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2013-2014版高中数学(苏教版)必修二同步课堂配套ppt课件:第二章 平面解析几何初步1.1.1 (4)


1.2

点、线、面之间的位置关系

1.2.1
【课标要求】

平面的基本性质

1.了解公理 1、公理 2、公理 3 及其推论 1、推论 2、推论 3. 2.能用公理 1、2、3 及其推论解决三线共点、三点共线及 点线共面问题.

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【核心扫描】 1.公理 1、公理 2、公理 3 及其推论 1、推论 2、推论 3 的 了解.(重点) 2.能用公理 1、2、3 及其推论解决三线共点、三点共线及 点线共面问题.(难点)

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自学导引 1.平面的概念
平面通常用希腊字母 α,β,γ,?表示,也可以用平行四边 形的两个相对顶点的字母表示,如图所示的平面可表示 为 平面α 或平面 ABCD或平面 AC 或平面 BD .

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2.点、线、面位置关系的符号表示
位置关系 点 P 在直线 AB 上 点 M 在平面 AC 上 直线 AB 与直线 BC 交于点 B 直线 AB 在平面 AC 内 符号表示 P∈AB M∈平面 AC AB∩BC=B AB?平面 AC

同理,点 P 不在直线 AB 上,记作 P?AB;点 M 不在平面 AC 上,记作 M?平面 AC;直线 AB 不在平面 AC 内,记作 AB? 平面 AC.
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3.平面的基本性质 (1)公理 1:如果一条直线上的 两点 在一个平面内,那么 A∈α? ? ? 这条直线上所有的点都在这个平面内.用符号表示为: B∈α? ? ?AB?α.
(2) 公理 2 :如果两个平面有一个公共点,那么它们还 有

其他公共点 , 这些公共点的集合是经过这个公共点的一

条直线.

P∈α? ? ??α∩β=l 且 P∈l. 用符号表示为: P∈β? ?
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有且只有 一个 (3)公理 3:经过不在同一条直线上的三点,

平面.公理 3 也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面.
4.平面的基本性质的推论 (1)推论 1 经过 一条直线和这条直线外的一点 ,有且只 有一个平面. (2)推论 2 经过 两条相交直线 ,有且只有一个平面.

(3)推论 3 经过 两条平行直线 ,有且只有一个平面.

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试一试:在立体几何中如何直接应用平面几何中的有关定 理解题或证题.

提示 将有关元素化归到一个平面内,才可以用平面几何 中有关定理解题或证题.如果不能化归到一个平面内,则平面 几何中有关定理或不成立,或成立但也不能直接应用,必须先 给出证明再使用.

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名师点睛 1. 证明直线在平面内的方法: 证明直线上有两点在平面内. 2. 证明空间的若干个点和若干条直线都在同一平面内的问 题称作共面问题,共面问题的证明,一般先确定平面,然后再 证明元素在这个确定的平面内,确定平面时,确定平面的元素 必须满足公理 3 或其三个推论的条件,证明元素在平面内,常 依据公理 1 或用反证法或用平面重合的方法.

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3.证明点在直线上的方法:首先确定这条直线是哪两个平 面的交线,然后证明这个点是这两个平面的公共点. 4. 证明线共点的方法: 先由某两条直线或某几条直线共点, 然后再证余下的直线过此点.

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题型一 共面问题的证明 【例 1】 求证:两两相交且不过同一点的四条直线必在同 一平面内.
[思路探索] 证明时可以先用推论 2,通过两条相交直线确 定一个平面,再用公理 1 证明其他直线也在这个平面内.

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解 已知:四条直线 a、b、c、d 两两相交,且不过同一点. 求证:a、b、c、d 共面.

(1)若 a、b、c、d 四条直线中有三条共点,不妨设 a∩b∩c =A,a∩d=B,b∩d=C,c∩d=D,且相交直线 a、d 所确定 的平面为 α,图像如图所示. ∵A∈a,a?α,∴A∈α,∵C∈d,d?α,∴C∈α. ∴AC?α,即 b?α. 同理,c?α.∴a、b、c、d 共面于 α.
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(2)若 a、 b、 c、 d 四直线无三条直线共点, 设 a∩b=A, a∩c =B,b∩c=C,d∩a=D,d∩b=E,d∩c=F,且相交直线 a、 b 确定的平面为 α,图像如图所示. ∵B∈a,a?α,∴B∈α,同理 C∈α. ∴BC?α,即 c?α,同理 d?α.∴a、b、c、d 共面于 α. 综合(1)(2)可知,a、b、c、d 四线共面.

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规律方法 证明多线共面的一种方法是先由公理 3 确定一 个平面,再利用公理 1 依次证明其余各线也在这个平面内.另 一种方法是先由一部分线确定一个平面,由另一部分线确定另 一个平面,再让这两个面重合.

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【训练 1】 已知一条直线与另外三条互相平行的直线都相 交,证明:这四条直线共面. 解析 已知:a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C. 求证:a、b、c、l 共面.

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如图: ∵a∥b,∴a、b 确定平面 α. ∵l∩a=A,l∩b=B, ∴l 上有两点 A、B 在 α 内. 即直线 l?a,∴a、b、l 共面. 同理,a、c、l 共面,即 c 也在 a、l 确定的平面内. 故 a、b、c、l 共面.

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题型二 点共线问题的证明
【例 2】 如图,已知△ABC 的三个顶点都不在平面 α 内, 它的三边 AB、BC、AC 延长后分别交平面 α 于点 P、Q、R.求 证:P、Q、R 在同一条直线上.

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[思路探索] 本题主要考查三点共线的证明,关键是证明这 三个点都是两个已知平面的公共点. 由已知条件, 可取平面 ABC 和平面 α,只需证 P、Q、R 是这两个平面的公共点即可.
证明 由已知 AB 的延长线交平面 α 于点 P,根据公理 2,

平面 ABC 与平面 α 必相交于一条直线,设为 l. ∵P∈直线 AB,∴P∈平面 ABC. 又直线 AB∩平面 α=P,∴P∈平面 α, ∴P 是平面 ABC 与平面 α 的公共点. ∵平面 ABC∩平面 α=l,∴P∈l. 同理,Q∈l,R∈l. ∴点 P、Q、R 在同一条直线上.
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规律方法 证明点共线常有两种思路: 一是过其中两点作一 条直线,然后证明其余的点都在这条直线上;二是由已知条件 设法证明这些点在两个平面的交线上.

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【训练 2】 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,B1D 与 平面 ACD1 交于点 O, BD 与平面 ACD1 交于点 M, 求证: M、 O、 D1 三点共线.

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证明

连接 MD1,

易知 MD1 是平面 ACD1 和平面 BB1D1D 的交线, ∵O∈B1D,B1D?平面 BB1D1D, ∴O∈平面 BB1D1D. 又 O∈平面 ACD1,∴O∈MD1.∴M、O、D1 三点共线.

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题型三 线共点问题的证明 【例 3】 在四面体 ABCD 中,E,G 分别为 BC,AB 的中 点,F 在 CD 上,H 在 AD 上,且有 DF∶FC=DH∶HA=2∶3, 求证:EF,GH,BD 交于一点.
审题指导 本题主要考查线共点的证明, 证明的关键是证明 点在第三条直线上,只需证明这个点是确定这条直线的两个相 交平面的公共点.

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[规范解答] 因为 E,G 分别为 BC,AB 的中点, 1 所以 GE∥AC,GE= AC. 2 (2 分)

2 又因为 DF∶FC=DH∶HA=2∶3,所以 FH∥AC,FH= 5 AC. 从而 FH∥GE.故 E,F,H,G 四点共面. (4 分) (6 分)

所以四边形 EFHG 是一个梯形,GH 和 EF 交于一点 O. (8 分)

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又 GE=FH. 因为 O 在平面 ABD 内,又在平面 BCD 内, 所以 O 在这两个平面的交线上. (10 分) (12 分)

而这两个平面的交线是 BD,且交线只有这一条,所以点 O 在直线 BD 上.这就证明了 GH 和 EF 的交点也在 BD 上,所以 EF,GH,BD 交于一点. (14 分)

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【题后反思】 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过 其余两条的两个平面的交线,然后再证另两条直线的交点在此 直线上.此外还可先将其中一条直线看作是某两个平面的交 线.证明该交线与另两条直线分别交于两点,再证这两点重合, 从而得三线共点.

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【训练 3】 三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的 两条相交于一点,那么第三条也经过这个点.
解 已知: 如图, 平面 α、 β、 γ 满足 α∩β=a, β∩γ=b, γ∩α

=c,a∩b=A. 求证:A∈c. 证明: ∵a∩b=A,∴A∈a,A∈b. 又 α∩β=a,β∩γ=b,∴a?α,b?γ, ∴A∈α,A∈γ.∵α∩γ=c,∴A∈c.

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方法技巧 “有且只有一个平面”命题的证明方法 (1)“有”表示存在,“只有”表示唯一,“且”表示联立 命题,所以此类问题的证明既要证明“存在性”又要证明“唯 一性”. (2)“存在性”的证明一般由公理或推论作出题设要求的要 素即可. (3)证明“唯一性”通常采用“反证法”.即从题设的结论 入手,反设结论的反面成立,然后进行推理、论证,推出与条 件或定义、定理、公理相矛盾的结论,说明结论反面是不成立 的,从而肯定了命题的结论是成立的.
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【示例】 如图,已知直线 a∥直线 b,直线 m 与 a、b 分 别交于点 A、B.求证:过 a、b、m 有且只有一个平面.

[思路分析] 证明过 a、b、m 三条直线有且只有一个平面, 要证两个问题:其一是存在性,即“有”;其二是唯一性,即 “只有”.

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证明 ∵a∥b,∴过 a、b 有一个平面 α. 又 m∩a=A,m∩b=B, ∴A∈a,B∈b,∴A∈α,B∈α. 又 A∈m,B∈m, ∴m?α,a、b、m 共面于 α. 假设过 a、b、m 有一个异于 α 的平面 β, 则 a?α,b?α,a?β,b?β. 这与 a∥b,过 a、b 有且只有一个平面相矛盾. ∴过 a、b、m 有且只有一个平面.

方法点评 证明唯一性通常用“反证法”.
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