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2014届高三人教A版数学(理)一轮复习课件:第8章 第2节 两条直线的位置关系


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第二节
自 主 落 实 · 固 基 础

两条直线的位置关系

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

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数学(广东专用)

自 主 落 实 · 固 基 础

1.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行: ①对于两条不重合的直线l1 、l2 ,若其斜率分别为k1 , k1=k2 k2,则有l1∥l2?_______.

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②当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
典 例 探 究 · 提 知 能

(2)两条直线垂直: ①如果两条直线l1 、l2 的斜率存在,设为k1 、k2 ,则有 k1·k2=-1 l1⊥l2?______________. ②当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率
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为0时,l1⊥l2.
菜 单

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自 主 落 实 · 固 基 础

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2.两条直线的交点的求法 直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 ?A x+B y+C =0 ? 1 1 1 ? ?A2x+B2y+C2=0 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组__________________的 ? 解. 3.几种距离 (1) 两 点 P1(x1 , y1) , P2(x2 , y2) 之 间 的 距 离 |P1P2| = (x2-x1)2+(y2-y1)2 _______________________. (2)点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离 |Ax0+By0+C| A2+B2 d=________________.

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(3)两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0(其中 |C1-C2| A2+B2 C1≠C2)间的距离 d=______________.

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1.两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1, 这种说法正确吗?
【提示】 不正确.两条直线垂直斜率之积不一定

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为-1,如直线x=0与直线y=0显然垂直,直线x=0
不存在斜率;反之,一定成立.
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∴两条直线垂直是斜率之积为-1的必要不充分条 件.

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2.如何求点P(x0,y0)到直线x=a和y=b的距离? 【提示】 点P(x0 ,y0)到直线x=a和y=b的距离分别

是|x0-a|和|y0-b|.

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1.已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于( ) A. 2 C. 2-1
【解析】

B.2- 2 D. 2+1
|a-2+3| 由题意知 =1,∴|a+1|= 2, 2

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又 a>0,∴a= 2-1.
【答案】 C

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2.(2013· 深圳模拟)已知直线 l1:(3+m)x+4y=5-3m, l2:2x+(5+m)y=8 平行,则实数 m 的值为( ) 13 A.-7 B.-1 C.-1 或-7 D. 3
3+m 5-3m 【解析】 l1 的斜率为- ,纵截距为 , 4 4 2 8 l2 的斜率为- ,纵截距为 . 5+m 5+m 3+m 2 又∵l1∥l2,由- =- 得,m2+8m+7=0, 4 5+m 解得 m=-1 或-7.

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5-3m 8 m=-1 时, = =2,l1 与 l2 重合,故舍去; 4 5+m 5-3m 13 8 m=-7 时, = ≠ =-4,符合题意,故 4 2 5+m 选 A.

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【答案】

A

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4.(2013·中山调研)若直线x-2y+5=0与直线2x+my

-6=0互相垂直,则实数m=________.
【解析】 ∵直线 x-2y+5=0 与 2x+my-6=0 互相 垂直, 1 2 ∴ ×(-m)=-1,∴m=1. 2

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【答案】

1

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4.若两平行直线 3x-2y-1=0,6x+ay+c=0 之间的 2 13 距离为 ,则 c 的值为________. 13 6 a c 【解析】 由题意得, = ≠ ,∴a=-4,c≠- 3 -2 -1 2. c 则 6x+ay+c=0 可化为 3x-2y+ =0. 2 c | +1| 2 13 2 ∴ = , 13 13 解得 c=2 或-6.
【答案】
菜 单

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2或-6

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(1)a=1是直线y=ax+1和直线y=(a-2)x-1垂直的

(

)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

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C.充要条件
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D.既不充分也不必要条件
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(2)已知直线x+a2y+6=0与直线(a-2)x+3ay+2a=0平 行,则a的值为( )

A.0或3或-1 B.0或3 C.3或-1
菜 单

D.0或-1

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【思路点拨】 值再检验.

(1)根据两直线垂直的充要条件,先求a

值,再判断;(2)根据两直线平行或重合的充要条件,求出a

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【尝试解答】 (1)由 a(a-2)=-1 得 a2-2a+1=0, ∴a=1, 故 a=1 是直线 y=ax+1 和直线 y=(a-2)x-1 垂直的 充要条件. (2)由 3a-(a-2)a2=0 得 a(a2-2a-3)=0, ∴a=-1 或 0 或 3.检验当 a=0 或-1 时两直线平行, 当 a=3 时两直线重合.

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【答案】
菜 单

(1)C

(2)D

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1.解答本题(2)时应注意,在利用两直线平行或重合的

充要条件求出a值后,应代入原直线方程检验出两直线平行
时的a值. 2.设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则 (1)l1∥l2或l1与l2重合?A1B2-A2B1=0.

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(2)l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. (3)若l3∥l1,则l3可设为A1x+B1y+m=0(m≠C1). (4)若l3⊥l1,则l3可设为B1x-A1y+n=0.
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已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,直线2x+
y-1=0为l2,直线x+ny+1=0为l3,若l1∥l2,l2⊥l3,则实 数m+n的值为( A.-10
【解析】

) B.-2 C.0 D.8

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∵直线 l2 的斜率为-2,
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4-m 又 l1∥l2,则 =-2,得 m=-8, m+2 1 1 因为 l2⊥l3,则- = 得 n=-2, n 2 ∴m+n=-10.

【答案】
菜 单

A

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(1)求经过直线l1 :3x+2y-1=0和l2 :5x+2y+1=0 的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程.

【思路点拨】

(1)可先求出l1 与l2 的交点,再用点斜

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式;也可利用直线系方程求解.

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【尝试解答】

(1)法一

?3x+2y-1=0, ? 先解方程组? ?5x+2y+1=0, ?

得 l1、l2 的交点坐标为(-1,2), 3 5 再由 l3 的斜率 求出 l 的斜率为- , 5 3 于是由直线的点斜式方程求出 l: 5 y-2=- (x+1),即 5x+3y-1=0. 3
法二 由于 l⊥l3,故 l 是直线系 5x+3y+C=0 中的一 条,而 l 过 l1、l2 的交点(-1,2), 故 5×(-1)+3×2+C=0,由此求出 C=-1, 故 l 的方程为 5x+3y-1=0.

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法三 由于 l 过 l1、l2 的交点,故 l 是直线系 3x+2y-1 +λ(5x+2y+1)=0 中的一条, 将其整理,得(3+5λ)x+(2+2λ)y+(-1+λ)=0, 3+5λ 5 1 其斜率- =- ,解得 λ= , 3 5 2+2λ 代入直线系方程即得 l 的方程为 5x+3y-1=0. (2)①若直线 l 的斜率不存在,则直线 l 的方程为 x=2 满足条件. 若斜率存在,设 l 的方程为 y+1=k(x-2),即 kx-y -2k-1=0.

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运用直线系方程,有时会给解题带来方便,常见的直线

系方程有:
(1)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+ m=0(m∈R且m≠C); (2)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+ m=0(m∈R);

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(3)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0
的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)= 0(λ∈R),但不包括l2.

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(2013· 揭阳模拟)若直线 ax+by=1 过点 M(cos α , sin α ),则( ) A.a2+b2≥1 B.a2+b2≤1 1 1 1 1 C. 2+ 2≤1 D. 2+ 2≥1 a b a b 【解析】 点 M(cos α,sin α)在单位圆上,由 |a×0+b×0-1| 直 线 ax+ by= 1 过 点 M 得 ≤ 1? 2 2 a +b a2+b2≥1?a2+b2≥1,故选 A.
【答案】
菜 单

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A

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已知点A的坐标为(-4,4),直线l的方程为3x+y-2 =0,求:

(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;
(2)直线l关于点A的对称直线l′的方程. 【思路点拨】 (1)充 分 利 用 对 称 的 特 征“垂 直 ” 、

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“平分”建立等量关系;(2)利用点的转移求解或点到直线的 距离求解.

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【尝试解答】 (1)设点 A′的坐标为(x,y),由题意可知 ?y-4 1 ? = , ?x+4 3 ? 解得 x=2,y=6, x-4 y+4 ? ?3× 2 + 2 -2=0, ? ∴A′点的坐标为(2,6).

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(2)法一 在直线 l′上任取一点 P′(x, 其关于点 A(- y), 4,4)的对称点(-8-x,8-y)必在直线 l 上, ∴即 3(-8-x)+(8-y)-2=0,即 3x+y+18=0, 所以所求直线的方程为 3x+y+18=0.

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法二 由题意可知 l′∥l,设 l′的方程为 3x+y+c=0, |-12+4+c| |-12+4-2| 由题意可知 = , 9+1 9+1 解得 c=18 或 c=-2(舍), 所以所求直线的方程为 3x+y+18=0.

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1.本题考查是点关于线对称及线关于点对称的问题.

2.处理点关于点的对称问题主要抓住已知点与对称点
连成线段的中点为对称中心;处理点关于直线对称问题要抓 住两点:一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直;二是已 知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上.

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直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程 是( ) A.x-2y+3=0 C.x+2y+1=0 B.x-2y-3=0 D.x+2y-1=0

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【解析】 设所求直线上任意一点 P(x,y),则 P 关于 x-y+2=0 的对称点为 P′(x0,y0), ?x+x0 y+y0 ? ? - +2=0 ?x0=y-2, 2 由? 2 得? ? ?x-x =-(y-y ) ?y0=x+2, ? 0 0

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由点 P′(x0,y0)在直线 2x-y+3=0 上, ∴2(y-2)-(x+2)+3=0,即 x-2y+3=0.
【答案】 A

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一般地,与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为 Ax+By+m=0;与之垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0.

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(m≠n).
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1.判断两条直线的位置关系时,首先应分析直线的斜率 是否存在.两条直线都有斜率,可根据判定定理判断,若直

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线无斜率时,要单独考虑.
2.(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般

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式. (2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式 且x,y的系数对应相等.
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1.点 P(x0,y0)关于 A(a,b)的对称点为 P′(2a-x0,2b- y0). 2.设点 P(x0,y0)关于直线 y=kx+b 的对称点为 P′(x′, ? y′-y0 ? ·k=-1, ?x′-x0 y′),则有? 可求出 x′,y′. x′+x0 ?y′+y0 ? 2 =k· 2 +b, ? 3. 直线关于直线的对称. 可化归为点关于直线的对称.

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从近两年高考看,两条直线的位置关系是高考的热点, 特别是两条直线平行和垂直的判定及点到直线的距离公式几 乎每年都有涉及,其中有关直线和导数的交汇创新,是近年

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命题的热点.
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创新探究之十

以点到直线距离为载体的新定义题

(2012·浙江高考)定义:曲线C上的点到直线l的距离的
最小值称为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到 直线l:y=x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y= x的距离,则实数a=________.

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【解析】 曲线 C2:x2+(y+4)2=2 到直线 l:y=x 的 |0-(-4)| 距离为 -r=2 2- 2= 2, 2 对于 y=x2+a,y′=2x=1, 1 1 故切点为( , +a), 2 4 1 1 | - -a| 2 4 1 1 切点( , +a)到直线 l:y=x 的距离为 = 2, 2 4 2 9 7 解得 a= 或- . 4 4

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?y=x, ? 由? ?y=x2+a, ?

消去 y,得 x2-x+a=0. 1 9 由 Δ=1-4a<0 可得 a> ,故 a= . 4 4

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【答案】
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9 4
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创新点拨:(1)利用曲线C到直线l的距离的定义,考查点
到直线的距离,并巧妙地与导数知识交汇. (2)考查对新定义、新概念的理解和运用,同时考查思 维的创新,考查转化和化归能力. 应对措施:(1)要全面准确地掌握各知识点的基础知识

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和基本方法,重视知识间的联系. (2)要 充 分 理 解 新定 义的具体含义 ,剥去新定义的 外

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衣,将曲线到直线的距离转化为点到直线的距离,化陌生为
熟悉.
菜 单

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1.(2013· 揭阳调研)已知点 A(0,2),B(2,0).若点 C 在函数 y=x2 的图象上,则使得△ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为( ) A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】 设点 C(t,t2),直线 AB 的方程是 x+y-2

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=0,|AB|=2 2,且 S△ABC=2. 1 则△ABC 中 AB 边上的高 h 满足方程 ×2 2h=2, 2 即 h= 2.
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|t+t2-2| 由点到直线的距离公式得 2= . 2 ∴t2+t-2=2 或者 t2+t-2=-2, 这两个方程各自有两个不相等的实数根, 故这样的点 C 有 4 个.
【答案】

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A
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2.(2013·潍坊模拟)已知直线l1:(t+2)x+(1-t)y=1与

l2:(t-1)x+(2t+3)y+2=0互相垂直,则t的值为________.
【解析】 法一 (1)当 l1,l2 的斜率都存在时, 由 k1·k2=-1 得 t=-1. (2)若 l1 的斜率不存在,此时 t=1. 1 2 l1 的方程为 x= ,l2 的方程为 y=- , 3 5 显然 l1⊥l2,符合条件. 3 若 l2 的斜率不存在,此时 t=- ,易知 l1 与 l2 不垂直, 2 综上可知 t=-1 或 t=1.

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法二

l1⊥l2?(t+2)(t-1)+(1-t)(2t+3)=0,

解之得t=1或t=-1.
【答案】 -1或1

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课后作业(五十二)

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