? ? 2 k ? ? 3 ? ?1 ? 2 k ? ? 3 ;……8 2 ? ? 2 ? ?2 2

令y??

? ?

1 22 k

3 ? ? ? 2 k ?1 ? 2 ?1

则 y ? ?3t 2 ? 2t ? 1 ,二次函数开口向下,对称轴为 t0 ? ? 当t ? ?

5 4 1 5 2 时 y min ? ? ,故 2 ? 4m ? ? ……………………………………10 分 3 m 3 3

1 1 ? ? ? 3 ? ?1 ? 2 k ?1 ? 2 k ? ? 3 .综上所述,原不等式成立.……………………………………10 分 ? 2 ?1 2 ?

(3m2 ? 1)(4m2 ? 3) ? 0 ,解得 m ? ?
22. (Ⅰ) an ?1 ?

3 3 或m ? ………………………………12 分 2 2


2 2 2 2 ? an ? ? ? ? a2 ? ? 3 ? 2 ? 1 ? an?1 ? ? 1 an an an?1 a1

bn ?

1 ? bn ?1 2bn 1 2 1 1 ?1? ?1? ? ?1 ? an ? ? 1 代入①式得 1 bn ?1 b 1 ? b 1 ? an bn n ? 1 n ?1 bn
即 bn ?1 ? ?

1 1 bn ? …………………………………3 分 2 2

n 1 1? ? 1? ? 3 ? ?1 ? ? ? ? ? ,即 得an ? 1 ? (Ⅱ)由(1)得bn ? n 1 ? an 3 ? ? ? 1? ? ? 2? ? 1? ? ? ? ? 2?

4


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