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甘肃省兰州市2013届高三第一次(3月)诊断考试(数学理)


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甘肃省兰州市 2013 届高三第一次(3 月)诊断考试

(数学理)
(2013、03)
注意事项: 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。试题前标注有(理)的试题理科考生作答, 试题前标注有(文)的试题文科考生作答,没有标注的试题文理科考生均作答。 2.本卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。 3.答题全部在答题纸上完成,试卷上答题无效。

第 I 卷(共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.设全集 U ? {1, 2,3, 4,5} , 已知 U 的子集 M 、N 满足集 M ? {1, 4} ,M ? N ? {1} ,N ? (? M ) ? {3,5} , U 则N ? A. {1,3} 2.设 i 为虚数单位,复数 A. ? B. {3,5} C. {1,3,5} D. {1, 2,3,5}

1 ? ai 为纯虚数,则实数 a 为 2?i
B. ?2 C.

1 2
3

1 2

D. 2

3.曲线 y ? x ? 11 在点 P(1,12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是 A.75 B.

75 2

C. 27

D.

27 2

4.若点 P (2, 0) 到双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线的距离为 2 ,则该双曲线的离心率为 a 2 b2
B. 3 C. 2 2 D. 2 3

A. 2 5.已知命题:

p1 :函数 f ( x) ? x ? p2 :不等式

1 ( x ? 1) 的最小值为 3 ; x ?1

1 ? 1 的解集是 {x | x ? 1} ; x
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p3 : ?? , ? ? R ,使得 sin(? ? ? ) ? sin ? ? sin ? 成立; p4 : ?? , ? ? R , tan(? ? ? ) ?
其中的真命题是 A. p1 B. p1 , p3 C. p2 , p4 D. p1 , p3 , p4

tan ? ? tan ? 成立. 1 ? tan ? ? tan ?

6.数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ?

2 1 1 2 ,且 ? ? (n ? 2) ,则 an ? 3 an ?1 an ?1 an 2 n?2
C. ( ) n

A.

2 n ?1

B.

2 3

D. ( ) n?1

2 3

开始

7. 执行右面的程序框图,若输入的 n ? 6 , m ? 4 那么输出的 p 是 A.120 B.240 C.360 D.720

输入 n、m k=1,p=1

p=p(n-m+k) 是 k<m 否 输出 p 结束

k=k+1

8. 有一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A.16 B.20 C.24 D .32
3 4

2

9.已知动点 P 到两定点 A 、 B 的距离和为 8,且 | AB |? 4 3 ,线段 AB 的的中点为 O ,过点 O 的所有直 线与点 P 的轨迹相交而形成的线段中,长度为整数的有 A. 5 条 B. 6 条 C. 7 条 D. 8 条

10.将函数 f ( x) ? 2 sin(?x ?
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?
3

)(? ? 0) 的图象向左平移

? 个单位,得到函数 y ? g (x) 的图象.若 3?
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y ? g (x) 在[ 0,
A.4

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?
4

]上为增函数,则 ? 的最大值为 B.3 C.2 D.1

11.已知函数 f ( x) 是 R 上的偶函数,且满足 f (5 ? x) ? f (5 ? x) ,在[0,5]上有且只有 f (1) ? 0 ,则 f (x) 在[–2013,2013]上的零点个数为 A.808 B.806 C.805 D.804 满足

12. 定 义 : min{a , b} ? ?

? a, a ? b .在区域 ?b, a ? b

?0 ? x ? 2 内 任 取 一 点 P ( x, y ) , 则 x 、 y ? ?0 ? y ? 6

min{x 2 ? x ? 2 y, x ? y ? 4} ? x 2 ? x ? 2 y 的概率为
A.

5 9

B.

4 9

C.

1 3

D.

2 9

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 a ? (k , ?2) , b ? (2, 2) , a ? b 为非零向量,若 a ? (a ? b ) ,则 k ?

r

r

r

r

r

r

r

.

14.三位老师分配到 4 个贫困村调查义务教育实施情况,若每个村最多去 2 个人,则不同的分配方法有 种.

? SC 15.已知三棱锥 S ? ABC 的所有顶点都在以 O 为球心的球面上, ABC 是边长为 1 的正三角形, 为球 O
的直径,若三棱锥 S ? ABC 的体积为

2 ,则球 O 的表面积为 6

.

16 . 已 知 各 项 为 正 的 数 列 {an } 中 , a1 ? 1, a2 ? 2, log2 an ?1 ? log2 an ? n ( n ? N ? ), 则

a1 ? a2 ? ? ? a2013 ? 21008 ?

.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c , a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 3 , b ? 2 ,求 c 的值.

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18. (本小题满分 12 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中,PA ? 平面 ABCD , 底面 ABCD 是菱形,AB ? 2 ,?BAD ? 60? . (Ⅰ)求证: BD ? PC ; (Ⅱ)若 PA ? AB ,求二面角 A ? PD ? B 的余弦值.
D A C B P

19. (本小题满分 12 分) 某售报亭每天以每份 0.4 元的价格从报社购进若干份报纸,然后以每份 1 元的价格出售,如果当 天卖不完,剩下的报纸以每份 0.1 元的价格卖给废品收购站. (Ⅰ)若售报亭一天购进 270 份报纸,求当天的利润 y (单位:元)关于当天需求量 x (单位:份, x ? N ) 的函数解析式. (Ⅱ)售报亭记录了 100 天报纸的日需求量(单位:份) ,整理得下表: 日需求量 x 频数 240 10 250 20 260 16 270 16 280 15 290 13 300 10

以 100 天记录的需求量的频率作为各销售量发生的概率. (1)若售报亭一天购进 270 份报纸, ? 表示当天的利润(单位:元) ,求 ? 的数学期望; (2)若售报亭计划每天应购进 270 份或 280 份报纸,你认为购进 270 份报纸好,还是购进 280 份报纸好? 说明理由.

20. (本小题满分 12 分) 已知点 P 为 y 轴上的动点,点 M 为 x 轴上的动点,点 F (1, 0) 为定点,且满足 PN ?

uuu r

1 uuur NM ? 0 , 2

uuur uuu r PM ? PF ? 0 .
(Ⅰ)求动点 N 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)过点 F 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 E 交于两点 A , B ,试判断在 x 轴上是否存在点 C ,使得

| CA |2 ? | CB |2 ?| AB |2 成立,请说明理由.

21. (本小题满分 12 分)
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已知函数 f ( x) ?

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1 2 ,且这两函数 x ? 2ex , g ( x) ? 3e 2 ln x ? b ( x ? R ? , e 为常数, e ? 2.71828 ) 2

的图像有公共点,并在该公共点处的切线相同. (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)若 1 ? x ? e 时, 2[ f ( x) ? 2ex] ?

a [2 g ( x) ? e 2 ] ? (a ? 2) x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 2 6e

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号. ....

22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:《几何证明选讲》 已知:如图, ? O 为 ?ABC 的外接圆,直线 l 为 ? O 的切线,切点为 B ,直线 AD ∥ l ,交 BC 于 D 、 交 ? O 于 E , F 为 AC 上一点,且 ?EDC ? ?FDC . 求证: (Ⅰ) AB 2 ? BD ? BC ; (Ⅱ)点 A 、 B 、 D 、 F 共圆.
B A

l
O

g
D E

F C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4: 《坐标系与参数方程》 在直接坐标系 xoy 中, 直线 l 的方程为 x ? y ? 4 ? 0 , 曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos ? ? ( ? 为参数) ? y ? sin ? ?

(I)已知在极坐标(与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴) 中,点 P 的极坐标为(4,

?
2

) ,判断点 P 与直线 l 的位置关系;

(II)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

24. (本小题 满分 10 分)选修 4—5: 《不等式选讲》 已知函数 f ( x) ? x ? 2 ? x ? 5 . (I)证明: ? 3 ? f ( x) ? 3 ; (II)求不等式 f ( x) ? x ? 8 x ? 15 的解集.
2

第 5 页(共 10 页)

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2013 高三诊断考试 数学参考答案及评分标准(理)
一、选择题:本卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的 题号 答案 1 C 2 D 3 D 4 A 5 B 6 A 7 C 8 B 9 D 10 C 11 B 12 B

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 0 ; 14. 60 ; 15. 4? ; 16. ?3 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解: (Ⅰ)由 a 2 ? b 2 ? c 2 ? bc ,得 ∴ cos A ? ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ?? . 2bc 2

………………3 分

1 . 2
∴A?

∵0 ? A ?? ,

2? . 3

………………6 分

(Ⅱ)由正弦定理,得 sin B ? ∵A? ∴B ?

b 2 3 1 sin A ? ? ? . a 2 2 3 2

………………9 分

?

2? , 3
.

0? B ?? ,
∴ C ? ? ? ( A ? B) ?

?
6

6 ∴c ? b ? 2.

.

………………11 分 ………………12 分

18. (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD . 又因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? BD . 又 PA ? AC ? A ,所以 BD ⊥平面 PAC . 又 PC ? 平面 PAC ,所以 BD ? PC (Ⅱ)解:依题意,知 平面 PAD ? 平面 ABCD ,交线为 AD , 过点 B 作 BM ? AD ,垂足为 M ,则 BM ? 平面 PAD . 在平面 PAD 内过 M 作 MN ? PD ,垂足为 N ,连 BN , 则 PD ⊥平面 BMN ,所以 ?BNM 为二面角 A ? PD ? B 的一个平面角 . ∵ AB ? AD , ?BAD ? 60? ,
第 6 页(共 10 页) M A C B N D

………………6 分
P

………………9 分

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∴ BM ?

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………………10 分

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3 AB ? 3 , 2

DM ? 1 .

又 PA ? AB ,故 MN ?

2 14 . 所以 BN ? . 2 2

………………11 分

2 MN 7 ∴ cos ?BNM ? . ? 2 ? BN 7 14 2
即二面角 A ? PD ? B 的余弦值为

7 . 7

………………12 分

19. 解:(Ⅰ)当 x ? 270 时, y ? 270 ? (1 ? 0.4) ? 162 ; 当 x ? 270 时, y ? (1 ? 0.4) x ? (270 ? x) ? 0.1 ? (270 ? x) ? 0.4 ? 0.9 x ? 81 , ∴y??

? 0.9 x ? 81, ?162,

( x ? 270) ( x ? 270)

(x ? N )

………………5 分

(Ⅱ) (1) ? 可取 135、144、153、162, 则

P(? ? 135) ? 0.1 , P(? ? 144) ? 0.2 , P(? ? 153) ? 0.16 , P(? ? 162) ? 0.54 .
∴ E? ? 135 ? 0.1 ? 144 ? 0.2 ? 153 ? 0.16 ? 162 ? 0.54 ? 154.26 . …………9 分 (2)购进报纸 280 张,当天的利润为

y ? (0.6 ? 240 ? 40 ? 0.3) ? 0.1 ? (0.6 ? 250 ? 30 ? 0.3) ? 0.2 ? (0.6 ? 260 ? 20 ? 0.3) ? 0.16 (0.6 ? 270 ? 10 ? 0.3) ? 0.16 ? 280? 0.6? 0.38 ? 154.68 ? 154.26,
所以每天购进 280 张报纸好 20. 解: (Ⅰ)设 N ( x, y ) ,则由 PN ? ∴ P (0, ) , ………………12 分

????

? 1 ???? NM ? 0 ,得 P 为 MN 的中点. 2

………………2 分

∴ PM ? (? x, ? ) , PF ? (1, ? ) . ∴ PM ? PF ? ? x ?

???? ?

y 2

M (? x, 0) .

y 2

??? ?

y 2

???? ??? ? ?

y2 ? 0 , 即 y2 ? 4x . 4
2

∴动点 N 的轨迹 E 的方程 y ? 4 x .
第 7 页(共 10 页)

………………5 分
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(Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,由 ? 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ?
2

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消去 x 得 y 2 ?

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? y ? k ( x ? 1) ? y ? 4x
y1 y2 ? ?4 .

4 y ?4 ? 0. k

假设存在点 C (m, 0) 满足条件,则 CA ? ( x1 ? m, y1 ) , ∴ CA ? CB ? x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m ? y1 y2 ? (
2

??? ?

4 , k

………………6 分

??? ? CB ? ( x2 ? m, y2 ) ,

??? ??? ?

y1 y2 2 y 2 ? y2 2 ) ? m( 1 ) ? m2 ? 4 4 4

m [( y1 ? y2 ) 2 ? 2 y1 y2 ] ? m 2 ? 3 4 4 ? m 2 ? m( 2 ? 2) ? 3 . k ?? 4 ? 2) 2 ? 12 ? 0 , 2 k 4 ∴关于 m 的方程 m 2 ? m( 2 ? 2) ? 3 ? 0 有解 . k
∵? ? (
2 2 2

………………9 分

………………11 分

∴假设成立,即在 x 轴上存在点 C ,使得 | CA | ? | CB | ?| AB | 成立.…………12 分 21. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? x ? 2e , g ?( x) ? 设 f ( x) ?

3e 2 , x

1 2 x ? 2ex 与 g ( x) ? 3e 2 ln x ? b 的公共点为 ( x0 , y0 ) ,则有 2

?1 2 2 ? 2 x0 ? 2ex0 ? 3e ln x0 ? b, ? 3e 2 ? x0 ? 2e ? , ? x0 ? ? x0 ? 0. ? ?
解得 b ? ?

………………3 分

e2 . 2
2

………………5 分

e2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? 3e ln x ? , 2
所以 2[ f ( x) ? 2ex] ?

a [2 g ( x) ? e 2 ] ? x 2 ? a ln x . 6e 2

2 2 ∴有 1 ? x ? e 时, x ? a ln x ? (a ? 2) x 恒成立,即 a ( x ? ln x) ? x ? 2 x 恒成立.

∵ 1 ? x ? e , ∴ ln x ? 1 ? x ,且等号不能同时成立,∴ x ? ln x ? 0 .

第 8 页(共 10 页)

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∴a ?

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………………8 分

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x2 ? 2x 在 1 ? x ? e 时恒成立. x ? ln x x2 ? 2x ( 1 ? x ? e ),则 x ? ln x

设 h( x ) ?

1 (2 x ? 2)( x ? ln x) ? ( x 2 ? 2 x)(1 ? ) x ? ( x ? 1)( x ? 2 ? 2 ln x) . h?( x) ? 2 ( x ? ln x) ( x ? ln x) 2
显然 x ? 1 ? 0 ,又 ln x ? 1 ,∴ x ? 2 ? 2 ln x ? 0 . 所以 h?( x) ? 0 (仅当 x ? 1 时取等号). ∴ h( x ) ?

x2 ? 2x 在 [1, e] 上为增函数 . x ? ln x e 2 ? 2e . e ?1 e 2 ? 2e , ??) . e ?1

………………11 分

故 h( x) max ? h(e) ?

所以实数 a 的取值范围是 [

………………12 分

22. 证明:⑴∵直线 l 为 ? O 的切线, ∴∠1= ?ACB . ∵ AD ∥ l , ∴∠1=∠ DAB . ∴ ?ACB = ?DAB , 又∵ ?ABC = ?DBA , ∴ ?ABC ∽ ?DAB . ∴

AB BC . ? DB AB
………………5 分

∴ AB 2 ? BD ? BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 ?BAC ? ?ADB . ∵ ?EDC ? ?FDC ,

?EDC ? ?ADB ,

∴ ?BAC ? ?FDC . ∴ ?BAC ? ?FDB ? ?FDC ? ?FDB ? 180°. ∴点 A 、 B 、 D 、 F 共圆. 23. 解: (I)把极坐标系下的点 P (4, ………………10 分

?
2

) 化为直角坐标,得 P(0, 4) .

因为点 P 的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x ? y ? 4 ? 0 , 所以点 P 在直线 l 上.
第 9 页(共 10 页)

………………5 分
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(II)设点 Q 的坐标为 ( 3 cos ? ,sin ? ) ,则点 Q 到直线 l 的距离为

| 3 cos ? ? sin ? ? 4 | d? ? 2
由此得,当 cos(? ?

2 cos(? ? ) ? 4 ? 6 ? 2 cos(? ? ) ? 2 2 . 6 2
………………10 分

?

?
6

) ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 2 .

24. 解: (I)证明:当 x ? 2 时, f ( x) ? 2 ? x ? (5 ? x) ? ?3 ; 当 2 ? x ? 5 时, f ( x) ? x ? 2 ? (5 ? x) ? 2 x ? 7 ,所以 ?3 ? f ( x) ? 3 ; 当 x ? 5 时, f ( x) ? x ? 2 ? ( x ? 5) ? 3 . 所以 ? 3 ? f ( x) ? 3 . (II)由(I)可知, 当 x ? 2 时, f ( x) ? x ? 8 x ? 15 ? x ? 8 x ? 18 ? 0 ? ( x ? 4) ? 2 ? 0 ,
2 2 2

………………5 分

∴ f ( x) ? x ? 8 x ? 15 的解集为空集;
2

当 2 ? x ? 5 时, f ( x) ? x 2 ? 8 x ? 15 ? x 2 ? 10 x ? 22 ? 0 ? 5 ? 3 ? x ? 5 ? 3 , ∴ f ( x) ? x ? 8 x ? 15 的解集为 {x | 5 ? 3 ? x ? 5} ;
2

当 x ? 5 时, f ( x) ? x ? 8 x ? 15 ? x ? 8 x ? 12 ? 0 ? 2 ? x ? 6 ,
2 2

∴ f ( x) ? x ? 8 x ? 15 的解集为 {x | 5 ? x ? 6} .
2

综上,不等式 f ( x) ? x ? 8 x ? 15 的解集为 {x | 5 ? 3 ? x ? 6} . ………………10 分
2

第 10 页(共 10 页)

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