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辽宁省大连市第24中学2015年11月期中考试高二数学科答案


2015—2016 学年度上学期期中考试高二年级数学科试卷 答案及评分标准(仅供参考)
一.选择题:D B C D B A B C C B C A 二.填空题: 13 . ?9 ;

14 .

x2 y2 ? ?1; 18 9

15 . ?6 ;

3 2 16 . [ , ) 5 2<

br />
三.解答题:(解答题每题仅给出一种解法,其它解法参照等价步骤赋分)
2 17.解:命题 p : ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立

当 a =0 时,不等式恒成立,满足题意 当 a ? 0 时, ?
2

………2 分 ∴ p : 0 ? a ? 4 ………4 分

?a ? 0
2 ? ? ? a ? 4a ? 0

,解得 0 ? a ? 4

命题 q : a ? 8a ? 20 ? 0 解得 ?10 ? a ? 2 ∵ p ? q 为真命题, p ? q 为假命题 即: ? ∴ p, q 有且只有一个为真

………6 分

0?a?4 ?a ? 0或a ? 4 或? ?a ? ?10或a ? 2 ? ?10 ? a ? 2 ?

………8 分 ………10 分

解得 ?10 ? a ? 0 或 2 ? a ? 4

18.解:(Ⅰ)根据题意可得数列 ?a n ? 的前 n 项和为: Sn = n n + 2 ,………2 分

(

)

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 当 n ? 1 时, a1 = S1 = 3 适合上式,因此 an ? 2n ? 1(n ? N * ) (2)由(1)可得 cn ?
3 3 3

………4 分

an 2n ? 1 = n 3n 3
3 3

? 1 2n ? 1 ? Sn ? 31 ? 52 ? 73 ? ? ? 2nn? ? n 1

3Sn ?

3 5 7 2 n? 1 n 2? 1 ? 1 ? 2 ? ? ? n? 2 ? n? 1 1 3 3 3 3

2
2 2n ? 1 ? 2Sn ? 3 ? 2 ? 22 ? 23 ? ? ? n ? n = 3? 3 3 3 3 3 ?1 3
? Sn ? 2 ? n?2 3n

(1 ?

1 ) 3n?1 ? 2n ? 1 = 4 ? 2n ? 4 . 1 3n 3n 1? 3
………12 分

高二数学科试卷答案共 4 页第 1 页

19.解:(Ⅰ)设椭圆的标准方程为 由短轴长为 4,得 2b ? 4 ,则 b ? 2 ; 又离心率为

x2 a
2

?

y2 b2

? 1? a ? b ? 0 ?

……1 分 ……3 分 ……4 分

5 a ?b 5 ? ,则 ,解得 a ? 5 a 5 5
x2 y 2 ? ?1 5 4

2

2

所以所求椭圆的标准方程为 (Ⅱ)由

x2 y 2 ? ? 1 知该椭圆的左焦点为 F ? ?1, 0 ? , 5 4 设 l 的方程为 y ? k ? x ? 1? ,点 M x1, y1 , N x2 , y2

?

? ?

?

? y ? k ? x ? 1? ? 由 ? x2 y2 得 4 ? 5k 2 x 2 ? 10k 2 x ? 5k 2 ? 20 ? 0 ? ? 1 ? 4 ?5

?

?

则 x1 ? x2 ?

?10k 2 4 ? 5k

,x x ? 2 1 2
2

5k 2 ? 20 4 ? 5k 2
2

……7 分
? ?10k 2 ? ? 4 ? 5k 2 ?
2 ? 5k 2 ? 20 8 5 1 ? k ? ? ? 4 ? 4 ? 5k 2 ? 4 ? 5 k 2 ?

于是 | MN |? 1 ? k 又 MN ? 则

| x2 ? x1 | ? 1 ? k

?

?

2 ? ,即 k 2 ? 1 ,解得 k ? ? 1 9 4 ? 5k 2 9 4 ? 5k 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 或 y ? ? x ? 1
2

8 5 1? k 2

?

16 5 9

? ? 16

5

,即

1? k2

……11 分 ……12 分 ……2 分

20.解:(1)当 m ? ?1 时,原不等式的解集为 {x x ? }

1 4

(2)当 m ? ?1 时,原不等式的解集为 {x x ?

2? 3? m 2? 3? m 或x ? } ……5 分 m ?1 m ?1 2? 3? m 2? 3? m ?x? } ……8 分 m ?1 m ?1
……10 分 ……12 分

(3)当 ?1 ? m ? 3 时,原不等式的解集为 {x

(4)当 m ? 3 时,原不等式的解集为 {x x ? } (5)当 m ? 3 时,原不等式的解集为 ?

1 2

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21.解:(Ⅰ)? an ? an?1 ? 2an ? an?1 ? 0 ,两边同除以 an ? an ?1 得 即数列 { } 是等差数列,首项
1 an 1 ? 1 ,公差 d ? 2 a1

1 1 ? ? 2(n ? 2) , an an ?1

……3 分

?

1 1 ? 2n ? 1 ,即 an ? 2n ? 1 an
an 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 2n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

……5 分

(Ⅱ) bn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 n ?Tn ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? (1 ? )? 2 3 3 5 2n ?1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

……8 分

由题意 2Tn (2n ? 1) ? m(n2 ? 3) 即 m ?

2n 2 对于所有 n ? N ? 都成立, ? n2 ? 3 n ? 3 n

设 cn ?

2 n? 3 n

即 m ? (cn )max

……10 分

? 函数 y ? x ?

3 在 (0, 3] 上是减函数,在 [ 3, ??) 上是增函数,故数列 {cn } 从第二项起递 x

减,而 c1 ?

1 4 , c2 ? 2 7
4 . 7

? 满足题意的实数 m 的取值范围为 m ?

……12 分

22.解:(Ⅰ)? BC ? 2 AC 且 BC 过点 (0, 0) ,则 OC ? AC

? ?OCA ? 90? ,?C ( 3, 3)
由题意知, a ? 2 3 ,则椭圆 M 的方程为

……2 分

x2 y 2 ? ?1 12 b2

x2 y 2 ? 2 ? 1 ,解得 b2 ? 4 将点 C ( 3, 3) 代入椭圆方程 12 b

? 椭圆 M 的方程为

x2 y 2 ? ?1 12 4

……4 分

(Ⅱ)由题意知 D(0, ?2) ,设直线 l 的斜率为 k 当 k ? 0 时,显然 ?2 ? t ? 2
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……6 分

当 k ? 0 时,设直线 l : y ? kx ? t

? x2 y 2 ?1 ? ? 联立 ?12 ,消去 y 得 (1 ? 3k 2 ) x2 ? 6ktx ? 3t 2 ?12 ? 0 4 ? y ? kx ? t ?
2 2 由 ? ? 0 可得: t ? 4 ? 12k



……8 分

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) , PQ 的中点为 H ( x0 , y0 )

x1 ? x2 3kt t ?? , y0 ? kx0 ? t ? 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 3kt t ? H (? , ) 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 ? DP ? DQ ,? DH ? PQ ,则 k DH ? ? k t ?2 2 1 1 ? 3 k ② ? ? ? ,化简得 t ? 1 ? 3k 2 3kt k ? ?0 1 ? 3k 2 由①②得 1 ? t ? 4
则 x0 ? 综上所述, t ? (?2, 4)

……10 分

……12 分

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