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上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[8]


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上海市华师大二附中 高三年级数学综合练习[8] 高三年级数学综合练习[8] [8
只要求直接填写结果, 一,填空题 (本大题满分 48 分) 本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一 律得零分. 律得零分. . 1, 函数 y = 2 x 的反函数是 2, 复数 z 满足 (1 + 2i )z = 5 ,则 z =
x 2

. . .

3,方程 2

+ x = 2 实数解的个数为 4,不等式 x + 3 x > 1 + 3 x 的解集是

5,已知 sin α cos α < 0 ,点 P ( x, y ) 是角 α 终边上的点,且

5 ,则 tan α = . y 12 6,某地自行车的牌照号码由六个数字组成,号码中每个数字可以是 0 到 9 这十个数字中的任一个. 那么某人的一辆自行车牌照号码中六个数字中 5 恰好出现两次的概率是 (精确到 0.0001 ) . 7,在 ABC 中, 2 sin A = 3 cos A ,则 ∠A = . =
1 2
n→∞

x

2 2 2 2 8,在无穷等比数列{an}中, a1 = 1, q = , 记Tn = a2 + a4 + a6 + + a2n , 则limTn 等于__________.

9, 已知 z1 , z 2 为复数, (3 + i ) z1 为实数, z 2 =

z1 ,且 z 2 = 5 2 ,则 z 2 = 2+i

.

f ( x ) cos x < 0 的解是 . 12,在公差为 d ( d ≠ 0) 的等差数列 {a n } 中,若 S n 是 {a n } 的前 n 项和,则数列 S 20 S10 , S 30 S 20 , S 40 S 30 也成等差数列,且公差为 100d ,类比上述结论, 相应地在公比为 q ( q ≠ 1) 的等比数列 {bn } 中,若 Tn 是数列 {bn } 的前 n 项积,则
有 .

10,对长为 800m ,宽为 600m 的一块长方形地面进行绿化,要求四周种花卉,花卉带的宽度相等,中间 种草, 并且种草的面积不小于总面积的一半, 则花卉带的宽度范围为 (用区间表示) . 11 , 如果 f ( x ) 是 定 义 在 ( 3,3) 上 的奇 函 数 ,且 当 0 ≤ x < 3 时 , f ( x ) 的 图 象 如 图 所示 . 则不 等 式

的四个结论, 二,选择题 (本大题满分 16 分) 本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A,B,C,D 的四个结论,其中有且 只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号, 不选,错选或者选出的 只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号,选对得 4 分,不选,错选或者选出的 代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分. 代号超过一个(不论是否都写在圆括号内) 一律得零分. 13,若 P = y y = x 2 , x ∈ R , Q = y y = x 2 + 1, x ∈ R ,则 P ∩ Q 等于( A. P B. Q C. Φ ) D. 无法计算 14,与函数 y = 10 lg( x 1) 的图象相同的函数是( A. y = x 1 B. y = x 1

{

}

{

}

)

x2 1 C. y = x +1

x 1 D. y = x 1

2

15,以下有四个命题: ①一个等差数列{a n }中,若存在 a k +1>a k >O(k∈N),则对于任意自然数 n>k,都有 a n >0; ②一个等比数列{a n }中,若存在 a k <0,a k +1<O(k∈N),则对于任意 n∈N,都有 a n <0; ③一个等差数列{a n }中,若存在 a k <0,a k + 1 <0(k∈N),则对于任意 n∈N,都有 a n <O; ④一个等比数列{a n }中,若存在自然数 k,使 a k a k + 1 <0,则对于任意 n∈N,都有 a n .a n + 1 <0; 其中正确命题的个数是( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 15,已知 f ( x ) 在 x ∈ [a , b] 上的最大值为 M ,最小值为 m ,给出下列五个命题:

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①若对任何 x ∈ [a , b] 都有 p ≤ f ( x ) ,则 p 的取值范围是 ( ∞ , m ] ; ②若对任何 x ∈ [a , b] 都有 p ≤ f ( x ) ,则 p 的取值范围是 ( ∞ , M ] ; ③若关于 x 的方程 p = f ( x ) 在区间 [a , b] 上有解, 则 p 的取值范围是 [ m , M ] ; ④若关于 x 的不等式 p ≤ f ( x ) 在区间 [a , b] 上有解, 则 p 的取值范围是 ( ∞ , m ] ; ⑤若关于 x 的不等式 p ≤ f ( x ) 在区间 [a , b] 上有解, 则 p 的取值范围是 ( ∞ , M ] ; 其中正确命题的个数为( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 解答下列各题必须写出必要的步骤. 三,解答题 (本大题满分 86 分) 本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17, (本题满分 12 分)
2 已知 f ( x) = 3 x + a (6 a ) x + b .

(1)解关于 a 的不等式 f (1) > 0 . (2)当不等式 f(x)>0 的解集为(-1,3)时,求实数 a , b 的值.

18, (本题满分 12 分)
2 已知方程 x kx + 100 = 0, k ∈ C .

(1)若 1 + i 是它的一个根,求 k 的值; (2)若 k ∈ N * ,求满足方程的所有虚数的和.

19, (本题满分 14 分) 关 于 x 的 方 程 x + x sin 2θ sin θ cot θ = 0 的 两 根 为 α , β , 且 0 < θ < 2π , 若 数 列
2

1 1 1 1 1 1, + , + , , + 的前 100 项和为 0,求 θ 的值. α β α β α β
1

2

n

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20, (本题满分 14 分) 某港口水的深度 y(米)是时间 t (0 ≤ t ≤ 24, 单位 : 时)的函数, 记作y = f (t ) ,下面是某日水深的数据: 0 3 6 9 12 15 18 21 T(时) y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数 y = A sin ωt + b 的图象. 24 10.0

(1)试根据以上数据,求出函数 y = f (t ) 的近似表达式; (2)一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上时认为是安全的(船舶停靠时, 船底只需下碰海底即可) ,某船吃水深度(船底离水面的距离)为 6.5 米,如果该船希望在同一天 内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间) .

21, (本题满分 16 分) 已知等差数列 {a n } 中,公差 d > 0 ,其前 n 项和为 S n ,且满足 a 2 a3 = 45, a1 + a 4 = 14 , (1)求数列 {a n } 的通项公式;

Sn 构造一个新的数列 {bn } ,是否存在一个非零常数 c ,使 {bn } 也为等差数列; n+c bn (3)求 f ( n) = (n ∈ N *) 的最大值. (n + 2005) bn +1
(2)通过 bn =

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22, (本题满分 18 分)

2(1 x) ,(0 ≤ x ≤ 1) 设 n 为正整数,规定: f n ( x) = f { f [ f ( x) ]} ,已知 f ( x) = . x 1 ,(1 < x ≤ 2)
n个f

(1)解不等式: f (x) ≤ x ; (2)设集合 A = {0,1,2},对任意 x ∈ A ,证明: f 3 ( x) = x ; (3)探求 f 2006 ( ) ; (4)若集合 B = { x | f12 ( x) = x , x ∈ [0,2]},证明: B 中至少包含有 8 个元素.

8 9

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上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[8] 上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[8] [8 参考答案
1, y = log 2 x( x > 0 ) 2, 1 2i 3,2 4, (1,3] 10, (0,100] 13,B 14,D 11, ( 3,2) ∪ 15,D 5, 12,

π π ,0 ∪ ,2 2 2
2

12 π 6, 0.0984 7, 5 3

8,

4 15

9, ± (5 5i )

T 20 T 30 T 40 , , 也成等比数列 , 且公比为 q 100 T10 T 20 T 30
∴ a + 6a + b 3 < 0 ,
2

16,B

17,解: (1)f(1)= -3+a(6-a)+b = a + 6a + b 3 , ∵ f(1)>0 △=24+4b,当 b≤-6 时,△≤0,∴ f(1)>0 的解集为 φ;

当 b>-6 时, 3 b + 6 < a < 3 + b + 6 ∴ f(1)>0 的解集为 x | 3 b 6 < a < 3 + b + 6 (2)∵ 不等式 -3x 2 +a (6-a )x +b>0 的解集为(-1,3), ∴ f(x)>0 与不等式(x+1)(x-3)<0 同解,∵ 3x 2 a (6-a )x-b<0 解集为(-1,3)
a (6 a ) 2 = a = 3 ± 3 3 ∴ ,解之得 b b = 9 3 = 3 18,解: (1) 51 49i (2)190 19,解: S

{

}

100

1 1 100 1 1 + 1 + = 1 α β 1 1 α +β α β = = 0 + = 1 = 1 , α β αβ 1 1 1 + 1 ≠1 + 1 α β α β

100

∵ α + β = sin 2θ , αβ = sin θ cot θ = cos θ ,∴ 2 sin θ = 1 sin θ =

θ=

( 20,解: 1) y = 50n 98 12n +

n(n 1) 4 = 2n 2 + 40n 98(n ∈ N *) . 2 2 (2)令 y > 0 ,即 n 20n + 49 < 0 10 51 < n < 10 + 51 3 ≤ n ≤ 17 ,∴从 2002 年开始,该
(3) y = 2(n 10 ) + 102 ,即 n = 10 时, y max = 102 ,∴此时共获利 102 + 20 = 122 万元.
2

7π 11π 或 . 6 6

1 , ∵ 0 < θ < 2π ,∴ 2

汽车开始获利.

21,解: 1)∵等差数列 {a n } 中,公差 d > 0 , (



a 2 a3 = 45 a 2 a3 = 45 a 2 = 5 d = 4 a n = 4n 3 . a1 + a 4 = 14 a 2 + a3 = 14 a3 = 9

1 2 n n S 1 n(1 + 4n 3) 1 2 (2 ) S n = ,令 c = ,即得 bn = 2n , = 2 n n , bn = n = n+c n+c 2 2 2 1 数列 {bn } 为等差数列,∴存在一个非零常数 c = ,使 {bn } 也为等差数列. 2 bn n 1 1 = = < (3 ) f ( n ) = , 2005 (n + 2005) bn +1 (n + 2005)(n + 1) 2 2005 + 2006 n+ + 2006 n

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∵ 45

2005 44 = 89 2 2005 = 7921 8020 < 0 ,即 45 9 = 45 2005 < 2005 44 , ∴ n = 45 时, f (n ) 有最大值 . 2050 × 46 18860
2 3 2 3

2005

(

)

22,解: (1)①当 0≤ x ≤1 时,由 2(1 x) ≤ x 得, x ≥ .∴ ≤ x ≤1. ②当 1< x ≤2 时,因 x 1 ≤ x 恒成立.∴1< x ≤2. 由①,②得, f ( x) ≤ x 的解集为{ x | ≤ x ≤2}. (2)∵ f (0) = 2 , f (1) = 0 , f (2) = 1 , ∴当 x = 0 时, f 3 (0) = f ( f ( f (0))) = f ( f (2)) = f (1) = 0 ; 当 x = 1 时, f 3 (1) = f ( f ( f (1))) = f ( f (0)) = f (2) = 1 ; 当 x = 2 时, f 3 (2) = f ( f ( f (2))) = f ( f (1)) = f (0) = 2 . 即对任意 x ∈ A ,恒有 f 3 ( x) = x . (3) f1 ( ) = 2(1 ) =
8 9 8 9 2 8 8 2 14 8 8 14 14 5 , f 2 ( ) = f ( f ( )) = f ( ) = , f 3 ( ) = f ( f 2 ( )) = f ( ) = 1 = , 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

2 3

8 8 5 5 8 f 4 ( ) = f ( f 3 ( )) = f ( ) = 2(1 ) = ,…… 9 9 9 9 9

一般地, f 4 k +r ( ) = f r ( ) ( k,r ∈ N) .


8 9

8 9

8 8 14 f 2006 ( ) = f 2 ( ) = . 9 9 9
2 3 2 2 2 2 2 2 ,∴ f n ( ) = .则 f12 ( ) = .∴ ∈ B . 3 3 3 3 3 3

(4)由(1)知, f ( ) =

由(2)知,对 x = 0 ,或 1,或 2,恒有 f 3 ( x) = x ,∴ f12 ( x ) = f 4×3 ( x ) = x .则 0,1,2 ∈ B . 由(3)知,对 x =
2 3 8 2 14 5 8 2 14 5 , , , ,恒有 f12 ( x ) = f 4×3 ( x ) = x ,∴ , , , ∈ B . 9 9 9 9 9 9 9 9 8 9 2 9 14 5 , ∈ B .∴ B 中至少含有 8 个元素. 9 9

综上所述, ,0,1,2, , ,

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