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上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[1]


上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[1]

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上海市华师大二附中 高三年级数学综合练习[1] 高三年级数学综合练习[1] 数学综合练习
只要求直接填写结果, 一,填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一 律得零分. 律得零分. 1.函数 y = f ( x )( x ∈ R ) 图象恒过定点 (0,1) ,若 y = f (x ) 存在反函数 y = f 1 ( x) ,则 y = f 1 ( x) + 1 的 图象必过定点 .

x 2.已知集合 A = y y = 2 1, x ∈ R ,集合 B = y y = x + 2x + 3, x ∈ R ,则集合 x x∈A且 B =
x

{

}

{

2

}

{

}

. 3.若角 α 终边落在射线 3 x 4 y = 0( x ≤ 0) 上,则 tan α + arccos(



2 ) = 2
1 = m + ni

. .

4.关于 x 的方程 x 2 ( 2 + i ) x + 1 + mi = 0( m ∈ R ) 有一实根为 n ,则

5 . 数 列 {a n } 的 首 项 为 a1 = 2 , 且 an+1 = (a1 + a2 ++ an )(n∈ N) , 记 S n 为 数 列 {a n } 前 n 项 和 , 则

1 2

Sn =

.
+ y≤5 + y ≥ 1 ,则目标函数 s = 3 x 2 y 取最大值时 x = y≤3 y ≥ 1

x 6. (文)若 x, y 满足 x x x

.

(理)若 3 x (n∈ N) 的展开式中第 3 项为常数项,则展开式中二项式系数最大的是第 7.已知函数 f ( x ) = A sin( 2 x + )( A > 0,0 < < 2π ) ,若对任意 x ∈ R 有 f ( x ) ≥ f (



1 x

n

项.

. 8.某足球队共有 11 名主力队员和 3 名替补队员参加一场足球比赛,其中有 2 名主力和 1 名替补队员不慎 误服违禁药物,依照比赛规定,比赛后必须随机抽取 2 名队员的尿样化验,则能查到服用违禁药物的 主力队员的概率为 . (结果用分数表示) 9.将最小正周期为

f ( x) = 0 在 [0, π ] 上的解为

5 π ) 成立,则方程 12

π
2

的函数 g ( x) = cos(ωx + ) + sin(ωx + )(ω > 0, < 2π ) 的图象向左平移

π
4

个单

位,得到偶函数图象,则满足题意的 的一个可能值为 . 10.据某报《自然健康状况》的调查报道,所测血压结果与相应年龄的统计数据如下表,观察表中数据规 律,并将最适当的数据填入表中括号内. 年龄(岁) 30 35 40 45 50 55 60 65 …… 收缩压 110 115 120 125 130 135 145 …… (水银柱/毫米) 舒张压 70 73 75 78 80 73 85 …… (水银柱/毫米) 11. 若函数 f ( x ) = min 3 + log 1 x, log 2 x , 其中 min{p, q} 表示 p, q 两





4

者中的较小者,则 f ( x ) < 2 的解为

.

12.如图, P 是一块半径为 1 的半圆形纸板,在 P 的左下端剪去一个半 1 1 径为

1 的半圆得到图形 P2 ,然后依次剪去一个更小的半圆(其直径是前 2

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-2n →∞

一个被剪掉半圆的半径)可得图形 P3 , P4 , , Pn , ,记纸板 Pn 的面积为 S n ,则 lim S n =

.

的四个结论, 二,选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A,B,C,D 的四个结论,其中有且 只有一个结论是正确的 必须把正确结论的代号写在题后的圆括号, 一个结论是正确的, 不选,错选或者选出的 只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得 4 分,不选,错选或者选出的 代号超过一个(不论是否都写在圆括号内) 一律得零分. 代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分. ) 13.已知 a, b, c 满足 c < b < a且ac < 0 ,则下列选项中不一定能成立的是( A, ab > ac B, c(b a ) > 0 14.下列命题正确的是( ) A,若 lim a n = A , lim bn = B ,则 lim C, cb < ca
2 2

D, ac ( a c ) < 0

an A = (bn ≠ 0) . n →∞ b n →∞ n →∞ B n B,函数 y = arccos x( 1 ≤ x ≤ 1) 的反函数为 y = cos x, x ∈ R .
m 2 + m 1

C,函数 y = x

(m ∈ N ) 为奇函数. 2 x 1 1 2 D,函数 f ( x ) = sin x ( ) + ,当 x > 2004 时, f ( x ) > 恒成立. 3 2 2

15.函数 f ( x ) =

a x2 为奇函数的充要条件是( ) x +1 1 A, 0 < a < 1 B, 0 < a ≤ 1 C, a > 1 D, a ≥ 1

16.不等式 log a x > sin 2 x ( a > 0且a ≠ 1) 对任意 x ∈ (0, A, (0,

π

π
4

)

B, (

π
4

,1)

C, (

π

4

) 都成立,则 a 的取值范围为(

)

,1) ∪ (1, ) 4 2

π

D, (0,1)

解答下列各题必须写出必要的步骤. 三,解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分 12 分)

ABC 中角 A, B, C 所对边分别为 a, b, c ,若 a = 2 3,c = 2, 1+

tgA 2c = ,求 ABC 的面积 S. tgB b

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18. (本题满分 12 分) 设复数 z1 = x + yi ( x, y ∈ R, y ≠ 0) ,复数 z 2 = cos α + i sin α (α ∈ R ) ,且 z1 + 2 z1 ∈ R, z1 在复平面
2

上所对应点在直线 y = x 上,求 z1 z 2 的取值范围.

19. (本题满分 14 分)

ax 5 < 0 的解集为 M . x2 a (1)当 a = 4 时,求集合 M ; (2)若 3 ∈ M且5 M ,求实数 a 的取值范围.
已知关于 x 的不等式

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20. (本题满分 14 分) 如图, 一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ, Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ, 当Ⅰ, Ⅱ分别输入正整数 m, n 时,输出结果记为 f ( m, n) , 且计算装置运算原理如下: ①若Ⅰ,Ⅱ分别输入 1,则 f (1,1) = 1 ;②若Ⅰ输入固定的正整数,Ⅱ输入的正整数增大 1,则输出结 果比原来增大 3;③若Ⅱ输入 1,Ⅰ输入正整数增大 1,则输出结果为原来 3 倍.试求: (1) f (m,1) 的表达式 (m ∈ N ) ; (2) f ( m, n) 的表达式 ( m, n ∈ N ) ; (3)若Ⅰ,Ⅱ都输入正整数 n ,则输出结果 f ( n, n) 能否为 2006?若能, 求出相应的 n ;若不能,则请说明理由.

自然数 k ,规定 a n 为 {a n } 的 k 阶差分数列,其中 a n =
k k 2

21. (本题满分 16 分) 对数列 {a n } ,规定 {an } 为数列 {a n } 的一阶差分数列,其中 a n = a n +1 a n ( n ∈ N ) . 对 (1)已知数列 {a n } 的通项公式 a n = n + n( n ∈ N ), ,试判断 {an } , a n 是否为等差或等比数列,
2

{

}

k 1

a n +1 k 1 a n = (k 1 a n ) .

{

}

(3) (理)对(2)中数列 {a n } ,是否存在等差数列 {bn } ,使得 b1C n + b2 C n + + bn C n = a n 对一切自
1 2
n

(2)若数列 {a n } 首项 a1 = 1 ,且满足 a n a n +1 + a n = 2 ( n ∈ N ) ,求数列 {a n } 的通项公式.
2
n

为什么?

然 n ∈ N 都成立?若存在,求数列 {bn } 的通项公式;若不存在,则请说明理由.

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22. (本题满分 18 分) 已知函数 f (x ) 是定义在 [ 2,2]上的奇函数,当 x ∈ [2,0) 时, f ( x ) = tx (1)求函数 f ( x) 的解析式;

1 3 x ( t 为常数) . 2

(2)当 t ∈ [ 2,6] 时,求 f ( x) 在 [ 2,0] 上的最小值,及取得最小值时的 x ,并猜想 f ( x) 在 [0,2] 上的单 调递增区间(不必证明) ; (3)当 t ≥ 9 时,证明:函数 y = f (x ) 的图象上至少有一个点落在直线 y = 14 上.

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上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[1] 上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[1] 参考答案
1. (1,1) 7. 2. (2,+∞ ) 3. 9.

1 7
4

4.

1 1 i 2 2

5. 2 11.

3 2

n 1

6. (文) 4 ; (理) 5 12.

π
6

or

sin ( A + B ) 2 sin C tgA 2c 1 17.解:由 1 + = 及正弦定理,得 cos A cos B = ,即 cos A = , (其余略) . sin B tgB b sin B 2 cos B
z1 2 + 2 z1 ∈ R x 2 y 2 + 2 xyi + 2 x 2 yi ∈ R 2 xy 2 y = 0 18.解: x = y ≠ 0 x = y ≠ 0 Re z1 = Im z1
x = y = 1 z1 = 1 + i ,

2π 3

8.

25 91

π

10.140,88

x > 4or 0 < x < 4

π
3

C C B B

z1 z 2 =

(1 cos α )2 + (1 sin α )2

π = 3 2 2 sin α + ∴ z1 z 2 ∈ 4

[

2 1, 2 + 1 .

]

19.解: (1) a = 4 时,不等式为

4x 5 5 < 0 ,解之,得 M = ( ∞,2 ) ∪ ,2 ; 2 x 4 4
5 a > 9ora< 5 3 a ∈1, ∪(9,25) , a = 25 时 , 不 等 式 为 3 1 ≤ a < 25

3 ∈ M ( 2 ) a ≠ 25 时 , 5 M

3a 5 9a < 0 5a 5 ≥ 0 25 a

25 x 5 1 < 0 , 解 得 M = ( ∞,5) ∪ ,5 , 则 3 ∈ M且5 M , ∴ a = 25 满 足 条 件 , 综 上 , 得 2 x 25 5 5 a ∈ 1, ∪ (9,25] . 3
20.解: (1) f (m,1) = 3 f (m 1,1) = 3 2 f (m 2,1) = = 3 m 1 f (1,1) = 3 m 1 , (2) f (m, n ) = f (m, n 1) + 3 = f (m, n 2 ) + 3 × 2 = = f (m,1) + 3(n 1) = 3 m 1 + 3(n 1) , , (3) f (n, n ) = 3 n 1 + 3(n 1) ,∵ f (7,7 ) = 36 + 18 = 747 < 2006 , f (8,8) = 37 + 21 = 2208 > 2006 , ∴ f ( n, n) 输出结果不可能为 2006. 21.解: (1) a n = a n +1 a n = (n + 1) + (n + 1) n + n = 2n + 2 ,∴ {an } 是首项为 4,公差为 2 的
2 2

(

)

等差数列. a n = 2(n + 1) + 2 (2n + 2 ) = 2 ,∴ a n 是首项为 2,公差为 0 的等差数列;也是首项为
2 2

{

}

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2 n n

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2 , 公 比 为 1 的 等 比 数 列 . 2 ) a n a n +1 + a n = 2 , 即 a n +1 a n a n +1 + a n = 2 , 即 (

a n a n = 2 n , a n+1 = 2a n + 2 n , a1 = 1 , a 2 = 4 = 2 × 21 ,a 3 = 12 = 3 × 2 2 ,a 4 = 32 = 4 × 2 3 , ∴ ∵ ∴
猜想: a n = n 2
n 1

,
k 1

证明:ⅰ)当 n = 1 时, a1 = 1 = 1 × 2 0 ;ⅱ)假设 n = k 时, a k = k 2

; n = k + 1 时,

n 1 a k +1 = 2a k + 2 k = k 2 k + 2 k = (k + 1) 2 (k +1)1 结论也成立, ∴由ⅰ) ,ⅱ)可知, a n = n 2 .

(3) b1C n + b2 C n + + bn C n = a n ,即 b1C n + b2 C n + + bn C n = n 2
1 2
n

1

2

n

n 1

, ,

∵ 1C n + 2C n + 3C n + + nC n = n C n 1 + C n 1 + C n 1 + + C n 1 = n 2
1 2 3
n

(

0

1

2

n 1

)

n 1

∴存在等差数列 {bn } , bn = n ,使得 b1C n + b2 C n + + bn C n = a n 对一切自然 n ∈ N 都成立.
1 2 n

22.解: (1) x ∈ (0,2] 时, x ∈ [ 2,0 ) , 则 f ( x ) = t ( x )

1 1 ( x) 3 = tx + x 3 , ∵函数 f (x) 是 2 2 1 3 1 3 定义在 [ 2,2] 上的奇函数,即 f ( x ) = f ( x ) ,∴ f ( x ) = tx + x ,即 f ( x ) = tx x ,又可知 2 2 1 f (0) = 0 ,∴函数 f (x) 的解析式为 f ( x) = tx x 3 , x ∈ [ 2,2] ; 2

(2) f ( x ) = x t



1 1 2 x ,∵ t ∈ [2,6] , x ∈ [ 2,0] ,∴ t x 2 ≥ 0 , 2 2
3



[ f (x)]2

1 2 1 2 2 x + t x + t x 8t 3 1 1 2 2 2 = = x2 t x ≤ ,∴ x2 = t x2 , 3 2 27 2
2

即 x2 = , x =

2t 3

6t 2 6 6t ( ∈ [ 2,0]) 时, f min = t t . 3 3 9

猜想 f (x ) 在 [0,2] 上的单调递增区间为 0,



6t . 3 1 2 2 x1 + x1 x 2 + x 2 < 0 , ∴ 2

(3) t ≥ 9 时,任取 2 ≤ x1 < x 2 ≤ 2 ,∵ f ( x1 ) f ( x 2 ) = ( x1 x 2 )t

(

)

f ( x ) 在 [ 2,2] 上 单 调 递 增 , 即 f ( x ) ∈ [ f ( 2), f (2)] , 即 f ( x ) ∈ [4 2t ,2t 4] , t ≥ 9 , ∴
4 2t ≤ 14,2t 4 ≥ 14 ,∴ 14 ∈ [4 2t ,2t 4] ,∴当 t ≥ 9 时,函数 y = f (x) 的图象上至少有一个点落
在直线 y = 14 上.

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