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2.1.2指数与指数幂的运算(第二课时)


(4) (5) (6)(7) 【1】下列说法中正确的序号是____________. (1)16的四次方根是2; (2)正数的n次方根有两个; (3)a的n次方根就是 a ;
n

(4) ?
(6 ) ( ?

4
3

8 1 ? ? 3;
3

(5 )

( ? 5 ) ? ? 5;
4

81 ) ? 81;
4

(7 )

3

(?8)

3

? ? 8.

【2】计算

(a ? b ) ? | b ? a | ? | a ?
2 3 3

3

b | , ( a ? b ? 0 ).
3

解 :原 式 ? | a ? b | ? | b ? a | ? | a ? b |
? ? ( a ? b ) ? ( b ? a ) ? [ ? ( a ? b )]

? ?a ? b ? b ? a ? a ? b ? ? 3a ? b.

(1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
2
3 10

? ?
3

(2 ) ? 2
5 2 4 3

5

?2 ; ?3 ;
12 4
12 3

10 2

3

12

(3 ) ? 3
3 4

4

4

a a

12

? ?

4

(a ) ? a ? a
3

;

5

10

5

(a ) ? a
2 5

2

?a

10 5

结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.

(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?
5 3
3

4 7

3 5
2

? 4 ;

3 5

类比

? 7 ;
2 3

5 3

a ? a ;

7

a ? a .
9

9 7

a>0

总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式可以写成分数指数幂的形式.

(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
5

4 ? 4 ;
3

3 5

43的5次方根是 4 ; 75的3次方根是 7 ;
5 3

3 5

3

7 ?7 ;
5

5 3

3

a

2

? a ;
9 7

2 3

a2的3次方根是 a ;
a9的7次方根是 a .
9 7

2 3

a ? a . 结果表明:方根与分数指数幂是相通的.
7 9

综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义.

1.正数的正分数指数幂的意义:

a
m n

m n

?

n

a

m

(a ? 0, m , n ? N , 且n ? 1)

?

2.正数的负分数指数幂的意义:
?

a

? 1 ? m a
n

1
n

(a ? 0, m , n ? N , 且n ? 1)
m

?

a

3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指 数幂没有意义.

【1】用根式表示下列各式:(a>0)
a
1 2
4

a

3 4

?

a
1
5

3 5

a
3

? 2 3

a

a

3

1
3

【2】用分数指数幂表示下列各式:
3
4

a

a

2

(a ? b ) (a ? b ? 0) ( a ? b ) 4
3

3

( m ? n)
4

2

( m ? n)

2 3

( m ? n) ( m ? n) p ? q ( p ? 0)
6 5

( m ? n)
p ?q
3 5 2

2

4.有理指数幂的运算性质
(1) a
m

?a
n

n

?a

m? n

( m , n ? Z)

(2) (a

m

) ?a
n

m? n
n

(m , n ? Z)

(3) (ab ) ? a b ( m , n ? Z)
n

指数的概念从整数指数推广到了有理数 指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂 都适用.
(1 ) a a ? a
r s
r s

r? s
rs

( a ? 0 , r , s ? Q );

( 2 ) ( a ) ? a ( a ? 0 , r , s ? Q ); ( 3 ) ( a b ) ? a b ( a ? 0 , b ? 0, r ? Q ).
r r r

【1】求下列各式的值.
(1) 8 ,
2 3

( 2 )25
2 3

?

1 2

,

(3) ( 1 ) , 2
3? 3
2

?5

(4 ) ( 16 ) 81

?

3 4

.

解 : (1) 8

? (2 ) ? 2
3 ?
1 2

2 3

? 2 ? 4;
2 2? ( ? 2 )
1

( 2 )2 5
1 2

? (5 )
2

?1 2

?5

? 5

?1

1; ? 5

(3) ( )

?5

? ( 2 ) ? 2 ? 3 2;
5
3 4

?1 ?5

(4 ) ( )

16 81

?

? [( ) ]
2 3

4 ?

3 4

?( )

2 4? ( ? 4 ) 3
3

?( ) ?

2 ?3 3

27 8

.

【题型1】将根式转化分数指数幂的形式. ?要熟悉运算性质. ?当有多重根式是,要由里向外层层转化. 例1.利用分数指数幂的形式表示下列各式(其 中a >0).
(1) a ?
2
2 3

3

a ;
2 2

2

(2) a a .
2 3

3

解: (1) a ? a ? a ? a ?a
(2) a 3 a?
1 3 1 2

2? 2 3
4 3

?a ;
1 2

8 3

(a ? a ) ? (a ) ? a .

2 3

【题型2】分数指数幂的运算
系数先放在一起运算;同底数幂进行运算,乘的指 数相加,除的指数相减.

(1) ( 2 a b )( ? 6 a b ) ? ( ? 3 a b );

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

解:原式 = [ 2 ? ( ? 6 ) ? ( ? 3 )]a
? 4 ab
(2) (a
?2

2?1?1 3 2 6

b

1?1?5 2 3 6

0
?1

? 4a;
?4

b
1 3

?3

)( ? 4 a b ) ? (12 a
?2 ? 1? 4

b

?2

)

? (?4) ? 12a ? ? a.

b

?3 ? 1? 2

1

(3) (?2 x 4 y

?

1 3

?

1 2

2

1

2

)( 3 x

y 3 )( ? 4 x 4 y 3 );
1 4

解 :原 式 ? ( ? 2 ) ? 3 ? ( ? 4 ) x
? 24 y .

?1? 2

1 4

y

2 ?1? 3? 3

2 3

(4) (m n

1 4

3 ?8

) ? (m ) (n
8

8

1 4

3 ?8

)

8

? m n
2

?3

.

【题型4】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有 理指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.

例4.求下列各式的值:
(1) 2 3?
1 2
3

1.5 ?
1 3

6

12
1 6

3 ) ? (22 ? 3) ? 2? 3 ?( 2
? 2? 3 ? 3 2
1 2 1 3 ? 1 3

?2

2?

1 6

?3

1 6

? 2

1 ? 1 ? 2? 1 3 6

?3

1?1 ?1 2 3 6

? 2 ? 3 ? 6.

【题型4】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有 理指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.
2 3 1

( 2 )(

3

25 ?
1

125 ) ?
3 1

4

3 2 4 5 ? (5 ? 5 ) ? 5

2

? 53 ? 54 ? 52 ? 54
2

? 53

?

1 4

3

? 52
5

?

1 4

5

? 5 12 ? 5 4

?

12

5 ? 54 5.
5

1.分数指数概念
(1 ) a
(2) a
m n

?

n

a

m

;
?

(a>0,m,n∈N*, n>1)
1
n

? m n

?

1 a
m n

a

m

;

(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理指数幂运算性质
(1 ) a a ? a
r s
r s r

r?s
rs

( a ? 0, r , s ? Q );

( 2 ) ( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? Q ); ( 3 ) ( ab ) ? a b ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ).
r r


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