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上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[4]


上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[4]

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上海市华师大二附中 高三年级数学综合练习[4]
一、填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一 律得零分。

?1 ? i ? 1. 复数 Z ? ? ? ? ___________. ?1? i ? 2. 函数 y ? 3 sin 2x ? cos 2x 的最小正周期是____________. 3. 函数 y ? log2 ( x ? 1) ? 1 (x>0)的反函数是_____________. 4. 某学校的某一专业从 8 名优秀毕业生中选派 5 名支援中国西部开发建设, 其中甲同学必须被选派的概 率是____________. 1 5. 已知 f ( x) ? 的反函数 f ?1 ( x) 图像的对称中心坐标是(0, 2), 则 a 的值为__________. x?a x?2 6. 不等式 ax ? b ? 0 解集为(1, +∞), 则不等式 ? 0 的解集为___________. ax ? b 2 7. 已知等差数列{an}前 n 项和为 Sn. 若 m>1, m∈N 且 am?1 ? am?1 ? am ? 0 S 2m?1 ? 38 , 则 m 等于 ____________. 8. 将 7 名学生分配到甲、乙两个宿舍中, 每个宿舍至少安排 2 名学生, 那么互不相同的分配方案共有 ________种. 2a ? 3 9. 函数 f (x) 是定义在 R 上以 3 为周期的奇函数, 若 f (1) ? 1 , f (2) ? . 则实数 a 的取值范围是 a ?1 ________________. 10. 已知等差数列{an}公差不为 0, 其前 n 项和为 Sn, 等比数列{bn}前 n 项和为 Bn, 公比为 q, 且|q|>1, 则 ? S B ? lim? n ? n ? =___________________. ? y n ??? na ? n bn ? 11. 函数 y ? f ( x ? 1) 的图象如图所示,它在 R 上单调递减,现有如下结论: 1 1 1 ⑴ f (0) ? 1 ;⑵ f ( ) ? 1 ;⑶ f ?1 (1) ? 0 ;⑷ f ?1 ( ) ? 0 。 2 2 X O 1 其中正确的命题序号为______________.(写出所有正确命题序号) k 12. 已知 n 次多项式 Pn ( x) ? a0 x n ? a1 x n?1 ? ? ? ? ? an?1 x ? an . 如果在一种计算中, 计算 x0 (k=2,3,4,……, n)的值需要 k ? 1 次乘法, 计算 P3 ( x0 ) 的值共需要 9 次运算(6 次乘法, 3 次加法). 那么计算 Pn ( x0 ) 的 值 共 需 要 __________ 次 运 算 . 下 面 给 出 一 种 减 少 运 算 次 数 的 算 法 : P0 ( x 0 ) ? a 0 , Pk ?1 ( x) ? xPk ( x) ? a k ?1 (k ? 0,1,2,? ? ?, n ? 1) , 利用该算法, 计算 P3 ( x0 ) 的值共需要 6 次运算, 计算 Pn ( x0 ) 的值共需要__________次运算.
二、选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结论,其中有且 只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得 4 分,不选、错选或者选出的 代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分。 13. 集合 M ? {(x, y) | y ? 1 ? x 2 , x, y ? R} , N ? ?( x, y) | x ? 1, y ? R?, 则 M ? N ? ( A. A={(1, 0)} B. {y|0≤y≤1} C. {1, 0} D. φ ) )

100

14. 设数列{an}前 n 项和 S n ? Aq n ? B ,则 A+B=0 是使{an}成为公比不等于 1 的等比数列的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 15. 2002 年 8 月在北京召开了国际数学家大会, 会标如图示,它是由四个相同的直角三 角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形, 若直角三角形中较小的锐角为θ ,大 正方形面积是 1, 小正方形面积是

1 , 则 sin 2 ? ? cos 2 ? 的值是( 25

)

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A. 1

B.

7 25

C.

24 25

D. ?

7 25

16.设[x]表示不超过 x 的最大整数(例如:[5.5]=5,[一 5.5]=-6),则不等式 [ x]2 ? 5[ x] ? 6 ? 0 的解 集为( ) A. (2,3) B. [2,4] C. [2,3] D. (2,3] 三、解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤。 17. (本题满分 12 分) 设复数 z ? cos ? ? i sin ? , ? ? [0, ? ] , ? ? ?1 ? i ,求 | z ? ? | 的取值范围。

18.(本题满分 12 分) 命题甲: a ? R, 关于 x 的方程 | x |? ax ? 1(a ? 0) 有两个非零实数解; 命题乙: a ? R, 关于 x 的不等式 (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ? 0 的解集为空集; 当甲、 乙中有且仅有一个 为真命题时, 求实数 a 的取值范围.

19.(本题满分 12 分) 已知△ABC 中, sin A ? (sin B ? cos B) ? sin C ? 0 , sin B ? cos 2C ? 0 ,

求:角 A、B、C 的大小。

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20.(本题满分 14 分) 如图,一个水轮的半径为 4 m,水轮圆心 O 距离水面 2 m,已知水轮每分钟转动 5 圈,如果当水轮上 点 P 从水中浮现时(图中点 p0)开始计算时间。 (1)将点 p 距离水面的高度 z(m)表示为时间 t(s)的函数; (2)点 p 第一次到达最高点大约需要多少时间?

21.(本题满分 18 分) 设函数 f (x) 在 (??,?? ) 上满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) 且在闭区间[0, 7]上只有 f (1) ? f (3) ? 0 . ⑴试判断函数 y ? f (x) 的奇偶性; ⑵试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间 [?2005,2005] 上的根的个数, 并证明你的结论.

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22.(18 分)

a11,a12,……a18 a21,a22,……a28 ………………… a81,a82,……a88 64 个正数排成 8 行 8 列, 如上所示:在符合 aij (1 ? i ? 8,1 ? j ? 8) 中,i 表示该数所在的行数,j 表示

该数所在的列数。已知每一行中的数依次都成等差数列,而每一列中的数依次都成等比数列(每列公比 q 都相等)且 a11 ? ⑴若 a 21 ?

1 1 , a 24 ? 1 , a32 ? 。 2 4

1 ,求 a12 和 a13 的值。 4
36 ,联 mbn?1 ? 2(a n ? mbn ) (m An

⑵记第 n 行各项之和为 An(1≤n≤8) ,数列{an}、{bn}、{cn}满足 a n ? 为非零常数) c n ? ,

bn 2 2 ,且 c1 ? c7 ? 100 ,求 c1 ? c2 ? ? ? ?c7 的取值范围。 an

⑶对⑵中的 a n ,记 d n ?

200 (n ? N ) ,设 Bn ? d1 ? d 2 ? ? ? d n (n ? N ) ,求数列 {Bn } 中最大项的项数。 an

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上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[4] 参考答案
5 ; 5、 ? 2 ; 6、 (??,?1) ? (2,??) ; ( x) ? 2 x?1 ? 1 (x>1) 4、 ; 8 q 1 n(n ? 3) 2 7、10; 8、112; 9、 (?1, ) ; 10、 ? ; 11、⑵,⑶,⑷; 12、 ;2n. 2 q ?1 2 3 13、A; 14、B; 15、D; 16、B 17、略解: | z ? ? |?[ 2 ? 1, 5 ] 18、解:当甲真时,设 y ?| x | 和y ? ax ? 1 (a ? 0) ,即两函数图象有两个交点. 则0 ? a ?1 ?a 2 ? 1 ? 0 当乙真时, a ? 1 时 满足 或 ? 也满足 ? ??0 7 则 ? ? a ?1 9 ?a ? 1或a ? 0 ? 0 ? a ?1 ? 7 或? 7 ∴当甲乙有但仅有一个为真命题时,即 ? ? ? ? a ?1 a ? 1或a ? ? ? 9 ? 9 ? ? 7 ∴ a ? [ ? ,0] ? {1} 9 19、解: sin A ? (sin B ? cos B) ? sin C ? 0 得 sin A ? sin B ? sin A ? cos B ? sin C ? sin( A ? B) ∴ sin A ? sin B ? cos A ? sin B ∵ sin B ? 0 ∴ tgA ? 1 又 0<A<π 3? ? 则 A? , 即C ? ?B 4 4 3? 由 sin B ? cos 2C ? 0 得 sin B ? cos 2( ? B) ? 0 4 即 sin B ? sin 2 B ? 0 亦即 sin B ? (1 ? 2 cos B) ? 0 5? 1 ? ∴ cos B ? 得 B ? , 从而 C ? ′ 12 2 3 5? ? ? 则所求的角 A ? , B ? , C ? . 12 4 3
1、1; 2、π ; 3、 f
?1

20、解: (1)如图建立直角坐标系,设角 ? (? 所转过的角为 (

?

5 ? 2? ? ? 1 ? )= t ,得 z=4sin ( t ? ? ) ? 2 ,当 t=0 时,z=0,得 sin ? =- ,即 ? = , 60 6 6 2 6

2

? ? ? 0) 是以 ox 为始边,op0 为终边的角,op 每分钟内

故所求的函数关系式为 z=4sin ( (2)令 z=4sin (

?

?
6

t?

?

6

t?

?

6

) +2

) +2=6,得 sin ( t ? ) =1,取 t ? ? ,得 t=4,故点 P 第一次到达 6 6 6 6 6 2

?

?

?

?

?

最高点大约需要 4S。 21、解⑴由 f (2 ? x) ? f (2 ? x)得f (?1) ? f (5) ∵在 x ?[0,7] 上只有 f (1) ? f (3) ? 0 ∴ f (5) ? 0 ∴ f (?1) ? f (1), 且f (?1) ? ? f (1) 故 f (x) 为非奇非偶函数。

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? f ( 2 ? x) ? f ( 2 ? x) ? f ( x) ? f ( 4 ? x) ⑵由 ? 得 ? ? f (7 ? x ) ? f (7 ? x ) ? f ( x) ? f (14 ? x) ? f (4 ? x) ? f (14 ? x) ? f ( x) ? f ( x ? 10) ∴ f (x) 是以 10 为周期的函数. 又 f (3) ? f (1) ? 0 ∴ f (11) ? f (13) ? f (?7) ? f (?9) ? 0 ∴ f ( x) ? 0 在[0, 10]和 [?10,0] 上各有 2 个根. 从而方程在 [?2000,2000] 上有 800 个根, 而 [?2005,?2000] 上没有根, 在[2000, 2005]上有 2 个根. 故方程 f ( x) ? 0 在 [?2005,2005] 上共有 802 个根. a a 1 22、解:⑴∵ q ? 21 ? , ∴ a14 ? 24 ? 2 a11 2 q
∵ a11 , a12 , a13 , a14 成等差 ∴ a12 ? 1, a13 ?

3 2

⑵设第一行公差为 d,

1 1 ? 2 2 ?a32 ? a12 q ? ( 2 ? d ) ? q ? 4 ? 1 ? a 24 ? a14 ? q ? ( ? 3d ) ? q ? 1 2 ?

1 1 ,q ? ′ 2 2 1 1 1 1 1 ∵ an1 ? a11 ? ( ) n?1 ? ( ) n an8 ? a18 ? ( ) n?1 ? 4 ? ( ) n?1 ? 8( ) n 2 2 2 2 2 an1 ? an8 1 ∴ An ? ∴ a n ? 2 n (1 ? n ? 8, n ? N ) ? 8 ? 36 ? ( ) n 2 2 b b 1 ∵ mbn?1 ? 2(a n ? mbn ) ∴ n ?1 ? n ? n ?1 n m 2 2 bn 1 而 cn ? ∴ c n ?1 ? c n ? ∴ {cn } 是等差数列 an m (c ? c7 ) ? 7 故 c1 ? c2 ? ? ? ? ? c7 ? 1 2 2 2 2 2 2 ∵ (c1 ? c7 ) ? c1 ? c7 ? 2c1 ? c7 ? 2(c1 ? c7 ) ? 200
解出: d ? ∴ ? 10 2 ? c1 ? c7 ? 10 2 ∴ c1 ? c2 ? ? ? ? ? c7 ?[?35 2 ,35 2 ] ⑶∵ d n ? 200 ? ( ) n 是一个正项递减数列

1 2 ∴ d n ? 1时Bn ? Bn?1 , d n ? 1时Bn ? Bn?1
1 n ? ? 200( 2 ) ? 1 ? dn ?1 ∴ {Bn } 中最大项满足 ? ?? 1 ?d n ?1 ? 1 ?200( ) n ?1 ? 1 2 ? 解出:6.643<n≤7.643 ∵ n ? N , ∴n=7,即 {Bn } 中最大项的项数为 7 项.


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