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2010届高考 之立体几何大题强化训练(文科)


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专题复习——立体几何(文)答案
一.经典例题: 例 1:一个多面体的直观图和三视图如图所示,其中 M 、 G 分别是 AB 、 DF 的中点. (1) 求证: CM ? 平面 FDM ; (2)在线段 AD 上(含 A 、 D 端点)确定一点 P ,使得 GP // 平面
FMC ,并给出证明;

a 2a 正视图

a a 左视图

F

E

G
D

C
M B

a 2a 俯视图

A

解:由三视图可得直观图为直三棱柱且底面 ADF 中 AD⊥DF,DF=AD=DC/2 (Ⅰ) ? FD ? 平面ABCD, CM ? 平面ABCD,? FD ? CM , ………………………2 分

在矩形ABCD中,CD= 2a, AD= a,M为AB中点,DM = CM = 2a,?CM ? DM , --4 分
? FD ? 平面FDM , DM ? 平面FDM ,? CM ? 平面FDM
…………………………6 分 (Ⅱ)点 P 在 A 点处. ………………………………………7 分 证明:取 DC 中点 S,连接 AS、GS、GA ∵G 是 DF 的中点,GS//FC,AS//CM………………………………………10 分 ∴面 GSA//面 FMC,而 GA ? 面 GSA,∴GP//平面 FMC ……………………12 分 例 2: (2009 江苏卷) (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, E 、 F 分别是 A B 、 AC 的中点,点 D 在 B1C1 上, 1 1 (1)EF∥平面 ABC; (2)平面 A FD ? 平面 BB1C1C . A1D ? B1C 。 求证: 1

【解析】 本小题主要考查直线与平面、 平面与平面得位置关系,考查空间想象能力 、推理论证能力。满分 14 分。

例 3: (2009 深圳一模) 图,AB 为圆 O 的直径, E 、F 在圆 O 上,AB // EF , 点 矩形 ABCD 所在的平面和圆 O 所在的平面互相垂直,且 AB ? 2 , AD ? EF ? 1 . (Ⅰ)求证: AF ? 平面 CBF ;
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(Ⅱ)设 FC 的中点为 M ,求证: OM // 平面 DAF ; (Ⅲ) 设平面 CBF 将几何体 EFABCD 分成的两个锥体的体积分别为 VF ? ABCD ,VF ?CBE ,
C

求 VF ? ABCD : VF ?CBE . (Ⅰ)证明: ? 平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? AB , 平面 ABCD ? 平面 ABEF = AB ,
D

B

M E

?CB ? 平面 ABEF ,
? AF ? 平面 ABEF ,? AF ? CB ,……… 2 分
又? AB 为圆 O 的直径,? AF ? BF ,
A

O
F

…………………… 4 分 …………………… 5 分

? AF ? 平面 CBF 。
(Ⅱ)设 DF 的中点为 N ,则 MN //

1 1 CD ,又 AO // CD , 2 2
…………………… 8 分

则 MN // AO , MNAO 为平行四边形,

? OM // AN ,又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF ,

? OM // 平面 DAF 。
(Ⅲ)过点 F 作 FG ? AB 于 G ,? 平面 ABCD ? 平面 ABEF ,

…………………… 10 分

? FG ? 平面 ABCD ,?VF ? ABCD ?

1 2 S ABCD ? FG ? FG , 3 3

…………………… 12 分

? CB ? 平面 ABEF , 1 1 1 1 ?VF ?CBE ? VC ? BFE ? S ?BFE ? CB ? ? EF ? FG ? CB ? FG ,………………… 13 分 3 3 2 6

?VF ? ABCD : VF ?CBE ? 4 : 1 .

14 分

二.巩固练习: 1.80cm2. 2.答案 A. 3.正确的命题有②和③,选 C 4.一个四棱锥的直观图和三视图如下图所示,E 为 PD 中点. (I)求证:PB//平面 AEC; (II)求四棱锥 C ? PAB 的体积; (Ⅲ)若 F 为侧棱 PA 上一点,
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PF ? ? ,则 ? 为何值时, PA ? 平面 BDF. FA
P

E

D C A

B

2

解: (1)由三视图得,四棱锥底面 ABCD 为菱形, 棱锥的高为 3,设 AC ? BD ? O ,则 PO 即是棱锥 的高,底面边长是 2,连接 OE ,? E , O 分别 是 DP, DB 的中点,? OE ∥ BP ,

?OE ? 面AEC, BP ? 面AEC ? PB ∥ 面AEC
(2)

1 1 ?1 1 ? V三棱锥C-PAB ? V三棱锥P-ABC ? V四棱锥P-ABCD ? ? ? ? ( ? 2 ? 2 3) ? 3? ? 3 2 2 ?3 2 ?
(3)过 O 作 OF ? PA, 在Rt? POA中, PO ? 3, AO ? 3, PA ? 2 3 ? AF ?

3 ----10 分 2

? PF : FA ? 3时即? =3时, OF ? PA, ? PO ? BD, AC ? BD, PO ? AC ? O ? BD ? 面PAC

---------------12 分

? BD ? PA,由OF ? PA且BD ? OF ? O ? PA ? 面BDF ---------------14 分
5.如图是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视 图.在直观图中, M 是 BD 的中点.侧视图是直角梯形,俯视图是等腰直角三角形,有关 数据如图所示. (1)求出该几何体的体积; (2)求证:EM∥平面 ABC; (3)试问在棱 DC 上是否存在点 N,使 NM⊥平 面 BDE ? 若存在, 确定点 N 的位置; 若 不存在,请说明理由. (1)∵EA⊥平面 ABC,∴EA⊥AB, 又 AB⊥AC, ∴AB⊥平面 ACDE , 2分 ∴四棱锥 B-ACDE 的高 h=AB=2,梯形 ACDE 的面积 S= 6 ∴ VB ? ACDE ?
2 18题图 2 俯视图 A 直观图 C B 侧视图 2 M E 4 D

1 ? S ? h ? 4 , 即所求几何体的体积为 4…4分 3 1 DC 2

D

(2)证明:∵M 为 DB 的中点,取 BC 中点 G,连接 EM,MG,AG, ∴ MG∥DC,且 MG ?
M E

∴ MG ∥ AE,∴四边形 AGME 为平行四边形, 6分 = ∴EM∥AG, 又 AG ? 平面 ABC ∴EM∥平面 ABC.……8 分 (3)由(2)知,EM∥AG, 又∵平面 BCD⊥底面 ABC,AG⊥BC,∴AG⊥平面 BCD ∴EM⊥平面 BCD,又∵EM ? 平面 BDE, ∴平面 BDE⊥平面 BCD 10 分
3

N C G
A B

在平面 BCD 中,过 M 作 MN⊥DB 交 DC 于点 N, ∴MN⊥平面 BDE 点 N 即为所求的点 11 分 ∵ ?DMN ∽ ?DCB ?

DN DM ? DB DC



DN 6 ? 4 2 6

? DN ? 3

3 DC 13 分 4 3 ∴ 边 DC 上存在点 N,满足 DN= DC 时,有 NM⊥平面 BDE. ? DN ?

4

14 分
?

6.(2009 福建卷文) (本小题满分 12 分)如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60 ,

AB ? 2, AD ? 4 将 ?CBD 沿 BD 折起到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ? 平面 ABD
(I)求证: AB ? DE (Ⅱ)求三棱锥 E ? ABD 的侧面积。 (I) 证明: ?ABD 中, AB ? 2, AD ? 4, ?DAB ? 60? 在 ?

? BD ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? 2 AD cos ?DAB ? 2 3 ? AB 2 ? BD 2 ? AD 2 ,? AB ? DE
又? 平面 EBD ? 平面 ABD 平面 EBD ? 平面 ABD ? BD, AB ? 平面 ABD

? AB ? 平面 EBD

? DF ? 平面 EBD,? AB ? DE
(Ⅱ)解:由(I)知 AB ? BD, CD // AB,?CD ? BD, 从而 DE ? D 在 Rt ?DBE 中,? DB ? 2 3, DE ? DC ? AB ? 2

? S?ABE ?

1 DB ? DE ? 2 3 2

又? AB ? 平面 EBD, BE ? 平面 EBD,? AB ? BE

? BE ? BC ? AD ? 4,? S ?ABE ?

1 AB ? BE ? 4 2

? DE ? BD, 平面 EBD ? 平面 ABD ? ED ? ,平面 ABD
而 AD ? 平面 ABD,? ED ? AD,? S ?ADE ?

1 AD ? DE ? 4 2

综上,三棱锥 E ? ABD 的侧面积, S ? 8 ? 2 3

4


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