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2017届北师大版 概率与统计的综合问题 专项强化训练


专项强化训练(六)
概率与统计的综合问题 1.(2015·桂林模拟)某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生作为 样本,将他们的期中考试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分 的整数)分成六组:[40,50),[50,60),?,[90,100]后得到如图的频率 分布直方图.

(1)求图中实数 a 的值. (2)若该校高一年级共有学生 500 人,试估计该校高一年级在考试中 成绩不低于 60 分的人数. (3) 若从样本中数学成绩在 [40,50) 与[90,100] 两个分数段内的学生 中随机选取两名学生,试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝 对值不大于 10 的概率. 【解析】(1)由 0.05+0.1+0.2+10a+0.25+0.1=1,可得 a=0.03. (2)数学成绩不低于 60 分的概率为:0.2+0.3+0.25+0.1=0.85,数学成 绩不低于 60 分的人数为 500×0.85=425(人). (3)数学成绩在[40,50)的学生人数:40×0.05=2(人). 数学成绩在[90,100]的学生人数:40×0.1=4(人).
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设数学成绩在[40,50)的学生为 A1,A2,数学成绩在[90,100]的学生为 A3,A4,A5,A6. 两名学生的结果 为:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3}, {A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4 ,A6},{A5,A6}.共 15 种,其中两名学生的数学成绩之差的绝对值不大 于 10 的情况有 {A1,A2},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6}共 7 种,因此,抽取的两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于 10 的概率 为
7 . 15

2.(2015· 长沙模拟)某电视台拟举行由选手报名参加的比赛类型的娱 乐节目,选手进入正赛前需通过海选,参加海选的选手可以参加 A,B,C 三个测试项目,只需通过一项测试即可停止测试,通过海选.若通过海 选的人数超过预定正赛参赛人数,则优先考虑参加海选测试次数少的 选手进入正赛.甲选手通过项目 A,B,C 测试的概率为分别为 , , ,且 通过各次测试的事件相互独立. (1)若甲选手先测试 A 项目,再测试 B 项目,后测试 C 项目,求他通过海 选的概率;若改变测试顺序,对他通过海选的概率是否有影响?说明理 由. (2)若甲选手按某种顺序参加海选测试,第一项能通过的概率为 p1,第 二项能通过的概率为 p2,第三项能通过的概率为 p3,设他通过海选时
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1 1 1 5 3 2

参加测试的次数为ξ ,求ξ 的分布列和期望(用 p1,p2,p3 表示);并说明 甲选手按怎样的测试顺序更有利于他进入正赛. 【解析】(1)依题意,甲选手不能通过海选的概率为

故甲选手能通过海选的概率为

若改变测试顺序对他通过海选的概率没有影响, 因为无论按什么顺序,其不能通过的概率均为

即无论按什么顺序,其能通过海选的概率均为 (2)依题意,ξ的所有可能取值为 1,2,3.

11 . 15

P(ξ=1)=p1,P(ξ=2)=(1-p1)p2,P(ξ=3)=(1-p1)(1-p2)p3. 故ξ的分布列为

E(ξ)=p1+2(1-p1)p2+3(1-p1)(1-p2)p3, 分别计算当甲选手按 C→B→A,C→A→B,B→A→C,B→C→A,A→B→C,A →C→B 的顺序参加测试时,E(ξ)的值,得甲选手按 C→B→A 的顺序参 加测试时,E(ξ)最小,因为参加测试的次数少的选手优先进入正赛 , 故该选手选择将自己的优势项目放在前面,即按 C→B→A 的顺序参加
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测试更有利于进入正赛. 3.(2015·重庆模拟)某单位实行休年假制度三年以来,50 名职工休年 假的次数进行的调查统计结果如表所示

根据上表信息解答以下问题: (1)该单位任选两名职工,用η 表示这两人休年假次数之和,记“函数 f(x)= x2-η x-1 在区间(4,6)上有且只有一个零点”为事件 A,求事件 A 发生 的概率 P(A). (2)从该单位任选两名职工,用ξ 表示这两人休年假次数之差的绝对 值,求随机变量ξ 的分布列及数学期望 E(ξ ). 【解析】(1)函数 f(x)=x2-ηx-1 过(0,-1)点,在区间(4,6)上有且只 有一个零点,则必有 ? ? 所以,η=4 或η=5.
?f ? 4 ? ? 0, ? ?f ? 6 ? ? 0

,即 ?

?16 ? 4? ? 1 ? 0, 15 35 解得 : ? ? ? , 4 6 ?36 ? 6? ? 1 ? 0,

η=4 与η=5 为互斥事件,由互斥事件有一个发生的概率公式, 所以 P(A)=P1+P2=
68 12 128 ? ? . 245 49 245

(2)依题设可知ξ的可能取值为 0,1,2,3.
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故ξ的分布列为:

4.(2015· 西安模拟)某煤矿发生透水事故时,作业区有若干人员被困. 救 援队 从入口 进入 之后 有 L1,L2 两条 巷道 通往作 业区 ,L1 巷道 有 A1,A2,A3 三个易堵塞点,各点被堵塞的概率都是 ;L2 巷道有 B1,B2 两个 易堵塞点,被堵塞的概率分别为 , . (1)求 L1 巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率. (2)若 L2 巷道中堵塞点个数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X),并按 照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准,请你帮助救援 队选择一条抢险路线,并说明理由. 【解析】(1)设“L1 巷道中,三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件
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1 2

3 3 4 5

A,则

(2)依题意,X 的可能取值为 0,1,2.

所以,随机变量 X 的分布列为:

(方法一)设 L1 巷道中堵塞点个数为 Y,则 Y 的可能取值为 0,1,2,3. P(Y=0)= × ( )3 ? ,P(Y=1)=
1 2 1 8

× ? ( )2 ? ,

1 2

1 2

3 8

所以,随机变量 Y 的分布列为:

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E(Y)=0× ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ,因为 E(X)<E(Y),所以选择 L2 巷道为抢 险路线为好. (方法二)设 L1 巷道中堵塞点个数为 Y,则随机变量 Y~B (3, ) ,所以 E(Y)=3× ? . 因为 E(X)<E(Y),所以选择 L2 巷道为抢险路线为好. 5.为了解甲、乙两厂产品的质量,从两厂生产的产品中分别随机抽取 各 10 件样品,测量产品中某种元素的含量(单位:毫克).如图是测量 数据的茎叶图:
1 2 3 2 1 2

1 8

3 8

3 8

1 8

3 2

规定:当产品中的此种元素含量不小于 18 毫克时,该产品为优等品. (1)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率. (2)从乙厂抽出的上述 10 件样品中,随机抽取 3 件,求抽到的 3 件样品 中优等品数的分布列及其数学期望 E(ξ ). (3)从甲厂的 10 件样品中有放回地随机抽取 3 件,也从乙厂的 10 件样 品中有放回地随机抽取 3 件,求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件
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的概率. 【解析】(1)甲厂抽取的样本中优等品有 6 件,优等品率为: 厂抽取的样本中优等品有 5 件,优等品率为: (2)ξ的取值为 0,1,2,3.
5 1 ? . 10 2 6 3 ? .乙 10 5

ξ的分布列为

[来源:Zxxk.Com]

ξ的数学期望为 E(ξ)=0×

1 5 5 1 3 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 12 12 12 12 2

(3)抽取的优等品数甲厂恰比乙厂多 2 件包括 2 个事件,即 A=“抽取 的优等品数甲厂 2 件,乙厂 0 件”,B=“抽取的优等品数甲厂 3 件,乙 厂 1 件”.则

抽 取 的 优 等 品 数 甲 厂 恰 比 乙 厂 多 2 件 的 概 率 为 :P(A)+ P(B)=
27 81 27 ? ? . 500 1000 200

6.某校有一贫困学生因病需手术治疗,但现在还差手术费 1.1 万元, 团委计划在全校开展爱心募捐活动,为了增加活动的趣味性吸引更多
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学生参与,特举办“摇奖 100%中奖”活动.凡捐款 10 元者,享受一次 摇奖机会,如图是摇奖机的结构示意图,摇奖机的旋转盘是均匀的,扇 形区域 A,B,C,D,E 所对应的圆心角的比值为 1∶2∶3∶4∶5.相应区 域分别设立一、二、三、四、五等奖,奖品分别为价值 5 元、4 元、3 元、2 元、1 元的学习用品.摇奖时,转动圆盘片刻,待停止后,固定指 针指向哪个区域(边线忽略不计)即可获得相应价值的学习用品(如图 指针指向区域 C,可获得价值 3 元的学习用品).

(1)预计全校捐款 10 元者将会达到 1500 人次,那么除去购买学习用品 的款项后,剩余款项是否能帮助该生完成手术治疗? (2)如果学生甲捐款 20 元,获得了两次摇奖机会,求他获得价值 6 元 的学习用品的概率. 【解析】(1)设摇奖一次,获得一、二、三、四、五等奖的事件分别记 为 A,B,C,D,E. 则其概率分别为

设摇奖一次支出的学习用品相应的款项为ξ,则ξ的分布列为:

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若捐款 10 元者达到 1500 人次,那么购买学习用品的款项为 1500E(ξ)= 3500(元), 除去购买学习用品的款项后,剩余款项为 1500×10-3500=11500(元 ), 故剩余款项可以帮助该生完成手术治疗. (2)记事件“学生甲捐款 20 元获得价值 6 元的学习用品”为 F,则 P(F)= ×
7 . 45

即学生甲捐款

20 元获得价值 6 元的学习用品的概率为

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