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江苏省南京市第二十九中学2015-2016学年高二上学期12月学情检测数学试题


南京市第二十九中学 2015-2016 学年度上 高二 12 月学情检测数学试题 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分) 1.命题“ ?x ? R, x ? sin x ”的否定是 答案: ?x ? R, x ? sin x . .

J 0 , 9 0? 2. “T ? 7

”是“ T ? J ? 160 ”的

条件.

(填充分不必要、必要不充分,充要、既不充分又不必要之一) 答案:充分不必要. 3. (理)下列四个命题中真命题的序号是 ①若存在实数 x , y ,使 p ? xa ? yb ,则 P 与 a, b 共面; ②若 P 与 a, b 共面,则存在实数 x , y ,使 p ? xa ? yb ; ③若存在实数 x , y ,使 MP ? xMA ? yMB ,则 P, M , A, B 共面; ④若 P, M , A, B 共面,则存在实数 x , y ,使 MP ? xMA ? yMB . 答案:①正确;②错,若 a, b 共线, P 不与 a, b 共线,则不存在实数 x , y ,使 p ? xa ? yb ; ③ 正 确 ; ④ 错 , 若 MA, MB 共 线 , MP 不 与 MA , MB共 线 , 则 不 存 在 实 数 x, y , 使 .

? ?

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? ?

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???? ????

????

???? ????

???? ???? ???? . MP ? x MA ? y MB
(文)下列四个命题中真命题的序号是 ①5 ? 4
3 2



②函数 f ? x ? ? x ? x 是增函数,且值域是 R; ④方程 x ? 2 ? 0 的根是 2 ,或方程的根是 ? 2 .
2

③ 2 不是有理数 答案:①③.

4 .( 理 ) 若 点 A? 2, ?5, ?1? , B ? ?1, ?4, ?2? ,C(m ? 3, ?3, n) 在 同 一 条 直 线 上 , 则

m? n ?
答案:4.



解析:三点在同一条直线上即向量 AB, BC 共线, AB ? ? ?3,1, ?1? , BC ? ? m ? 4,1, n ? 2 ? ,

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?



m?4 n?2 ?1? ,解得 m ? 7, n ? ?3 , m ? n ? 4. ?3 ?1


(文)函数 f ? x ? ? x2 在区间 ? ?6, ?4? 的平均变化率是 答案:函数 f ? x ? 的平均变化率是

? y f ? ?4? ? f ? ?6? 16 ? 36 ? ? ? ?10 . ?x ?4 ? ? ?6? 2
条 .

5.过点 ? 2, 4 ? 的直线与抛物线 y 2 ? 8x 只有一个公共点,这样的直线有 答案:2 条

解析:点 ? 2, 4 ? 在抛物线 y 2 ? 8x 上,故有两条直线,一条平行于 x 轴,一条是抛物线的切线. 延伸与拓展:1.过定点 P(0,2)作直线 l,使 l 与抛物线 y =4x 有且只有一个公共点,这样的 直线 l 共有___条.
2

解析:如图,过点 P 与抛物线 y =4x 仅有一个公共点的直线有三条:二条切线、一条与 x 轴 平行的直线. 答案:3. 2.直线 l:y=k(x-1)与椭圆 + =1 的交点个数为________. 3 4 解析:∵直线 l 恒过点(1,0),而点(1,0)在椭圆的内部. ∴直线与椭圆恒有两个交点. 答案:2. 3.若直线 y=x+b 与曲线 y=3- 4x-x 有公共点,则 b 的取值范围是__________. 答案 . 解析 曲线方程可化简为(x-2) +(y-3) =4 (1≤y≤3),即表示圆心为(2,3),半径为 2 的 半圆,依据数形结合,当直线 y=x+b 与此半圆相切时需满足圆心(2,3)到直线 y=x+b 距离 等于 2, 解得 b=1+2 2或 b=1-2 2, 因为是下半圆, 故可得 b=1+2 2(舍), 当直线过(0,3) 时,解得 b=3,故 1-2 2≤b≤3.
2 2 2

2

x2 y2

x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l 过其左焦点 F1 ,交双曲线左支于 A, B 两点,且 AB ? 4 。 6.已知双曲线 m 7

F2 为双曲线的右焦点, ? ABF2 的周长为 20,则 m 的值为__________.
答案:9.

解析:解析:由已知,|AB|+|AF2|+|BF2|=20,又|AB|=4,则|AF2|+|BF2|=16. 据双曲线定义,2a=|AF2|﹣|AF1|=|BF2|﹣|BF1|, 所以 4a=|AF2|+|BF2|﹣(|AF1|+|BF1|)=16﹣4=12, 即 a=3,所以 m=a =9, 延伸与拓展:1.双曲线 ﹣ =1(a>0,b>0)的焦点分别为 F1、F2,过 F1 作直线交双曲
2

线的左支于 A、B 两点,且|AB|=m,则△ABF2 的周长为__________. 答案:4a+2m. 解析:如图,由双曲线的定义可得,|AF2|﹣|AF1|=2a,|BF2|﹣|BF1|=2a, 两式相加得:|AF2|+|BF2|=4a+|AF1|+|BF1|=4a+m, ∴△ABF2 的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=4a+2m. 故答案为:4a+2m.

2.过双曲线

左焦点 F1 的直线交双曲线的左支于 M,N 两点,F2 为其右焦点,则

|MF2|+|NF2|﹣|MN|的值为__________. 答案:16. 解析:根据双曲线定义有|MF2|﹣|MF|=2a,|NF2|﹣|NF|=2a, 两式相加得|MF2|+|NF2|﹣|MN|=4a=16. 故答案为:16. 3.已知双曲线 =1 的左右焦点分别为 F1,F2,过右焦点 F2 的直线交双曲线的右支于两

点 A、B,且有|AF1|+|BF1|=2|AB|,若△ABF1 的周长为 12,则双曲线的离心率为____.

答案:2. 解析:由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=|BF1|﹣|BF2|=2a, 可设|AF2|=m,|BF2|=n, 则|AF1|=2a+m,|BF1|=2a+n, |AB|=|AF2|+|BF2|=m+n, 由于|AF1|+|BF1|=2|AB|, 即有 4a+|AB|=2|AB|, 则|AB|=4a, 由△ABF1 的周长为 12, 则有|AF1|+|BF1|+|AB|=12, 3|AB|=12, 即 12a=12,解得 a=1. 则 c= 则 e= =2. 7.设球半径以 2cm/s 的速度膨胀,当半径为 5cm 时,体积对时间的变化率是__________. 答案:200π . 解析:∵球体积 V= π R , ∴ =4π R
2 3

=

=2,

当 R=5cm 时 =4×π ×25×2=200π cm /s 故答案为:200π cm /s. 延伸与拓展:1.半径为 1cm 的球的半径以 2cm/s 的速度向外扩张,当半径为 9cm 时,球的表 面积增加的速度为 答案:144π . 解析:根据球表面积 S=4π R 得: =8π R× ,其中 =2,
2 3 3

cm /s.

2

当半径 R=9cm 时,

=8π ×9×2=144π cm /s 故答案为:144π . 8.曲线 f ? x ? ? x ? x ?1?? x ? 2?? x ? 3? 在 x ? 2 处的切线斜率是__________. 答案:-2. 解析: f , ? x? ? ? x ?1?? x ? 2?? x ? 3? ? x ? x ? 2?? x ? 3? ? x ? x ?1?? x ? 3? ? x ? x ?1?? x ? 2? 则k ? f, ? 2? ? ?2 .
3 2 2 9.函数 y ? x ? 3ax ? a ? 3a ? 1 x ? a 在 x ? ?1 时取得极值,则 a ? __________.

2

?

?

答案:1,2.
, 2 解析: y,? 3x2 ? 6ax ? a2 ? 3a ? 1 , y ? ?1? ? 3 ? 6a ? a ? 3a ?1 ? 0 ,解得 a ? 1 , a ? 2 .

10.函数 f ? x ? ?

ex 的单调减区间是__________. x

答案: ? ??,0? , ? 0,1? . 解析: f


? x? ?

x e x x ? e x e ? x ? 1? ? ? 0 ,解得 ? ??,0? , ? 0,1? . x2 x2

11.若椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的弦被点 ? 4, 2 ? 平分,则此弦所在直线的斜率为__________. 36 9

答案:﹣ . 解析:设弦的两个端点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,



+

=1,①,

+

=1,②.

①﹣②得: ∵点(1,2)是弦的中点 ∴x1+x2=8,y1+y2=4,

=﹣



∴k=

=﹣ .

故答案是﹣ . 【点评】本题考查了直线和圆锥曲线的关系,涉及弦中点问题,常采用“点差法”. 延伸与拓展:已知椭圆 (1)求过点 . 且被点 P 平分的弦所在直线的方程;

(2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过点 A(2,1)引直线与椭圆交于 B、C 两点,求截得的弦 BC 中点的轨迹方程. 解析: (1)设过点 且被点 P 平分的弦与椭圆交与 A(x1,y1) ,B(x2,y2)点,则

= ,

=

∵A,B 在椭圆上,∴





②﹣①得,

+(y2﹣y1)=0,

=﹣

即,弦 AB 的斜率为﹣ ∴方程为 y﹣ =﹣ (x﹣ )即 (2)设斜率为 2 的平行弦的中点坐标为(x,y) ,则根据中点弦的斜率公式,有﹣ =2

(3)当过点 A(2,1)引的直线斜率存在时,设方程为 y﹣1=k(x﹣2) , 代入椭圆方程,消 y,得( +k )x +2(1﹣2k)kx+4k ﹣4k=0 ∴x1+x2= ,y1+y2= ,
2 2 2

设弦 BC 中点坐标为(x,y) ,则 x=

=

,y=

=



∴ =﹣2k 又∵k= ,∴ ,整理得 x ﹣2x+2y ﹣2y=0
2 2

当过点 A(2,1)引的直线斜率不存在时,方程为 x=2,与椭圆无交点 ∴所求弦 BC 中点的轨迹方程为 x ﹣2x+2y ﹣2y=0(﹣ 【点评】本题主要考查了点差法求中点弦的斜率.
2 12.已知点 N ? 2,0? ,圆 M : ? x ? 2 ? ? y ? 36 ,点 A 是圆 M 上一个动点,线段 AN 的垂直 2
2 2

≤x≤

) .

平分线交 AM 于点 P ,则点 P 的轨迹方程是__________. 答案:

x2 y 2 ? ? 1. 9 5

解析:由已知,得|PN|=|PA|,所以|PN|+|PM|=|PA|+|PM|=|MA|=6 又|MN|=4,4<6,根据椭圆的定义,点 P 的轨迹是 M,N 为焦点,以 3 为实轴长的椭圆,

x2 y 2 ? ? 1. 所以 2a=6,2c=4,所以 b ? 5 ,所以,点 P 的轨迹方程为: 9 5
故答案为:

x2 y 2 ? ? 1. 9 5 x2 y 2 3 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k ? k ? 0? 的 2 a b 2
??? ? ??? ?

13.已知椭圆 C :

直线与椭圆 C 相交于 A, B 两点.若 AF ? 2 FB ,则 k ? __________. 答案: 解析:设 l 为椭圆的右准线,过 A、B 作 AA1,BB1 垂直于 l,A1,B1 为垂足, 过 B 作 BE⊥AA1 于 E,根据椭圆的第二定义,得 |AA1|= ,|BB1|= ,



=2

,∴cos∠BAE= .

=

=

=



∴tan∠BAE= ∴k= .

延伸与拓展:1.已知过椭圆

的右焦点 F 斜率是 1 的直线交椭圆于 A、

B 两点,若 答案:

,则椭圆的离心率是__________.

解析:右焦点 F(c,0) ,直线的方程为 y﹣0=x﹣c. 设 A(m,m﹣c) ,B( n,n﹣c) , 由 得 (c﹣m,c﹣m)=2 (n﹣c,n﹣c) ,∴c﹣m=2(n﹣c) ,m+2n=3c ①.

再根据椭圆的第二定义,

=2=

,∴2n﹣m=

②,

由①②解得 m=

,n=



据椭圆的第二定义,e=

=

=

= ∴3e ﹣3e﹣ ∴e=
3

= e+
2 2

, =0, (e ﹣1)?(3e﹣ ,故答案为 )=0.∵0<e<1, .

,故椭圆的离心率是
3

14.若对任意 x ?? ?1,1? , x ? 3ax ? a ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是__________.

答案: ? ? 解析: 令 f ? x ? ? x3 ? 3ax ? a , f ' ? x ? ? 3x2 ? 3a , 当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 3x2 ? 3a ? 0 , f ? x ? 在区间 ??1,1? 单调增, f ? x ?min ? f ? ?1? ? 4a ?1 ? 0 ,解得 a ?

?1 ? ?4?

1 与 a ? 0 矛盾,故舍去;当 4

a ? 0 时, f ' ? x ? ? 3x2 ? 3a ? 0 ,解得 x ? ? a ,①当 a ? 1 时, f ? x ? 在 ? ?1, ? a ? 单调 ? ?
增,在 ? ? a , a ? 单调减,在 ? a ,1? 但调增, f ? x ? 在 x ?

?

?

?

?

a 上取得极小值,故不等式要
1 . 4

成立只需满足, f ? ?1? ? 4a ?1 ? 0 且 f

? a ? ? a ? 2a

a ? 0 ,解得 a ?

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分) 15. (本题满分 14 分) 设 有 命 题 p: 方 程

x2 y2 ? ? 1 表 示 双 曲 线 , 命 题 q : A? B , 其 中 集 合 ? m?4 m?2

A?

?? x, y ? x

2

? y 2 ? m, x ? R, y ? R ,B ?

?

?? x, y ? ? x ? y ?? x ? y ? ? 0, x ? R, y ? R? .若“p

或 ? q ”为真命题, “p 且 ? q ”为假命题,求实数 m 的取值范围.

16. (本题满分 14 分) 设 f ? x ? ? kx ? m, g ? x ? ? ln x ?

1 . x

(1) 若函数 f ? x ? ? g ? x ? 在区间 ? 0, ??? 上减函数,求 k 的取值范围; (2) 当 k ? 2 时,若函数 f ? x ? 的图象是函数 g ? x ? 的图象的切线,求 m 的值.

17. (本题满分 14 分)

过抛物线 y ?

1 2 x 的焦点的直线与抛物线交于 A, B 两点, O 是抛物线的顶点. 4

(1) 判断抛物线的准线和以 AB 为直径的圆点的位置关系; (2) 求 OA ? OB 的值;

??? ? ??? ?

18. (本题满分 14 分) 如图,在边长为 10(单位:m)的正方形铁皮的四周切去四个全等的等腰三角形,再把它 的四个角沿着虚线折起,做成一个正四棱锥的模型.设切去的等腰三角形的高为 x m. 问正四棱锥的体积 V(x)何时最大?最大值是多少?

x x

h
(第 18 题)

19. (本题满分 14 分)

设椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的长轴端点是 A, B ,椭圆在第一象限部分上有一动点 S,直线 a 2 b2

AP,BP 分别与直线 x=m(m>0)交于 M,N 两点. (1) 若 S 点的坐标是 ?

1 ?6 4? , ? ,且直线 AM , BN 的斜率之积是 ,求椭圆的方程. 4 ?5 5?

(2) 当 S 运动时,求 MN 的最小值(用 a,b,m 表示) .

延伸与拓展:1.已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 A 和上 a 2 b2

顶点 D,椭圆 C 的右顶点为 B ,点 S 和椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线, AS , BS 与直线

l:x?

10 分别交于 M , N 两点。 3

(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值;

解法一: (I)由已知得,椭圆 C 的左顶点为 A(?2, 0), 上顶点为 D(0,1),? a ? 2, b ? 1

故椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ)直线 AS 的斜率 k 显然存在,且 k ? 0 ,故可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,从而

M(

10 16k , ) 3 3

? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 2 ? y ? 1 ? ?4
设 S ( x1 , y1 ), 则 (?2), x1 ?

4k 16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 x ? 得 ,从而 y1 ? 1 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 ? 4k

2 ? 8k 2 4k , ), 又 B(2, 0) 即 S( 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

1 10 ? ? y ? ? ( x ? 2) ? x ? ? ? ? 4k 3 由? 得? ? x ? 10 ?y ? ? 1 ? ? 3 3k ? ?
10 1 ?N( ,? ) 3 3k
故 | MN |?

16k 1 ? 3 3k

又 k ? 0,? | MN |? 当且仅当

16k 1 16k 1 8 ? ?2 ? ? 3 3k 3 3k 3

16k 1 1 ? ,即 k ? 时等号成立 3 3k 4 1 8 ? k ? 时,线段 MN 的长度取最小值 4 3
20. (本题满分 16 分) 设 h ? x? ? x
2

? ln x ? k ? ? k .
3 ,求 h ? x ? 的极值; 2

(1) 若 k ?

(2) 如果当 x ? 1 时, h ? x ? ? 0 恒成立,求 k 的取值范围.


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