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选修4-5不等式的基本性质(公开课精品课件)


选修4-5

1.1.1 不等式的

基本性质
总口中学 莫圣礼

基本概念

观察以下四个不等式:
a+2 > a+1 a+3 > 3a 3x+1< 2x+6 X<a --------------(1) -------------(2) --------

------(3) --------------(4)

不等号的方 ⑴与⑵、⑶ 向之间有什 与⑷同向, 么关系?
⑴⑵与⑶⑷ 反向。

同向不等式: 在两个不等式中,如果每一个的左边都大于右边 或每一个的左边都小于右边(不等号的方向相同).
异向不等式: 在两个不等式中,如果一个不等式的左边大于右边,而 另一个的左边小于右边(不等号的方向相反).

基本概念

同解不等式:
形式不同但解相同的不等式. 其它重要概念: 绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式.

基本理论
研究不等式的出发点是实数的大小关系。 1.实数在数轴上的性质: 数轴上的点与实数一一对应,因此可以利用 数轴上点的左右位置关系来规定实数的大小:
数轴上 的点

一一对应
实数

2 O

p

x

基本理论

a a <b


b x


b a >b


a x

设a 、b是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别 是A 、B ,那么,当点A在点B的左边时,a < b; 当点A在点B的右边时, a > b. 关于a,b的大小关系,有以下基本事实: 如果a > b, 那么a-b是正数;如果a=b,那么a-b等于零;如果a < b, 那么a-b是负数;反过来也对.

用数学式子表示为:

a ? b ? a-b? 0 a ? b ? a-b ? 0 a ? b ? a-b? 0

表示“等价于”

基本理论

a ? b ? a - b ? 0; a ? b ? a - b ? 0; a ? b ? a-b ? 0.

上式中的左边部分反映的是实数的大小顺序,而 右边部分则是实数的运算性质,合起来就成为实 数的大小顺序与运算性质之间的关系. 这一性质 不仅可以用来比较两个实数的大小,而且是推导 不等式的性质、不等式的证明、解不等式的主要 依据.

基本方法

思考:
从上述事实出发,你认为可以用什么方法比较 两个实数的大小? 要比较两个实数a与b的大小,可以转化为比较它 们的差a - b 与0的大小. 在这里,0为实数比较大 小提供了“标杆”.

例1 比较 x 2 ? 3 与 3 x 的大小 ? 解 : ? ( x 2 ? 3) - 3 x 作差
? x
2

2

- 3x ? 3
2

作差比较大 ? 3 ? ? (x - 3x) ? ? ? 小 ?2? 2 3? ? 分四步进行? 3 ? ?x- ?
? 2? 4

?3? -? ? ?3 ?2?

2

变 :

形 断号

>0
? x
2

? 3 ? 3x

作结

常见的变形手段是: 通分、因式分解或配方等; 变形的结果是常数、若干个因式的积或完全平 方式等.

课堂训练
例 2 比 较 ( x + 3 )(x + 7 ) 和 ( x + 4 )(x + 6 ) 的 大 小
解 : 因 为 ( x + 3 )(x + 7 )-( x + 4 )(x + 6 )

作差
变形 断号 作结

? x ( ? -3

2

? 1 0 x ? 2 1 )( x -

2

? 10x ? 24)



0

所以 ( x + 3 )(x + 7 ) <( x + 4 )(x + 6 )

尝试探索,建立新知
等式有“等式两边加或减同一个数,等式仍 然成立”, “等式两边乘或除以同一个数,等式 仍然成立”等性质,类比等式的基本性质,不等 式有哪些基本性质呢?

等式的基本性质是从数的运算的角 研究实数的关系时联 度提出的。同样的,由于不等式也研究 系实数的运算,是一 实数之间的关系,所以联系实数的运算 种基本的数学思想 (加,减,乘,除,乘方,开方等)来 思考不等式的基本性质非常自然的。

基本性质 由两个实数大小关系的基本事实,得出不等 对称性 式的基本性质:
( 1 ) 如果 a ? b , 那么 b ? a ; 如果 b ? a , 那么 a ? b .即 a ? b ? b ? a

传递性

( 2 ) 如果 a ? b , b ? c , 那么 a ? c .即 a ? b , b ? c ? a ? c 加法法则 ( 3 ) 如果 a ? b , 那么 a ? c ? b ? c .

乘法法则

( 4 ) 如果 a ? b , c ? 0 , 那么 ac ? bc ; 如果 a ? b , c ? 0 , 那么 ac ? bc .

乘方法则
n

( 5 ) 如果 a ? b ? 0 , 那么 a

? b ( n ? N , n ? 2 ).
n

n

( 6 ) 如果 a ? b ? 0 , 那么

n

a ?

开方法则 b ( n ? N , n ? 2 ).

注意:
1.注意公式成立的条件,要特别注意“符号问 题”; 2.以上不等式的基本性质可以得到严格证明; 2.要会用自然语言描述上述基本性质; 3.上述基本事实和基本性质是我们处理不等式问 题的理论基础.

例如,利用不等式的基本性质可以得到下 列结论:
( i ) 如果 a ? b ? c , 那么 a ? c - b .

(移项法则)

( ii ) 如果 a ? b , c ? d , 那么 a ? c ? b ? d . (同向不等式相加

如果 (ⅲ) a ? b ? 0 , c ? d ? 0 , 那么 ac ? bd .

(同向正数不等式相乘) 1 (ⅳ) 如 果 a > b , a b > 0 则 < 1 a b

(同号两数,大的倒数较小,小的倒数较大。)

例2

已知 a ? b ? 0 , c ? d ? 0 , 求证

a d

?

b c

实数的大小与它们的差的关系
证明 :? c ? d ? 0 ,? cd ? 0 , c - d ? 0 ,
? 1 d ? 1 c
1 c

1

? 0 ,?
? 0,
b c ? 0,

1 d

-

1 c

?

c-d cd

? 0

? 0 , 又 a ? 0 ,?

a d

?
a c

cd a
c
?

① ②

性质4 性质4

又 ? a ? b ? 0,
a d

? 0 ,?

由①②可得

?

b

a b 还有其他方 ? 0 ,? ? c d c 法吗?

性质6

性质2

c > d > 0 性质4? o ? { cd
c> d

? c?

1 cd

? d?

1 cd

? 0

?

1 d

?

1 c

? 0

课堂互动讲练
1.实数大小的比较
(1)数轴上的点与实数一一对应,可以利用数轴上点的 左右位置关系来规定实数的 大小 .在数轴上,右边的数总 比左边的数 大 . (2)如果a-b>0,则 a>b ;如果a-b=0,则 a=b ;

如果a-b<0,则 a<b .
(3)比较两个实数a与b的大小,归结为判断它们的 差a -b的符号 ;比较两个代数式的大小,实际上是比较它们 的值的大小,而这又归结为判断它们的 差的符号 .

课堂互动讲练
2.不等式的基本性质
由两数大小关系的基本事实,可以得到不等式的一些 基本性质: (1)如果a>b,那么b<a;如果b<a,那么a>b.即 a>

b?b<a . (2)如果a>b,b>c,那么 a>c .即a>b,b>c? a>c .
(3)如果a>b,那么a+c> b+c . (4)如果a>b,c>0,那么ac > bc;如果a>b,c<0,那么 ac < bc.

课堂互动讲练
(5)如果a>b>0,那么an > bn(n∈N,n≥2).

> n b(n∈N,n≥2). (6)如果a>b>0,那么 a 3.对上述不等式的理解

n

使用不等式的性质时,一定要清楚它们成立的前提条
件,不可强化或弱化它们成立的条件,盲目套用,例如: (1)等式两边同乘以一个数仍为等式,但不等式两边同 乘以同一个数c(或代数式)结果有三种:①c>0时得 同向不 等式;②c=0时得 等式 ;③c<0时得 异向 不等式.

课堂互动讲练
(2)a>b,c>d?a+c>b+d,即两个同向不等式可以相 加,但不可以 相减 ;而a>b>0,c>d>0?ac>bd,即已知的两 个不等式同向且两边为 正值 时,可以相乘,但不可以 相除 . (3)性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 正值 , 并且n∈N,n≥2,否则结论不成立.而当n取正奇数时可放宽 条件,a>b?a >b (n=2k+1,k∈N),a>b? 1,k∈N+).
n n

n

a>

n

b (n=2k+

课堂互动讲练
1 比 较 ( x + 1 )(x + 2 ) 和 ( x -3 )(x + 6 ) 的 大 小
解:因为 ( x + 1 )(x + 2 )- ( x -4 )(x + 6 )

? x ? 3 x ? 2 )( x ? 3 x -1 8 ) ( 2 2

? 20 > 0

所以 ( x + 1 )(x + 2 )

> ( x -3 )(x + 6 )

课堂小结与作业
1.不等式的概念: 同向不等式;异向不等式; 同解不等 式. 2.比较两个实数大小的主要方法: (1)作差比较法:作差——变形——定号——下结论;

3.不等式的基本性质. (6条) 课外作业: 1.p9第一题(写在书上) 2.记忆并默写不等式的基本性质。 2.P9第二题(写在本上)


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