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2015-2016学年度下学期高二第一次阶段测试


2015-2016 学年度下学期高二第一次阶段测试 数学(文科)试卷 答题时间:120 分钟 满分:150 分 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.若

1 ? 7i ? a ? bi (a, b ? R ), i 是虚数单位,则乘积 ab

的值是 2?i
B. 3 C. ? 3 D. 5

A. ? 15

2.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f ( x) ,如果 f ?( x0 ) ? 0 ,那么 x ? x0 是 函数 f ( x) 的极值点,因为函数 f ( x) ? x 3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以, x ? 0 是函 数 f ( x) ? x 3 的极值点.以上推理中 A.大前提错误 3.给出下列命题 (1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足 z ? i ? z ? i ? 2 的复数 z 的轨迹是椭圆; (3)若 m ? Z , i ? ?1 ,则 i ? i
2 m m ?1

B.小前提错误 C.推理形式错误

D.结论正确

? i m ? 2 ? i m ?3 ? 0; 其中正确命题的序号是(

)

A. (1)

B. (2)(3) C. (1)(3) D. (1)(4) )

4.不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集为( A. [?2,1) ? [4, 7)

B. (?2,1] ? (4, 7] C. (?2, ?1] ? [4, 7) D. (?2,1] ? [4, 7)

5.已知函数 f ( x) ? ? A. ? 2

a

?

sin ?x ,且 lim
h ?0

f (1 ? h) ? f (1) ? 2 ,则 a 的值为 h
D. ? 2? ) D.至少有一个不小于 ?2

B.2

C. 2?

6.设 a, b, c ? ( ??, 0), 则 a ?

1 1 1 ,b ? ,c ? ( b c a

A.都不大于 ?2 B.都不小于 ?2 C.至少有一个不大于 ?2

7.在一次实验中,测得 ( x, y ) 的四组值分别为 ?1, 2 ? , ? 2,3? , ? 3, 4 ? , ? 4,5 ? ,则 y 与 x 的 线性回归方程可能是( )

y ? x ?1 A. ?

y ? x?2 B. ?

y ? 2x ?1 C. ?

y ? x ?1 D. ?

1

8. 设 a>b>0 ,则 a ?
2

1 1 ? 的最小值是() ab a ? a ? b ?
D.4 )

A.1

B.2

C.3

9.若 ? ? ? A. 1

1 3 ? i ,则等于 ? 4 ? ? 2 ? 1 ? ( 2 2
B. ?1 ? 3i C. 3 ? 3i

D. 0 )

10.若 x ? 1 ,则函数 y ? x ? A. 16 B. 8
?

1 16 x 的最小值为( ? x x2 ? 1
C. 4 D.非上述情况

11.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 ,若 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有( A. M ? 8 B.

1 a

1 b

1 c



1 8 12. 已知定义在 R 上的可导函数 y ? f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,满足 f ?( x) ? f ( x) ,且
C. 1 ? M ? 8 D. 0 ? M ?

1 ? M ?1 8

y ? f ( x ? 1) 为偶函数, f (2) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? e x 的解集为
A. (??, 0) B. (0, ??) C. (??, e )
4

D. (e , ??)
4

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若复数 (m ? 5m ? 6) ? (m ? 3m) i 是纯虚数,则实数 m 的值是.
2 2

14.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AB=2,AC 和 AD 是⊙O 的两条弦,

AC= 2 ,AD= 3 ,则∠CAD 的弧度数为.
15.参数方程 ?
t ?t ? ?x ? e ? e (t为参数) 的普通方程为_____. t ?t y ? 2( e ? e ) ? ?

a 2 ? b2 16.在 Rt ?ABC 中, 若 ?C ? 90 , AC ? b, BC ? a , 则 ?ABC 外接圆半径 r ? . 运 2
0

用类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a, b, c ,则其外接球的半径

R =.

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 l0 分)如图, A, B, C , D 四点在同一圆上,

BC 与 AD 的延长线交于点 E ,点 F 在 BA 的延长线上.
(Ⅰ)若

EC 1 ED 1 DC 的值; ? , ? ,求 EB 3 EA 2 AB
2

(Ⅱ)若 EF ? FA ? FB ,证明: EF / / CD .

18.(本小题满分 l2 分) 某校高二年级共有 1600 名学生,其中男生 960 名,女生 640 名,该校组织了一次满分 为 100 分的数学学业水平模拟考试,根据研究,在正式的学业水平考试中,本次成绩在的学 生可取得 A 等(优秀) ,在七组加以统计,绘制成频率分布直方图,如图是该频率分布直方 图. (Ⅰ)估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中,成绩不合格的人数; (Ⅱ) 请你根据已知条件将下列 2×2 列联表补充完整,并判断是否有 90%的把握认为“该 校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有 关”? 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 男生 女生 合计 附: P(k ≥k0) 0.15 k0 2.072
2

a=12 c=

b= d=34 n=100 . 0.10 2.706 0.05 0.01

3.841 6.635

3

19.(本小题满分 l2 分)设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 4 | . (1)解不等式 f ( x) ? 0 ; (2)若 f ( x) ? 3 | x ? 4 |? m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围.

20.(本小题满分 l2 分)设函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 且 f (1) ? ?
2

a , 3a ? 2c ? 2b. 2

(1)试用反证法证明: a ? 0 (2)证明: ?3 ?

b 3 ?? . a 4

21. (本小题满分 l2 分)在以直角坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下, 曲线 C1 的方程是 ? ? 1 ,将 C1 向上平移 1 个单位得到曲线 C2 . (Ⅰ)求曲线 C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C1 的切线交曲线 C2 于不同两点 M , N ,切点为 T ,求 | TM | ? | TN | 的取值范 围.

22.(本小题满分 l2 分)已知函数 f ( x) ?

1 ? a ln x(a ? 0, a ? R ) x

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求函数 f ( x) 的极值和单调区间; (Ⅱ)若在区间 [1, e] 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? 0 成立,求实数 a 的取值范围.

4

2015-2016 学年度下学期高二第一次阶段测试 数学(文科)试卷 答题时间:120 分钟 满分:150 分 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.若

1 ? 7i ? a ? bi (a, b ? R ), i 是虚数单位,则乘积 ab 的值是 2?i
B. 3 C. ? 3 D. 5

C

A. ? 15

2.有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数 f ( x) ,如果 f ?( x0 ) ? 0 ,那么 x ? x0 是 函数 f ( x) 的极值点,因为函数 f ( x) ? x 3 在 x ? 0 处的导数值 f ?(0) ? 0 ,所以, x ? 0 是函 数 f ( x) ? x 3 的极值点.以上推理中 A A.大前提错误 3.给出下列命题 (1)实数的共轭复数一定是实数; (2)满足 z ? i ? z ? i ? 2 的复数 z 的轨迹是椭圆; (3)若 m ? Z , i ? ?1 ,则 i ? i
2 m m ?1

B.小前提错误 C.推理形式错误

D.结论正确

? i m ? 2 ? i m ?3 ? 0; 其中正确命题的序号是(
D. (1)(4) )D

)C

A. (1)

B. (2)(3)

C. (1)(3)

4.不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集为( A. [?2,1) ? [4, 7) 5.已知函数 f ( x) ? ? A. ? 2

B. (?2,1] ? (4, 7] C. (?2, ?1] ? [4, 7) D. (?2,1] ? [4, 7)

a

?

sin ?x ,且 lim
h ?0

f (1 ? h) ? f (1) ? 2 ,则 a 的值为 h
D. ? 2? )c

B

B.2

C. 2?

6.设 a, b, c ? ( ??, 0), 则 a ? A.都不大于 ?2

1 1 1 ,b ? ,c ? ( b c a

B.都不小于 ?2 D.至少有一个不小于 ?2

C.至少有一个不大于 ?2

7.在一次实验中,测得 ( x, y ) 的四组值分别为 ?1, 2 ? , ? 2,3? , ? 3, 4 ? , ? 4,5 ? ,则 y 与 x 的 线性回归方程可能是 ( )

y ? x ?1 A. ?

y ? x?2 B. ?
5

y ? 2x ?1 C. ?

y ? x ?1 D. ?

解析:A 线性回归直线一定过样本中心点 ? 2.5,3.5 ? ,故选 A. 8. 设 a>b>0 ,则 a ?
2

1 1 ? 的最小值是 ab a ? a ? b ?
(C)3 (D)4 )D

(A)1 9.若 ? ? ? A. 1

(B)2

1 3 ? i ,则等于 ? 4 ? ? 2 ? 1 ? ( 2 2
C. 3 ? 3i D. 0

B. ?1 ? 3i

10.若 x ? 1 ,则函数 y ? x ? A. 16 B. 8
?

1 16 x 的最小值为( ? x x2 ? 1
D.非上述情况

)B

C. 4

11.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 ,若 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有( A. M ? 8 B.

1 a

1 b

1 c

)A

1 1 ? M ? 1 C. 1 ? M ? 8 D. 0 ? M ? 8 8

12. 已知定义在 R 上的可导函数 y ? f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,满足 f ?( x) ? f ( x) ,且

y ? f ( x ? 1) 为偶函数, f (2) ? 1 ,则不等式 f ( x) ? e x 的解集为
A. (??, 0) B. (0, ??) C. (??, e )
4 4

B

D. (e , ??)

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若复数 (m ? 5m ? 6) ? (m ? 3m) i 是纯虚数,则实数 m 的值是.2
2 2

14.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,AB=2,AC 和 AD 是⊙O 的两条弦,

AC= 2 ,AD= 3 ,则∠CAD 的弧度数为.15.

5? 12

t ?t ? x2 y2 ?x ? e ? e ? ? 1( x ? 2) 15.参数方程 ? (t为参数) 的普通方程为_____. t ?t 4 16 ? ? y ? 2(e ? e )

0 16.在 Rt ?ABC 中, 若 ?C ? 90 , AC ? b, BC ? a , 则 ?ABC 外接圆半径 r ?

a 2 ? b2 . 运 2

用类比方法,若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a, b, c ,则其外接球的半径

6

a 2 ? b2 ? c2 R =. 2
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 l0 分)如图,A,B,C,D 四点在同一圆上,BC 与 AD 的延长线交于点 E, 点 F 在 BA 的延长线上. (Ⅰ)若
2

,求

的值;

(Ⅱ)若 EF =FA?FB,证明:EF∥CD.

【解答】解: (Ⅰ)∵A,B,C,D 四点共圆, ∴∠ECD=∠EAB,∠EDC=∠B ∴△EDC∽△EBA,可得 ∴ ∴ (Ⅱ)∵EF =FA?FB, ∴ ,
2



,即

又∵∠EFA=∠BFE, ∴△FAE∽△FEB,可得∠FEA=∠EBF, 又∵A,B,C,D 四点共圆, ∴∠EDC=∠EBF, ∴∠FEA=∠EDC, ∴EF∥CD.

7

18(本小题满分 l2 分) 某校高二年级共有 1600 名学生,其中男生 960 名,女生 640 名,该校组织了一次满分 为 100 分的数学学业水平模拟考试,根据研究,在正式的学业水平考试中,本次成绩在的学 生可取得 A 等(优秀) ,在七组加以统计,绘制成频率分布直方图,如图是该频率分布直方 图. (Ⅰ)估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中,成绩不合格的人数; (Ⅱ) 请你根据已知条件将下列 2×2 列联表补充完整,并判断是否有 90%的把握认为“该 校高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关”? 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 男生 女生 合计 附: P(k ≥k0) 0.15 k0 2.072
2

a=12 c=

b= d=34 n=100 . 0.10 2.706 0.05 0.01

3.841 6.635

解: (Ⅰ) 抽取的 100 名学生中, 本次考试成绩不合格的有 x 人, 根据题意得 x=100×=2. ? (2 分) 据此估计该校高二年级学生在正式的数学学业水平考试中,成绩不合格的人数为 (人) .?(4 分)

8

(Ⅱ)根据已知条件得 2×2 列联表如下:

数学成绩优秀 男生 女生 合计 ?(10 分) ∵ a=12 c=6 18

数学成绩不优秀 b=48 d=34 82

合计 60 40 n=100

,所以,没有 90%的把握认为“该校

高二年级学生在本次考试中数学成绩优秀与性别有关” .?(12 分) 19.设函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣4|. (1)解不等式 f(x)>0; (2)若 f(x)+3|x﹣4|>m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围. 【解答】解: (1)当 x≥4 时 f(x)=2x+1﹣(x﹣4)=x+5>0 得 x>﹣5,所以,x≥4 时, 不等式成立. 当 立. 当 时,f(x)=﹣x﹣5>0,得 x<﹣5,所以,x<﹣5 成立 时,f(x)=2x+1+x﹣4=3x﹣3>0,得 x>1,所以,1<x<4 时,不等式成

综上,原不等式的解集为:{x|x>1 或 x<﹣5}. (2)f(x)+3|x﹣4|=|2x+1|+2|x﹣4|≥|2x+1﹣(2x﹣8)|=9,当且仅当﹣ ≤x≤4 时, 取等号, 所以,f(x)+3|x﹣4|的最小值为 9,故 m<9.

20.(本小题满分 l2 分)设函数 f(x)=ax +bx+c 且 f(1)=﹣ ,3a>2c>2b. (1)试用反证法证明:a>0 (2)证明:﹣3< .

2

【解答】证明: (1)假设 a≤0, ∵3a>2c>2b,
9

∴3a≤0,2c<0<,2b<0, 将上述不等式相加得 3a+2c+2b<0, ∵f(1)=﹣ , ∴3a+2c+2b=0, 这与 3a+2c+2b<0 矛盾, ∴假设不成立, ∴a>0; (2)∵f(1)=a+b+c=﹣ ,∴c=﹣ a﹣b ∴3a>2c=﹣3a﹣2b,∴3a>﹣b, ∵2c>2b,∴﹣3a>4b; ∵a>0,∴﹣3< <﹣ . 21.(本小题满分 l2 分)在以直角坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下, 曲线 C1 的方程是ρ =1,将 C1 向上平移 1 个单位得到曲线 C2. (Ⅰ)求曲线 C2 的极坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C1 的切线交曲线 C2 于不同两点 M,N,切点为 T,求|TM|?|TN|的取值范围. 【解答】解: (I)曲线 C1 的方程是ρ =1,即ρ =1,化为 x +y =1,将 C1 向上平移 1 个单位得 到曲线 C2:x +(y﹣1) =1,展开为 x +y ﹣2y=0. 则曲线 C2 的极坐标方程为ρ ﹣2ρ sinθ =0,即ρ =2sinθ . (II)设 T(cosθ ,sinθ ) ,θ ∈. 切线的参数方程为: θ =0, ∴t1t2=1﹣2sinθ , ∴|TM|?|TN|=|t1t2|=|1﹣2sinθ |∈, ∴|TM|?|TN|的取值范围是. 22.(本小题满分 l2 分)已知函数 f(x)= +alnx(a≠0,a∈R) (Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)的极值和单调区间; (Ⅱ)若在区间上至少存在一点 x0,使得 f(x0)<0 成立,求实数 a 的取值范围. (t 为参数) ,代入 C2 的方程化为:t +2t+1﹣2sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2

10

【解答】解: (I)因为

, (2 分)

当 a=1,



令 f'(x)=0,得 x=1, (3 分) 又 f(x)的定义域为(0,+∞) ,f'(x) ,f(x)随 x 的变化情况如下表: x f'(x) f(x) (0,1) ﹣ ↘ 1 0 极小值 (1,+∞) + ↗

所以 x=1 时,f(x)的极小值为 1. (5 分) f(x)的单调递增区间为(1,+∞) ,单调递减区间为(0,1) ; (6 分) (II)因为 ,且 a≠0,

令 f'(x)=0,得到



若在区间上存在一点 x0,使得 f(x0)<0 成立, 其充要条件是 f(x)在区间上的最小值小于 0 即可. (7 分) (1)当 a<0 时,f'(x)<0 对 x∈(0,+∞)成立, 所以,f(x)在区间上单调递减, 故 f(x)在区间上的最小值为 由 ,得 ,即 , (9 分)

(2)当 a>0 时, ①若 ,则 f'(x)≤0 对 x∈成立,

所以 f(x)在区间上单调递减, 所以,f(x)在区间上的最小值为 显然,f(x)在区间上的最小值小于 0 不成立(11 分) ②若 x ,即 1> 时,则有 ,

11

f'(x) f(x)

﹣ ↘

0 极小值

+ ↗ , ,

所以 f(x)在区间上的最小值为 由

得 1﹣lna<0,解得 a>e,即 a∈(e,+∞)舍去; 当 0< <1,即 a>1,即有 f(x)在递增, 可得 f(1)取得最小值,且为 1,f(1)>0,不成立. 综上,由(1) (2)可知 a<﹣ 符合题意. (14 分)

?

12


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