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《函数与基本初等函数》函数的奇偶性和周期性课件


第3课时

函数的奇偶性和周期性

2011· 考纲下载
1.了解奇函数、偶函数的定义,并能运用奇偶性的定义

判断一些简单函数的奇偶性.
2.掌握奇函数与偶函数的图象对称关系,并熟练地利用 对称性解决函数的综合问题.

请注意!

新课标《考试大纲》把函数

的奇偶性又提到与函数的单 调性同等地位,因此,函数的奇偶性在新高考中占有重要 的地位,成为新的热点,在命题时主要是与函数的概念、 图象、性质综合在一起考查.而近几年的高考中加大了对 非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性,周期性的考查 力度.

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? ? ?

1.奇函数、偶函数、奇偶性 对于函数f(x),其定义域关于原点对称: ①如果对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数

f(x)就是奇函数;
?

②如果对于函数定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数

f(x)就是偶函数;
?

③如果一个函数是奇函数(或偶函数),则称这个函数在其定义域内具 有奇偶性.

? ? ?

2.证明函数奇偶性的方法步骤 ①确定函数定义域关于原点对称; ②判定f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),从而证得函数是奇(偶)函 数.

? ? ? ? ? ? ?

3.奇偶函数的性质 ①奇函数图象关于原点对称, 偶函数图象关于y轴对称;

②若奇函数f(x)在x=0处有意义,则f(0)=0;
③奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调,则其单调性一致; 偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调,则其单调性相反.

④若函数f(x)为偶函数,则f(x)=f(|x|),反之也成立.

?
?

4.周期函数 若f(x)对于定义域中任意x均有f(x+T)=f(x)(T为不等于0的常数),则 f(x)为周期函数.

? ? ? ? ?

1.对任意实数x,下列函数中的奇函数是( ) A.y=2x-3 B.y=-3x2 C.y=ln5x D.y=-|x|cosx 答案 C 2.若函数y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在函数y=f(x) 图象上的是 ( ) A.(a,-f(a)) B.(-a,-f(a)) C.(-a,-f(-a)) D.(a,f(-a)) 答案 B

? ? ?

解析 ∵函数y=fx) ( 为奇函数, ∴f-a) ( =-fa) ( 即点( -a,-fa)一定在函数y=fx) ( ) ( 的图象上. 3.( 09·重庆) ( = 若fx) =________.
答案

1 2 -1
x

+a是奇函数,则a

1 2

解析 依题意得f1) ( =0,由此得 ( +f-1) 1 +a+ -1 +a=0,解得a= . 1 2 -1 2 -1 2 1 1

?

4.(2010· 广东卷)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,
则( )

?

A.f(x)与g(x)均为偶函数

?
? ?

B.f(x)为偶函数,g(x)为奇函数
C.f(x)与g(x)均为奇函数 D.f(x)为奇函数,g(x)为偶函数

?
?

答案
解析

B
由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)为偶函数,由g(-x)=3-x-3x

=-(3x-3-x)=-g(x)可知g(x)为奇函数.

?

5.(2010· 安徽卷)若f(x)是R上周期为5的奇函数,且满足f(1)=1,f(2) =2,则f(3)-f(4)=( )

?

答案

A

?

解析

由于函数f(x)的周期为5,所以f(3)-f(4)=f(-2)-f(-1),又

f(x)为R上的奇函数,∴f(-2)-f(-1)=-f(2)+f(1)=-2+1=-1.

授人以渔
题型一
例1

判断函数的奇偶性

判断下列函数的奇偶性,并说明理由.
2

( fx) 1) ( =x -| +1 x| ( fx) x-1) 2) ( =( 1

x∈[ -1, ; 4] x∈( -1, 1)

1+x 1-x

1 ( fx) 3) ( = x + a -1 2

( a>0,a≠1)

【分析】

判断函数的奇偶性,首先要检验其定义域是

否关于原点对称,若关于原点对称,再严格按照奇偶 性的定义进行推理判断. 【解析】 ( 由于 f x) 1) ( =x -| +1,x∈[ x| -1, 的定义域 4]
2

不是关于原点对称的区间, 因此, ( 是非奇非偶函数. f x) ( ∵f x) x-1) 2) ( =( 1+x , 1-x

已知 f x) ( 的定义域为( -1, , 1) 其定义域关于原点对称, 又 f -x) -x-1) ( =( 1-x 1+x

=-( +1) x

1-x =- 1+x

( 1+x)( 1-x) 1+x ( 1+x)1-x) ( 1-x 1+x =fx) ( 1-x
2

2

=- ( 1+x)1-x) ( =-

=-( 1-x)

1+x =( x-1) 1-x

即 f-x) ( =fx) ( ,∴fx) ( 是偶函数.

( ∵fx) 3) ( 的定义域为{ x∈R ,且x x| ≠0} , 其定义域关于原点对称,并且有 1 1 1 f-x) ( = -x + = + a -1 2 1 2 x-1 a 1 = x+ 1-a 2 ( 1-a ) -1 1 =- + x 1-a 2 1 1 =-1+ + x 1-a 2 1 1 =-( x + ) =-fx) ( . a -1 2 即f-x) ( =-fx) ( ,∴fx) ( 为奇函数.
x

1

a

x

?
?

探究1 判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法:
(1)定义法:若函数的定义域不是关于原点对称的区间,则立即可判断该 函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的区

间,再判断f(-x)是否等于±f(x).
? ?

(2)图象法:奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称. (3)性质法:偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数

的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)
函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(注:利用上述结论时要 注意各函数的定义域)

?

思考题1 判断下列函数的奇偶性
2-x ( fx) n 1)( =l 2+x ( g( =x +| 2) x) x-a| 【解析】 ( fx) 1)( 的定义域为( -2, 2)
2

2+x 2-x f-x) n ( =l =-l n =-fx) ( 2-x 2+x ∴函数fx) ( 为奇函数

? ? ? ? ? ? ?

(2)g(x)的定义域为R 当a=0时,g(x)=x2+|x| g(-x)=(-x)2+|-x|=x2+|x|=g(x) 此时g(x)为偶函数 当a≠0时,g(a)=a2, 显然g(a)≠g(-a), g(-a)=a2+2|a| g(a)≠-g(-a)

∴此时g(x)既不是奇函数,也不是偶函数.

题型二

奇偶性的应用

例2

( 已知函数fx) 1) ( 为奇函数且定义域为R ,x>0时,

f x) ( =x+1,fx) ( 的解析式为 ___________________________________________________ _____________________. ( fx) 2) ( 是定义在( -1, 上的奇函数,且x∈[ 1] ( 为增 1) 0, 时fx) 1 函数,则不等式fx) ( ( +fx- ) <0的解集为__________. 2 ( 函数fx+1) 3) ( 为偶函数,则函数fx) ( 的图象的对称轴方 程为__________.

【解析】

( ∵f x) 1) ( 为奇函数, ∴f-x) ( =-fx) (

x=0时,有f-0) ( =-f0) ∴f0) ( , ( =0 x<0时,-x>0 f x) ( =-f-x) ( =-( -x+1) =x-1

?x+1 ? ∴fx) ?0 ( = ?x-1 ?

x>0 x=0 x<0

( ∵fx) 2) ( 为奇函数,且在[ 1] 0, 上为增函数 ∴fx) -1, 上也是增函数 ( 在[ 0] ∴fx) -1, 上为增函数 ( 在( 1) 1 f x) ( ( +fx- ) <0 2 1 1 ?fx) ( <-fx- ) ( -x) ( =f 2 2

?-1<x<1 ? 1 ?-1< -x<1 2 ?? ? 1 ?x<2-x ?

1 1 ?- <x< 2 4

1 ∴不等式fx) ( ( +fx- ) <0的解集为 2 1 1 { - <x< } x| . 2 4

? ? ?

(3)∵f(x+1)为偶函数 ∴函数g(x)=f(x+1)的图象关于直线x=0对称 又函数f(x)的图象是由函数g(x)=f(x+1)的图象向右平移一个单位而 得

?

∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称.

?
? ? ? ?

探究2 奇偶函数的性质主要体现在
①若f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x)

若f(x)为偶函数,则f(-x)=f(x)
②奇偶函数的对称性 ③奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性

?

思考题2 (1)若函数f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上是减函数,满 足f(π)<f(a)的实数a的取值范围是________.

? ?

【解析】

若a≥0,f(x)在[0,+∞)上是减函数,且f(π)<f(a),得a<π.

若a<0,∵f(π)=f(-π), 则由f(x)在[0,+∞)上是减函数,得知f(x)在(- ∞,0]上是增函数.

? ? ? ? ?

由于f(-π)<f(a),得到a>-π 即-π<a<0. 由上述两种情况知a∈(-π,π) 【答案】 (-π,π)

(2)函数y=f(x-2)为奇函数,则函数y=f(x)的图象的对称中心为 __________.

?
? ?

【解析】

∵f(x-2)为奇函数

∴f(x-2)的图象的对称中心为(0,0) 又∵f(x)的图象可由函数f(x-2)的图象向左平移两个单位而得

?
? ?

∴f(x)的图象的对称中心为(-2,0).
题型三 例3 函数的周期性

(09· 山东)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且

在区间[0,2]上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四 个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________

?

【解析】

由f(x-4)=-f(x)?f(4-x)=f(x),故函数图象关于直线x

=2对称,又函数f(x)在[0,2]上是增函数,且为奇函数,故f(0)=0,故 函数f(x)在(0,2)上大于0,根据对称性知函数f(x)在[2,4]上大于0,同 理推知函数f(x)在[4,8]上小于0,故在区间[0,8]上方程f(x)=m(m>0) 的两根关于直线x=2对称,故此两根之和等于4,根据f(x-4)=-

f(x)?f(x-8)=-f(x-4)=f(x),函数f(x)以8为周期,故在区间(-
8,0)上方程f(x)=m(m>0)的两根关于直线x=-6对称,此两根之和等于 -12,综上四个根之和等于-8.
?

【答案】

-8

?
?

探究3 ①证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义。
②若函数f(x)对任意x满足f(x+a)=f(x+b),则f(x)为周期函数,若函
数f(x)对任意x满足f(x+a)=f(b-x),则函数图象为轴对称图形.

?

思考题3

①f(x)的定义域为R的奇函数,且图象关于直线x=1对称,试

判断f(x)的周期性.
?

【答案】

T=4

【解析】

∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x)

∵f(x)图象关于直线x=1对称,∴f(x)=f(2-x) ∴f(x+4)=f[2-(x+4)]=f[-(x+2)]=-f(x+2) =-f[2-(2+x)]=-f(-x)=-[-f(x)]=f(x) ∴T=4 ②f(x)是定义在R上的函数,对任意x∈R均满足 1 f(x)=- ,试判断函数f(x)的周期性. f(x+1)
【答案】 T=2

【解析】

1 ∵f(x)=- f(x+1)

1 ∴f(x+1)=- f(x) 1 1 ∴f(x+2)=- =- =f(x) 1 f(x+1) - f(x) ∴T=2

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

求x∈[5,7]时,f(x)的解析式. 【解析】 解析一 ∵f(-1-x)=f(1-x)

∴f(x)=f(2+x),∴f(x)为周期函数,T=2 ∵f(x)为偶函数

∴x∈[-1,0]时,-x∈[0,1]

f(x)=f(-x)=x+1
∴x∈[5,6]时,x-6∈[-1,0]

f(x)=f(x-6)=(x-6)+1=x-5
x∈[6,7]时,x-6∈[0,1] f(x)=f(x-6)=-(x-6)+1=-x+7

?x-5 ∴x∈[5,7]时,f(x)=? ?-x+7
解析二 ∵f(1-x)=f(-1-x)

x∈[5,6] x∈? 6,7]

∴T=2.又∵f(x)是偶函数, ∴f(x)在R上的图象如图:

?x-5 x∈[5,6] ∴f(x)=? ?-x+7 y∈? 6,7]

?

思考题4

已知定义在R上的函数f(x)是偶函数,对x∈R,f(2+x)=f(2

-x),当f(-1)=2时,f(2011)的值为________.
?

【解析】

因为定义在R上的函数f(x)是偶函数,所以f(2+x)=f(2-x)

=f(x-2),故函数f(x)是以4为周期的函数,所以f(2011)=f(-1+
4×503)=f(-1)=2.
?

【答案】

2

本课总结

1.研究函数的奇偶性必须坚持“定义域优先”原 则,因为定义域不关于原点对称的函数既不是奇函数,也 不是偶函数. 2.判断函数的奇偶性的常用方法有: ①定义法,②验证法,验证f(x)±f(-x)=0或 f(-x) =±1是否成立,③图象法. f(x)

3.研究抽象函数的奇偶性的基本方法是赋值法. 4.研究函数的周期性的基本方法是定义法. 5.若函数f(x)满足下列性质之一,可证其为周期函数. 1 ①f(x)=-f(x+a),②f(x)=- . f(x+a) 6.对于题目中既有对称性又有周期性的问题, 也可画出草图寻求周期.

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