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2014年高一数学暑假作业答案


专题一
1. 3 2. {x | ?3 ? x ? 5} 3. {(3,-1)}

集合
7. 0 或 1

4. 4 5. 4 6. 1

8. {x∣x<-2} 14. 1

9. ?1或2 10. [4, ??) 11. a ? 1

12. 3 1

3. ?1, ? ? ? 9, 25? ? 3?

? 5?

15. B ? {?2,5}, C ? {3,5} ,由已知,得 ?2 ? A ,得 a ? 3 或 a ? ?1 (舍去) .

= {x | ?1 ? x ? 5},B= {x | ?1 ? x ? 3}, ? ?R B= x x ? ?1或x ? 3 , 16. (1) A
? A (?R B) ? ? x 3 ? x ? 5?.
(2)

?

?

A= {x | ?1 ? x ? 5}, A B ? {x | ?1 ? x ? 4},

? B ? {x | t ? x ? 4} ? {x | ( x ? t )( x ? 4) ? 0} ? {x | x2 ? ?t ? 4? x ? 4t ? 0} . ?t ? ?2,? m ? 4t ? ?8.
17. ? U P ? {x | x ? ?2或x ? 1} . 若 M ? ? ,即 3a ? 2a ? 5 ? a ? 5 时,满足题意. 若 M ? ? ,则 ?

?a ? 5 7 1 ? a ? ? 或 ? a ? 5. 2 3 ?3a ? 1或2a ? 5 ? ?2
1 . 3

综上: a ? ? 或a ?

7 2

18.用补集思想:先考虑 ?x ? [ ?1,1] , f (c) ? 0 ,求实数 p 的取值范围. 则有 ?

? f (1) ? 0 3 3 ? p ? ?3, 或p ? ,∴满足题意的 p 的取值范围是 ( ?3, ) . 2 2 ? f (?1) ? 0

2 19.方法 1:令 f (x) = x + ax + 2 ,则由函数 f ( x ) 的图象开口向上及 f (0) = 2 知, f ( x )

ì V? 0 ? ? ? 有两个正的零点,故 í a ,即 a ? ? > 0 ? ? ? 2
2 方法 2: x + ax + 2 = 0 可化为 - a = x +

2 2 ,所以实数 a 的取值范围是 a ?
2 2 ( x > 0) ,在 x > 0 时, x + x x

2 2.

2 2 ,当且仅

当x=

2 时取等号,所以 - a

2 2 ,即 a ?

2 2,

1

所以实数 a 的取值范围是 a ?

2 2.

a2 B ? [ ? ? 3a, a 2 ? 3a] , f ( x ) g ( x ) A ? [0, 4] 20. 的值域为 , 的值域为 2
由已知 A ? B ,得 a ? (??, ?4] [6, ??) .

专题二
1. -2 2. 4 3. ⑤ 4. (- 1,1)

函数(一)

,0 ? x ?1 ?x ? 2 ? x ? 2 x ? 2,1 ? x ? 2 5. y ? ? ? x 2 ? 6 x ? 10, 2 ? x ? 3 ? ,3 ? x ? 4 ?4 ? x
9. (0, )

? 2x , x ? 0 1 ? 6. [0,2] 7. ( ,1) 8. f ( x) ? ? 0, x ? 0 3 ? ?2 ? x , x ? 0 ?

1 2

(2, ??)

10. ( ??, ? ) 11. ①②③

5 4

12. ②

? ?a ? 1 ? 0 ? 1 1 ? a ? (? , ] 13. ? 2a ? 1 ? 0 2 2 ? 5 ? a ? 1 ? ? 2a ? 1 ? 2

14. f (6.5) ? f (5) ? f (15.5)

2 15. 当 x ? 1 时, f ( x) = 2 x + ( x - 1)? ( x

1) = 3 x 2 - 2 x + 1 = 3( x -

1 2 2 ) + ,所以当 3 3

x = 1 时, f ( x) 取到最小值为 2;
2 当 x < 1 时, f ( x) = 2 x - ( x - 1)? (x 2 ,所以当 x = - 1 1)= x2 + 2x - 1= (x + 1) - 2

时, f ( x ) 取到最小值为-2;综上所述, f ( x ) 取到最小值为-2. 16.(1)定义域为 {x x ? 0},关于原点对称. f ( x) ?

3x ? 1 , 2(3 x ? 1)

3? x ? 1 1 ? 3x 且 f ( ? x) ? ? ? ? f ( x) ,则 f ( x) 在定义域上是奇函数. 2(3? x ? 1) 2(1 ? 3 x )
x 0 x (2)当 x ? 0 时, 3 ? 3 ? 1 ? 3 ? 1 ? 0 ? xf ( x) ? x

3x ? 1 ?0; 2(3x ? 1)

x x 当 x ? 0 时, 3 ? 1 ? 3 ?1 ? 0 ? xf ( x) ? 0 .

2

综上,

x f( x )? 0 .
x?3 x ?1 ≥0, 得 ≥0, 解得 x<-1 或 x≥1,即 A=(-∞,-1)∪[1,+ ∞). x ?1 x ?1 1 1 或 a≤-2, 而 a<1, ∴ ≤a<1 或 a≤-2, 2 2

17. (1)2-

(2) 由(x-a-1)(2a-x)>0, 得(x-a-1)(x-2a)<0. ∵a<1,∴a+1>2a, ∴B=(2a,a+1). ∵B ? A, ∴2a≥1 或 a+1≤-1, 即 a≥

故当 B ? A 时, 实数 a 的取值范围是(-∞,-2)∪ ? ,1? . 18.函数 y 的对称轴为直线 x ? 2 ,
2 (1)当 2 ? t ,即 t ? 2 时, ymin ? f ?t ? ? t ? 4t ? 3 ;

?1 ? ?2 ?

(2)当 t ? 2 ? t ? 1 ,即 1 ? t ? 2 时, ymin ? f ? 2? ? ?1;
2 (3)当 2 ? t ? 1 ,即 t ? 1 时, ymin ? f ?t ? 1? ? t ? 2t .

19. (1)f(x)=x+2;g(x)=x2-x-6. (2) y ?

g ( x) ? 4 x 2 ? x ? 2 ? f ( x) x?2

令 t=x+2,则 y ? t ?

4 4 ? 5, (1 ? t ? 5) ,值域为 [ ?1, ) 5 t

1 20.(1) y ? g (t ) ? f (t ) ? (80 ? 2t ) ? (20 ? | t ? 10 |) ? (40 ? t )(40? | t ? 10 |) 2
?(30 ? t )(40 ? t ), (0≤t ? 10), =? ?(40 ? t )(50 ? t ), (10≤t ≤ 20).

(2)当 0≤t<10 时,y 的取值范围是[1 200,1 225], 在 t=5 时,y 取得最大值为 1225; 当 10≤t≤20 时,y 的取值范围是[600,1 200], 在 t=20 时,y 取得最小值为 600. 答:第 5 天,日销售额 y 取得最大值为 1 225 元;第 20 天,日销售额 y 取得最小值为 600 元.

专题三
1.

函数(二)
4. m ? 1 或 m ? 0 5. [0,2]

4 3 1 2

2.

? 3,1?
7. [?

3.

2 3 1 f( )? f( )? f( ) 3 2 3
8. ?0, ? 4
3

6. a ?

1 , 2] 2

? 9? ? ?

9.2.5

10. 2

11.

1 ?b a

12.

15 4

13. [?3, ?1] 15. (1)由

(0, ??)

14. ①③

1? x ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 1 ,函数的定义域为(-1,1) ; 1? x

(2)因为定义域关于原点对称,所以

f (? x) ? log a

1? x 1 ? x ?1 1? x ? log a ( ) ? ? log a ? ? f ( x) ,所以该函数是奇函数. 1? x 1? x 1? x 1? x ? log a 1 , (3) log a 1? x

?1 ? x ?1 ? x ?0 ?0 ? ? ?1 ? x ?1 ? x 当 a ? 1 时, ? 解得解集为 ?0,1? ;当 0 ? a ? 1 时, ? 解得解集为 (?1,0) . ?1 ? x ? 1 ?1 ? x ? 1 ? ? ?1 ? x ?1 ? x
16.令 t ? log x y ,∵ x ? 1 , y ? 1 ,∴ t ? 0 . 由 2log x y ? 2log y x ? 3 ? 0 ,得 2t ?

2 ? 3 ? 0 ,∴ 2t 2 ? 3t ? 2 ? 0 , t

1 1 1 ∴ (2t ? 1)(t ? 2) ? 0 ,∵ t ? 0 ,∴ t ? ,即 log x y ? ,∴ y ? x 2 , 2 2

∴ x2 ? 4 y 2 ? x2 ? 4 x ? ( x ? 2)2 ? 4 , ∵ x ? 1 , ∴当 x ? 2 时, x2 ? 4 y 2 的最小值是 ?4 . -1+b 17.(1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,所以 f(0)=0,即 =0,解得 b=1. 2+a 1 - +1 2 -2x+1 -2+1 从而有 f(x)= x+1 .又由 f(1)=-f(-1)知 =- ,解得 a=2.经检验知:a=2, 2 +a 4+a 1+a b=1 适合题意. -2x+1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =- + x ,由上式易知 f(x)在 R 上为减函数,又因为 f(x)是 2 2 +1 2 +2 奇函数,从而不等式 f(t2-2t)+f(2t2-k)<0?f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).因为 f(x)是 R 上的减函数, 由上式推得 t2-2t>-2t2+k., 即对一切 t∈R 有 3t2-2t-k>0, 从而 Δ=4+12k<0, 1 解得 k<- . 3 18.(1) g ( x) ? a( x ?1) ? 1 ? b ? a
2

当 a ? 0 时,因为 g ( x)在?2, 3? 上为增函数,所以 ? 当 a ? 0时, g ( x)在?2, 3? 上为减函数,所以 ?

? g (3) ? 4 ?a ? 1 ,得 ? ? g (2) ? 1 ?b ? 0

?a ? ?1 ? g (3) ? 1 ,得 ? . ?b ? 3 ? g (2) ? 4

4

? b ? 1 ? a ? 1 b ? 0 ,即 g ( x) ? x2 ? 2 x ? 1. f ? x ? ? x ?
x (2)方程 f (2x ) ? k ? 2x ? 0 化为 2 ?

1 ?2. x

1 ? 2 ? k ? 2x , x 2

1? (

1 2 1 1 ) ? 2 x ? k ,令 x ? t , k ? t 2 ? 2t ? 1 . x 2 2 2
1 2
∴k ? 0 .

∵ x ? [?1,1] , ∴ t ? [ ,2] . 记 ? (t ) ? t 2 ? 2t ? 1 , ∴ ? (t )min ? 0 ,

?x 2 ? 2x ? 2 x ? 1 19. (1)a ? 2 时,f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ? ? 2 , 结合图象知, 函数 y ? f ( x) ?x ? 2x ? 2 x ? 1
2

的单调增区间为 [1,??) ,减区间为 (??,1] ;

a ?x 2 ? 2x ? a x ? 2 a (2) f ( x) ? ? 2 ,? a ? ?2,? ? ?1 ,结合图象可得 2 ?x ? 2x ? a x ? a 2
当 a ? 2 时,函数 y ? f ( x) 的最小值为 f (1) ? a ? 1 =2,解得 a=3,符合题意; 当 ? 2 ? a ? 2 时,函数 y ? f ( x) 的最小值为 f ( ) ? 综上,a=3. 20.(1)由题意,当 0 ? x ? 20 时, v( x) ? 60 ,

a 2

a2 ? 2 ,无解. 4

200 a ?b?0 { 当 20 ? x ? 200 时,设 v( x) ? ax ? b ,由条件得 20 a ?b?60
解得 a ? ? , b ? 则 v( x) ? ?

1 3

200 1 200 , v( x) ? ? x ? 3 3 3

?60, 0 ? x ? 20 ?1 (200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3

?60 x,0 ? x ? 20 (2)由题意知 f ( x) ? ? ?1 x(200 ? x), 20 ? x ? 200 ? ?3
当 0 ? x ? 20 时, f ( x) ? f (20) ? 1200;
2 当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ? ? ( x ? 100 ) ?

1 3

10000 ,则 x ? 100 时, 3

f ( x) max ?

10000 ? 3333 . 3
5

答:当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.

专题四
1. ?

三角函数的图象与性质
2

1 2

2. π

3. 4 cm 8. ?

4.

11? 6

5. ? 10. ?3

4 3
11. ( ?

6.

1 9

7. [? 12. 14

π π ? kπ, ? kπ], k ? Z 6 3
13. 2 ? 3
2

3 2

9.

? 4

1 15 , ) 4 4

π 4

14.

2 3

提 示 : y = sin ( x +

p 1 p 1 ) = - cos(2 x + ) + , 它 的 对 称 轴 方 程 是 6 2 3 2

x?

k ? 2p 2p 3 ? ? (k ? Z ) ,所以 sin 0 + a cos 0 = sin(. ) + a cos(), a = 2 6 3 3 3

15.(1) f ( x) ? 2sin ? 2 x ? (2) x ? ?

? ?

??

2? ? ,所以 T ? 2 ? ? . 3?

?
4

时, f ? x ?min ? ?1 , x ?

?
12

时, f ? x ?max ? 2 .

? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 0, ? ? ? ? 6? 16. (1)由已知图象,得 ? 解得 ? ? 2, ? ? ,又 A ? 1 ,所以图中函数 3 ? ? ? ? ?? ? ?, ? 3 ?
的解析式是 y ? sin ? 2 x ? 有的点向左平移 变得到的. 17.(1) f ( x) ?

? ?

??

(2) 该函数的图象是将 y ? sin x ? x ? R ? 的图象上的所 ?. 3?

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不 2 3

1 ? cos 2? x 3 ? sin 2? x 2 2
=

3 1 1 sin ? x ? cos 2? x ? 2 2 2

= sin(2? x ?

?

1 )? . 6 2

因为函数 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0,所以 解得 ω=1.
6

2? ?? . 2?

1 )? . 6 2 2? ? ? 7? . 因为 0≤x≤ ,所以 ? ≤ 2 x ? ≤ 3 6 6 6 1 ? 所以 ? ≤sin (2 x ? ) ≤1. 2 6 ? 1 3 3 因此 0≤ sin(2 x ? ) ? ≤ ,即 f(x)的取值范围为[0, ]. 2 6 2 2
(2)由(1) ,得 f ( x) ? sin(2 x ? 18. (1)当 ? ? 递减,在 [ ?

?

?
6

时, f ( x) ? x ? x ? 1 ? ( x ?
2

1 2 5 3 1 ) ? ,? f ( x) 在 [? ,? ] 上单调 2 4 2 2

1 1 1 5 1 , ] 上单调递增.? 当 x ? ? 时,函数 f ( x) 有最小值 ? ,当 x ? 时,函 2 2 2 2 4 1 数 f ( x) 有最大值 ? . 4
(2)要使 f ( x ) 在 x ? [?

1 3 1 3 或 ? sin ? ? ,即 , ] 上是单调函数,则 ? sin ? ? ? 2 2 2 2

sin ? ?

1 ? 2 7 11 3 或 sin ? ? ? ,又? ? ? [0,2? ) ,解得 ? ? [ , ? ] ? [ ? , ? ] . 2 3 3 6 6 2

2π π 19.(1)由图象知 A=2,T=8,∵T= =8,∴ω= . ω 4 π π π π π 又图象经过点(-1,0),∴2sin(- +φ)=0.∵|φ|< ,∴φ= .∴f(x)=2sin( x+ ). 4 2 4 4 4 π π π π π π π π (2)y=f(x)+f(x+2)=2sin( x+ )+2sin( x+ + )=2 2sin( x+ )=2 2cos x, 4 4 4 2 4 4 2 4 2 3π π π ∵x∈[-6,- ],∴- ≤ x≤- . 3 2 4 6 π π 2 ∴当 x=- ,即 x=- 时,y=f(x)+f(x+2)取得最大值 6; 4 6 3 π 当 x=-π,即 x=-4 时,y=f(x)+f(x+2)取得最小值为-2 2. 4

2 20. (1) y ? f (sin x) ? 2sin x ? 3sin x ? 1 ,设 t ? sin x, x ? [0,

?
2

] ,则 0 ? t ? 1 ,

∴ y ? 2(t ?
2

3 3 1 t ) ? 1 ? 2(t ? ) 2 ? ,∴当 t ? 0 时, ymax ? 1 . 2 4 8 1 (2)当 x1 ?[0,3] , ∴ f ( x1 ) 的值域为 [ ? ,10] ; 8

7

当 x2 ?[0,3] 时,则 ?

?
6

6 1 ① 当 A ? 0 时, g ( x2 ) 的值域为 [ ? A, A] , 2 1 ②当 A ? 0 时, g ( x2 ) 的值域为 [ A, ? A] .而依据题意有 f ( x1 ) 的值域是 g ( x2 ) 值域的子 2
集,

? x2 ?

?
6

? 3?

?

,有 ?

1 ? ? sin( x2 ? ) ? 1 . 2 6

? ?A ? 0 ? 则 ?10 ? A ? 1 1 ?? ? ? A 2 ? 8
2



? ?A ? 0 ? 1 ? ?10 ? ? A 2 ? ? 1 ? ?A ? ? 8

∴ A ? 10 或 A ? ?20 .

(3) 2sin x ? 3sin x ? 1 ? a ? sin x 化为 2sin x ? 2sin x ? 1 ? a 在 [0, 2? ) 上有两解,
2

令 t ? sin x

,则 t∈ [?1,1] , 2t ? 2t ? 1 ? a 在 [?1,1] 上解的情况如下:
2

①当在 (?1,1) 上只有一个解或相等解, x 有两解,得 (5 ? a)(1 ? a) ? 0 或 ? ? 0 ∴ a ? (1,5) 或 a ?

1 ; 2 3 ?; 2
; 故 a ? (1,5) 或 a ?

② t ? ?1 时, x 有惟一解 x ? ③当 t ? 1 时, x 有惟一解 x ?

?

2

1 . 2

专题五
1.

三角恒等变换
4. ? 2 ? 3 5. 5 6. 3

1 2
59 72

2.

2 6 -1 6
2 6 5
14.

3.

3 3
19 16

7.

8. -

9.

10.

1 8

11. sin

?
2

12.

17 2 50

13.

3

16 65
1 7 2 5 ,sin ? ? ,所以 tan ? ? 7 ,tan ? ? . (1) 2 10 5

15. 因为 ? 、? 为锐角,所以 sin ? ?

tan(a + b ) = - 3 ;

8

(2)tan(a + 2b ) = tan((a + b ) + b ) = - 1, 又因为 ? 、? 为锐角, 所以 ? ? 2 ? ? 16. (1) cos a = 17. 因为 ?

3? . 4

3? ? 3? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? 0 , 所以 ? ? ? 4 4 4 4 2 4 2 4 3? 5 ? 4 ) ? , cos( ? ? ) ? . 又因为 sin(? ? 4 13 4 5 3? ? cos( ? ? ? ) ? ? cos( ? ? ? ? ? ) ? ? cos[( ? ? ) ? ( ? ? )] 4 4

?

?? ?

?

3 ; (2)4 5


?

?? ?

? ? cos( ? ?

3? ? 3? ? 12 4 5 3 33 ) cos( ? ? ) ? sin(? ? ) sin( ? ? ) ? ? ? ? (? ) ? . 4 4 4 4 65 13 5 13 5

18. 作 AE ? CD于点E . AB CD, 所以 AB ? 9,CD ? 15, 所以 DE ? 9,EC ? 6 . 设 AE ? x,?CAE ? ? ,因为 ?CAD ? 45 ,所以 ?EAD ? 45 ? ? .

6 1? 9 6 9 1 ? tan ? x. ,所以 ? tan ? ? , tan(45 ? ? ) ? . tan(45 ? ? ) ? 6 x x x 1 ? tan ? 1? x
解得 x ? 18,x ? ?3 (舍去) .所以 BD ? 18 . 19.(1) f ( x) ? ? ?1 ? cos?

? ?

?? ?? ? 2x ? ? ? ? 3 cos2 x ?2 ??

? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
3

) ?1,

? ? 2? ?? ? ? , Q x ? ? , ? ,? ? 2 x ? ? 6 3 3 ?4 2?
?
1 ?? ?? ? ? ? sin? 2 x ? ? ? 1 ,即 2 ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 ? 3 , 2 3? 3? ? ?

? f ( x) max ? 3, f ( x) min ? 2 .
(2)由 f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2

?m ? ( f ( x) ? 2)max ?m ? 1 ?1? m ? 4. ?? ?? ?m ? 4 ? m ? ( f ( x) ? 2)min
20. (1)f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

2? ? ?? ?? . 所以函数的最小正周期为 T ? 因为 x ? ?0, ? , ?. 2 6? ? 2?

所以 2 x ?

?

? ?? ? ? ? ? 7? ? ? ?? ? ? , ? .所以 2 x ? ? ? , ? ,即 x ? ?0, ? 时,函数 f ? x ? 为增函数, 6 ?6 6 ? 6 ?6 2? ? 6?
9

而 在 x??

? ?? ? ? ?? ? , ? 时 , 函 数 f ? x ? 为 减 函 数 , 所 以 f ? ? ? 2sin ? 2 为 最 大 值 , 2 ?6 2? ?6?

7? ?? ? f ? ? ? 2sin ? ?1 为最小值. 6 ?2?
(2) 由 (1) 知,f ? x0 ? ? 2sin ? 2 x0 ?

? ?

??

6 ?? 3 ? 又由已知 f ? x0 ? ? , 则n s i 2 ? x0 ? ? ? . ?, 5 6? 6? 5 ?

因为 x0 ? ?

? ? 2? 7? ? ?? ?? ? ? ? , ? ,则 2 x0 ? ? ? , ? ,因此 cos ? 2 x0 ? ? ? 0 , 6 ? 3 6 ? 6? ?4 2? ?

所以 cos ? 2 x0 ?

? ?

??

4 ?? ? ? ? ? 3? 4 3 . ? ? ? ,于是 cos 2 x0 ? cos ?? 2 x0 ? ? ? ? ? 6? 5 6 ? 6? 10 ??

专题六
→ 1.AD 2. 2 2 3.4 8. c ?

平面向量
4.120 ? 5.④ 9. x ? 12. ?25 6. ?

3 4

7. ( , ), ( ? , ? )

3 4 5 5

3 5

4 5

1 3 a? b 2 2
11.

3 且 x ? ?6 2
13.

10. ?

? x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 ? , ? ,0 3 3 ? ?
?

2? 3

15 2
?

14.

1 2

k a ? b ? (k ? 2, ?1) , a ? 3b ? (7,3) . 15. (1) (2) 因为 k a ? b 与 a ? 3b | a ? 3b |? 58 ;
平 行 , 所 以 3(k ? 2)? 7? 0 ,即得 k ? ?

?

?

?

?

?

?

1 7 ? ? . 此 时 k a ? b ? ( k ? 2, ? 1) ? (? ,? 1) , 3 3 ? ? ? ? ? ? a ? 3b ? (7,3) .则 a ? 3b ? ?3(ka ? b) ,即此时向量 a ? 3b 与 ka ? b 方向相反.
1 1 ,y? . 2 2
[来源:学&科&网 Z&X

16. ( 1) x ?

(2)∵ BP ? 3PA ,∴ BO ? OP ? 3PO ? 3OA ,即 4OP ? OB ? 3OA ,

3 1 3 1 OA ? OB ,∴ x ? , y ? . 4 4 4 4 3 1 1 3 1 所以 OP ? AB ? ( OA ? OB ) ? (OB ? OA) ? OB ? OB ? OA ? OA ? OA ? OB 4 4 4 4 2 1 2 3 2 1 1 ? ? 2 ? ? 4 ? ? 4 ? 2 ? ? ?9 . 4 4 2 2
∴ OP ? 17. (1)12 (2) 2 21 (3)

? 6

10

18. (1)因为 a ? 1, b ? 1 ,所以 (a ? b) ? (a ? b) = a ? b ? 0 ? 所以 (a ? b) ⊥ (a ? b) . (2) cos x ?

2

2

1 . 6

2 19. (1) f ( x) ? 2cos x ? 3 sin 2 x ? a ? 2sin(2 x ?

?
6

) ? a ?1 ,T ? ?

(2) a ? ?1 (3) y ? 2sin(2 x ?

?
6

) .
y

2

?

? 12
?2

? 6

5? 12

2? 3

11? 12

x

单调增区间为(k∏- ∏/3,k∏+∏/6),k 为 Z。单调减区间为(k∏+∏/6,k∏+2/3∏). 20. (1) 因为 AC ? (cos ? ? 3,sin ? ), BC ? (cos ? ,sin ? ? 3), 所 以

( c o ?s ?

2

3 ?)

2

? s i ?n

2

2 ? c?o s ? ? (, s整 i n理 得3 sin ) ? ? cos ? , 又

骣 5 p 3p ÷ ,所以 a = p . a? ? , ÷ ? ÷ ? 桫 4 2 2
(2)因为 ACgBC = (cos a - 3)cos a + sin a (sin a - 3) = 1- 3(sin a + cos a ) , 所以 sin a + cos a =

uuu r uuu r

2 . 3

2sin 2 a + sin 2a 5 = 2sin a cos a = - . 1 + tan a 9

专题七
1. 4 2 2.锐角 3.

解三角形
4. 120 5. 60 6.

3 3 或 4 2

? 5, 13?

7. 10 3

8.

3 2

9.直角三角形
11

10. 2

11.

3 4

12. k ? 12或k ? 6 3

13.

2, ( 2, 3)

14.4

15. (1)略; (2) A =

p . 4

16.在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理,得 cos ? ADC=

1 AD 2 ? DC 2 ? AC 2 100 ? 36 ? 196 ?? , = 2 ?10 ? 6 2 2 AD DC

? ? ADC=120°, ? ADB=60°.
在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°, 由正弦定理,得

AB AD ? , sin ?ADB sin B

? AB=

AD sin ?ADB 10sin 60? ? ? sin B sin 45?

10 ? 2 2

3 2 ?5 6 .

17.由 cos A ?

12 1 12 2 5 ,得 sin A ? 1 ? ( ) ? .又 bc sin A ? 30 ,∴ bc ? 156 . 13 2 13 13

(1) AB ? AC ? bc cos A ? 156 ?

12 ? 144 . 13
2

2 2 2 (2) a ? b ? c ? 2bc cos A ? (c ? b) ? 2bc(1 ? cos A) ? 1 ? 2 ?156 ? (1 ?

12 ) ? 25 , 13

所以 a ? 5 . 18. (1)2; (2) ?ABC 的面积为

15 . 4

19. (1)因为 A, B, C 成等差数列,所以 B ?

?
3





AB ? BC ? ?

3 3 1 3 ,∴ ac cos( ? ? B ) ? ? ,∴ ac ? ,即 ac ? 3 . 2 2 2 2

∵b ?

3 , b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,∴ a 2 ? c 2 ? ac ? 3 ,
2 2

即 (a ? c) ? 3ac ? 3 .∴ (a ? c) ? 12 .∴ a ? c ? 2 3 . (2)

2 sin A ? sin C ? 2 sin(

2? 3 1 ? C ) ? sin C ? 2( cosC ? sin C ) ? sin C ? 3 cosC , 3 2 2
12

∵0 ? C ?

2? 3 ,∴ 3 cosC ? (? , 3) . 3 2

∴ 2 sin A ? sin C 的取值范围是 (?

3 , 3) . 2

20.因为 CP∥OB,所以∠CPO=∠POB=60° -θ,∴∠OCP=120° . 在△POC 中,由正弦定理,得 ∴CP= OP CP 2 CP = ,∴ = , sin 120° sin θ sin ∠PCO sin θ

4 OC 2 4 sin θ.又 = ,∴OC= sin(60° -θ). sin 120° sin60° - 3 3

1 因此△POC 的面积为 S(θ)= CP· OCsin 120° 2 1 4 4 3 4 = · sin θ· sin(60° -θ)× = sin θsin(60° -θ) 2 3 2 3 3 = 4 2 ? 1? 3 1 sin θ? cos θ- sin θ?= ,60° ). cos 2? ? 60? ? ? ,θ∈(0° ? 2 2 ? ? 3 2? 3?

?

?

所以当 θ=30° 时,S(θ)取得最大值为

3 . 3

专题八
1.

数列(一)
13 ? n 3
5. ?7 6.

12 5

2. 35

3. 3

4. an ? 4或an ?

1 3

7.97

8. 512 13.

9. an ? 3n?1 14. 4 006

10.{18,19,20,21}

11. 35

73

12. an ? 3n ? 2 , n ? N *

1 3n

提 示 : 由 条 件 , 得 a2003 > 0, a2004 < 0 , S 4005 ?

S4006 ? S4007

4006 ? (a1 ? a4006 ) 4006 ? (a2003 ? a2004 ) ? ?0 , 2 2 4007 ? (a1 ? a4007 ) ? ? 4005a2004 ? 0 , (备注:为 4007a2004,不是 4005a2004)所以 2

4005 ? (a1 ? a4005 ) ? 4005a2003 ? 0 , 2

n ? 4006 .
15. ⑴ 设 ?an ? 的公比为 q?q ? 1? ,由题意,得

? a1 1 ? q ? q 2 ? 7 ? a1 ? a 2 ? a3 ? 7 ?a ? 1 ? ?? 1 ? a n ? 2 n ?1 . ? ? 2 6 a ? a ? 3 ? a ? 4 q ? 2 1 3 ? 2 ?a1 q ? 6q ? 1 ? 7 ? 0 ?

?

?

?

?

13

⑵ a3n ?1 ? 2

3 n ?1?1

? 2 3n ? log 2 a3n ?1 ? 3n ? Tn ?

3n?n ? 1? . 2

16. (1)? an ? S n ? S n ?1 (n ? 2),? S n?1 ? S n ? 2S n S n?1 ,?

1 1 ? ? 2(n ? 2) , S n S n?1



1 1 ? 2 ,所以 { } 是以 2 为首项,以 2 为公差的等差数列. S1 Sn

(2)由(1)知

1 1 1 . ? ? (n ? 1)d ? 2n,? S n ? S n S1 2n

1 ? , n ?1 ? ? 2 ? an ? ? . 1 , n?2 ?? ? ? 2n(n ? 1)
17.(1)设 Sn ? an2 ? bn ? c ,由图象可知 A ?1,3? , B ? 2, 7 ? , C ? 3,13?

?a ? b ? c ? 3 ? 2 ?4a ? 2b ? c ? 7 解得a ? b ? c ? 1 ,所以 Sn ? n ? n ? 1 . ?9a ? 3b ? c ? 13 ?
当 n ? 1时,a1 ? S1 ? 3, 当n ? 2时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n . 所以 an ? ?

?3 ? n ? 1? ?2n ? n ? 2 ?

,因为 a2 ? a1 ? 1, a3 ? a2 ? 2 ,所以 ?an ? 不成等差数列,从第二项开始

成等差数列. (2)由(1)可知,数列 ?an ? 从第二项开始成等差数列,则 a3 , a6 , a9 , 公差为 6,项数是 11 项的等差数列, 所以 a3 ? a6 ? a9 ?

a33 是首项为 a3 ? 6,

? a33 ? 6 ? 11 ?

11?11 ? 1? 2

? 6 ? 396 .

18. (1) b1 ? a2 ? a1 ? 1, 当 n ? 2 时, bn ? an ?1 ? an ? 所以 ?bn ? 是以 1 为首项, ?

an ?1 ? an 1 1 ? an ? ? (an ? an ?1 ) ? ? bn ?1, 2 2 2

1 为公比的等比数列. 2 1 n ?1 (2)由(1)知 bn ? an ?1 ? an ? (? ) , 2

14

当 n ? 2 时, an ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ?

1 ? (an ? an?1 ) ? 1 ? 1 ? (? ) ? 2

1 ? (? ) n ? 2 2

1 1 ? (? ) n ?1 2 1 5 2 1 2 ? 1? ? 1 ? [1 ? (? ) n ? 2 ] ? ? (? ) n ?1 ,(备注,中间那个-1/2 上标为 n-1) 1 3 2 3 3 2 1 ? (? ) 2 5 2 1 1?1 5 2 1 n ?1 * 当 n ? 1 时, ? (? ) ? 1 ? a1 ,所以 an ? ? ( ? ) ( n ? N ) . 3 3 2 3 3 2 n(n ? 1) d .由已知,得 19.(1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,则 S n ? na1 ? 2
10 ? 9 ? 10a1 ? d ? 55, ? ?2a1 ? 9d ? 11, ?a1 ? 1, ? 2 即? 解得 ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? n . ? ?d ? 1, ?20a ? 20 ?19 d ? 210, ?2a1 ? 19d ? 21, 1 ? ? 2
2 (2)假设存在 m, k ( k ? m ? 2, k , m ? N ) ,使得 b1 , bm , bk 成等比数列,则 bm ? b1bk .因
?

为 bn ?

m 2 1 k 1 m k an n ) ? ? , bk ? ,所以 b1 ? , bm ? .所以 ( .整理, ? m ?1 2 k ?1 2 m ?1 k ?1 an ?1 n ? 1

得k ?

2m 2 2 .因为 k ? 0 ,所以 ?m ? 2m ? 1 ? 0 .解得 1 ? 2 ? m ? 1 ? 2 .因 2 ? m ? 2m ? 1

? 为 m ? 2, m ? N ,所以 m ? 2 ,此时 k ? 8 .故存在 m ? 2, k ? 8 ,使得 b1 , bm , bk 成等比数

列. 20. ( 1 ) 设 数 列 {an } 的 公 差 为

d

, 则

2 2 2 a2 ? a5 ? a? 4

2 a, 3

由 性 质 得

?3d (a4 ? a3 ) ? d (a4 ? a3 ) ,因为 d ? 0 ,所以 a4 ? a3 ? 0 ,即 2a1 ? 5d ? 0 ,又
由 S7

? 7 ,得 7a1 ?

7?6 d ? 7 ,解得 a1 ? ?5 ,d ? 2 ,所以通项公式为 an ? 2n ? 7 , 2

前 n 项和 Sn ? n2 ? 6n . (2)因为

am am ?1 (am ? 2 ? 4)(am ? 2 ? 2) 8 为数列 ?an ? 中的项, ? ? am? 2 ? 6 ? am? 2 am? 2 am? 2
为整数,又由(1)知: am?2 为奇数,所以 am?2 ? 2m ? 3 ? ?1,即m ? 1, 2 .



8 a m+2

经检验,符合题意的正整数只有 m ? 2 .

15

专题九
1.4 或 9 9.①②④ 15.(1) ? 2.1 或 ? 10. 2
n ?1

数列(二)
5.

1 2

3.4

4.180 11. 11 ? 1

n 2n ? 1

6. ?

1 3

7.7 13. ?4 2

8.5 14. 1 000

?n?2

12.2 011,4 022

?a1 ? 1 ?a1 ? ?1 或? ?q ? 3 ?q ? ?3 ?a1 ? 1 时 , ?q ? 3
S6 ?

( 2 ) 当 ?

?a ? ?1 1 ? (1 ? 36 ) 1 ? 36 ? ? 364 ; 当 ? 1 时 , 1? 3 ?2 ?q ? ?3

S6 ?

(?1) ? [1 ? (?3) 6 ] 36 ? 1 ? ? 1 8.2 1? 3 4

? ?a1+d=8 10× 9 16. (1)设{an}的公差为 d,有? ?10a1+ 2 d=185 ?
解得 a1=5,d=3. ∴ an=a1+(n-1)d=3n+2. (2)∵ bn=a 2 n =3× 2n+2, ∴ Tn=b1+b2+…+bn=(3× 21+2)+(3× 22+2)+…+(3× 2n+2) =3(21+22+…+2n)+2n=6× 2n+2n-6. 17.(1)设等差数列 {an } 的公差为 d ,因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 ,

?a ? 2d ? ?6 所以 ? 1 ?a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2 .

所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 . (2)若 0 ? n ? 6时Tn ? ?a1 ? a2 ? 若 n ? 6 时,则 Tn ? ?a1 ? a2 ?

? an ? ?n2 ? 11n , ? a6 ? a7 ? ? an ? Sn ? 2S6 ? n2 ?11n ? 60 .

2 ? ?? n ? 11n, 0 ? n ? 6 综上, Tn ? ? 2 . n ? 11 n ? 60, n ? 6 ? ?

?S +S =3a +64, 18(1)由已知,得? 1 ?S +S =3a +64.
n+1 n n+1 n n-1 n

1

两式相减得 an+1+an=3(an+1-an),
16

1 所以 an+1=2an(n≥2).又∵ S2+S1=3a2+ , 64 1 ∴ a2+2a1=3a2+ , 64 1 1 ∴ a2=a1- =- , 128 64 ∴ a2=2a1,∴ an+1=2an(n∈ N*). 1 1 n-1 - 因为 a1=- ,所以 an=- · 2 =-2n 8. 128 128 1 - (2)bn=log4|-2n 8|= (n-8). 2 令 bn≥0 得 n≥8,且 b8=0, 所以当 n=7 或 8 时,Tn 最小,最小值为-14.
2 2 19.(1) a2 ? a1 ? a5 及 d>0 得 d ? 2a1 ,又 S5 ? a3 ,? a1 ? 1, d ? 2 , ? an ? 2n ? 1 .

1 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 2 ( ? ) ? 1? ? ? [ ,1) , ,?Tn ? 1 ? 2 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 3 2 ? m ? (??, ), M ? [1, ??) . 3
(2) bn ? 20. (1)∵ 3Sn ? 5an ? an?1 ? 3Sn?1 (n ? 2) ,∴ 3Sn ? 3Sn?1 ? 5an ? an?1 (n ? 2) , ∴ 3an ? 5an ? an?1 (n ? 2) ,即 2an ? an?1 (n ? 2) ;∵ a1 ? 2 ,

1 1 n ?1 1 n ? 2 为公比的等比数列. ∴ an ? 2 ? ( ) ? ( ) . 2 2 2 1 n?2 (2) bn ? (2n ? 1) an ? (2n ? 1)( ) , 2 1 ?1 1 0 1 1 1 n?2 ∴ Tn ? ( ) ? 3( ) ? 5( ) ? L L ? (2n ? 1)( ) , 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? ( )0 ? 3( )1 ? 5( ) 2 ? ? (2n ? 1)( ) n ?1 , 2 2 2 2 2
∴ ?an ? 是以 2 为首项, ∴ Tn ? 2 ? 2 ?1 ? ( ) ? ( ) ? L L ? ( )
1 2

1 2

? ?

1 2

1 2

1 2

n?2

1 ? ? (2n ? 1)( ) n?1 ? 2 ?

1 1 ? ( ) n ?1 1 1 1 2 ? 2 ? 2? ? (2n ? 1)( ) n ?1 ? 6 ? ( ) n ?3 ? (2n ? 1)( ) n ?1 , 1 2 2 2 1? 2 1 n?4 1 n?2 1 ? 12 ? (2n ? 3)( ) n ? 2 . ∴ Tn ? 12 ? ( ) ? (2n ? 1)( ) 2 2 2
(3) cn ? nt n lg t ,∵数列 ?cn ? 中的每一项总小于它后面的项,

17

∴ cn?1 ? cn 对 n ? N 恒成立. ∴ (n ? 1)t n?1 lg t ? nt n lg t ,
*
* ∵ 0 ? t ? 1 ,∴ lg t ? 0, t n ? 0 ,∴ (n ? 1)t ? n 对 n ? N 恒成立.

n n 1 * ) min . ∵ ? 1? 在 n ? N 时单调递增, n ?1 n ?1 n ?1 n 1 1 ) min ? , ∴ 0 ? t ? . ∴( n ?1 2 2
∴t ? (

专题十
1 1. ( ??, ?4) ? [ , ??) 2. [0, ??) 2
5.

不等式(一)
3.5 4. ( ??, ? ) ? ( , ?? ) 7.27 万 元 8. x ? 3或x ? ?1

1 3

1 2

?7 ? m ? 24
(0, 1] U [ 4 , ? ?) 3

6.

??1?

[3,+?)
2 3 3
11.

9.

10. m ? ?

3 2

12. (?2,1)

13. ( -4,0 )

n n ?? 1 ?n ? ? 1 1 ? ?1? ?1? 2 14. (-?, -1] 提示:由 x ? x ? ? ? ? 0 得 x ? x ? ? ? ,而数列 ?? ? ? 是一个减 2 2 ?2? ?2? ? ?? 2 ? ? ? 1 1 2 数列,所以 x ? x ? ,从而 ? ? ?1 . 2 2 2

15.当 a =0 时,不等式的解为 x>1; 当 a≠0 时,分解因式 a(x- 1 )( x -1)<0, a 当 a<0 时,原不等式等价于(x- 1 )(x-1)>0,不等式的解为 x>1 或 x< 1 ; a a 当 0<a<1 时,1< 1 ,不等式的解为 1<x< 1 ; a a 当 a>1 时, 1 <1,不等式的解为 1 <x<1; a a 当 a=1 时,不等式的解为 ?.

a a ?1 ? x 16. (1) f ( x) ? lg( , ? 1) ? lg 1? x 1? x
∵ f ( x) 是奇函数,∴ f (? x) ? ? f ( x) . 即 lg

a ?1 ? x a ?1? x a ?1 ? x 1? x .∴ . ? ? lg ? 1? x 1? x 1? x a ?1 ? x

(a ? 1)2 ? x2 ? 1 ? x2 .∴a ? 2 或 a ? 0.

经检验,a ? 0 不合题意;
18

当 a ? 2 时, f ( x) ? lg 综上所述,a ? 2. 由

1? x 是奇函数. 1? x

1? x ? 0 ,得 ? 1 ? x ? 1. 1? x

∴函数 f ( x) 的定义域为(?1,1) . (2) f ( x) ? ?1 ,即 lg ∴

1? x ? ?1. 1? x

1? x 1 ? . 1 ? x 10 9 . 11 9 ) . 11

∴?1 ? x ?

∴原不等式的解集为(?1,

17. f ( x) ? x ? a( x ? 1)( x ? 2), 则 f ( x) ? ax2 ? (3a ? 1) x ? 2a ,又 f ( x ) 的最大值为正数, 所以 a ? 0 且

8a 2 ? (3a ? 1)2 ? 0, 4a

得 a ? ?3 ? 2 2或-3+2 2 ? a ? 0 . 18.(1)设下调后的电价为 x 元/ kW ? h ,依题意知,用电量增至

k ? a ,电力部门的 ( x ? 0.4)

收益变为 y ? (

k ? a)( x ? 0.3)(0.55 ? x ? 0.75) . x ? 0.4

(2)依题意,有

? 0.2a ? a )( x ? 0.3) ? [ a ? (0.8 ? 0.3)](1 ? 20%), ? x2 ? 1.1x ? 0.3 ? 0, ?( 整理得 ? ? x ? 0.4 ? ?0.55 ? x ? 0.75, ?0.55 ? x ? 0.75,
解此不等式,得 0.6 ? x ? 0.75 . 答:当电价最低为 0.6 元/ kW ? h ,仍可保证电力部门的收益比上年至少增长 20%. 19. (1)

x2 -mx+m-1=(x-1)[x-(m-1)], ? f (x)<0 ? (x-1)[x-(m-1)]<0 .

当 m < 2 时,解集为 (m - 1,1);当 m = 2 时,解集为 ?;当 m > 2 时,解集为 (1, m - 1) .

x2 x2 1 ? ( x ? 1) ? ?2, (2)由 f ( x) ? ?1 得 x ? mx ? m ? 0, m ? ,m ? x ?1 x ?1 x ?1
2

求得 m ? 4 .

19

(3)因为 x 2 ? mx ? m ? 1 ? ( x ?

m 2 m m m ) ? m ? 1 ? ( ) 2 ? ( x ? ) 2 ? ( ? 1) 2 ? ( x ? 1)( x ? m ? 1). 2 2 2 2

令 f ( x) ? 0, 则 x1 ? 1, x2 ? m ? 1 . 因为 a ? f ( x) ? b 的解集为 ?x | a ? x ? b? , 所以当 m ? 2 时, a ? 1, b ? m ? 1 ,当 m ? 2 时, a ? m ? 1, b ? 1. 20. (1)设 Q ( x, y ) ,则 P(? x, ? y ) ,所以 ? y ? log a (1 ? x) , 得 g ( x) ? ? log a (1 ? x) , 所以 loga (1 ? x) ? 2log a (1 ? x) ? 0 ,即 loga (1 ? x) ? 2loga (1 ? x) ? log a (1 ? x)2 .

? 1 ? x ? 0, ? 因为 0 ? a ? 1 ,所以 ? 1 ? x ? 0, 解得 ?1 ? x ? 0 . ?1 ? x ? (1 ? x ) 2 , ?

(1 ? x)2 (2)由条件,得 m ? log a . 1? x
记p?

4 (1 ? x)2 (0 ? x ? 1) ,设 t ? 1 ? x ,则 0 ? t ? 1, p ? t ? ? 4 . t 1? x

因为当 0 ? t ? 1 时, p ? t ?

4 4 ? 4 是一个减函数,所以 p ? 1 ? ? 4 ? 1 ,当且仅当 t ? 1 , t 1

即 x ? 0 时, p 取到最小值 1. 因为 a ? 1 ,所以 log a p 是一个增函数,所以 log a p ? 0 , 所以 m ? 0 .

专题十一
1.3 2. (??, ?4] ? [4, ??) 3.9

不等式(二)
4. a ? 3 12. 5.4 6.7 7.4 8. (0, 2)

9.5400 10. 13. ( ?

1 2

11. (- ? , 1] 14.
2 ?1 2

[1, + )

? ??,0? ?4, ???

23 ,?? ) 5
(2)

? 1? 15.(1) ? 0, ? ? 4?

17 4

20

16. (1)由题意,得 mx ? 2 x ? 2 ? 0 的解集为 R,? ?
2

? m ? 0, 1 ?m ? . . 2 ?4 ? 8m ? 0,

(2) Q g ( x) ? ?1 ?

3 在 ? 0,1? 上单调递减, x ?1

?1 ? ? g ( x) ? ? , 2 ? . ?2 ?
f ( x) ? 2 ? mx 2 ? 2 x ? 2 ? 4 ? m ? 2( 1 1 ? ) . x2 x

1 ?1 ? 1 1 设t ? ? ? , 2? , 则y ? 2(t 2 ? t ) ? 2(t ? )2 ? , x ?2 ? 2 2

? ymax ? 12,? m ? 12 .
17. 5 . ?? f ( 2 ) ? 1 0 18.设直角△ABC 的两直角边为 x,y,则斜边为 x 2 ? y 2 ,面积 S= ∴L= x ? y ? x 2 ? y 2 ≥ 2 xy ? 2xy ? 2 2S ? 2 S . ∴4S≤

1 xy, 2

L2 ( 2 ? 1)
2

? (3 ? 2 2) L2 .当且仅当 x = y =

L 时取等号. 2+ 2

19. (1)由题意,得 10(1000 ? x)(1 ? 0.2 x 0 0) ≥ 10 ? 1000 , 即 x2 ? 500 x ≤ 0,又 x ? 0, 所以 0 ? x ≤ 500. 即最多调整 500 名员工从事第三产业. (2)从事第三产业的员工创造的年总利润为 10(a ? 总利润为 10(1000 ? x)(1 ? 所以 ax ?

3x ) x 万元,从事原来产业的员工的年 500

1 3x x) 万元,则 10(a ? ) x ≤10(1000 - x)(1 ? 0.2 x 0 0) , 500 500

1 2 3x2 2 x2 x ,所以 ax ≤ ≤1000 ?2 x ? x ? ? 1000 ? x , 500 500 500 2x 1000 即a≤ ? ? 1 恒成立, 500 x
2 x 1000 2 1000 ?4, x? ≥2 500 x 500 x 2 x 1000 当且仅当 ,即 x ? 500 时等号成立. ? 500 x

因为

所以 a ≤ 5 ,又 a > 0 ,所以 0 ? a ≤ 5 ,

21

即 a 的取值范围为 (0,5] . 20.(1)当 x<0 时,-x>0, ∵f(x)为 R 上的偶函数,当 x≥0 时,f(x)=ln(x+2), ∴f(x)=f(-x)=ln(-x+2). (2)当 x≥0 时,f(x)=ln(x+2)单调递增,而 f(x)是偶函数,所以 f(x)在(-∞,0) 上单调递减,所以若 f(m-1)>f(3-m),则|m-1|>|3-m|,(m-1)2>(3-m)2 ,m>2,

所以当 m>2 时,f(m-1)>f(3-m);当 m=2 时,f(m-1)=f(3-m);当 m<2 时,f(m-1) <f(3-m). (3)当 x∈R 时,f(x)=ln(|x|+2),则由 f(x+t)≤2ln|x+3|, 得 ln(|x+t|+2)≤ln(x+3)2,即|x+t|+2≤(x+3)2 对 x∈[m,10]恒成立. 从而有 t ? x2 ? 5x ? 7, t ? ? x2 ? 7 x ? 7 对 x∈[m,10]恒成立. 因为 m≥-2,所以 t ? ( x2 ? 5x ? 7)min ? m2 ? 5m ? 7, t ? (? x2 ? 7 x ? 7)max ? ?m2 ? 7m ? 7 . 因为存在这样的 t,所以-m2-7m-7≤m2+5m+7,即 m2+6m+7≥0, 又 m≥-2,所以适合题意的最小整数 m=-1.

专题十二
1.16 9.4 2.3 3.20 4. i ? 1007 10.60 11.

算法、概率、统计
2 5.9 6.70 7. 9
13.54 14. n ? 5 8.84,82 84,84

2 3

12.

9 32

15.6 只球中任摸 2 球的方法有 15 种. (1)2 只球都是红球的方法有 1 种,2 只球都是红球的概率 ? (2)2 只球同色的概率 ?

1 . 15

3 1 ? . 15 5 2? 4 8 1 ? , “2 只球都是白球”的概率 ? , 15 15 15

(3) “恰有 1 只球是白球”的概率 ?

所以“恰有 1 只球是白球”的概率是“2 只球都是白球”的概率的 8 倍. 16.⑴在所给数据中,降雨量为 110 毫米的有 3 个,为 160 毫米的有 7 个,为 200 毫米的 有 3 个,故近 20 年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 频率 ⑵
22

70

110

140

160

200

220

1 20

3 20

4 20

7 20

3 20

2 20

P("发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时") =P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210) = 1 3 2 3 ? ? ? 20 20 20 10

故今年六月份该水力发电站的发电量低于 490(万千瓦时)或超过 530(万千瓦时)的概率 为

3 . 10

17.⑴派 B 参加比较合适.理由如下:

xB = xA =

1 ?78 ? 79 ? 88 ? 84 ? 82 ? 81 ? 93 ? 95 ?=85, 8
1 ?75 ? 80 ? 80 ? 83 ? 85 ? 90 ? 92 ? 95 ?=85, 8

1 sB 2 ? [(78 ? 85)2 ? (79 ? 85) 2 ? (88 ? 85) 2 ? (84 ? 85) 2 ? (82 ? 85) 2 8 ?(81 ? 85) 2 ? (95 ? 85) 2 ? (93 ? 85) 2 ] ? 35.5, 1 s A2 ? [(75 ? 85) 2 ? (80 ? 85) 2 ? (80 ? 85) 2 ? (83 ? 85) 2 ? (85 ? 85) 2 8 ?(90 ? 85) 2 ? (92 ? 85) 2 ? (95 ? 85) 2 ] ? 41,

x A ? xB , s2B ? s2 A , ∴ B 的成绩较稳定,派 B 参加比较合适.
⑵任派两个,情况如下:

( A, B),( A, C),( A, D),( A, E),( B, C),( B, D),( B, E),(C, D),(C, E),( D, E) ,共10 种情况;
A, B 两人都不参加的情况为 (C, D),(C, E ),( D, E ) ,有 3 种.至少有一个参加的对立事件
是两个都不参加,所以 P ? 1 ?

3 7 ? . 10 10

18.(1) 第四小组的频率是 1 ? (0.1 ? 0.3 ? 0.4) ? 0.2 ,因为第一小组的频数为 5 ,第一小组 的频率为 0.1 ,所以参加这次测试的学生人数为 5 ? 0.1 ? 50 (人) . (2) 0.3 ? 50 ? 15,0.4 ? 50 ? 20,0.2 ? 50 ? 10 ,则第一、二、三、四小组的频数分别为

5,15, 20,10 ,所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内.
(3) 跳绳成绩的优秀率为 (0.4 ? 0.2) ?100% ? 60% . 19. (1)得一等奖的概率 ?

1 . 107

(2)如果一等奖号码为 1234567,则二等奖号码可以为 X234567(X ? 1)及 123456X(X ? 7) 共有 18 种可能, 三等奖的号码为 XY34567 (Y ? 2) , 或 X23456Y ( X ? 1 且 Y ? 7) 或 12345XY
23

(X ? 6) ,共有 90+81+90=261 种可能.故得三等奖及以上的概率 ?

20.⑴由茎叶图知,分数在 ?50 , 60? 之间的频数为 2 ,频率为 0.008 ? 10 ? 0.08 , 全班人数为
2 ? 25 . 0.08

1 ? 18 ? 261 28 ? 6. 107 10

所以分数在 ?80 , 90? 之间的频数为 25 ? 2 ? 7 ? 10 ? 2 ? 4 . ⑵分数在 ?50 , 60? 之间的总分为 56 ? 58 ? 114 ; 分数在 ?60 , 70? 之间的总分为 60 ? 7 ? 2 ? 3 ? 3 ? 5 ? 6 ? 8 ? 9 ? 456 ; 分数在 ?70 , 80? 之间的总分数为
70 ? 10 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 747 ;

分数在 ?80 , 90? 之间的总分约为 85 ? 4 ? 340 ; 分数在 [90 , 100] 之间的总分数为 95 ? 98 ? 193 , 所以该班的平均分数为
114 ? 456 ? 747 ? 340 ? 193 ? 74 . 25

估计平均分时,以下解法也可以: 分数在 ?50 , 60? 之间的频率为 分数在 ?60 , 70? 之间的频率为 分数在 ?70 , 80? 之间的频率为 分数在 ?80 , 90? 之间的频率为 分数在 [90,100] 之间的频率为
2 ? 0.08 ; 25 7 ? 0.28 ; 25 10 ? 0.40 ; 25

4 ? 0.16 ; 25 2 ? 0.08 ; 25

所以该班的平均分约为 55 ? 0.08 ? 65 ? 0.28 ? 75 ? 0.40 ? 85 ? 0.16 ? 95 ? 0.08 ? 73.8 . 频率分布直方图中 ?80 , 90? 间的矩形的高为
4 ? 10 ? 0.016 . 25

⑶将 ?80 , 90? 之间的 4 个分数编号为 1 , 2 , 3 , 4 , ?90 , 100? 之间的 2 个分数编号为 5 , 6 ,在

?80 , 100 ? 之间的试卷中任取两份的基本事件为:
(2, 3) ,? 2 , 4? ,? 2 , 5? ,? 2 , 6? ,? 3 , 4? ,? 3 , 5? , ?1 , 2 ? ,?1 , 3? ,?1 , 4 ? ,?1 , 5? ,?1 , 6 ? , (5,6) ,共 15 个, ? 3 , 6 ? , ? 4 , 5? , ? 4 , 6 ? , 其中,至少有一个在 ?90 , 100? 之间的基本事
9 ? 0.6 . 15

件有 9 个,故至少有一份分数在 ?90 , 100? 之间的概率是

专题十三 自 我 检 测 (一)
24

1. ?3, +? ? 2. (0,1) 7.
1 3

(1,10) (10, ??) 3.

1 6

4. m ? ? 5 11.

5.

21 4

6. 2或2 5

1 3

8.2

9.33

10. y ? 2sin(3 x ? π ) ? 3 4

4 5

12.8 提示:函数 y ? loga ( x ? 3) ?1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A(?2, ?1) ,

(?2) ? m ? (?1) ? n ? 1 ? 0 , 2m ? n ? 1 , m, n ? 0 ,

1 2 1 2 n 4m n 4m ? ? ( ? ) ? (2m ? n) ? 4 ? ? ? 4?2 ? ? 8. m n m n m n m n
13.-2

2 x ? y ? 1 ? 0, ? ? 2 x ? y ? 1 ? 0, ? ? 提示:由条件,得 ? 即 ? 3 y ? x ? 2 ? 0, 画出可行域,求出目标函数 3 y ? x ? 2 ? 0, ?2 x ? y ? 1 ? 3 y ? x ? 2, ?3x ? 4 y ? 1 ? 0, ? ?
z ? x ? y 的取值范围,从而得 ? ? ?2 , ? 的最大值为-2.

1 4 6 x?5 15.由 ? 1, 得 ? 0. ∴-1<x≤5,∴A= ?x | ?1 ? x ? 5?. x ?1 x ?1
14. a ? (1)当 m=3 时,B= ?x | ?1 ? x ? 3?,则 RB= x | x ? ?1或x ? 3 , ∴A ? ( RB)= ?x | 3 ? x ? 5?. (2)∵A= ?x | ?1 ? x ? 5?, A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 4?, ∴有 42 ? 2 ? 4 ? m ? 0 ,解得 m ? 8 . 此时 B= ?x | ?2 ? x ? 4? ,符合题意,故实数 m 的值为 8 . 16. f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x)2 ? 2cos2 ? x ? sin 2 ? x ? cos2 ? x ? sin 2? x ? 1 ? 2cos 2? x

?

?

π ? sin 2? x ? cos 2? x ? 2 ? 2 sin(2? x ? ) ? 2 4 .
依题意,得

2? 2? 3 ,故 ? 的值为 . ? 2 2? 3
π π? ? 2 sin ?3( x ? ) ? ? ? 2 ? 2 4? ? 2 sin(3 x ? 5π )?2 4 .
(k ? Z ) .

⑵依题意,得 g ( x) ? 由 2 k? ?

π 5π π ≤ 3 x ? ≤ 2 k? ? (k ? Z) ,得 2 k? ? ? ≤ x ≤ 2 k? ? 7? 2 4 2 3 4 3 12

25

故 y ? g ( x) 的单调增区间为: [ 2 k? ? ? , 2 k? ? 7? ] 3 4 3 12 17.⑴∵a∥b,∴

(k ? Z ) .

3 3 cos x ? sin x ? 0 ,∴ tan x ? ? 2 2.

2 cos2 x ? sin 2 x ?

2 cos2 x ? 2 sin x cos x 2 ? 2 tan x 20 ? ? . sin 2 x ? cos2 x 1 ? tan2 x 13

⑵∵a∥b

f ( x) ? (a ? b) ? b ?

2 ? sin(2 x ? ) , 2 4
3? ? ? ? 2 ? 2 x ? ? ,∴ ?1 ? sin(2 x ? ) ? 4 4 4 4 2 .
? 2 1? f ( x)的值域为?? , ? ? 2 2?

∵?

?
2

? x ? 0 ,∴ ?



?

2 1 ? f ( x) ? 2 2

.

∴函数

.

18.⑴ an?1 ? 2an ? 2n ,则 bn ?1 ? bn ?

an?1 an an ?1 ? 2an 2n ? ? ? n ?1 , 即 2n 2n ?1 2n 2

bn?1 ? bn ? 1 ,则 bn 为等差数列, b1 ? 1 ,
∴ bn ? n , an ? n2n?1 . ⑵ Sn ? 1? 20 ? 2 ? 21 ?

? (n ?1) ? 2n?2 ? n ? 2n?1 ,

2Sn ? 1? 21 ? 2 ? 22 ?
两式相减,得

? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n ’

Sn ? n ? 2n ?1? 20 ? 21 ? ? 2n?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1.
19 . (1) 设 画 面 的 高 为 x , 则 宽 为 l x( 0< l < 1 ) , 所 以 l x 2 = 4840 . 纸 张 面 积

S = ( x+ 1 6 ) l ( x + 1 0= )l 2

+
5 ) l

(1 l 6 +

x 10 + )

将 1 6x 0= ,

22 10 代 入 上 式 , 得 l

S = 5000 + 44 10(8 l +

6760, 当且仅当 l =

5 时取等号, 8

26

此时,画面的高为 88 cm,宽为 55 cm. 所以当宽为 55 厘米,高为 88 厘米时,宣传画的所用纸张面积最小. (2)如果 ? ?

? 2 3 ? ,上式等号不成立,在 ?2 3? , ? ? ? ? , ? 时,纸张面积 S 是一个增函数,所以 ? ?3 4? ?3 4?

l =

2 时,纸张面积 S 取到最小值. 3


20. (1)取 n=1,得 a2 a1 ? S2 ? S1 ? 2a1 ? a2 , 取 n=2,得 a2 ? 2a1 ? 2a2 ,
2

② ③

又②-①,得 a2 (a2 ? a1 ) ? a2 , 若 a2=0, 由①知 a1=0, 若 a2 ? 0,易知a2 ? a1 ? 1, ④ 由①④,得 a1 ?

2 ? 1, a2 ? 2 ? 2; a1 ? 1 ? 2, a2 ? 2 ? 2; 2 ? 1, a2 ? 2 ? 2;

(2)当 a1>0 时,由(1)知, a1 ? 当 所以 an= 2an?1 (n ? 2) .

S2+Sn, (2+ 2 )an-1=S2+Sn-1 .

所以 an ? a1 ( 2 ) n?1 ? ( 2 ? 1) ? ( 2 ) n?1 . 令 bn ? lg

10a1 1 100 , 则bn ? 1 ? lg( 2 ) n?1 ? lg n?1 . an 2 2

1 lg 2 为公差,且单调递减的等差数列. 2 10 ? lg1 ? 0 . 则 b1>b2>b3>?>b7= lg 8 1 100 1 ? lg1 ? 0 , 当 n≥8 时,bn≤b8= lg 2 128 2
所以数列{bn}是以 ? 所以当 n=7 时,Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为 T7=

( 7 b1 ? b7) 21 ? 7 ? lg 2 . 2 2

27

专题十四
1. ?2 2. 3 3. ?

自 我 检 测( 二)
5.2 6.

? 3(n ? 1), 4.-1 ?2n(n ? 1)
10.

17 ? 0.68 25

7.2

8. (?1, 2 ?1)

9. 2 sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?

41 78

11.10
41 78

12.

? 4
A
2

提示: 3OA ? 4OB ? ?5OC ,

9OA ? 16OB ? 24OA ? OB ? 25OC . OA ? OB ? OC , ? OA ? OB ? 0. ? OA ? OB. ??C ?
13.6 提示:如图建立平面直角坐标系, 设 M(x,y),则 AN ? AM ? 2x ? y , 则过 C(2,2)时,( AN ? AM ) max ? 6 . 14. ?1 15. (1)? B ? x ? 3 ? x ? 1 ? 2 ? x ? 2 ? x ? 3 ,
2 2 2

2

2

O B

C

?
4

.

?

? ?

?

? A ? B ? ?x 1 ? x ? 3?,

(痧 ( U B) ? ? x x ? 1, 或x ? 3? . U A)
(2)由题意: 2k ? 1 ? 1 或 2k ? 1 ? ?4 ,

5 . 2 3 4 4 3 16.(1)∵ A 的坐标为 ( , ) ,根据三角函数的定义可知, sin ? ? , cos ? ? , 5 5 5 5
解得 k ? 1 或 k ? ?


1 ? sin 2? 1 ? cos 2?



49 18



(2)∵ ?AOB 为正三角形,∴ ?AOB

? 60? .

28

∴ cos ?COB ? cos(?

? 60?) ? cos ? cos 60? ? sin ? sin 60? =

3?4 3 10



∴ BC ? OC ? OB ? 2 OC gOB gcos ?COB = 1 ? 1 ? 2 ?

2

2

2

3?4 3 7 ? 4 3 = . 10 5

17. (1)∵f(x+2)=-f(x),∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)当 x∈[-2,0]时,-x∈[0,2], 由已知 f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又 f(x)为奇函数, ∴-f(x)=-2x-x2.∴f(x)=x2+2x.当 x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0]. ∴f(x-4)=(x-4)2+2(x-4),又 f(x)是周期为 4 的周期函数, ∴f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8, ∴x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8. (3)∵f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.又 f(x)是周期为 4 的周期函数. ∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7) =?=f(2004)+f(2005)+f(2006)+f(2007) =f(2010)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=0. ∴f(0)+f(1)+?+f(2011)=0+?+0=0. 18.⑴ f ( x) ? 3 sin

x x x 3 1 ? cos x cos ? cos 2 ? 1 ? sin x ? ?1 2 2 2 2 2

?
∵ f ( x) ?

3 1 1 ? 1 sin x ? cos x ? ? sin( x ? ) ? . 2 2 2 6 2
11 ? 3 ? ? ? ? ? 4 ,∴ sin( x ? ) ? ; 又∵ x ? [0, ] , ∴ x ? ? [? , ] , 即 cos( x ? ) ? 10 6 5 2 6 6 3 6 5.

? ? ? ? ? ? 4 3 3 . ? cos x ? cos[( x ? ) ? ] ? cos( x ? ) cos ? sin( x ? )sin ? ? 6 6 6 6 6 6 10 10
⑵ 由 2b cos A ? 2c ? 3a ,得 2sin B cos A ? 2sin c ? 3 sin A

? 2sin B cos A ? 2sin( A ? B) ? 3 sin A, ? 2sin B cos A ? 2 ?sin A cos B ? cos A sin B ? ? 3 sin A, ? 2sin A cos B ? 3 sin A,? cos B ?
∴ sin( B ?

3 ? ?? ,? B ? ? 0, ? . 2 ? 6?
.

?

1 ? 1 1 ) ? (? , 0] ,即 f ( B) ? sin( B ? ) ? ? f ( B) ? (0, ] 6 2 6 2 2

19. (1)因为每件商品售价为 50 元,则 万件商品销售额为 50 万元,依题意得:
29

1 2 1 x ? 10 x ? 250 ? ? x 2 ? 40 x ? 250 ; 3 3 10000 10000 ? 1450 ? 250 ? 1200 ? ? x, 当 x ? 100 时, L( x) ? 50 x ? 51x ? x ?8 x ?8
当 0 ? x ? 100 时, L( x) ? 50 x ?

? 1 2 ? x ? 40 x ? 250(0 ? x ? 100), ? ? 3 L( x ) ? ? 所以 ?1200 ? 10000 ? x( x ? 100). ? x ?8 ?

(2)当 0 ? x ? 100 时, 此时,当 当 x ? 100 时, 时, 取得最大值 万元.

10000 10000 ? x ? 1200 ? ( ? x ? 8) ? 8 x ?8 x ?8 10000 ? 1192 ? 2 ( x ? 8) ? 1192 ? 200 ? 992, x ?8 L( x) ? 1200 ?


10000 ? x ? 8 时,即 x ? 108 时 x ?8

取得最大值 992 万元.

因为 950 ? 992, 所以当产量为 108 万件时,该厂在这一商品中所获利润最大,最大利润为 992 万元.
2 2 20.(1)由 Sn ? (n2 ? n ?1)Sn ? (n2 ? n) ? 0 ,得 ? ? S n ? ( n ? n) ? ? ( S n ? 1) ? 0 .

由于 ?an ? 是正项数列,所以 Sn ? 0, Sn ? n ? n .
2

于是 a1 ? S1 ? 2, n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? (n ?1)2 ? (n ?1) ? 2n . 综上,数列 ?an ? 的通项 an ? 2n . (2)由于 an ? 2n, bn ?

n ?1 1 ?1 1 ? n ?1 ,则 bn ? . ? ? 2? 2 2 2 2 (n ? 2) an 4n (n ? 2) 16 ? n (n ? 2)2 ? ?

Tn ? ?

1 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? …? ? ? 2? ? 2 2 16 ? 3 2 4 3 5 (n ? 1) (n ? 1) n (n ? 2)2 ? ?

1 ? 1 1 1 ? 1 1 5 . 1? 2 ? ? ? (1 ? 2 ) ? ? 2 2? 16 ? 2 (n ? 1) (n ? 2) ? 16 2 64
30

31


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