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高中数学北师大版必修三第1章§4知能优化训练教案


1.(2011 年济南高一检测)已知一组数据为 20,30,40,50,50,60,70,80,其中平均数、中位 数和众数大小关系是( ) A.平均数>中位数>众数 B.平均数<中位数<众数 C.中位数<众数<平均数 D.众数=中位数=平均数 1 解析:选 D.本题利用平均数、众数、中位数的定义即可求解. x = (20+30+40+50+50

8 +60+70+80)=50,众数为 50,中位数为 50,故选 D. 2.下列说法正确的是( ) A.样本中所有个体的总和是总体 B.方差的平方根叫标准差 C.样本平均数与总体平均数一定相等 D.在一组数据中,出现次数最多的数据叫做这组数据的众数 解析:选 D.根据有关定义知:样本中所有个体的总和是指样本容量,不是总体,A 错.方差 的算术平方根是标准差,B 错.样本平均数可能与总体平均数较接近、相等或相差较大,C 错.由众数的定义,知 D 正确.故选 D. 3.(2011 年高考江西卷)为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取 30 名学生参 加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分值的中位数为 me,众数为 mo,平均值为

x ,则(

)

A.me=mo= x C.me<mo< x

B.me=mo< x D.mo<me< x

5+6 解析:选 D.30 个数中第 15 个数是 5,第 16 个数是 6,所以中位数为 =5.5,众数为 5, 2 3×2+4×3+5×10+6×6+7×3+8×2+9×2+10×2 x= 30 179 = . 30 1 10 2 2 4.已知样本方差 s = i=1 (xi-5) ,则 x1+x2+…+x10=__________. ∑ 10 1 1 2 2 2 2 解析:由 s = [(x1- x ) +(x2- x ) +…+(xn- x ) ]得 x =5.又 x = (x1+x2+…+

n xn),所以 x1+x2+…+x10=5×10=50.
答案:50

n

一、选择题 1. 从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩, 统计如下表, 则这 100 人成绩的标准差为(

)

分数 人数 A. 3 C.3

5 20

4 10

3 30 2 10 5 8 D. 5 B.

2 30

1 10

100+40+90+60+10 解析:选 B.∵ x = =3, 100 1 160 8 2 10 2 2 2 2 (20×2 +10×1 +30×1 +10×2 )= = ,所以 s= ,故选 B. 100 100 5 5 2. (2010 年高考山东卷)样本中共有五个个体, 其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为 1,则样本方差为( ) 6 6 A. B. 5 5 ∴s =
2

C. 2 D.2 解析:选 D.由题可知样本的平均值为 1, a+0+1+2+3 所以 =1, 5 解得 a=-1, 1 2 2 2 2 2 所以样本的方差为 [(-1-1) +(0-1) +(1-1) +(2-1) +(3-1) ]=2,故选 D. 5 3.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为 x,y,10,11,9.已知这组数据的平均 数为 10,方差为 2,则|x-y|的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 x+y+10+11+9 1 2 2 2 解析:选 D.由题意可得 =10, [(x-10) +(y-10) +(10-10) +(11- 5 5 2 2 10) +(9-10) ]=2,解得 x=12,y=8 或者 x=8,y=12. 所以|x-y|=4,故选 D. 4.一个地区某月前两周从星期一到星期五各天的最低气温依次是(单位:℃):x1,x2,x3, x4,x5 和 x1+1,x2+2,x3+3,x4+4,x5+5,若第一周这五天的平均最低气温为 7 ℃,则 第二周这五天的平均最低气温为( ) A.7 ℃ B.8 ℃ C.9 ℃ D.10 ℃ 解析:选 D.∵x1,x2,x3,x4,x5 的平均数为 7, 1 ∴ (x1+x2+x3+x4+x5)=7, 5 ∴x1+x2+x3+x4+x5=35. 1 ∴ (x1+1+x2+2+x3+3+x4+4+x5+5) 5 1 1 = [(x1+x2+x3+x4+x5)+15]= (35+15)=10. 5 5 5.(2011 年东北三校联考)

甲、乙两位同学在高三的 5 次月考中数学成绩统计如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩 分别是 x 甲、x 乙,则下列叙述正确的是( ) A.x 甲>x 乙,乙比甲成绩稳定 B.x 甲>x 乙,甲比乙成绩稳定 C.x 甲<x 乙,乙比甲成绩稳定 D.x 甲<x 乙,甲比乙成绩稳定 1 1 解析:选 C.由题意可知,x 甲= ×(72+77+78+86+92)=81,x 乙= ×(78+88+88+90 5 5 +91)=87. 1 2 2 2 2 2 因此 x 甲<x 乙.又由方差公式可得 s甲= ×[(72-81) +(77-81) +(78-81) +(86-81) + 5 2 (92-81) ]=50.4, 1 s2 = ×[(78-87)2+(88-87)2+(88-87)2+(90-87)2+(91-87)2]=21.6,因为 s2 <s2 , 乙 乙 甲 5 故乙的成绩波动较小,乙的成绩比甲稳定.故选 C. 6.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表: 甲的成绩 环数 7 8 9 10 频数 5 5 5 5 乙的成绩 7 8 6 4

环数 频数

9 4

10 6

丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4 s1,s2,s3 分别表示甲、乙、丙三名运动员在这次测试中成绩的标准差,则有( A.s3>s1>s2 B.s2>s1>s3 C.s1>s2>s3 D.s2>s3>s1 解析:选 B.分别计算出三组数据的平均数和标准差.
2

)

设 x 1、 x 2、 x 3 分别表示甲、乙、丙三名运动员在这次测试中成绩的平均数,s1、s2、s3分 别表示甲、乙、丙三名运动员在这次测试中成绩的方差. 1 x 1= ×(5×7+5×8+5×9+5×10)=8.5, 20 1 x 2= ×(6×7+4×8+4×9+6×10)=8.5, 20 1 x 3= ×(4×7+6×8+6×9+4×10)=8.5, 20 1 s2= ×[5×(7-8.5)2+5×(8-8.5)2+5×(9-8.5)2+5×(10-8.5)2]=1.25, 1 20 1 s2= ×[6×(7-8.5)2+4×(8-8.5)2+4×(9-8.5)2+6×(10-8.5)2]=1.45, 2 20 1 s2= ×[4×(7-8.5)2+6×(8-8.5)2+6×(9-8.5)2+4×(10-8.5)2]=1.05. 3 20 ∴s2>s1>s3. 二、填空题 7.在某次考试中,要对甲、乙两名同学的学习成绩进行检查,甲同学的平均得分 x 甲=76

2

2

分,方差 s甲=4 分 ,乙同学的平均得分 x 乙=77 分,方差 s乙=10 分 ,则________同学平 均成绩好,________同学各科发展均衡. 解析: x 代表平均水平,由于 x 甲< x 乙,故乙同学的平均成绩好;s 表示相对于平均成绩 的波动程度的大小,s甲<s乙,故甲同学各科发展均衡. 答案:乙 甲
2 2 2

2

2

2

2

8.(2011 年山东烟台一模)某校举行 2010 年元旦汇演,七位评委为某班的小品打出的分数 的茎叶统计图如图所示, 去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均数和方差分别为 ________、________. 1 解析:去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据为 84,84,84,86,87,其平均数为 (84×3 5 1 8 2 2 2 2 +86+87)=85,方差为 s = [3×(84-85) +(86-85) +(87-85) ]= . 5 5 8 答案:85 5 9.某校甲、乙两个班级各有 5 名编号为 1,2,3,4,5 的学生进行投篮练习,每人投 10 次,投 中的次数如下表: 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 2 则以上两组数据的方差中较小的一个为 s =________. 解析:由题中表格得,甲班: x 甲=7, 1 5 1 5 2 5

s2 = [(-1)2+02+02+12+02]= ; 甲
乙班: x 乙=7,

s2 = [(-1)2+02+(-1)2+02+22]= . 乙
2 2 2 2 2 ∵s甲<s乙,∴两组数据中方差较小的为 s =s甲= . 5 2 答案: 5 三、解答题 10.为了参加 2010 年广州亚运会,特对划艇运动员甲、乙二人在相同的条件下进行了 6 次 测试,测得他们最大速度(m/s)的数据如下: 甲:27,38,30,37,35,31; 乙:33,29,38,34,28,36. 根据以上数据,试判断他们谁更优秀. 1 198 解: x 甲= (27+38+30+37+35+31)= =33, 6 6 1 s2 = [(27-33)2+(38-33)2+…+(31-33)2] 甲 6 1 = ×94≈15.7; 6 1 198 x 乙= (33+29+38+34+28+36)= =33, 6 6

6 5

s2 = [(33-33)2+(29-33)2+…+(36-33)2] 乙
1 = ×76≈12.7. 6 ∴ x 甲= x 乙,s甲>s乙.说明甲、乙二人的最大速度的平均值相同,但乙比甲更稳定,故乙比 甲更优秀. 11.(2011 年福建师大附中检测)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训 期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次,记录如下: 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据; (2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个) 考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由. 解:(1)作出茎叶图如下:
2 2

1 6

(2)派甲参赛比较合适.理由如下: 1 x 甲= (70×2+80×4+90×2+8+9+1+2+4+8+3+5)=85, 8 1 x 乙= (70×1+80×4+90×3+5+0+0+3+5+0+2+5)=85, 8 1 s2 = [(78-85)2+(79-85)2+(81-85)2+(82-85)2+(84-85)2+(88-85)2+(93-85)2 甲 8 2 +(95-85) ]=35.5, 1 s2 = [(75-85)2+(80-85)2+(80-85)2+(83-85)2+(85-85)2+(90-85)2+(92-85)2 乙 8 2 +(95-85) ]=41. ∵ x 甲= x 乙,s甲<s乙,∴甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适. 12.从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛,对他们的射击水平进行了测试,两人在相 同条件下各射击 10 次,命中的环数如下: 甲:7,8,6,9,6,5,9,9,7,4. 乙:9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. (1)分别计算甲、乙两人射击命中环数的极差、众数和中位数; (2)分别计算甲、乙两人射击命中环数的平均数、方差、标准差; (3)比较两人的成绩,然后决定选择哪一个人参赛. 解:(1)对于甲:极差是 9-4=5,众数是 9,中位数是 7; 对于乙:极差是 9-5=4,众数是 7,中位数是 7. 7+8+6+9+6+5+9+9+7+4 (2) x 甲= =7, 10 1 s2 = [(7-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(6-7)2+(5-7)2+(9-7)2+(9-7)2+(7 甲 10 2 2 -7) +(4-7) ]=2.8, s 甲= s2 = 2.8≈1.673; 甲 9+5+7+8+7+6+8+6+7+7 x 乙= =7, 10 1 s2 = [(9-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)2+(7 乙 10
2 2

-7) +(7-7) ]=1.2, s 乙= s2 = 1.2≈1.095. 乙 (3)∵ x 甲= x 乙,s 甲>s 乙, ∴甲、乙两人的平均成绩相等,乙的成绩比甲的成绩稳定一些,从成绩的稳定性考虑,可以 选择乙参赛.

2

2


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