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高中数学1-7-1定积分在几何中的应用


1.7 定积分的简单应用
1.7.1 定积分在几何中的应用

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【课标要求】
1.会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积. 2.在解决问题的过程中,通过数形结合的思想方法,加深对定积 分的几何意义的理解. 【核心扫描】

由多条曲线围成的分割

型图形的面积的求解是考查的重点.

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自学导引 曲边梯形的面积和其上、下两个边界所表示函数的关系 (1)如图 1,阴影部分的面积为 S=- g(x)dx+ f(x)dx



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(2)如图2,阴影部分的面积为 所以,曲边梯形的面积等于 曲边梯 形上、下两个边界所表示的函数的差

的定积分

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想一想:当f(x)<0时,f(x)与x轴所围图形的面积怎样表示?
提示 如图,因为曲边梯形上边界函数为g(x)=0,下边界函数 (0-f(x))dx=- f(x)dx.

为f(x),所以S=

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名师点睛

利用定积分求曲边图形面积的步骤
一般来说,利用定积分求曲边图形面积的基本步骤如下: 第一步:画出图形; 第二步:确定图形范围,通过解方程组求出交点横坐标,确定 积分上、下限;

第三步,确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位
置; 第四步,写出平面图形面积的积分表达式; 第五步,运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面 积.
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注意:由于定积分是一种和式的极限,它可以为正,也可以为0, 还可以为负.但平面图形的面积一般来说总是为正的.因此,当

定积分为负值时,一定要通过取绝对值处理为正.

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题型一 不分割型图形面积的求解 【例1】 求由抛物线y=x2-4与直线y=-x+2所围成图形的面积.

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?y=x2-4, ? 由? ?y=-x+2, ? ?x=2, ? 或? ?y=0, ?



?x=-3, ? ? ?y=5 ?

所以直线 y=-x+2 与抛物线 y=x2-4 的

交点为(-3,5)和(2,0),设所求图形面积为 S,根据图形可得

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不分割型图形面积的求解步骤:

(1)准确求出曲线的交点横坐标;
(2)在坐标系中画出由曲线围成的平面区域; (3)根据图形写出能表示平面区域面积的定积分; (4)计算得所求面积.

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【变式 1】 求由曲线 y=2x-x2, y=2x2-4x 所围成的图形的面积.



?y=2x-x2, ? 由? ?y=2x2-4x, ?

得 x1=0,x2=2.由图可知,所求图形的面积为

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题型二 分割型图形面积的求解

1 【例 2】 求由曲线 y= x,y=2-x,y=-3x 所围成图形的面积. [思路探索] 可先求出曲线与直线交点的横坐标,确定积分区 间,然后分段利用公式求解. 解 法一 画出草图,如图所示.
?y= x, ? 解方程组? ?x+y=2, ?

?y= x, ?x+y=2, ? ? ? 及? 1 1 ?y=-3x, ?y=-3x, ? ?

得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).

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法二 若选积分变量为y,则三个函数分别为

x=y2,x=2-y,x=-3y.
因为它们的交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1).

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由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形,在
不同的区间段内位于上方或下方的函数有所变化时,可通过解方 程组求出曲线的不同的交点坐标,可以将积分区间进行细化区间 段,然后根据图象对各个区间段分别求面积进而求和,在每个区 段上被积函数均是由上减下;若积分变量选取x运算较为复杂,可

以选y为积分变量,同时更改积分的上下限.

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【变式 2】 计算由曲线 y2=x,y=x3 所围成图形的面积 S.



作出曲线 y2=x, y=x3 的草图, 所求面积为图中阴影部分

的面积.
?y2=x, ? 解方程组? ?y=x3, ?

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得交点横坐标为x=0及x=1. 因此,所求图形的面积为

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题型三 定积分的综合应用 【例3】 设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且 f′(x)=2x+2.

(1)求y=f(x)的表达式;
(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.

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[规范解答] (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b. 又 f′(x)=2x+2,所以 a=1,b=2. ∴f(x)=x2+2x+c. 又方程 f(x)=0 有两个相等实根, 即 x2+2x+c=0 有两个相等实根, 所以 Δ=4-4c=0,即 c=1. 故 f(x)=x2+2x+1. (5 分) (6 分) (3 分) (1 分)

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(2)画函数y=f(x)的图象如图.

由图象知所求面积为

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【题后反思】 由定积分求平面区域面积的方法求不规则图形的面 积是一种基本的运算技能.在这种题型中往往与导数、函数的最

值、不等式等相关知识进行融合.

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【变式 3】 在曲线 y=x2(x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线 1 以及 x 轴所围成图形的面积为 ,试求切点 A 的坐标及过切 12 点 A 的切线方程. 解 设切点 A(x0,x2), 0

切线斜率为 k=y′|x=x0=2x0. ∴切线方程为 y-x2=2x0(x-x0). 0 x0 令 y=0,得 x= 2 ,

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∴切点为(1,1),切线方程为y=2x-1.

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方法技巧 化归与转化在求定积分中的应用

在应用定积分时,定积分的计算是其中的重点也是难点.为
计算定积分,要细心观察,有时某个定积分整体表示某些易求面 积的图形的面积,求定积分的值就可转化为求图形的面积.当有 些被积函数的原函数不易求得时,可考虑换元,转换为易求原函 数的被积函数,这时积分变量也要改变.

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x2 y2 【示例】 求椭圆25+16=1 围成的面积. [思路分析] 本题首先要解决的是被积函数, 就要求出 y 关于 x 的函数,但是由椭圆的方程求 y 关于 x 的函数的计算过程中, 会遇到开平方,就有正负平方根两种情况,为解决此问题, 我们注意到椭圆的对称性,其围成图形的面积是它在第一象 限与坐标轴围成的图形的面积的 4 倍,从而只需求出它在第 一象限与坐标轴围成图形的面积,这样在第一象限内只需算 术平方根即可.积分的下限就是 0,上限就是椭圆右顶点的横 坐标 5.
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x2 y2 解 法一 设椭圆25+16=1 围成的面积为 S, 椭圆在第一象限内 围成图形的面积为 S1,则由对称性得 S=4S1, x2 y2 在第一象限内椭圆 + =1 的方程可化为 25 16 4 y= 25-x2,椭圆在第一象限内围成的面积为 5

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S1= 而 从而

4 4 2 25-x dx= 5 5
2

25-x2dx,

1 25-x dx 表示以 5 为半径的4圆的面积, 1 25 2 25-x dx= π×5 = π, 4 4
2

4 25 所以 S1=5× 4 π=5π, 从而,S=20 π.

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法二

x2 y2 设椭圆25+16=1 围成的面积为 S, 椭圆在第一象限内围成

图形的面积为 S1,则由对称性得 S=4S1, π 令 x=5 cos t,则当 x=0 时,t=2; 当 x=5 时,t=0 x2 y2 在第一象限内椭圆25+16=1 的方程可化为 4 y=5 25-x2=4 sin t

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方法点评 观察是解决问题的第一要素,在法一中观察到 1 25-x dx 表示以 5 为半径的 圆的面积,使定积分值很快地 4
2

求出;与方法一不同,法二考虑到椭圆的参数方程,利用三角代 换求出了定积分 4 25-x2dx 的值.两种方法实际上都体现了 5

化归与转化的思想,在解题的过程中要注意数学知识之间的相互 联系,才能在适当的时候用化归转化的思想来解决问题和简化问 题.

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