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高中数学 2.5.1 等比数列的前n项和


回顾
1、等比数列的定义:

an a2 a3 ? ?? ? ? ? ? q(q为非0常数) a1 a2 an?1
2、通项公式:

an ? a1q (a1 ? 0, q ? 0)
3、数列中通项与前n项和的关系:

n?1

S1 (n ? 1) ? 1 .an ?

? ) ?S n ? S n ?1 (n ? 2)
2). 已知an , 求Sn

创设情境
从前有一个人卖马,标价3000元.有个买 主嫌贵.卖主对他说:“如果你能改买马蹄子 上的钉子,我就把马送给你.”买主便问怎么个 卖法.卖主讲,4只马蹄子上共有24个钉子,第 1个钉子卖1分钱,第2个钉子卖2分钱,第3个 钉子卖4分钱,依次类推,即后一个钉子是前 一个钉子价钱的2倍.买主听后心动了,认为买 24个钉子花不了几个钱.
他真的花不了几个钱吗?

分析:由于每一个钉子的价钱都是前一个钉子的

2倍,共有24个钉子, 每个钉子的价钱依 次为:

1,2,2 ,2 ,?,2 .
它是以1为首项公比是2的等比数列.
买24个钉子要花的钱为: (单位:分)

2

3

23

S 24 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 .
2 3 23

这是一个求等比数列前n项和的问题!

探求等比数列求和的方法
问题:已知等比数列?an ? , 公比为q,
求:S
n

? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
? a1 ? a1q ? a1q ? ?? a1q
2 n?1

思考:如何用a1 , q , n, a n这些基本量
来表示S n 呢?
思路1 思路2 思路3 公式

思路1 (错位相减法)
根 据 通 项 公 式 ,n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n 可 表 示 为 S S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q
2 n ?1

若将此式两端同乘以q, 所得式子与原式比较:

S n ? a1 ? a1q ? a1q ? ? ? a1q
2

n ?1

此式相 邻两项 有何关 系?

当q=1时, qS n Sn=?

?

a1q ? a1q ? ?? a1q
2

n?1

? a1q

n

两式相减,得 ( ? q)Sn ? a1 ? a1q n 1 a1 (1 ? q n ) 当q≠1时 S n ? 1? q
当q=1时

Sn ? na1

思路2 (利用定义)

a3 an a2 等比数列定义: ? ??? ?q 与 S n什 a1 a2 an?1
么关系?

由等比定理,得
与 Sn 什 么关系?

a1 ? qan 当1 ? q ? 0时, S n ? 1? q 当 ? q ? 0时, n ? na1 1 S

S n ? a1 即 ?q S n ? an ?(1 ? q) Sn ? a1 ? qan

a2 ? a3 ? ? ? an ?q a1 ? a2 ? ? ? an?1

思路3 (利用 an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) )

Sn ? a1 ? a1q ? a1q ? ?? a1q
2

n?1

? a1 ? q(a1 ? a1q ? ?? a1q

n? 2

)

? a1 ? qSn?1

? Sn ? a1 ? q( Sn ? an ) 即(1 ? q) Sn ? a1 ? qan

S n?1

a1 ? qan 当1 ? q ? 0时, S n ? 1? q 当 ? q ? 0时, n ? na1 1 S

等比数列前n 项和公式
? a1 (1 ? q n ) 公式1: ? Sn ? ? 1 ? q ? ? na1
公式2:
(q ? 1)
注 意 对

q

(q ? 1)

? a1 ? qan ? 1? q Sn ? ? ? na ? 1

an ? a1qn?1

是 否 等 于 进 行 分 类 讨 论

(q ? 1)
(q ? 1)

1

根据求和公式,运用方程思想,a1 , q, n, an , Sn五个基本量中“知三求二”.

例题
【例1】 求“卖马的故事”中要买24个钉子的价钱

S24 ? 1 ? 2 ? 2 ? ?? 2
2

23

〔解〕 S24 ? 1 ? 2 ? 22 ? ?? 223

1? 2 24 ? ? 2 ?1 1? 2 =16777215(分) =167772.15(元) ≈16.7(万元)
24

怎么会这 么多?!

涓涓细流,汇成江河.分分秒秒,铸就成功.

【例2】求等比数列

1 1 1 , , ,? 的前8项的和. 2 4 8

1 1 1 1 解:设该数列为?an ? , 则a1 ? , q ? ? ? , 2 4 2 2

? ? 1 ?8 ? 1 ?1 ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? 255 ? ?? ? S8 ? . 1 256 1? 2

9 16 【例3】已知等比数列?an ? 中,a1 ? ? , an ? ? , 16 9 781 Sn ? ? , 求公比q及项数n. 144
解法1: a1 ? an ? q ? 1 ?
? 4? 9 n ?1 16 n ? ① ? q ? ? 3? q ? an ? ? 16 q ? ? 9 ????? ? ? ? ?? 9 ? (1 ? q n ) ? 781 16 ?? ??? ② ? Sn ? 1? q 144 ? ? ? 4 ?4 ? 9 ? ?1 ? ? ? q ? 16 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? 781 . ③代入②得 1? q 144
4



4 解得:q ? . 3

代入③得:n=5.

解法2 ? a1 ? an ? q ? 1.

9 16 ? ? q a1 ? qan 16 9 ? ? 781 Sn ? ? 1? q 1? q 144
4 解得:q ? . 3
9 n ?1 16 又an ? ? q ? ? 16 9

? 4? n?1 ?q ?? ? ? 3? ? 4? ?? ? ? 3?
n?1

4

? 4? ?? ? ? 3?

4

? n ? 5.

【例4】某商场第1年销售计算机5000台,如果平均

每年的销售量比上一年增加10%,那么从第
1年起,约几年内可使总销售量达到30000台

(保留到个位)?
〔分析〕 (建立数列模型) 从第1年起,每年销售量分别为:
50005000 1 ? 10%),5000 1 ? 10%) 2 ,?? , ( (

构成等比数列. 本题实质上是已知前n项和,求项数n的问题.

〔解〕 由题知,从第1年起,每年的销售量组成一个 等比数列 ?a ? n
其中, 1 ? 5000 q ? 1 ? 10% ? 1.1, Sn ? 30000 a ,
代入等比数列前n 项和公式
a1 (1 ? q n ) Sn ? 1? q

5000 1 ? 1.1n ) ( 得 ? 30000 整理得 .1n ? 1.6 1 1 ? 1.1 n lg1.1 ? lg1.6 两边取对数得
用计算器算得
n? l g1.6 0.20 ? ? 5( 年 ) l g1.1 0.041

答: 约 5 年内可以使总销量达到30000台.

练习1. 根据下列条件,求相应的等比数列 ?an ? 的
(1)a1 ? 3, q ? 2, n ? 6; (2)a1 ? 2.4, q ? ?1.5, n ? 5;
1 ( 3)a1 ? 8, q ? , n ? 5; 2

Sn

3 ? (1 ? 26 ) ? S6 ? ? 189. 1? 2

2.4 ? [1 ? ( ?1.5)5 ] 33 ? S5 ? ? . 1 ? ( ?1.5) 4
? S5
5 ? ?1? ? 8 ? ?1 ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 31 . ? 2 ?1? 1? ? ? ? 2?

1 (4)a1 ? ?2.7, q ? ? , n ? 6. 6 ? 3 ? 1? ? ? 2.7 ? 1 ? ?
? S6 ? ? ? ?

? ? ? 3? ? ? ? ? 91 . 40 ? 1? 1? ?? ? ? 3?

练习2. 求等比数列 1,2,4,…从第5项
到第10项的和.

解: a1 ? 1, q ? 2, ?
1 ? (1 ? 24 ) ? S4 ? ? 15. 1? 2 1 ? (1 ? 210 ) S10 ? ? 1023 . 1? 2
从第5项到第10项的和:

S10 ? S4 ? 1023? 15 ? 1008 .

练习3. 求等比数列
到第7项的和.

3 3 3 , , ,? 2 4 8

从第3项

3 1 解 : a1 ? , q ? , ? 2 2
7 3 ? 1? ? ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ? 2? ? ? ?

? S7 ?

1?

1 2

381 ? . 128

从第3项到第7项的和:
? 3 3 ? 381 9 153 ? S7 ? ? ? ? ? ? ? . ? 2 4 ? 128 4 128

小结
1、求和公式

a1 (1 ? q n ) 当q≠1时, Sn ? 1? q
当q=1时,

Sn ? na1

a1 ? an q Sn ? 1? q

强调: ①注意分类讨论的思想! 等比数列求和时必须弄清q=1还是q≠1. ②运用方程的思想,五个量“知三求二”. ③注意运用整体运算的思想.

2、公式的推导方法

(重在过程)

作业

课本69页A组1、2、3、 4、 5、6


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