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【考前三个月】2015届高考数学(人教通用,文科)练透高考必会题型:专题6 第27练


第 27 练

完美破解立体几何证明题

[内容精要] 立体几何中的题目最主要的两点就是证明和计算,其中证明主要是来证明空间中 的点、线、面间的平行或垂直关系.本节就来探讨空间中的位置关系的证明问题.

题型一 空间中的平行问题 例 1 在如图所示多面体 ABCDE 中,AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,且 AC=AD=CD=DE=2,AB=1. (1)请在线段 CE 上找到点 F 的位置, 使得恰有直线 BF∥平面 ACD, 并证明. (2)求多面体 ABCDE 的体积. 破题切入点 (1)可先猜后证,可以利用线面平行的判定定理进行证明. (2)找到合适的底面. 解 如图,(1)由已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD, 所以 AB∥ED, 设 F 为线段 CE 的中点,H 是线段 CD 的中点, 1 连接 FH,AH,则 FH 綊 ED, 2 所以 FH 綊 AB, 所以四边形 ABFH 是平行四边形, 所以 BF∥AH, 又因为 BF?平面 ACD,AH?平面 ACD, 所以 BF∥平面 ACD. (2)取 AD 中点 G,连接 CG. 因为 AB⊥平面 ACD, 所以 CG⊥AB, 又 CG⊥AD,AB∩AD=A, 所以 CG⊥平面 ABED, 即 CG 为四棱锥 C-ABED 的高,求得 CG= 3,
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1 ?1+2? 所以 VC-ABED= × ×2× 3= 3. 3 2 题型二 空间中的垂直问题 例 2 如图, 三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 AA1B1B 为正方形, 侧面 BB1C1C 为菱形,∠CBB1=60° ,AB⊥B1C. (1)求证:平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C. (2)若 AB=2,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积. 破题切入点 (1)考查面面垂直的判定定理. (2)注意利用棱柱体积和锥体体积公式间的关系. (1)证明 由侧面 AA1B1B 为正方形,知 AB⊥BB1. 又 AB⊥B1C,BB1∩B1C=B1, 所以 AB⊥平面 BB1C1C, 又 AB?平面 AA1B1B, 所以平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C. (2)解 由题意,CB=CB1,设 O 是 BB1 的中点, 连接 CO,则 CO⊥BB1. 由(1)知,CO⊥平面 AA1B1B, 且 CO= 3 3 BC= AB= 3. 2 2

1 连接 AB1,则 VC-ABB1= S△ABB1· CO 3 1 2 3 = AB2· CO= . 6 3 1 2 3 因为 VB1-ABC=VC-ABB1= VABC-A1B1C1= , 3 3 所以 VABC-A1B1C1=2 3. 故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积为=2 3. 题型三 空间中的平行、垂直综合问题 例 3 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是正方形,MA⊥平面

ABCD,PD∥MA,E、G、F 分别为 MB、PB、PC 的中点,且 AD=PD

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=2MA. (1)求证:平面 EFG∥平面 PMA; (2)求证:平面 EFG⊥平面 PDC; (3)求三棱锥 P-MAB 与四棱锥 P-ABCD 的体积之比. 破题切入点 (1)证明 EG、FG 都平行于平面 PMA. (2)证明 GF⊥平面 PDC. (3)设 MA 为 1,从而其他边的长度都可表示,问题可求解. (1)证明 ∵E、G、F 分别为 MB、PB、PC 的中点, ∴EG∥PM,GF∥BC. 又∵四边形 ABCD 是正方形,∴BC∥AD,∴GF∥AD. ∵EG、GF 在平面 PMA 外,PM、AD 在平面 PMA 内, ∴EG∥平面 PMA,GF∥平面 PMA. 又∵EG、GF 都在平面 EFG 内且相交, ∴平面 EFG∥平面 PMA. (2)证明 由已知 MA⊥平面 ABCD,PD∥MA, ∴PD⊥平面 ABCD. 又 BC?平面 ABCD,∴PD⊥BC. ∵四边形 ABCD 为正方形,∴BC⊥DC. 又 PD∩DC=D,∴BC⊥平面 PDC. 由(1)知 GF∥BC,∴GF⊥平面 PDC. 又 GF?平面 EFG,∴平面 EFG⊥平面 PDC. (3)解 ∵PD⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,不妨设 MA=1,则 PD=AD=2. ∵DA⊥平面 MAB,且 PD∥MA, ∴DA 即为点 P 到平面 MAB 的距离, 1 1 ∴VP-MAB∶VP-ABCD= S△MAB· DA∶ S 正方形 ABCD· PD 3 3 1 ? =S△MAB∶S 正方形 ABCD=? ?2×1×2?∶(2×2)=1∶4.
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即三棱锥 P-MAB 与四棱锥 P-ABCD 的体积之比为 1∶4. 总结提高 1.证明平行关系的方法: (1)证明线线平行的常用方法: ①利用平行公理,即证明两直线同时和第三条直线平行; ②利用平行四边形进行转换; ③利用三角形中位线定理证明; ④利用线面平行、面面平行的性质定理证明. (2)证明线面平行的常用方法: ①利用线面平行的判定定理,把证明线面平行转化为证明线线平行; ②利用面面平行的性质定理,把证明线面平行转化为证明面面平行. (3)证明面面平行的方法: 证明面面平行,依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从 而将证明面面平行转化为证明线面平行,再转化为证明线线平行. 2.证明空间中垂直关系的方法: (1)证明线线垂直的常用方法 ①利用特殊平面图形的性质,如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直; ②利用勾股定理逆定理; ③利用线面垂直的性质,即要证明线线垂直,只需证明一线垂直于另一线所在平面即可. (2)证明线面垂直的常用方法 ①利用线面垂直的判定定理,把线面垂直的判定转化为证明线线垂直; ②利用面面垂直的性质定理,把证明线面垂直转化为证明面面垂直; ③利用常见结论,如两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面等. (3)证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面 垂直转化为证明线面垂直,一般先从现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中
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点、高线或添加辅助线解决.

1.若平面 α∥平面 β,直线 a?α,点 B∈β,则在 β 内过点 B 的所有直线中( A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一与 a 平行的直线 答案 D

)

解析 由直线 a 与 B 确定的平面与 β 有唯一交线.故存在唯一与 a 平行的直线. 2.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 是棱 AB 上的动点,则直线 A1D 与直线 C1E 所成的角等 于( ) B.90° D.随点 E 的位置而变化

A.60° C.30° 答案 B

解析 在正方体中,显然有 A1D⊥AB,A1D⊥AD1, 所以 A1D⊥面 AD1C1B,又 C1E?面 AD1C1B,故 A1D⊥C1E.故选 B. 3.已知 α、β 是两个不同的平面,给出下列四个条件:①存在一条直线 a,a⊥α,a⊥β;②存 在一个平面 γ,γ⊥α,γ⊥β;③存在两条平行直线 a、b,a?α,b?β,a∥β,b∥α;④存在两 条异面直线 a、b,a?α,b?β,a∥β,b∥α,可以推出 α∥β 的是( A.①③ B.②④ C.①④ D.②③ 答案 C 解析 对于②,平面 α 与 β 还可以相交; 对于③,当 a∥b 时,不一定能推出 α∥β, 所以②③是错误的,易知①④正确,故选 C. 4.如图,在正方形 ABCD 中,E、F 分别是 BC、CD 的中点,AC∩EF=G. 现在沿 AE、EF、FA 把这个正方形折成一个四面体,使 B、C、D 三点重合, 重合后的点记为 P,则在四面体 P-AEF 中必有( A.AP⊥△PEF 所在平面 C.EP⊥△AEF 所在平面 答案 A ) )

B.AG⊥△PEF 所在平面 D.PG⊥△AEF 所在平面

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解析 在折叠过程中,AB⊥BE,AD⊥DF 保持不变.



? ??AP⊥面 PEF. PE∩PF=P?
AP⊥PE AP⊥PF

5.如图所示,直线 PA 垂直于⊙O 所在的平面,△ABC 内接于⊙O,且 AB 为⊙O 的直径,点 M 为线段 PB 的中点.现有结论:①BC⊥PC;②OM∥ 平面 APC; ③点 B 到平面 PAC 的距离等于线段 BC 的长. 其中正确的是( A.①② C.① 答案 B 解析 对于①,∵PA⊥平面 ABC,∴PA⊥BC. ∵AB 为⊙O 的直径,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面 PAC, 又 PC?平面 PAC,∴BC⊥PC; 对于②,∵点 M 为线段 PB 的中点, ∴OM∥PA,∵PA?平面 PAC, ∴OM∥平面 PAC; 对于③,由①知 BC⊥平面 PAC, ∴线段 BC 的长即是点 B 到平面 PAC 的距离,故①②③都正确. 6.如图,若 Ω 是长方体 ABCD—A1B1C1D1 被平面 EFGH 截去几何体 EB1F- HC1G 所得到的几何体,其中 E 为线段 A1B1 上异于 B1 的点,F 为线段 BB1 上异于 B1 的点,且 EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是( A.EH∥FG B.四边形 EFGH 是矩形 C.Ω 是棱柱 D.Ω 是棱台 答案 D 解析 A 中,∵EH∥A1D1,∴EH∥BC, ∴EH∥平面 BCC1B1. 又过 EH 的平面 EFGH 与平面 BCC1B1 交于 FG,
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)

B.①②③ D.②③

)

∴EH∥FG.故 A 成立. B 中,易得四边形 EFGH 为平行四边形, ∵BC⊥平面 ABB1A1, ∴BC⊥EF,即 FG⊥EF. ∴四边形 EFGH 为矩形.故 B 正确. C 中可将 Ω 看作以 A1EFBA 和 D1HC1CD 为上、下底面,以 AD 为高的棱柱.故 C 正确. AM AN 7.如图,在空间四边形 ABCD 中,M∈AB,N∈AD,若 = ,则直线 MN MB ND 与平面 BDC 的位置关系是________. 答案 平行 AM AN 解析 在平面 ABD 中, = , MB ND ∴MN∥BD. 又 MN?平面 BCD,BD?平面 BCD, ∴MN∥平面 BCD. 8.如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上.若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于______. 答案 2

解析 由于在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=2,∴AC=2 2. 又 E 为 AD 的中点,EF∥平面 AB1C,EF?平面 ADC, 平面 ADC∩平面 AB1C=AC,∴EF∥AC, 1 ∴F 为 DC 的中点,∴EF= AC= 2. 2 9.如图,已知六棱锥 P-ABCDEF 的底面是正六边形,PA⊥平面 ABC,PA =2AB, 则下列结论中: ①PB⊥AE; ②平面 ABC⊥平面 PBC; ③直线 BC∥ 平面 PAE;④∠PDA=45° . 其中正确的有________(把所有正确的序号都填上). 答案 ①④ 解析 由 PA⊥平面 ABC,AE?平面 ABC,得 PA⊥AE, 又由正六边形的性质得 AE⊥AB,PA∩AB=A,

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得 AE⊥平面 PAB, 又 PB?平面 PAB,∴AE⊥PB,①正确; ∵平面 PAD⊥平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 PBC 不成立,②错; 由正六边形的性质得 BC∥AD, 又 AD?平面 PAD,BC?平面 PAD,∴BC∥平面 PAD, ∴直线 BC∥平面 PAE 也不成立,③错; 在 Rt△PAD 中,PA=AD=2AB,∴∠PDA=45° , ∴④正确. 10.给出命题: ①在空间中,垂直于同一平面的两个平面平行; ②设 l,m 是不同的直线,α 是一个平面,若 l⊥α,l∥m,则 m⊥α; ③已知 α, β 表示两个不同平面, m 为平面 α 内的一条直线, “α⊥β”是“m⊥β”的充要条件; ④在三棱锥 S-ABC 中,SA⊥BC,SB⊥AC,则 S 在平面 ABC 内的射影是△ABC 的垂心; ⑤a,b 是两条异面直线,P 为空间一点,过 P 总可以作一个平面与 a,b 之一垂直,与另一条 平行. 其中,正确的命题是________.(只填序号) 答案 ②④ 解析 ①错误,垂直于同一个平面的两个平面也可能相交; ③错误,“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件; ⑤错误,只有当异面直线 a,b 垂直时才可以作出满足要求的平面; 易知②④正确. 11.如图所示,M,N,K 分别是正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 AB,CD,C1D1 的中点.

求证:(1)AN∥平面 A1MK; (2)平面 A1B1C⊥平面 A1MK. 证明 (1)如图所示,连接 NK.
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在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, ∵四边形 AA1D1D,DD1C1C 都为正方形, ∴AA1∥DD1,AA1=DD1,C1D1∥CD,C1D1=CD. ∵N,K 分别为 CD,C1D1 的中点, ∴DN∥D1K,DN=D1K, ∴四边形 DD1KN 为平行四边形. ∴KN∥DD1,KN=DD1,∴AA1∥KN,AA1=KN. ∴四边形 AA1KN 为平行四边形.∴AN∥A1K. ∵A1K?平面 A1MK,AN?平面 A1MK, ∴AN∥平面 A1MK. (2)如图所示,连接 BC1.在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, AB∥C1D1,AB=C1D1. ∵M,K 分别为 AB,C1D1 的中点, ∴BM∥C1K,BM=C1K. ∴四边形 BC1KM 为平行四边形.∴MK∥BC1. 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,A1B1⊥平面 BB1C1C, BC1?平面 BB1C1C,∴A1B1⊥BC1. ∵MK∥BC1,∴A1B1⊥MK. ∵四边形 BB1C1C 为正方形,∴BC1⊥B1C. ∴MK⊥B1C.∵A1B1?平面 A1B1C,B1C?平面 A1B1C,A1B1∩B1C=B1,∴MK⊥平面 A1B1C. 又∵MK?平面 A1MK, ∴平面 A1B1C⊥平面 A1MK. 12.(2014· 课标全国Ⅰ)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 BB1C1C 为菱形,B1C 的中点为 O, 且 AO⊥平面 BB1C1C.

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(1)证明:B1C⊥AB; (2)若 AC⊥AB1,∠CBB1=60° ,BC=1,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的高. (1)证明 如图,连接 BC1,

则 O 为 B1C 与 BC1 的交点. 因为侧面 BB1C1C 为菱形, 所以 B1C⊥BC1. 又 AO⊥平面 BB1C1C, 所以 B1C⊥AO, 故 B1C⊥平面 ABO. 由于 AB?平面 ABO, 故 B1C⊥AB. (2)解 在平面 BB1C1C 内作 OD⊥BC,垂足为 D,连接 AD. 在平面 AOD 内作 OH⊥AD,垂足为 H. 由于 BC⊥AO,BC⊥OD, 故 BC⊥平面 AOD, 所以 OH⊥BC. 又 OH⊥AD, 所以 OH⊥平面 ABC. 因为∠CBB1=60° , 所以△CBB1 为等边三角形. 又 BC=1,可得 OD= 3 . 4
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由于 AC⊥AB1, 1 1 所以 OA= B1C= . 2 2 由 OH· AD=OD· OA, 且 AD= 得 OH= OD2+OA2= 21 . 14 7 , 4

又 O 为 B1C 的中点, 所以点 B1 到平面 ABC 的距离为 故三棱柱 ABC-A1B1C1 的高为 21 , 7 21 . 7

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