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3.1空间向量及其加减与数乘运算 课件


复习回顾: 平面向量

这是什么?

向量

1.定义: 既有大小又有方向的量; 几何表示法:用有向线段表示;

? 字母表示法:用小写字母表示,如 a ;
或者用表示向量的有向线段的起点和终点 ??? ? 字母表示,如 AB . 相等向量:长度相等且方向相同的向量.
B A C

D

2、平面向量的加法、减法与数乘运算
b

b

a
向量加法的三角形法则

a
向量加法的平行四边形法则

a
b a
向量减法的三角形法则

ka ka

(k>0)

(k<0)

向量的数乘

3、平面向量的加法、减法与数乘运算律
加法交换律:

a?b ?b?a (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) k (a ? b) ? k a+k b

加法结合律:

数乘分配律:

推广: (1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量.

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0

问题 1:

C
向上

B
正北

如图:已知 OA=6 米, AB=6 米,BC=3 米, 那么 OC=

O

正东

A
F2

?

问题 2:

已知F1=10N,

F2=15N,F3=15N

F3

这三个力两两之间 的夹角都为900, 它们的合力的大小 为多少N?
F1

这需要进一步来认识空间中的向量

空间向量的有关概念: 空间向量:在空间中,具有大小和方向的量. ? ? ?

常用 a 、 、 ……等小写字母来表示. b c ? ? 1.向量 a 的大小叫做向量的长度或模,记为 a . ??? ? ??? ? 2.可用一条有向线段 AB 来表示向量,向量 AB ??? ? 的模又记为 AB 就是线段 AB 的长度.

B
起点

终点

? a

? c ? b

A

3.(1)我们规定,长度为0的向量叫做零向量, ? 记为 0 ;模为1的向量称为单位向量.

? (2)与向量 a 长度相等而方向相反的向量, ? ? 称为 a 的相反向量,记为 ? a ;
(3)方向相同且模相等的向量称为相等向量.

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
加法 减法 数乘 运算 运 算 律 加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka, k为正数,负数,零

空间向量

概念 平面中,具有大小和方向的量 空间中,具有大小和方向的量

加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

C

a b
O

+
A

b

B

OB ? OA ? AB

a
ka

CA ? OA ? OC
空间向量的加减法

(k>0)
空间向量的数乘

ka

(k<0)

思考:空间任意两个向量是否可能异面?
B

b

O

A

思考:它们确定的平面是否唯一?

a
结论:空间任意两个向量都是共面的,所以它们可用 同一平面内的两条有向线段表示; 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题,平面向量中有 关结论仍适用于它们;

空间向量及其加减与数乘运算
平面向量
概念 定义 表示法 相等向量 加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka,k为正数,负数,零 运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a
加法结合律

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 平行四边形法则 减法:三角形法则
数乘:ka,k为正数,负数,零 加法交换律 a ? b ? b ? a 成立吗? 加法结合律 数乘分配律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

k (a ? b) ? k a+k b

向量加法结合律在空间中仍成立吗? ( a + b )+ c = a +( b + c )
O a A b B a b
+

O

c

C A c
b

C

B

c

(平面向量)

空间中
O

向量加法结合律:
O

( a + b )+ c = a +( b + c )
a
A

a b
C
A +

c
B

C

b

B

c

b

c

(空间向量)

推广:

(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始 向量的起点指向末尾向量的终点的向量;

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An

(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图 形,则它们的和为零向量.

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An A1 ? 0

F2

F1=10N F2=15N F3 F1 F3=15N

D1 A1 B1

C1

a
D A C B D B C

A

平行六面体:平行四边形ABCD平移向量

a

到A1B1C1D1的轨迹所形成的几何体. 记做平行六面体ABCD-A1B1C1D1

例1:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1,化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量.(如图)
(1) AB ? BC ( 2) AB ? AD ? AA1 1 (3) ( AB ? AD ? AA1 ) 3 1 ( 4) AB ? AD ? CC1 2
解:) AB ? BC AC; (1 =
A D B A1 D1 B1 M C1

G
C

(2) AB ? AD ? AA ? AC ? AA ? AC ? CC1 ? AC1 1 1

始点相同的三个不共面向量之和,等于以这三个向量 为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示向量

??? ??? ???? ? ? ???? ???? ???? ? ? (5)用AB, , 1表示AC, 1及DB1. AD AA 1 BD
D1 A1
B1

C

D A
B

C

小结

类比思想

数形结合思想

平面向量
概念 定义 表示法 相等向量

空间向量
具有大小和方向的量

加法:三角形法则或 加法 平行四边形法则 减法 数乘 减法:三角形法则 运算 数乘:ka, k为正数,负数,零 数乘:ka, k为正数,负数,零
运 算 律
加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律 加法交换律 a ? b ? b ? a 加法结合律

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

(a ? b) ? c ? a ? (b ? c) 数乘分配律 k (a ? b) ? k a+k b

定义: 数乘空间向量的运算法则
? ? a 仍然是一个向量.

? 与平面向量一样,实数 ? 与空间向量 a 的乘积

? ? ⑴当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相同; ? ? ⑵当 ? ? 0 时, ? a 与向量 a 的方向相反; ? ⑶当 ? ? 0 时, ? a 是零向量.

例如:
? 3a

? a

? ?3a

显然,空间向量的数乘运算满足分配律 及结合律 ? ? ? ?

即:? (a ? b) ? ? a ? ? b ? ? ? (? ? ?) ? ? a ? ? a a ? ? ? (? a) ? (?? )a 其中?、?是实数.

类似于平面向量,为了研究的方便起见,我们规定: 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行 向量、共面向量等概念.(你认为应该怎样规定?)

定义:表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合,则称这些向量叫共线向量.(或平行向量)

? ? ? ? 思考⑴:对空间任意两个向量 a 与 b ,如果 a ? ? b ,那 ? ? 么 a 与 b 有什么关系?反过来呢?

向量共线定理
类似于平面,对于空间任意两个 ? ? ? ? 向量 a , b ( b ? 0 ), ? ? ? ? a // b ? 存在唯一的 ? ? R , a ? ? b .

? b

? c ? a

由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题

A、B、P三点共线的充要条件
A、B、P三点共线

??? ? ??? ? AP ? t AB
??? ???? ??? ? ? OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)

??? 1 ??? ??? ? ? ? OA ? OB 中点公式:若P为AB中点, 则 OP ? 2

?

?

B

P
A

O

共面向量定义
平行于同一平面的向量,叫做共面向量.

b c a

d

注意:空间任意两个向量是共面的,但空间 任意三个向量 既可能共面,也可能不共面

? ? a e2 ? e1

那么什么情况下空间三个向量共面呢? ? ? 由平面向量基本定理知,如果 e1,e 2

是平面内的两个不共线的向量,那么 ? 对于这一平面内的任意向量 a ,有且 ? ? ? 只有一对实数 ?1 , 2 使 a ? ? e ? ? e
1 1 2
2

面,那么可将三个向量平移到同一平面 ,则 有 p ? x? ? yb

? 如果空间向量 p 与两不共线向量 a , 共 b

? 反过来,对空间任意两个不共线的向量 a , ,如 b ?? ? 果 p ? x? ? yb ,那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系?

?C b? A aB

? ? ?? ? xa, yb分别与a, b共线, ? ? ?? ? xa, yb都在a, b确定的平面内 ?? 并且此平行四边形在a, b确定的平面内,

?? p

P

? ? ? ? ?? ? ?? ? ? p ? xa ? yb在a, b确定的平面内即p与a, , b共面

? 共面向量定理:如果两个向量 a , 不共线, b
?? ? 则向量 p 与向量 a , 共面的充要条件是 b
存在唯一的实数对x,y使

? ? ? ? p ? xa ? yb

?C b ? A a B

?? p

P

空间四点P、A、B、C共面
???? ???? ???? ? 存在唯一实数对(x , y) 使得AP ? x AB ? y AC , ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中,x ? y ? z ? 1)

?C b? A a B

C'

?? p

P

O

例1、给出以下命题:
(1)两个空间向量相等,则它们的起点、终点相同;

? ? ? ? ?? (2)若空间向量 a、 满足| a |?| b |则 a ? b ; b

??? ???? ? ? (3)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1中,必有AC ? AC1 ; 1 ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 、 、 (4)若空间向量 m n p 满足m ? n, n ? p ,则 m ? p ;

(5)空间中任意两个单位向量必相等. 其中不正确命题的个数是( A.1 B.2 C.3 C ) D.4

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值.

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC
(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1 (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1
D A A1

D1 B1

C1

C B

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值.

(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C ? x AC 解(1) AB1 ? A1 D1 ? C1C
? AB1 ? B1C1 ? C1C ? AC ? x ? 1.
A D A1

D1 B1

C1

C B

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值.
(2) 2 AD1 ? BD1 ? x AC1
(2) 2 AD1 ? BD1

? AD1 ? AD1 ? BD1 ? AD1 ? (BC1 ? BD1 ) ? AD1 ? D1C1 ? AC1
A1 D1 B1 C1

? x ? 1.
A

D B

C

例2:已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1, 求满足下列各式的x的值. (3) AC ? AB1 ? AD1 ? x AC1

(3) AC ? AB1 ? AD1
? ( AD ? AB) ? ( AA1 ? AB) ? ( AA1 ? AD) ? 2( AD ? AB ? AA1 )
? 2AC1
D1 A1 B1 C1

? x ? 2.
A

D B

C

练习1

在空间四边形ABCD中,点M、G分别是BC、CD 边的中点,化简
A

1 (1) AB ? ( BC ? BD) 2 1 (2) AG ? ( AB ? AC) 2

D

G B M C

练习2 在立方体AC ,中,点E是面A ’ C’ 的中心,求下列各式 中的x,y.
A E B C D

(1) AC ' ? x( AB ? BC ? CC ' ) (2) AE ? AA ? x AB ? y AD
'

A

D

B

C

例4:
1.下列命题中正确的有:B
? ? ? ? ? ? ? ? (1) p ? xa ? yb  p 与 a 、 共面 ; ? b ? ? ? ? ? ? ? ? (2) p 与 a 、 共面 ? p ? xa ? yb  b ;

???? ? ???? ? ???? ? (3) MP ? xMA ? yMB ? P、M、A B共面; 、

???? ? ???? ? ???? ? (4) P、M、A、B共面 ? MP ? xMA ? yMB ;

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

2.对于空间中的三个向量
它们一定是: A

???? ???? ? ? ???? ???? ? ? MA 、MB 、 MA MB 2 -

A.共面向量
C.不共面向量

B.共线向量

D.既不共线又不共面向量

3.已知点M在平面ABC内,并且对空间任 ???? ? ??? ? 1 ??? 1 ???? ? 意一点O, OM ? xOA + OB + OC ,则x 2 6 的值为:D

A. 1

B. 0

C. 3

1 D. 3

4.已知A、B、C三点不共线,对平面外一点 O,在下列条件下,点P是否与A、B、C共面?

??? ? ??? ? ??? ???? ? (2) OP ? 2OA ? 2OB ? OC ;

??? 2 ??? 1 ??? 2 ???? ? ? ? (1) OP ? OA ? OB ? OC ; 5 5 5

例5. 如图,已知平行四边形ABCD,过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD,在 四条射线上分别取点E、F、G、H,并且使 O OE OF OG OH

求证:

OA

?

OB

?

OC

?

OD

? k,

D
B H F

C
G

A ⑴四点E、F、G、H共面;

⑵平面EG//平面AC.
E

小结
共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量, 行或重合 叫做共面向量.
定理 ? ? ? ? a / /b (b ? 0)

? a ? ?b

? ??? ? a, b, p
共面

p ? x? ? yb

推论

OP ? OA ? t AB ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)

OP ? OA ?x AB ? y AC
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC ( x ? y ? z ? 1)

运用 判断三点共线,或两 判断四点共面,或直线 直线平行 平行于平面

作业
??? ? ??? ? ? ? 如图,已知空间四边形 ABCD 中,向量 AB ? a , AC ? b , ??? ? ? AD ? c ,若 M 为 BC 的中点, G 为 △BCD 的重心, ? ? ? 试用 a 、 、 表示下列向量: b c ???? ? ???? ⑴ DM ⑵ AG A

D B M C G


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