2.1.2指数与指数幂的运算(第二课时)
(4) (5) (6)(7) 【1】下列说法中正确的序号是____________. (1)16的四次方根是2; (2)正数的n次方根有两个; (3)a的n次方根就是 a ;
n
(4) ?
(6 ) ( ?
4
3
8 1 ? ? 3;
3
(5 ) ( ? 5 ) ? ? 5;
4
81 ) ? 81;
4
(7 )
3
(?8)
3
? ? 8.
【2】计算
(a ? b ) ? | b ? a | ? | a ?
2 3 3
3
b | , ( a ? b ? 0 ).
3
解 :原 式 ? | a ? b | ? | b ? a | ? | a ? b |
? ? ( a ? b ) ? ( b ? a ) ? [ ? ( a ? b )]
? ?a ? b ? b ? a ? a ? b ? ? 3a ? b.
(1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)
2
3 10
? ?
3
(2 ) ? 2
5 2 4 3
5
?2 ; ?3 ;
12 4
12 3
10 2
3
12
(3 ) ? 3
3 4
4
4
a a
12
? ?
4
(a ) ? a ? a
3
;
5
10
5
(a ) ? a
2 5
2
?a
10 5
结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以表示为分数指数幂的形式.
(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?
5 3
3
4 7
3 5
2
? 4 ;
3 5
类比
? 7 ;
2 3
5 3
a ? a ;
7
a ? a .
9
9 7
a>0
总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时,根式可以写成分数指数幂的形式.
(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?
5
4 ? 4 ;
3
3 5
43的5次方根是 4 ; 75的3次方根是 7 ;
5 3
3 5
3
7 ?7 ;
5
5 3
3
a
2
? a ;
9 7
2 3
a2的3次方根是 a ;
a9的7次方根是 a .
9 7
2 3
a ? a . 结果表明:方根与分数指数幂是相通的.
7 9
综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义.
1.正数的正分数指数幂的意义：
a
m n
m n
?
n
a
m
(a ? 0, m , n ? N , 且n ? 1)
?
2.正数的负分数指数幂的意义：
?
a
? 1 ? m a
n
1
n
(a ? 0, m , n ? N , 且n ? 1)
m
?
a
3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指 数幂没有意义.
【1】用根式表示下列各式:(a＞0)
a
1 2
4
a
3 4
?
a
1
5
3 5
a
3
? 2 3
a
a
3
1
3
【2】用分数指数幂表示下列各式：
3
4
a
a
2
(a ? b ) (a ? b ? 0) ( a ? b ) 4
3
3
( m ? n)
4
2
( m ? n)
2 3
( m ? n) ( m ? n) p ? q ( p ? 0)
6 5
( m ? n)
p ?q
3 5 2
2
4.有理指数幂的运算性质
(1) a
m
?a
n
n
?a
m? n
( m , n ? Z)
(2) (a
m
) ?a
n
m? n
n
(m , n ? Z)
(3) (ab ) ? a b ( m , n ? Z)
n
指数的概念从整数指数推广到了有理数 指数,整数指数幂的运算性质对于有理指数幂 都适用.
(1 ) a a ? a
r s
r s
r? s
rs
( a ? 0 , r , s ? Q );
( 2 ) ( a ) ? a ( a ? 0 , r , s ? Q ); ( 3 ) ( a b ) ? a b ( a ? 0 , b ? 0, r ? Q ).
r r r
【1】求下列各式的值.
(1) 8 ,
2 3
( 2 )25
2 3
?
1 2
,
(3) ( 1 ) , 2
3? 3
2
?5
(4 ) ( 16 ) 81
?
3 4
.
解 : (1) 8
? (2 ) ? 2
3 ?
1 2
2 3
? 2 ? 4;
2 2? ( ? 2 )
1
( 2 )2 5
1 2
? (5 )
2
?1 2
?5
? 5
?1
1; ? 5
(3) ( )
?5
? ( 2 ) ? 2 ? 3 2;
5
3 4
?1 ?5
(4 ) ( )
16 81
?
? [( ) ]
2 3
4 ?
3 4
?( )
2 4? ( ? 4 ) 3
3
?( ) ?
2 ?3 3
27 8
.
【题型1】将根式转化分数指数幂的形式. ?要熟悉运算性质. ?当有多重根式是,要由里向外层层转化. 例1.利用分数指数幂的形式表示下列各式(其 中a >0).
(1) a ?
2
2 3
3
a ;
2 2
2
(2) a a .
2 3
3
解: (1) a ? a ? a ? a ?a
(2) a 3 a?
1 3 1 2
2? 2 3
4 3
?a ;
1 2
8 3
(a ? a ) ? (a ) ? a .
2 3
【题型2】分数指数幂的运算
系数先放在一起运算;同底数幂进行运算,乘的指 数相加,除的指数相减.
(1) ( 2 a b )( ? 6 a b ) ? ( ? 3 a b );
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
解：原式 = [ 2 ? ( ? 6 ) ? ( ? 3 )]a
? 4 ab
(2) (a
?2
2?1?1 3 2 6
b
1?1?5 2 3 6
0
?1
? 4a;
?4
b
1 3
?3
)( ? 4 a b ) ? (12 a
?2 ? 1? 4
b
?2
)
? (?4) ? 12a ? ? a.
b
?3 ? 1? 2
1
(3) (?2 x 4 y
?
1 3
?
1 2
2
1
2
)( 3 x
y 3 )( ? 4 x 4 y 3 );
1 4
解 :原 式 ? ( ? 2 ) ? 3 ? ( ? 4 ) x
? 24 y .
?1? 2
1 4
y
2 ?1? 3? 3
2 3
(4) (m n
1 4
3 ?8
) ? (m ) (n
8
8
1 4
3 ?8
)
8
? m n
2
?3
.
【题型4】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有 理指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.
例4.求下列各式的值：
(1) 2 3?
1 2
3
1.5 ?
1 3
6
12
1 6
3 ) ? (22 ? 3) ? 2? 3 ?( 2
? 2? 3 ? 3 2
1 2 1 3 ? 1 3
?2
2?
1 6
?3
1 6
? 2
1 ? 1 ? 2? 1 3 6
?3
1?1 ?1 2 3 6
? 2 ? 3 ? 6.
【题型4】根式运算
利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有 理指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算.
2 3 1
( 2 )(
3
25 ?
1
125 ) ?
3 1
4
3 2 4 5 ? (5 ? 5 ) ? 5
2
? 53 ? 54 ? 52 ? 54
2
? 53
?
1 4
3
? 52
5
?
1 4
5
? 5 12 ? 5 4
?
12
5 ? 54 5.
5
1.分数指数概念
(1 ) a
(2) a
m n
?
n
a
m
;
?
(a＞0,m,n∈N*, n＞1)
1
n
? m n
?
1 a
m n
a
m
;
(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂 没有意义. 2.有理指数幂运算性质
(1 ) a a ? a
r s
r s r
r?s
rs
( a ? 0, r , s ? Q );
( 2 ) ( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? Q ); ( 3 ) ( ab ) ? a b ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ).
r r
