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贵州省遵义四中2015届高三上学期第三次月考数学试卷(理科)


贵州省遵义四中 2015 届高三上学期第三次月考数学试卷(理科)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1.已知复数 z= A.2﹣i ,则它的共轭复数 等于( B.2+i ) D.﹣2﹣i

C.﹣2+i

2.将长方体截去一个四棱

锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

)

A.

B.

C.

D.

3.执行如图所示的程序框图后,输出的值为 4,则 P 的取值范围是(

)

A.

B.

C.

D.

4.若“0<x<1”是“(x﹣a)≤0”的充分不必要条件,则 a 的取值范围是( A. (﹣∞,0]∪ D. (﹣∞,﹣1]∪ A.c<b<a B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b

)

11.已知点 P(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,当 2 +4 取得最小值时,过点 P(x,y)引圆 + A.1 = 的切线,则此切线段的长度为( B. C. ) D.

x

y

12.已知函数

,把函数 g(x)=f(x)﹣x+1 的零点按从 ) D.2 ﹣1
9

小到大的顺序排列成一个数列,该数列的前 n 项的和 Sn,则 S10=( A.45 B.55 C.2 ﹣1
10

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )

13.若实数 x,y 满足

且 z=2x+y 的最小值为 3,则实数 b 的值为__________.

14. (a+2x+3x ) (1+x) 的展开式中一次项的系数为﹣3,则 x 的系数为__________.

2

5

5

15.在 Rt△ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC 的外接圆半径 r= 论类比到空间有__________.

,将此结

16.给出以下四个命题: ①若函数 f(x)=x +ax +2 的图象关于点(1,0)对称,则 a 的值为﹣3; ②若 f(x+2)+ =0,则函数 y=f(x)是以 4 为周期的周期函数;
3 2

③在数列{an}中,a1=1,Sn 是其前 N 项和,且满足 Sn+1= Sn+ ,则{an}数列是等比数列; ④函数 y=3 +3 (x<0)的最小值为 2. 则正确命题的序号是__________.
x ﹣x

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.已知数列{an},{bn},满足 a1=2,2an=1+an?an+1,bn=an﹣1(bn≠0) . (Ⅰ)求证数列{ }是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)令 cn=bnbn+1,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

18. 底面 ABCD 为一个矩形, 其中 AB=6, AD=4. 顶部线段 EF∥平面 ABCD, 棱 EA=ED=FB=FC=6 EF=2,二面角 F﹣BC﹣A 的余弦值为 (I)证明:BC⊥平面 EFNM; (Ⅱ)求平面 BEF 和平面 CEF 所成锐二面角的余弦值. ,设 M,N 是 AD,BC 的中点,



19.某高校在 2013 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩共分五 组,得到频率分布表如下表所示. 组号 分组 频数 频率

第一组 , (e 为自然对数的底数) ,h′(x)表示 h(x)导函数,求证:对于曲线 C 上的不 同两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,x1<x2,存在唯一的 x0∈(x1,x2) ,使直线 AB 的斜率等于 h′ (x0) .

四、请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修 4-1:几何证明选讲 22.选修 4﹣1:几何证明选讲 切线 AB 与圆切于点 B,圆内有一点 C 满足 AB=AC,∠CAB 的平分线 AE 交圆于 D,E,延长 EC 交圆于 F,延长 DC 交圆于 G,连接 FG. (Ⅰ)证明:AC∥FG; (Ⅱ)求证:EC=EG.

五、选修 4-4:坐标系与参数方程 23.以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴.已知点 P 的直角坐标为(1,﹣5) , 点 M 的极坐标为(4, ) .若直线 l 过点 P,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心、4 为半径.

(Ⅰ)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系.

六、选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x﹣2| (1)解不等式 xf(x)+3>0; (2)对于任意的 x∈(﹣3,3) ,不等式 f(x)<m﹣|x|恒成立,求 m 的取值范围.

贵州省遵义四中 2015 届高三上学期第三次月考数学试卷(理科)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. ) 1.已知复数 z= A.2﹣i ,则它的共轭复数 等于( B.2+i C.﹣2+i ) D.﹣2﹣i

考点:复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 解答: 解:复数 z= = = =2﹣i,则它的共轭复数 =2+i.

故选;B. 点评:本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题.

2.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为(

)

A.

B.

C.

D.

考点:简单空间图形的三视图. 分析:根据三视图的特点,知道左视图从图形的左边向右边看,看到一个正方形的面,在面上 有一条对角线,对角线是由左下角都右上角的线,得到结果. 解答: 解:被截去的四棱锥的三条可见棱中, 在两条为长方体的两条对角线, 它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合, 另一条为体对角线,

它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合, 对照各图,只有 D 符合. 故选 D. 点评:本题考查空间图形的三视图,考查侧视图的做法,本题是一个基础题,考查的内容比较 简单,可能出现的错误是对角线的方向可能出错.

3.执行如图所示的程序框图后,输出的值为 4,则 P 的取值范围是(

)

A.

B.

C.

D.

考点:循环结构. 专题:计算题. 分析:根据所给数值判定是否满足判断框中的条件,然后执行循环语句,一旦不满足条件就退 出循环,输出结果 n=4,从而判断 p 的范围. 解答: 解:根据题意可知该循环体运行 3 次 第一次:s= ,n=2 第二次:s= 第三次:s= = ,n=3 = ,n=4

此时退出循环体,不满足 S<P,

所以 故选 D.



点评:本题主要考查了循环结构,是当型循环,当满足条件,执行循环,否则退出循环体,属 于基础题.

4.若“0<x<1”是“(x﹣a)≤0”的充分不必要条件,则 a 的取值范围是( A. (﹣∞,0]∪ D. (﹣∞,﹣1]∪≤0, ∴a≤x≤a+2, 若“0<x<1”是“(x﹣a)≤0”的充分不必要条件, 则 ,

)

即﹣1≤a≤0, 故选:C. 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的 判定,利用不等式的性质是解决本题的关键.

5.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( A.y=x
3

)
﹣x

B.y=ln(﹣x)

C.y =xe

D.y=x+

考点:利用导数研究函数的极值;函数奇偶性的性质. 专题:计算题;导数的概念及应用. 分析:根据奇函数、存在极值的条件,即可得出结论. 解答: 解:由题可知,B、C 选项不是奇函数,A 选项 y=x 单调递增(无极值) ,而 D 选项既 为奇函数又存在极值. 故选:D. 点评:本题考查函数奇偶性的概念,同时也对函数单调性与函数极值做出考查.
3

6. 某班级要从 4 名男生、 2 名女生中选派 4 人参加某次社会活动, 如果要求至少有 1 名女生. 那 么不同的选派方法共有( A.14 种 ) C. 32 种 D.48 种

B.28 种

考点:计数原理的应用. 专题:计算题. 分析: 根据题意, 用间接法分析, 先计算从 6 人中任取 4 人的选法数目, 再计算其中没有女生, 即全部为男生的取法数目,由排除法即可得答案. 解答: 解:根据题意,分 2 步进行分析: ①、从 6 人中任取 4 人,有 C6 =15 种 选法, ②、其中没有女生,即全部为男生的取法有 1 种, 则至少有 1 名女生的选派方法有 15﹣1=14 种, 故选 A. 点评:本题考查计数原理的应用,对于“至少”“至多”一类的问题,可以用间接法分析.
2

7.若把函数 f(x)=sinω x 的图象向左平移 则 ω 的值可能是( A. ) B. C.

个单位,恰好与函数 y=cosω x 的图象重合,

D.

考点:函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换. 专题:函数的性质及应用. 分析:把函数 f(x)=sinω x 的图象向左平移 象,而 y=cosω x=sin( +ω x) ,可得 ω= 个单位,得到函数 y =sin(ω x+ ω ) 的图

+2kπ ,k∈z,结合所给的选项得出结论. 个单位,得到函数 y=sinω (x+ )

解答: 解:把函数 f(x)=sinω x 的图象向左平移 =sin(ω x+ ω ) 的图象. +ω x) ,∴ ω=

而 y=cosω x=cos(﹣ω x)=sin(

+2kπ ,k∈z.

观察所给的选项,只有 ω = 满足条件, 故选 D. 点评:本题主要考查诱导公式的应用,利用了 y=Asin(ω x+?)的图象变换规律,属于中档题.

8.双曲线



=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,过 F1 作倾斜角为 30°的直 )

线交双曲线右支于 M 点,若 MF2⊥x 轴,则双曲线的离心率为( A. B. C. D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 将 x=c 代入双曲线方程求出点 M 的坐标, 通过解直角三角形列出三参数 a, b, c 的关系, 求出离心率的值. 解答: 解:将 x=c 代入双曲线的方程得 y= ,即 M(c, )

在△MF1F2 中 tan30°=

即 故选:B.

,解得 e=

点评:本题考查双曲线中三参数的关系:c =a +b ,注意与椭圆中三参数关系的区别;求圆锥 曲线的离心率就是求三参数的关系.

2

2

2

9.若 A.

, B.2

,则

的最大值为( C.

) D.3

考点:余弦定理;平面向量数量积的含义与物理意义. 专题:计算题;平面向量及应用. 分析:根据余弦定理可得:| ,得| |=
2

| =|

2

| +|

2

| ﹣2|

2

|?|

|cos< =| |?|

>,由 |cos<

, >

,故

=

,由此能求出

的最大值.

解答: 解:根据余弦定理可得:

| ∵

| =|

2

| +| , | +| | ﹣4|
2 2

2

| ﹣2|

2

|?| ,

|cos<

>,

∴1=4| 即 1=5| | ∴ =2|
2

| ﹣4|
2

2

| cos< >, ,

2

>,

| cos<

|= =| | cos< |?| |cos< >

2



=



∴当 cos<

>=1 时,

的最大值= 故选 B.

=

=2.

点评:本题考查平面向量的数量积的含义与物理意义的应用,是基础题.解题时要认真审题, 注意余弦定理的合理运用.

10.已知 f(x) (x∈R,且 x≠kπ +

(k∈Z) )是周期为 π 的函数,当 x∈( )





时,f(x)=2x+cosx.设 a=f(﹣1) ,b=f(﹣2) ,c=f(﹣3)则( A.c<b<a B.b<c<a C.c<a<b

D.a<c<b

考点:函数的周期性;函数单调性的性质;不等关系与不等式. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用导数的符号可得函数 f(x)在∈( , )上是增函数,再由 a=f(﹣1) ,

b=f(﹣2)=f(π ﹣2) ,c=f(﹣3)=f(π ﹣3) ,且 π ﹣2>π ﹣3>﹣1,可得 a、b、c 的大 小关系.

解答: 解:已知 f(x) (x∈R,且 x≠kπ + )时,f(x)=2x+cosx,

(k∈Z) )是周期为 π 的函数,当 x∈(



故 f′(x)=2﹣sinx>0,故函数 f(x)在∈(



)上是增函数.

再由 a=f(﹣1) ,b=f(﹣2)=f(π ﹣2) ,c=f(﹣3)=f(π ﹣3) ,且 π ﹣2>π ﹣3>﹣1, 可得 b>c>a, 故选 D. 点评:本题主要考查利用导数研究函数的单调性,根据函数的单调性判断函数值的大小关系, 体现了转化的数学思想, 属于中档题.

11.已知点 P(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,当 2 +4 取得最小值时,过点 P(x,y)引圆 + A.1 B. = 的切线,则此切线段的长度为( C. D. )

x

y

考点:基本不等式在最值问题中的应用;两点间距离公式的应用. 专题:综合题. 分析:要求切线段的长度,利用直角三角形中半径已知,P 与圆心的距离未知,所以根据基本 不等式求出 P 点的坐标,然后根据两点间的距离公式求出即可. 解答: 解:利用基本不等式及 x+2y=3 得:2 +4 ≥2 2 =4 =2
x y x y

=2

=4

,当且仅当

取得最小值,即 x= ,y= ,

所以 P( , ) ,根据两点间的距离公式求出 P 到圆心的距离 d= = .且圆的半径 r = , = .
2

则根据勾股定理得到此切线段的长度 l= 故选 D.

点评:考查学生会利用基本不等式求函数的最值,会利用两点间的距离公式求线段长度,会利 用勾股定理求直角的三角形的边长.此题是一道综合题,要求学生掌握知识要全面.

12.已知函数

,把函数 g(x)=f(x)﹣x+1 的零点按从 )
9

小到大的顺序排列成一个数列,该数列的前 n 项的和 Sn,则 S10=( A.45 B.55 C.2 ﹣1
10

D.2 ﹣1

考点:数列的求和;函数的零点. 专题:等差数列与等比数列. 分析:函数 y=f(x)与 y=x﹣1 在(0,1], (1,2], (2,3], (3,4],?, (n,n+1]上的交 点依次为(0,0) , (1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) ,?, (n+1,n+1) .即函数 g(x)=f(x) ﹣x+1 的零点按从小到大的顺序为 0,1,2,3,4,?,n+1.方程 g(x)=f(x)﹣x+1 的根 按从小到大的顺序排列所得数列为 0,1,2,3,4,?,可得数列通项公式. 解答: 解:当 x≤0 时,g(x)=f(x)﹣x+1=x,故 a1=0 当 0<x≤1 时,有﹣1<x﹣1≤0,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2(x﹣1)﹣1+1=2x﹣2,g(x)=f (x)﹣x+1=x﹣1,故 a2=1 当 1<x≤2 时,有 0<x﹣1≤1,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2(x﹣1)﹣2+1=2x﹣3,g(x)=f (x)﹣x+1=x﹣2,故 a3=2 当 2<x≤3 时,有 1<x﹣1≤2,则 f(x)=f(x﹣1)+1=2(x﹣1)﹣3+1=2x﹣4,g(x)=f (x)﹣x+1=x﹣3,故 a4=3 ? 以此类推,当 n<x≤n+1(其中 n∈N)时,则 f(x)=n+1, 故数列的前 n 项构成一个以 0 为首项,以 1 为公差的等差数列 故 S10= 故选 A 点评:本题考查了数列递推公式的灵活运用,解题时要注意分类讨论思想和归纳总结;本题属 于较难的题目,要细心解答. =45

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. )

13.若实数 x,y 满足

且 z=2x+y 的最小值为 3,则实数 b 的值为 .

考点:简单线性规划的应用. 专题:数形结合. 分析:先根据约束条件画出可行域,设 z=2x+y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出直线 z=2x+y 过可行域内的点 A 时,从而得到 b 值即可. 解答: 解:由约束条件作出可行域(如图) , 当平行直线系 y=﹣2x+z 经过可行域内的点 A( , z 取得最小值,即 2× + 故答案为: . =3,解之得 b= . )时,

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组, 以及简单的转化思想和数形结合的思想, 属中档题. 目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题, 这类问题一般要分三步: 画出可行域、 求出关键点、定出最优解.

14. (a+2x+3x ) (1+x) 的展开式中一次项的系数为﹣3,则 x 的系数为 39.

2

5

5

考点:二项式系数的性质. 专题:二项式定理. 分析:依题意,由 算即可求得答案. 解答: 解:∵(a+2x+3x ) (1+x) =(a+2x+3x ) (1+ ∴展开式中一次项的系数为 a+2=﹣3,
2 5 2

a+2=﹣3 可求得 a=﹣1,再由 x 的系 数为:﹣1×

5

+2×

+3×

,计

x+?+

x) ,

5

解得:a=﹣1, ∴x 的系数为:﹣1× 故答案为:39. 点评:本题考查二项式系数的性质,求得 a=﹣1 是关键,考查运算能力,属于中档题.
5

+2×

+3×

=39.

15.在 Rt△ABC 中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC 的外接圆半径 r=

,将此结

论类比到空间有在三棱锥 A﹣BCD 中,若 AB、AC、AD 两两互相垂直,且 AB=a,AC=b,AD=c, 则此三棱锥的外接球半径 R= .

考点:类比推理. 专题:计算题;推理和证明. 分析:这是一个类比推理的题,在由平面图形到空间图形的类比推理中,一般是由点的性质类 比推理到线的性质,由线的性质类比推理到面的性质,由已知在平面几何中在△ABC 中,若 ∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC 的外接圆的半径 r= ,我们可以类比这一性质,推

理出在空间中有三条侧棱两两垂直的四面体 A﹣BCD 中类似的结论. 解答: 解:由平面图形的性质类比推理空间图形的性质时 一般是由点的性质类比推理到线的性质, 由线的性质类比推理到面的性质, 由圆的性质推理到球的性质. 由已知在平面几何中, △ABC 中, 若∠C=90°, AC=b, BC=a, 则△ABC 的外接圆的半径 r= 我们可以类比这一性质,推理出: 取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体 A﹣BCD,且 AB=a,AC=b,AD=c,则此三棱锥的外接球 的半径是 R= , ,

故答案为:在三棱锥 A﹣BCD 中,若 AB、AC、AD 两两互相垂直,且 AB=a,AC=b,AD=c,则此 三棱锥的外接球半径 R= .

点评:类比推理的一般步骤是: (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的 性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想) .

16.给出以下四个命题: ①若函数 f(x)=x +ax +2 的图象关于点(1,0)对称,则 a 的值为﹣3; ②若 f(x+2)+ =0,则函数 y=f(x)是以 4 为周期的周期函数;
3 2

③在数列{an}中,a1=1,Sn 是其前 N 项和,且满足 Sn+1= Sn+ ,则{an}数列是等比数列; ④函数 y=3 +3 (x<0)的最小值为 2. 则正确命题的序号是①②.
x ﹣x

考点:命题的真假判断与应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:①根据函数 f(x)的图象关于点(1,0)对称,可得 f(0)=﹣f(2) ,进而可得 a 值; ②根据 f(x+2)+ =0,可得 f(x+4)=f(x) ,进而根据函数周期性的定义得到答案;

③根据数列{an}中,a1=1,Sn 是其前 N 项和,且满足 Sn+1= Sn+ ,求出数列的通项公式,得到 答案; ④结合指数函数的图象和性质,及对勾函数的图象和性质可得函数的最小值. 解答: 解:①∵函数 f(x)=x +ax +2 的图象关于点(1,0)对称变换后, ∴f(0)=﹣f(2) ,即 2=﹣(8+4a+2) , 解得:a=﹣3,故正确; ②若 f(x+2)+ 则 f(x+4)=﹣ =0,则若 f(x+2)=﹣ ,
3 2

=f(x) ,故函数 y=f(x)是以 4 为周期的周期函数;故正确;

③在数列{an}中,a1=1,Sn 是其前 N 项和,且满足 Sn+1= Sn+ ,则 S2= S1+ = a1+ =1,则 a2=0, 故数列{an}不是等比数列;故错误;

④x<0 时,3 ? (0,1) ,此时 y=3 +3 >2.故错误; 故答案为:①② 点评:本题以命题的真假判断为载体考查了函数的对称性,函数的奇偶性,等比数列的判断, 函数的最值,难度中档.

x

x

﹣x

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 17.已知数列{an},{bn},满足 a1=2,2an=1+an?an+1,bn=an﹣1(bn≠0) . (Ⅰ)求证数列{ }是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

(Ⅱ)令 cn=bnbn+1,求数列{cn}的前 n 项和 Sn.

考点:数列的求和;数列递推式. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)由 2an=1+an?an+1,bn=an﹣1(bn≠0)得 (Ⅱ)利用裂项相消法求得数列的和即可. 解答: 解: (Ⅰ)∵bn=an﹣1∴an=bn+1, 又∵2an=1+an?an+1, ∴2(bn+1)=1+(bn+1) (bn+1+1) , 化简得:bn﹣bn+1=bnbn+1, ∵bn≠0,∴ ﹣ =1(n∈N ) ,
*



=1(n∈N ) ,即可得出结论;

*



=

=

=1,

∴数列{ ∴

}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,

=1+(n﹣1)×1=n,∴bn= , ; = ﹣ , =1﹣ = .

∴an= +1=

(Ⅱ)由题意得 cn=bnbn+1=

∴Sn=c1+c2+?+cn=1﹣ + ﹣ +?+ ﹣

点评:本题主要考查等差数列的定义、通项公式及裂项法求数列和知识,考查学生的运算求解 能力,属中档题.

18. 底面 ABCD 为一个矩形, 其中 AB =6, AD=4. 顶部线段 EF∥平面 ABCD, 棱 EA=ED=FB=FC=6 EF=2,二面角 F﹣BC﹣A 的余弦值为 (I)证明:BC⊥平面 EFNM; (Ⅱ)求平面 BEF 和平面 CEF 所成锐二面角的余弦值. ,设 M,N 是 AD,BC 的中点,



考点:用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1) 根据线面平行的性质得出 EF∥AB, MN∥AB, MN∥EF, E, F, N, M 四点共面, 由 BC⊥MN,



得证.

(2)确定角为∠SFQ 是二面角 B﹣EF﹣C 的平面角,在△SFQ 中,tan∠SFQ=tan(π ﹣∠FSQ ﹣∠FQS)=﹣ = ,运用三角函数即可求解余弦值.

解答: 证明: (1)∴EF∥平面 ABCD,且 EF? 平面 EFAB, 又平面 ABCD∩平面 EFAB=AB, ∴EF∥AB 又 M,N 是平行四边形两边 AD,BC 的中点, ∴MN∥AB∴MN∥EF, ∴E,F,N,M 四点共面, ∵FB=FC,∴BC⊥MN,



∴BC⊥平面 EFNM; 解: (2)在平面 EFNM 内 F 作 MN 的垂线,垂足为 H,则由(1)可知: BC⊥平面 EFNM;平面 ABCD⊥平面 EFNM; ∴FH⊥平面 EFNM; ∵FB⊥BC,HN⊥BC, ∴二面角 F﹣BC﹣A 的平面角为∠FNH, Rt△FNB,Rt△FNH 中 FN= = ,HN=FNcos∠FNH= × =2,

∴FH=8,过 H 作 AB,CD 的垂线,垂足为 S,Q.连接 FN,FS,FQ, ∴∠SFQ∴∠SFQ 是二面角 B﹣EF﹣C 的平面角, 是二面角 B﹣EF﹣C 的平面角,

有图可知,AB⊥SQ,AB⊥FH, ∴AB⊥平面 FSQ,由(1)知 EF∥AB,∴EF⊥平面 FSQ, ∴∠SFQ 是二面角 B﹣EF﹣C 的平面角, ∴在△SFQ 中,tan∠SFQ=tan(π ﹣∠FSQ﹣∠FQS)=﹣ ∴COS∠QFS= , . = ,

平面 BEF 和平面 CEF 所成锐二面角的余弦值为

点评:本题考查了空间直线,平面的平行,垂直,夹角问题,转化到三角形求解,属于中档题.

19.某高校在 2013 年的自主招生考试成绩中随机抽取 100 名学生的笔试成绩,按成绩共分五 组,得到频率分布表如下表所示. 组号 第一组 ∵PF1=PQ+QF1,线段 PQ=QF2, ∴QF1+QF2=PF1=4>2, ∴Q 点是以 F1、F2 的为焦点的椭圆,? 故所求 Q 点方程为 .? 分组 频数 频率

(2)证明:设过点 F2(1,0) ,且斜率为 k(k≠0)的直线 l 方程为 y=k(x﹣1) , 设点 E(x1,y1) ,点 F(x2,y2) ,? 将直线 l 方程 y=k(x﹣1)代入椭圆 C: 整理得: (4k +3)x ﹣8k x+4k ﹣12=0,? ∵点 P 在椭圆内,∴直线 l 和椭圆都相交,△>0 恒成立, 且 .?
2 2 2 2



直线 AE 的方程为



直线 AF 的方程为



令 x=3,得点

,点



∴点 P 的坐

?

直线 PF2 的斜率为

=﹣

.?



代入上式得,



∴k?k′为定值 .? 点评:本题主要考查了椭圆标准方程的求解,椭圆的基本性质,直线和椭圆的位置关系,考查 考生的计算能力和数形结合的数学思想.

21.已知函数 f(x)=ln . (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在(1,f(1) )处的切线为 x﹣y﹣1=0,求 a 的值; (Ⅱ)设 g(x)= ,a>0,证明:当 x>a,f(x)的图象始终在 g(x)图象的下方;

(Ⅲ)当 a=1 时,h(x)=f(x)﹣e, (e 为自然对数的底数) ,h′(x)表示 h(x)导函数, 求证:对于曲线 C 上的不同两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,x1<x2,存在唯一的 x0∈(x1,x2) , 使直线 AB 的斜率等于 h′(x0) .

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题:计算题;证明题;导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)已知曲线上的点,并且知道过此点的切线方程,容易求出斜率,又知点(1,f(1) ) 在曲线上,利用方程联立解出 a 的值; (Ⅱ)令 φ (x)=f(x)﹣g(x)=lnx﹣lna﹣ 上单调递减,且 φ (a)=0,即可得出结论; (Ⅲ)若存在唯一的 x0∈(x1,x2) ,使直线 AB 的斜率等于 h′(x0) ,则 x0ln ﹣(x2﹣x1) (x>a>0) ,证明 φ (x)在(a,+∞)

=0,设 F(x)=xln

﹣(x2﹣x1) ,则 F(x)是关于 x 的一次函数,只需证明 F(x)在(x1,

x2)上单调,且满足 F(x1)F(x2)<0.将 x1,x2 看作自变量,得到两个新函数足 F(x1) 、F (x2) ,讨论它们的最值即可.

解答: (Ⅰ)解:∵f(x)=ln ,∴f′(x)= , ∴f′(1)=1, ∵f(1)=ln , ∵曲线 y=f(x)在(1,f(1) )处的切线方程为 x﹣y﹣1=0, ∴1﹣ln ﹣1=0,∴a=1; (Ⅱ)证明:令 φ (x)=f(x)﹣g(x)=lnx﹣lna﹣ (x>a>0) ,

则 φ ′(x)=﹣

<0,

∴φ (x)在(a,+∞)上单调递减,且 φ (a)=0, ∴x>a 时,φ (x)<φ (a)=0,即 f(x)<g(x) , ∴当 x>a 时,f(x)的图象始终在 g(x)的图象的下方; (Ⅲ)证明:由题意,h(x)=lnx﹣ex, 若存在唯一的 x0∈(x1,x2) ,使直线 AB 的斜率等于 h′(x0) , 则 ﹣e= ,

∴x0ln

﹣(x2﹣x1)=0,

设 F(x)=xln

﹣(x2﹣x1) ,则 F(x)是关于 x 的一次函数,

∴只需证明 F(x)在(x1,x2)上单调,且满足 F(x1)F(x2)<0. F(x1)=x1ln ﹣(x2﹣x1) ,F(x2)=x2ln ﹣(x2﹣x1) ,

将 x1,x2 看作自变量,得到两个新函数足 F(x1) 、F(x2) ,讨论它们的最值. F(x1)=x1ln ﹣(x2﹣x1) ,F′(x1)=ln >0,函数是增函数,

∵x1<x2,∴F(x1)<F(x2)=0. 同理 F(x2)=x2ln ﹣(x2﹣x1) ,函数是增函数,∴F(x1)>F(x2)=0.

∴F(x1)F(x2)<0∴F(x)=xln

﹣(x2﹣x1)在(x1,x2)上有零点 x0,



>1,∴ln

>0,

∴F(x)=xln

﹣(x2﹣x1) , )在(x1,x2)上是增函数,

∴F(x)=xln

﹣(x2﹣x1)在(x1,x2)上有唯一零点 x0,

∴对于曲线 C 上的不同两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,x1<x2, 存在唯一的 x0∈(x1,x2) ,使直线 AB 的斜率等于 h′(x0) . 点评:本题考查导数知识的综合运用,考查导数的几何意义,考查学生分析解决问题的能力, 正确构造函数是关键.

四、请考生在 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修 4-1:几何证明选讲 22.选修 4﹣1:几何证明选讲 切线 AB 与圆切于点 B,圆内有一点 C 满足 AB=AC,∠CAB 的平分线 AE 交圆于 D,E,延长 EC 交圆于 F,延长 DC 交圆于 G,连接 FG. (Ⅰ)证明:AC∥FG; (Ⅱ)求证:EC=EG.

考点:与圆有关的比例线段;圆的切线的判定定理的证明. 专题:证明题. 分析: (Ⅰ)通过证明△ACD∽△AEC,推出∠ACD=∠AEC,然后证明 AC∥FG (Ⅱ)证明:连接 BD,BE,EG,证明△ABD≌△ACD,△ABE≌△△ACE,然后证明 BE=EG, 解答: 证明: (Ⅰ)证明:∵AB 切圆于 B,

∴AB =AD?AE, 又∵AB=AC, ∴AC =AD?AE, ∴△ACD∽△AEC, ∴∠ACD=∠AEC, 又∵∠AEC=∠DGF, ∴∠ACD=∠DGF,∴AC∥FG (Ⅱ)证明:连接 BD,BE,EG 由 AB=AC,∠BAD=∠DAC 及 AD=AD,知△ABD≌△ACD,同理有△ABE≌△ACE, ∴∠BDE=∠CDE,BE=CE ∴BE=EG, ∴EC=EG
2

2

点评:本题考查直线与圆的位置关系,三角形的全等与三角形相似定理的应用,考查逻辑推理 能力.

五、选修 4-4:坐标系与参数方程 23.以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴.已知点 P 的直角坐标为(1,﹣5) , 点 M 的极坐标为(4, ) .若直线 l 过点 P,且倾斜角为 ,圆 C 以 M 为圆心、4 为半径.

(Ⅰ)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)试判定直线 l 和圆 C 的位置关系.

考点:直线与圆的位置关系;直线的参数方程;圆的参数方程. 专题:压轴题. 分析: (I)根据题意直接求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程.

(II)先化直线 l 的参数方程为普通方程,求出圆心坐标,用圆心的直线距离和半 径比较可 知位置关系.

解答: 解(I)直线 l 的参数方程为

, (t 为参数)

圆 C 的极坐标方程为 ρ =8sinθ . (II)因为 直线 l 化为普通方程为 圆心到 所以直线 l 与圆 C 相离. 选修 4﹣5:不等式选讲: 点评: 本题考查直线的参数方程, 圆的极坐标方程, 和普通方程的互化, 直线与圆的位置关系, 是中档题. , 对应的直角坐标为(0,4)

六、选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)=|x﹣2| (1)解不等式 xf(x)+3>0; (2)对于任意的 x∈(﹣3,3) ,不等式 f(x)<m﹣|x|恒成立,求 m 的取值范围.

考点:函数恒成立问题. 专题:不等式的解法及应用. 分析: (1)把 f(x)的解析式代入 xf(x)+3>0,去绝对值后化为不等式组,求解不等式组 得答案; (2)把 f(x)<m﹣|x|,分离变量 m 后构造分段函数,求解分段函数的最大值,从而得到 m 的取值范围. 解答: 解: (1)∵f(x)=|x﹣2|, ∴xf(x)+3>0?x|x﹣2|+3>0? 解①得:﹣1<x≤2, ①或 ②,

解②得 x>2, ∴不等式 xf(x)+3>0 的解集为: (﹣1,+∞) ; (2)f(x)<m﹣|x|?f(x)+|x|<m,即|x﹣2|+|x|<m, 设 g(x)=|x﹣2 |+|x|(﹣3<x<3) ,





g(x)在(﹣3,0]上单调递减,2≤g(x)<8; g(x)在(2,3)上单调递增,2<g(x)<4 ∴在(﹣3,3)上有 2≤g(x)<8, 故 m≥8 时不等式 f(x)<m﹣|x|在(﹣3,3)上恒成立. 点评:本题考查函数恒成立问题,训练了绝对值不等式的解法,考查了分离变量法求求自变量 的取值范围,是中档题.


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