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2014届高考数学一轮复习课件(理)浙江专版-第20讲 简单的三角恒等变换


能运用同角三角函数的基本关系、 诱导公式、两角和与差的三角公式 进行简单的三角恒等变换.

三角变换的基本题型 — —化简、求值和证明

?1? 化简.
三角函数式化简的一般要求:三角函数种数尽量 少;项数尽量少;次数尽量低;尽量使分母不含 三角函数式;尽量使被开方数不含三角函数式; 能求出的值应尽量求出值. 依据三角函数

式的结构特点,常采用的变换方法: 异角化同角;异名化同名;异次化同次;高次降次.

? 2 ? 求值.常见的有给角求值,给值求值,给值求角.

①给角求值的关键是正确地分析角(已知角与未知角) 之间的关系,准确地选用公式,注意转化为特殊值. ②给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、 名称、结构的差异,有目的地将已知式、待求式的 一方或两方加以变换,找出它们之间的联系,最后 求待求式的值. ③给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值, 讨论角的范围,求出该角.

? 3? 证明.它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式
的证明.常用方法:从左推到右;从右推到左; 左右互推.

θ 4 θ 3 1.若 sin = ,cos = ,则 θ 是( 2 5 2 5 A.第一象限角 C.第三象限角

)

B.第二象限角 D.第四象限角

θ θ 24 【解析】因为 sinθ=2sin cos = >0, 2 2 25 7 cosθ=cos -sin =- <0, 2 2 25 所以 θ 在第二象限.
2θ 2θ

2. A,B,C 是△ABC 的三个内角,且 tanA,tanB 是方 程 3x2-5x+1=0 的两个实数根,则△ABC 是( A.钝角三角形 C.等腰三角形 B.锐角三角形 D.等边三角形 )

5 【解析】tanA+tanB= ,① 3 1 tanAtanB= ,② 3 tanA+tanB 所以 tan(A+B)= = 1-tanAtanB 5 = , 1 2 1- 3 5 3

5 所以 tanC=-tan(A+B)=- ,所以 C 为钝角, 2 所以△ABC 为钝角三角形.

3.在△ABC 中,3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=1,则∠C 的大小为( π A. 6 π 5π C. 或 6 6 ) 5π B. 6 π 2π D. 或 3 3

【解析】由已知, 9sin2A+16cos2B+24sinAcosB=36,① 9cos2A+16sin2B+24sinBcosA=1,② 1 ①+②,得 25+24sin(A+B)=37,所以 sin(A+B)= , 2 1 π 5π 所以 sinC= ,C= 或 . 2 6 6

4.求值: 3tan20° tan40° +tan20° +tan40° =

3

.

【解析】原式= 3tan20° tan40° +tan60° (1-tan20° tan40° ) = 3.

1+tanα 1 5.若 =2013,则 +tan2α= cos2α 1-tanα

2013

.

1+sin2α 1 【解析】 +tan2α= cos2α cos2α ?sinα+cosα?2 = ?cosα+sinα??cosα-sinα? cosα+sinα 1+tanα = = =2013. cosα-sinα 1-tanα



恒等变换下的化简求值
cos2x 的值. π 2cos? +x?· sinx 4

x x 【例 1】已知 sin -2cos =0,求 2 2

x x x 【解析】由 sin -2cos =0,得 tan =2, 2 2 2 4 所以 tanx= =- , 3 x 2 1-tan 2 cos2x-sin2x cosx+sinx cos2x 所以 = = = π sinx ?cosx-sinx?sinx 2cos? +x?· sinx 4 4 1- 1+tanx 3 1 = = . 4 4 tanx - 3 x 2tan 2

【点评】对于附加条件求值问题,要先看条件可不可以变形或 化简,然后看所求式子能否化简,再看它们之间的相互联系, 通过分析找到已知与所求的纽带.

素材1

1 化简:sin αsin β+cos αcos β- cos2αcos2β 的值为 2
2 2 2 2

1 2

.

1-cos2α 1-cos2β 1+cos2α 1+cos2β 1 【解析】原式= · + · - 2 2 2 2 2 cos2α· cos2β 1 1 = (1+cos2α· cos2β-cos2α-cos2β)+ (1+cos2α· cos2β 4 4 1 +cos2α+cos2β)- cos2αcos2β 2 1 = . 2

【点评】本题从“幂”入手,借助倍角公式的变形公式,即降 幂公式先降幂再进行其他化简,这种化高次为低次是三角变换 的常用方法.



恒等变换下的拆角求值

2 π 1 π 【例 2】(1)已知 tan(α+β)= ,tan(β- )= ,求 tan( +α) 5 4 4 4 的值; sin7° +cos15°sin8° · (2) =__________. cos7° -sin15° sin8°

π π 【解析】(1)因为 +α=(α+β)-(β- ), 4 4 π π 所以 tan( +α)=tan[(α+β)-(β- )] 4 4 π tan?α+β?-tan?β- ? 4 = π 1+tan?α+β?· tan?β- ? 4 2 1 - 5 4 = 2 1 1+ × 5 4 3 = . 22

sin?15° ?+cos15° -8° sin8° (2)原式= cos?15° ?-sin15° -8° sin8° 1-cos30° sin15°cos8° · = =tan15° = cos8° cos15° sin30° =2- 3.

【点评】进行三角变换的技巧是变角,即注意角的和、差、 倍、半、互余、互补关系根据实际情况对角进行“拆”或 “添”变形,这样可大大减少运算量.基本的解题规律为: 观察差异(或角、或函数、或运算),寻找联系(借助熟知的公 式、方法或技巧),综合分析,实现转化.

素材2

sin2x+2sin2x π 3 17π 7π 若 cos( +x)= , <x< ,求 的值. 4 5 12 4 1-tanx

2sinxcosx?1+tanx? 【解析】原式= 1-tanx π =sin2x· tan( +x). 4 π π 而 sin2x=sin[2( +x)- ] 4 2 π =-cos2( +x) 4 π =-[2cos ( +x)-1] 4
2

7 = . 25

17π 7π 5π π 因为 <x< ,则 <x+ <2π, 12 4 3 4 π 4 故 sin( +x)=- , 4 5 π sin? +x? π 4 4 tan( +x)= =- , 4 π 3 cos? +x? 4 7 4 28 故原式= ×(- )=- . 25 3 75



恒等变换下的三角证明

3π π 2-2sin?α+ ?cos?α+ ? 4 4 1+tanα 【例 3】证明: = . 4 4 cos α-sin α 1-tanα

π 2-2cos ?α+4? 【证明】左边= cos2α-sin2α
2

π 2sin ?α+4? = 2 cos α-sin2α
2

π 1-cos?2α+2? = cos2α-sin2α 1+sin2α = 2 cos α-sin2α

sin2α+cos2α+2sinαcosα = cos2α-sin2α ?cosα+sinα?2 = ?cosα-sinα??cosα+sinα? cosα+sinα = cosα-sinα 1+tanα = =右边. 1-tanα 故等式成立.

【点评】观察左右两边式子间的差异,选择“从左证到右”, 利用凑角、降幂“1”的巧妙代换,将异角化为同角,高次化为 低次,最后弦化切,统一三角名称.

素材3

sin?2α+β? sinβ 求证: -2cos(α+β)= . sinα sinα

sin[?α+β?+α] 2cos?α+β?sinα 【证明】 左边= - sinα sinα sin?α+β?cosα+cos?α+β?sinα-2cos?α+β?sinα = sinα sin?α+β?cosα-cos?α+β?sinα = sinα sin?α+β-α? sinβ = =sinα=右边. sinα 故等式成立.

备选例题

等比数列 {an}中,a2=sinα+cosα,a3=1+sin2α,其 π 中 <α<π.求: 2 1 3 (1)2sin2α- cos4α+ 是数列{an}的第几项? 2 2 4 (2)若 tan(π-α)= ,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 3

【解析】设数列{an}的公比为 q, a3 1+sin2α ?sinα+cosα?2 则 q= = = =sinα+cosα, a2 sinα+cosα sinα+cosα a2 所以 a1= =1. q 所以 an=(sinα+cosα)n-1(n∈N*).

1 3 (1)2sin2α - cos4α+ 2 2 1 = ×(4sin2α-cos4α+3) 2 1 = [4sin2α-(1-2sin22α)+3] 2 1 = (2sin22α+4sin2α+2) 2 =(1+sin2α)2 =(sinα+cosα)4 =a5, 1 3 所以 2sin2α- cos4α+ 是数列{an}中的第 5 项. 2 2

4 4 (2)由 tan(π-α)= ,得 tanα=- , 3 3 π 4 3 又 <α<π,所以 sinα= ,cosα=- , 2 5 5 1 1 n -1 所以 q=sinα+cosα= ,所以 an=( ) , 5 5 1n 1-? ? 5 5 1 1 n-1 故 Sn = = - ×( ) . 1 4 4 5 1- 5

三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结 构的转化,而转化的依据就是一系列的三角公式, 因此对三角公式在实现这种转化中的应用应有足 够的了解:

?1?同角三角函数关系——可实现函数名称的转化. ? 2 ? 诱导公式及和、差、倍角的三角函数——可以
实现角的形式的转化.

? 3? 倍角公式及其变形公式——可实现三角函数的
升幂或降幂的转化,同时也可完成角的转化.


第24讲三角恒等变形及应用

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