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山东省山师大附中2015届高三下学期第九次模拟(6月冲刺卷)数学(理)试题


山东省山师大附中 2015 届第九次模拟考试试题 高三数学(理科)
第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知复数 z ? A. ? i
2015.6.1

2 5

1 ? 2i (i 是

虚数单位) ,则 z 的共轭复数的虚部是( 3 ? 4i 2 2 2 B. C. ? D. i 5 5 5

)

2.设集合 A ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 , B ? y y ? 2x ? 1 ,则 A ? B ? ( A. ?1, 2? B. ?1, 2? C. ?1, ?? ? D.

?

?

?

?

)

? 2, ?? ?

3.已知变量 x 与 y 正相关,且由观测数据算得样本平均数 x=3,y=3.5,则由该观测数据算 得的线性回归方程可能是( )

? ? 0.4 x ? 2.3 A. y ? ? ?2 x ? 9.5 C. y

? ? 2 x ? 2.4 B. y
? ? ?0.3x ? 4.4 D. y

4.已知命题 p : 对任意 x ? R ,总有 x ?1 ? x ? 1 ? 2 ;命题 q : x ? 2 是 x ? 1 的充分不必要 条件.则下列命题为真命题的是 ( A. p ? q B. ? p ? ? q ) C. ?p ? q D. p ??q )
x

5.下列函数中,满足“ f ? x ? y ? ? f ? x ? f ? y ? ”的单调递增函数是( A. f ? x ? ? sin x B. f ? x ? ? x
3

C. f ? x ? ?

1 2x

D. f ? x ? ? 3

6.已知圆 C 的方程为 x2+y2 ? 2x=0,若以直线 y=kx ? 2 上任意一点为圆心,以 l 为半径的圆与 圆 C 没有公共点,则 k 的整数值是( A. ? l 7.函数 y ? B.0 ) C.1 ) D.2

x ? 2sin x 的图象大致是( 2

? x ? 2y ?1 ? 2 8. 已知点 P(x,y)的坐标满足条件 ? x ? 4 y ? 4 ,当 z ? ?2 x ? y 取得最大值为 1 时,那么 x ? x? y ?a ?
+y2 的最小值为(
A.

)
B.

2 2

1 2

C.1

D.2

9.将 9 个相同的小球放入 3 个不同的盒子,要求每个盒子中至少有一个小球,且每个盒子里 的小球个数都不相同,则不同的放法种数为( A.12 10.已知双曲线 B.15 C.18 ) D.21

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左、右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0),若双曲线右 a 2 b2

支上存在点 P 使得

a c ,则该双曲线离心率的取值范围为( ? sin ?PF1F2 sin ?PF2 F1
B.( 2 ? 1 ,1) C.(1, 2 ? 1 ) D.( 2 ? 1 , ?? )

)

A.(0, 2 ? 1 )

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 若一个几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积为________.

12. 执行如图所示的程序框图,若输入 x=0.1,则输出的 m 的 值是________.
? 13. 在△ ABC 中, ?A ? 90 ,边 AC ? 1 , AB ? 2 ,过点 A 作 AP ? BC 交 BC 于 P ,且

??? ? ??? ? ??? ? AP ? ? AB ? ? AC ,则 ?? ? ________.

14. 直线 l 过抛物线 C : y 2 ? 4 x 的焦点且与 x 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形的面积等 于 .

15. 定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ,当 x ? [0, 2] 时, f ( x) ? x2 ? 2 x ,若

1 3 x ?[ ?4, ?2] 时, f ( x) ? ( ? t ) 恒成立,则实数 t 的取值范围是 8 t

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x ? 3 cos 2 ? x ?

3 (? ? 0 ) ,直线 x ? x1 , x ? x2 是 2

y ? f ( x) 图象的任意两条对称轴,且 | x1 ? x2 | 的最小值为
(Ⅰ)求 f ( x ) 的表达式; (Ⅱ)将函数 f ( x ) 的图象向右平移

? . 4

? 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原 8

来的 2 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g ( x) 的图象,若关于 x 的方程 g ( x) ? k ? 0 ,在区间

? ?? 上有且只有一个实数解,求实数 k 的取值范围. 0, ? ? 2? ?
17.(本小题满分 12 分) 袋中装着标有数字 1,2,3 的小球各 2 个,从袋中任取 2 个小球,每个小球被取出的可能 性都相等. (Ⅰ)求取出的 2 个小球上的数字互不相同的概率; (Ⅱ)用 ? 表示取出的 2 个小球上的数字之和,求随机变量 ? 的概率分布与数学期望. 18. (本小题满分 12 分) 已知等边三角形的边长为 3 , 点 D, E 分别在边 AB, AC 上, 且满足

AD CE 1 ? ? , 将 ?A D E DB EA 2

沿 DE 折叠到 ?A1 DE 的位置,使 平面A1 DE ? 平面BCDE ,连接 A1 B, A1C . (Ⅰ)证明: A1 D ? 平面BCDE ; (Ⅱ)在线段 BC 上是否存在点 P ,使得直线 PA1 与平面 A1 BD 所成的角为 60 ?若存在, 求出 PB 的长;若不存在,说明理由.
?

19. (本小题满分 12 分) 设数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n , 对一切 n ? N * , 点? ? n,

? ?

Sn ? a ? 都在函数 f ( x) ? x ? n 的图象上. n ? 2x

(Ⅰ)求数列 ?a n ? 的通项公式; (Ⅱ)设 An 为数列 ?

? a n ? 1? an ? 3 对一切 ? 的前 n 项积,若不等式 An a n ? 1 ? f (a ) ? 2a ? an ?

n ? N * 都成立,其中 a ? 0 ,求 a 的取值范围.
20. (本小题满分 13 分) 设平面上一动点 P 到定点(1,0)的距离与到定直线 x ? 4 的距离之比为 (Ⅰ)求动点的 P 轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设定点 A (-2, 3 ),曲线上 C 一点 M ( x0 , y0 ) ,其中 y0 ? 0 .若曲线 C 上存在两点 E , F , 使 AE ? AF ? AM ,求 x0 的取值范围. 21. (本小题满分 14 分) 函数 f ? x ? ? ln x , g ? x ? ?

1 . 2

??? ? ??? ?

???? ?

1 2 x ? 2x . 2

(Ⅰ)设 h ? x ? ? f ? x ?1? ? g? ? x ? (其中 g ? ? x ? 是 g ? x ? 的导函数) ,求 h ? x ? 的最大值; (Ⅱ)求证: 当 0 ? b ? a 时,有 f ? a ? b ? ? f ? 2a ? ?

b?a ; 2a

(Ⅲ)设 k ? Z ,当 x ? 1 时,不等式 k ? x ?1? ? xf ? x ? ? 3g? ? x ? ? 4 恒成立,求 k 的最大值.

第二次模拟试题答案(理科数学) 一、 二、 三、 选择: DDBDC AABCA 填空 11. 15;12. 20;13. -1;14. 8:27;15. 3 解答题

2?
16 解: (Ⅰ)由题意知: ?

?

4? 3 ?? 3 ,解得: 2,

……………………2 分

? tan A ?

sin A sin B ? sin C ? sin B 2 ? cos B ? cos C

? sin B cos A ? sin C cos A ? 2 sin A - cos B sin A - cos C sin A ? sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cos C sin A ? 2 sin A
? sin ( A ? B) ? sin ( A ? C ) ? 2 sin A ……………………………………4 分

? sin C ? sin B ? 2 sin A ?? b ? c ? 2a …………………………………………………6 分
(Ⅱ)因为 b ? c ? 2a,b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ ABC 为等边三角形 …………8 分

1 3 SOACB ? S?OAB ? S?ABC ? OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4 ? sin ? - 3 cos? ?
?? ? (0,? ) ,?? 当且仅当 ? -

……………9 分

5 3 ? 5 3 , ……………………10 分 ? 2sin (? - ) ? 4 3 4

?

? 2? ?(- , ), 3 3 3
5? 5 3 时取最大值, S OACB 的最大值为 2 ? ………………12 分 6 4

?
3

?

?
2

, 即? ?

17.解: (Ⅰ)证:由已知 DF∥AB 且 ? DAB 为直角,故 ABFD 是矩形, 从而 AB ? BF. ……(1 分) 又 PA ? 底面 ABCD, ∴平面 PAD ? 平面 ABCD, ……(2 分) ∵AB ? AD,故 AB ? 平面 PAD,∴AB ? PD, ……(3 分) 在 ΔPCD 内,E、F 分别是 PC、CD 的中点,EF//PD,……(4 分) ∴ AB ? EF. ……(5 分) 由此得 AB ? 平面 BEF .……(6 分) (Ⅱ)以 A 为原点,以 AB,AD,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系, 则 BD ? (?1,2,0), BE ? (0,1 )

h 2

……(8 分)

设平面 CDB 的法向量为 n1 ? (0,0,1) ,平面 EDB 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,



? ?n 2 ? BD ? 0 ? ? ? n 2 ? BE ? 0

?? x ? 2 y ? 0 2? ? ? 可取 n2 ? ? 2,?1, ? ? hz h? y? ?0 ? ? 2 ?

……(10 分)
z P

设二面角 E?BD?C 的大小为 ? ,则

cos? ?| cos ? n1 , n2 ?|?

| n1 ? n2 | = | n1 | ? | n2 |

2 h 5? 4 h2

?

2 , 2
D

E

y F

C

2 化简得 h ?

4 2 5 ,所以 h ? …(12 分) 5 5

A

B

x

18 解:(I)设“取出的 3 个球编号都不相同”为事件 A,则“取出的 3 个球中恰有两个球编号相同” 为事件 A ,则

P( A) ?

1 1 2 C4 C7 1 所以 P ( A) ? 1 ? P( A) ? ? 3 3 C9 3

………………(4 分) (II) X 的取值为 2,3,4,5
1 2 2 1 1 2 2 1 C2 C2 ? C2 C2 1 C2 C4 ? C2 C4 4 P( X ? 2) ? ? , P( X ? 3) ? ? 3 3 C9 21 C9 21 1 2 2 1 C2 C6 ? C2 C6 3 C82 1 P( X ? 3) ? ? , P( X ? 5) ? 3 ? 3 C9 7 C9 3

…………………(8 分) 所以 X 的分布列为: X 2

3

4

5

4 3 1 P 21 7 3 1 4 3 1 85 ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? ………..12 分 的数学期望 EX ? 2 ? 21 21 7 3 21 19 解: (Ⅰ)由 an ?1 ? Sn ? n ,得

1 21

an ? Sn ?1 ? (n ? 1) (n ? 2) ,两式相减得
an ?1 ? an ? Sn ? Sn ?1 ? 1 ? an ? 1 ,所以 an ?1 ? 2an ? 1
所以 an ?1 ? 1 ? 2(an ? 1) (n ? 2) ---------------------------------2 分

-------------------------------------3 分

又 a2 ? 3, 所以 an ? 1 ? 2n ? 2 (a2 ? 1) ? 2n ,从而 an ? 2n ? 1 (n ? 2) ----------------5 分 而 a1 ? 2 ,不符合上式,所以 an ? ?

?2 ,

n ?1

n ?2 ? 1, n ? 2

-------------------------------------6 分

因为 {bn } 为等差数列,且前三项的和 T3 ? 9 ,所以 b2 ? 3 ,--------7 分

可设 b1 ? 3 ? d , b3 ? 3 ? d



由于 a1 ? 2, a2 ? 3, a3 ? 7 ,于是

a1 ? b1 ? 5 ? d , a2 ? b2 ? 6, a3 ? b3 ? 10 ? d ,因为 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,
所以 (5 ? d )(10 ? d ) ? 36 , d ? 2 或 d ? ?7 (舍) 所以 bn ? b1 ? (n ? 1)d ? 1 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 (Ⅱ)因为 -----------------------------------9 分

1 1 1 1 1? 1 1? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 (2k ? 1) (2k ? 1) ? 1 2k (2k ? 2) 4 ? k ? 1 k ? bk

所以,当 n ? 2 时

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 1 ? ??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ??? 2 ? 2 ? 2 ?? 2 2 1 3 (2n ? 1) 4 ?? 2 ? ? 2 3 ? b1 b2 bn ? n ? 1 n ??
?1?
1 5 1 ? 1? 1? ? ?1? ? ? 4 4 4 ? n?
c 2 ? ? a 2 ? 2b 2 a 2
------- ----------------------------------------------------12 分

20.解(1)

(1 分)

又 2 b ? 2b ,得 b ? 1 ? C2 : y ? x 2 ? 1, C1 :

x2 ? y2 ? 1 2

(3 分)

? y ? kx (2)设直线 AB : y ? kx, A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则 ? ? x 2 ? kx ? 1 ? 0 2 y ? x ? 1 ?

(4 分)

???? ???? MA ? MB ? ( x1 , y1 ? 1) ? ( x2 , y2 ? 1) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1=0

?MA ? MB
(3)设直线 MA : y ? k1 x ? 1; MB : y ? k2 x ? 1, k1k2 ? ?1

(6 分)

? ? y ? k1 x ? 1 ?x ? 0 ? x ? k1 , 解得 ? 或? ? A(k1 , k12 ? 1) ,同理可得 B(k2 , k22 ? 1) ? 2 2 y ? ? 1 y ? k ? 1 y ? x ? 1 ? ? ? 1 ?

S1 ?

1 1 2 MA MB ? 1 ? k12 1 ? k2 k1 k2 2 2

(8 分)

4k1 ? x? ? y ? k1 x ? 1 2 ? ?x ? 0 4k1 2k12 ? 1 ? 2 ? 1 ? 2k1 , 解得 或 ? D ( , ) ?x ? ? 2 2 1 ? 2k12 1 ? 2k12 ? y ? ?1 ? y ? 2k1 ? 1 ? ? y ?1 ?2 ? 1 ? 2k12 ?
16k1k2 4k 2 2k 2 2 ? 1 1 1 2 , ) ? S2 ? MD ME ? 同理可得 E ( (11 分) 1 ? k12 1 ? k2 2 2 2 1 ? 2k 2 1 ? 2 k 2 2 2 (1 ? 2k12 )(1 ? 2k2 )

S1 (1 ? 2k )(1 ? 2k ) ?? ? ? S2 16
2 1 2 2

5 ? 2(

1 ? k12 ) k12 9 ? 16 16
(13 分) ……………1 分

所以 ? 的最小值为

9 16

,此时 k=1 或-1.

21 解: (Ⅰ) f ( x ) 其定义域为 (0,??) . 当 a ? 0 时, f ( x) ? ln x ? 令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ,

1 1 1 x ?1 , f ?( x) ? ? 2 ? 2 . x x x x

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x ) 的单调递减区间是 (0,1) ,单调递增区间是 (1,??) ; 所以 x ? 1 时, f ( x ) 有极小值为 f (1) ? 1 ,无极大值 ……………3 分 (Ⅱ) f ?( x) ? a ?

a ? 1 1 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 (ax ? 1)( x ? 1) ? 2? ? ( x ? 0) ………4 分 x x x2 x2
1 a

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 当 ? 1 ? a ? 0 时, 1 ? ?

1 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 或 x ? ? , a a 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? x ? ? ; a

当 a ? ?1 时, f ?( x) ? ? 当 a ? ?1 时, 0 ? ?

( x ? 1) 2 ? 0. x2

1 1 ? 1 ,令 f ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? ? 或 x ? 1 , a a 1 令 f ?( x) ? 0 ,得 ? ? x ? 1; a

综上所述: 当 ? 1 ? a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间是 (0,1) , (? ,?? ) , 单调递增区间是 (1,? ) ; 当 a ? ?1 时, f ( x ) 的单调递减区间是 (0,??) ; 当 a ? ?1 时, f ( x ) 的单调递减区间是 (0,? ) , (1,??) ,单调递增区间是 ( ?

1 a

1 a

1 a

1 ,1) a

……………………10 分 (Ⅲ) a ? 0 时? f ?( x) ?

(ax ? 1)( x ? 1) ( x ? 0) x2

? f ?( x) ? 0 ( x ? 0) 仅有 1 解,方程 f ( x) ? 0 至多有两个不同的解.
(注:也可用 f min ( x) ? f (1) ? a ? 1 ? 0 说明.) 由(Ⅱ)知 - 1 ? a ? 0 时,极小值 f (1) ? a ? 1 ? 0 , 方程 f ( x) ? 0 至多在区间 (? ,?? ) 上有 1 个解.

1 a

a ? -1 时 f ( x) 单调, 方程 f ( x) ? 0 至多有 1 个解.;
1 1 a ? -1 时, f (? ) ? f (1) ? a ? 1 ? 0 ,方程 f ( x) ? 0 仅在区间 (0,? ) 内有 1 个解; a a
故方程 f ( x) ? 0 的根的个数不能达到 3. …………………14 分


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