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河南省商丘市2016届高三数学5月第三次模拟考试试题 文


商丘市 2016 年高三 5 月第三次模拟考试 数 学(文科)

本试卷分试题卷和答题卡两部分。试题卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,共 4 页; 答题卡共 6 页。满分为 150 分,考试时间为 120 分钟。考生作答时,请按要求把答案涂、写在答题 卡规定的范围内,超出答题框或答在试题卷上的答案无效。考试结束只收答题卡。 第Ⅰ卷(选择题,共 60

分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x 1 ? x ? 3 , B ? x x ? 2 ,则 A ? CU B ? A. x 1 ? x ? 2 2.若复数 z ? A. 3

?

?

?

?

?

?

B. x 1 ? x ? 2

?

?

C. x 1 ? x ? 2

?

?

D. x 1 ? x ? 3

?

?

6 ? ai (其中 a ? R, i 是虚数单位)的实部与虚部相等,则 a ? 3?i B. 6 C. 9 D. 12

3.下列函数中,满足 f ( xy) ? f ( x) f ( y) 的单调递增函数是 A. f ( x) ? log2 x B. f ( x) ? ? x ?1 C. f ( x) ? x3 D. f ( x) ? 2 x

4.若 A, B, C , D 四点共线,且满足 AB ? (3a,2a)(a ? 0),CD ? (2, t ) ,则 t ?

4 C. 3 D. ? 3 3 1 1 1 5.要计算 1 ? ? ? ? ? ? ? 的结果,下面程序框图中的判断框内可以填 2 3 2016 A. n ? 2016 B. n ? 2016 C. n ? 2016 D. n ? 2016
A. B.

3 4

? 1 ? x ? 2, ? 6.已知 A(2,1), O(0,0) ,点 M ( x, y ) 满足 ? y ? 2, 则 z ? OA ? AM 的最大值为 ?2 x ? y ? 2, ?
A. ? 5 B. ? 1 C. 0 D. 1 7.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0) 的部分图象如图所示,则 f ( x) 的解析式可以为 A. f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
4

)

1

B. f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

) 4 x 3? ) C. f ( x) ? 3 sin( ? 2 4 x 3? ) D. f ( x) ? 3 sin( ? 2 4

?

x2 2 8.已知抛物线 y ? 8x 与双曲线 2 ? y ? 1 的一个交点 a
2

为 M , F 为抛物线的焦点,若 MF ? 5 ,则该双曲 线的渐近线方程为 A. 5x ? 3 y ? 0 C. 4 x ? 5 y ? 0 B. 3 x ? 5 y ? 0 D. 5 x ? 4 y ? 0

9.如图,网格纸上小正方形的边长为 1 ,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的 各面中,面积最大的值是 A. 8 B. 12 C. 4 5 D. 16

10.曲线 y=a x (a>0)与曲线 y= ln x 有公共点,且在公共点处的切线相同,则 a 的 值为 A.e B.e
2

C.e

-2

D.e

-1

11.已知数列 an ? n ? sin A. 0

n? 1 ? ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? a100 ? 2 2 B. ? 2 C. 2

D. 1

12.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数 f ( x) ? ?

? 1, x ? Q, 被称为 ?0, x ? CR Q

狄利克雷函数,其中 R 为实数集, Q 为有理数集,则关于函数 f ( x) 有如下四个命题: ① f ( f ( x)) ? 0 ;②函数 f ( x) 是偶函数;③任取一个不为零的有理数 T , f ( x ? T ) ? f ( x) 对 任意的 x ? R 恒成立;④存在三个点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )),C( x3 , f ( x3 )),使得 ?ABC 为等 边三角形.其中真命题的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题-第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题-第 24 题为选做题,考生根据要求做答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知 x , y 的取值如下表所示:从散点图分析, x 与 y 线性

2

? =kx+1 ,则 k ? _______. 相关,且 y
14.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣: “远看巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三 百八十一,请问尖头几盏灯” .这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠,本题说它一共有 7 层,每 层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍,共有 381 盏灯,问塔顶有几盏灯?你算出顶层有______盏灯. 15.已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点恰好是椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F ,且这两 a 2 b2

条曲线交点的连线过点 F ,则该椭圆的离心率为______. 16.设函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? ln x ? m .有下列五个命题: ①若对任意 x ?[1,2] ,关于 x 的不等式 f ( x) ? g ( x) 恒成立,则 m ? e ; ②若存在 x0 ? [1,2] ,使得不等式 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,则 m ? e ? ln 2 ;
2

③若对任意 x1 ? [1,2] 及任意 x2 ? [1,2] ,不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,则 m ? e ? ln 2 ; ④若对任意 x1 ? [1,2] ,存在 x2 ? [1,2] ,使得不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则 m ? e ; ⑤若存在 x1 ? [1,2] 及 x2 ? [1,2] ,使得不等式 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则 m ? e .
2

其中,所有正确结论的序号为______. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 a cos B ? b cos A ? 2c cos C . (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积为 2 3 ,求边长 c 的最小值. 18. (本小题满分 12 分) 如图所示,茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学完成某道数学题的得分情况,该题满分为 12 分.已知甲、乙两组的平均成绩相同,乙组某个数据的个位数模糊,记为 m . (Ⅰ) 求 m 的值, 并判断哪组学生成绩更稳定; (Ⅱ)在甲、乙两组中各抽出一名同学,求这 两名同学的得分之和低于 20 分的概 率. 19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,

?BAD ? 60? ,AB ? 2, PA ? 3 ,PA ? 底面 ABCD ,E
是 PC 的中点, F 是 AB 的中点. (Ⅰ)求证: BE ∥ 平面 PDF ; (Ⅱ)求三棱锥 P ? DEF 的体积.

3

20. (本小题满分 12 分) 过点 A(0, a ) 作直线与圆 E : ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 交于 B、C 两点,在线段 BC 上取满足

BP : PC ? AB : AC 的点 P . (Ⅰ)求 P 点的轨迹方程;
(Ⅱ)设直线 2 x ? ay ? 3 ? 0 与圆 E 交于 M、N 两点,求 ?EMN( E 为圆心)面积的最 大值. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2e x ? 2ax ? a 2 , a ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间和极值; (Ⅱ)若 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ? 3 恒成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做.则按所做的第一题记分。做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 已知四边形 ABCD 为圆 O 的内接四边形,且 BC=CD, 其对角线 AC 与 BD 相交于点 M,过点 B 作圆 O 的切线交 DC 的延长线于点 P. (Ⅰ)求证:AB·MD=AD·BM; (Ⅱ)若 CP·MD=CB·BM,求证:AB=BC. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程是 ?

? x=2cos ? (θ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴 ?y=sin ?
4? ) . 3

为极轴建立极坐标系,A、B 的极坐标分别为 A(2,π ) 、B(2, (Ⅰ)求直线 AB 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 M 为曲线 C 上的动点,求点 M 到直线 AB 距离的最大值. 24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设 f(x)=|x-l|-2|x+1|的最大值为 m. (Ⅰ)求 m; (Ⅱ)若 a,b,c∈(0,+∞) ,

a 2+c 2 +b 2=m ,求 ab+bc 的最大值. 2

4

商丘市 2016 年高 三 第三次模拟考试参考答案 数 学 (文科) 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) C A C B 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) (13) 0.8 (14) 3 (15) 2 ? 1

B D D A

B D A C

(16) ①②③④⑤

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) (17)解: (Ⅰ)由正弦定理,可得 sin A cos B ? sin B cos A ? 2sin C cos C ,????2 分 ∴ sin( A ? B) ? 2sin C cos C ,??????????????????3 分 ∴ sin C ? 2sin C cos C ,????????????????????4 分 ∴ cos C ?

1 ,?????????????????????????5 分 2

所以 ab ? 8 ,??????????8 分 由余弦定理 c ? a ? b ? 2ab cos C ????????????????9 分
2 2 2

∴ c ? 2ab ? 2ab cos C ? c ? 8 ,????????????????10 分
2 2

∴ c ? 2 2 (当且仅当 a ? b 时取等号) . ∴ c 的最小值为 2 2 .??????????????????????12 分 (18) 解: (I) x甲 ?

9 ? 9 ? 11 ? 11 ? 10 , ??????????????????1 分 4
∴ m ? 1 .??????????????2 分

∴ x乙 ?

8 ? 9 ? m ? 12 ? 10 , 4

S 2甲 ?

(10 ? 9) 2 ? (10 ? 9) 2 ? (10 ? 11) 2 ? (10 ? 11) 2 ? 1 ????????3 分 4

S

2 乙

(10 ? 8)2 ? (10 ? 9)2 ? (10 ? 11) 2 ? (10 ? 12) 2 ? ? 2.5 ,??????4 分 4
2 甲

∴S

? S 2乙 ,

∴ 甲组成绩比乙组稳定. ?????????????????????6 分

4 (II)记甲组 4 名同学为: A 1 , A2 , A 3 , A 4 ;乙组 名同学为: B 1 , B2 , B3 , B 4 ,分别从甲乙两组

5

中各抽取一名同学所有可能的结果为:

( A1, B1 ), ( A1, B2 ), ( A1, B3 ), ( A1, B4 ), ( A2 , B1),

( A2 , B2 ),( A2 , B3 ),( A2 , B4 ),( A3 , B1 ),( A3 , B2 ),( A3 , B3 ),( A3 , B4 ),( A4 , B1 ),( A4 , B2 ),( A4 , B3 ) ( A4 , B4 ) 共 16 个基本事件,????????????????????8 分
其中得分之和低于 20 分的共 6 个,?????????????????10 分 所以得分之和低于 20 分的概率为 P ?

6 3 ? ,????????????12 分 16 8

(19)解: (I)取 PD 的中点为 M ,连结 ME , MF ,

? E 是 PC 的中点,?

1 ME // CD ?????????2 分 2

又? F 是 AB 的中点,且由于 ABCD 是菱形, AB//CD

? ME //FB ?????????????????????3 分

? 四边形 MEBF 是平行四边形,???????????4 分 ? BE / / MF .???????????????????5 分
又 BE ? 平面 PDF , MF ? 平面 PDF ? BE / / 平面 PDF .?????????????????6 分 (II)? E 是 PC 的中点 ? 点 P 到平面 EFD 的距离与点 C 到平面 EFD 的距离相等,?????7 分 故 VP ? DEF = VC ? DEF = VE ? DFC ,???????????????????8 分 又 S ?DFC =

1 ×2× 3 = 3 ,??????????????????9 分 2

E 到平面 DFC 的距离 h ?
1 3

1 3 PA ? ,??????????????10 分 2 2

所以 VP ? DEF = VE ? DFC = × 3 ×

3 3 = ?????????????12 分 2 2

(20)解: (I)设 AB 方程为 y ? kx ? a ,与圆的方程联立得 (1 ? k ) x ? (2ak ? 4) x ? a ? 3 ? 0
2 2 2

6

设 B, C 两点坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

a2 ? 3 2ak ? 4 x x ? ???2 分 , 1 2 1? k 2 1? k 2

设 P 点坐标为 ( x, y ) ,∵

BP AB x ? x1 x1 ? ? ??????????3 分 ,∴ PC AC x2 ? x x2

∴x?

2 x1 x2 a 2 ? 3 2a ? 3k ? ???????????4 分 , ∴ y ? kx ? a ? 2 ? ak x1 ? x2 2 ? ak

消去 k ,得 2 x ? ay ? 3 ? 0 ,∴ 点 P 轨迹方程是 2 x ? ay ? 3 ? 0 (在圆内部分) .??6 分 (II)圆心 E 到直线 MN 的距离为 h ?

1 a ?4
2

??????????????7 分

∴ MN ? 2 1 ? h ???????????????????????8 分
2

∴ S?EMN ?

1 1 1 ? 2 1 ? h2 ? h ? h2 (1 ? h2 ) ? ?h4 ? h2 ? ?(h2 ? )2 ? ???.10 分 2 2 4
∴ 当h ?

∵ h ? (0, ]

1 2

1 3 时, S?EMN 取得最大,最大值为 2 4

????12 分

(21)解: (Ⅰ) f ?( x) ? 2ex ? 2a 分 ①

?????????????????????????1

a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x) 在 R 上单调递增,无极值;????2 分

② 当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a) ;由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ln(?a)

?a )?? , 上 ) 递 增 . 在 x ? ln(?a) 处 取 得 极 小 值 , 此 时 f ( x ) 在 (??, ln(?a)) 上 递 减 , 在 [ ln (

f ( x)极小 ? f (ln(?a)) ? 2a ln(?a) ? 2a ? a2 ?????????????3 分
综上可得: a ? 0 时,单调递增区间为 (??, ??) ,无极值; a ? 0 时,单调递减区间为 (??, ln(?a)) , 递 增 区 间 为

[ln(?a), ??)





x?l ? na ( 处 ) 取











f ( x)极小 ? f (ln(?a)) ? 2a ln(?a) ? 2a ? a2 ,无极大值??????????? 4 分
(Ⅱ)令 g ( x) ? f ( x) ? x ? 3 ? 2e ? ( x ? a) ? 3, x ? 0
2 x 2

则 g ( x) ? 2(e ? x ? a) ,又令 h( x) ? 2(e ? x ? a) ,则 h ( x) ? 2(e ? 1) ? 0
/ x x / x

? h( x) 在 [0,??) 上递增,且 h(0) ? 2(a ? 1) ?????????????6 分
7

①当 a ? ?1 时, g / ( x) ? 0 恒成立,即函数 g ( x) 在 [0,??) 上递增, 从而须满足 g (0) ? 5 ? a 2 ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? 5 又 a ? ?1 ? ?1 ? a ? 5 ???????????????????? 8 分 ②当 a ? ?1 时,则 ?x0 ? 0, 使 h( x0 ) ? 0 且

x ? (0, x0 ) 时, h( x) ? 0 ,即 g / ( x) ? 0 ,即 g ( x) 递减, x ? ( x0 , ??) 时, h( x) ? 0 ,即 g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 递增。

? g ( x)min ? g ( x0 ) ? 2e x0 ? ( x0 ? a)2 ? 3 ? 0 ,又 h( x0 ) ? 2(e x0 ? x0 ? a) ? 0
从而 2e 0 ? (e 0 ) 2 ? 3 ? 0 , 解得 0 ? x0 ? ln 3 ??????????10 分
x x

由e

x0

? x0 ? a ? a ? x0 ? e x0 ,

令 M ( x) ? x ? e x , 0 ? x ? ln 3 则 M / ( x) ? 1 ? e x ? 0 ,?M ( x ) 在 (0, ln 3] 上递减, 则 M ( x) ? M (ln 3) ? ln 3 ? 3 ,又 M ( x) ? M (0) ? ?1 , 故 ln 3 ? 3 ? a ? ?1 综上 ln 3 ? 3 ? a ? 5 ???????????????????????12 分 (22) 解: (Ⅰ)由 BC ? CD ,可知 ?BAC ? ?DAC ,?????????????2 分

AB BM ,即 AB ? MD ? AD ? BM ,得证. ? AD MD CP BM (Ⅱ)由 CP ? MD ? CB ? BM ,可知 , ? CB MD
由角分线定理可知, 又 CB ? CD ,所以

???5 分

BM CP ? , MD CD

∴ PB // AC . ????????????????????????8 分 所以 ?PBC ? ?ACB (内错角) ,又 ?PBC ? ?BAC (弦切角) , ? ACB ? ? BAC AB ? BC 所以 ,所以 . ???????????????10 分 (23)解: (Ⅰ)将 A 、 B 化为直角坐标为 A(2cos ? ,2sin ? ), B(2cos

4? 4? ,2sin ) , 3 3

即 A(?2,0), B(?1, ? 3) ,??????????????????????2 分

k AB ?

? 3 ?0 ? ? 3 ????????????????????????3 分 ?1 ? 2

∴直线 AB 的方程为 y ? 0 ? ? 3( x ? 2) ,
8

即 3x ? y ? 2 3 ? 0 ????????????????????????5 分 (Ⅱ)设 M (2cos ? ,sin ?) ,它到直线 AB 的距离为

d?

2 3 cos? ? sin ? ? 2 3 2

?

13 sin(? ? ? ) ? 2 3 2

, (其中 tan ? ? 2 3 )??8 分

当 sin( x ? ? ) ? 1 时, d 取最大值,???????????????????9 分 ∴ d max ?

13 ? 2 3 ?????????????????????????10 分 2
??????1 分

? x ? 3 ,x ? ?1, ? (24)解: (Ⅰ) f ( x) ? ??3x ? 1 ,? 1 ? x ? 1 , ?? x ? 3 ,x ? 1 , ?

画出图象如图,????????????3 分 ∴ m ? 2 ???????????????5 分

a2 ? c2 ? b2 ? m ,∴ 2m ? a2 ? 2b2 ? c2 ? (a2 ? b2 ) ? (b2 ? c2 ) ? 2(ab ? bc) 2 ∴ ab ? bc ? 2 ,∴ ab ? bc 的最大值为 2, 当且仅当 a ? b ? c ? 1 时,等号成立. ????????????????10 分
(Ⅱ)∵

9


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