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山东省烟台市2015-2016学年高二上学期期末自主练习数学(理)试题 扫描版含答案


2015-2016 学年度高二理科数学 参考答案及评分标准
一、选择

CBCAD 二、填空题

CBBAC 12. t ? 3或t ? 2 13. 8 14. ①④ 15. 90
o

11. ?x ? R, x2 ? x ? 1 ? 0 三、解答题

| x ?1| ?

1 ,得 a ? 1 .………………………………3 分 16. 解:若 p 正确,则由 0 ? ( )

1 2

若 q 正确,则 ax ? ax ? 2 ? 0 的解集为 R.
2

当 a ? 0 时, 2 ? 0 满足题意; 当 a ? 0 时,则 ?

………………………5 分

?a ?0 ,解得 0 ? a ? 8 , 2 ?a ? 8a ? 0
………………………8 分

所以,若 q 正确, 0 ? a ? 8 由题意知, p 和 q 中有且仅有一个正确, 所以 ?

? a ?1 ? a ?1 或? , ?a ? 0或a ? 8 ?0 ? a ? 8

………………………10 分 ………………………12 分

所以 a ? 8 或 0 ? a ? 1 . 17. 解:设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 l 的斜率为 k ,

y12 ?1 1 2 4 2 2 2 ,两式相减可得, x2 ? x1 ? ( y 2 ? y1 ) ,……………3 分 2 4 y2 ?1 4 y ? y1 4( x1 ? x2 ) 4 ? 2 整理可得, k ? 2 ……………5 分 ? ? ? 4, x2 ? x1 y1 ? y2 2 可得直线 l 的方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 3 ? 0 . ……………6 分

? 2 x ? ? ? 1 则有 ? ? x2 ? 2 ? ?

? 2 y2 ?1 ? x ? 2 联立 ? ,消 y 并化简得, 12 x ? 24 x ? 13 ? 0 , ……………9 分 4 ?4 x ? y ? 3 ? 0 ? ? ? 242 ? 4 ?12 ?13 ? ?48 ? 0 ,方程没有实数解, ……………11 分 故过点 P(1,1) 不能做一条直线 l ,与双曲线交于 A, B 两点, 且点 P 是线段 AB 的中点. ……………12 分 uur uuu r uur 1 uuu r 1 uuur 18. 解: (1) OS ? ON ? NS ? OC ? NM 2 3 uuu r uuur uuu r 1 1 ? OC ? (OM ? ON ) 2 3 …………………2 分 uuu r r 1 uuu r 1 1 1 uur uuu ? OC ? ( (OA ? OB ) ? OC ) 2 3 2 2 uuu r uur uu u r uuu 1 1 1 1 r ? OC ? OA ? OB ? OC 2 6 6 6 uur uu u r uuu r 1 1 1 ? OA ? OB ? OC …………………………5 分 6 6 3 uuur uuur uuu r 1 uur 1 uu u r uuu r (2) CM ? OM ? OC ? OA ? OB ? OC , 2 2

u u ur u u ur u1 uur u u ur u uur B N? O N ? OB ? O? C , OB …………………………7 分 2 uuur 1 uur 1 uu u r uuu r u r uuu r 1 uur 1 uu 2 | CM |?| OA ? OB ? OC |? ( OA ? OB ? OC )2 ? a, 2 2 2 2 2 uuu r 1 uuu r uu u r r uu u r 1 uuu 3 | BN |?| OC ? OB |? ( OC ? OB)2 ? a , …………………………9 分 2 2 2 u r uuu r 1 uuu r uu u r uuu r uuu r 1 uur 1 uu 1 CM gBN ? ( OA ? OB ? OC )g( OC ? OB ) ? ? a 2 , 2 2 2 4 1 uuur uuu r ? a2 uuur uuu r CM gBN 6 4 所以 cos ? CM , BN ?? uuur ,……………11 分 uuu r ? ?? 6 3 2 | CM | ? | BN | a? a 2 2
因为异面直线 CM 和 BN 所成角的范围为 (0, 所以异面直线 CM 和 BN 所成角的余弦值为

?

2

],
……………12 分

6 . 6 2 19. 解: (1)由题意,可设抛物线方程为 x ? ?2 py , 将点 (2, ?2) 代入方程可得 4 ? 4 p ,即 p ? 1
2

………………………2 分

所以抛物线的方程为 x ? ?2 y . ………………………………………4 分 (2)显然,直线 l 垂直于 x 轴不合题意,故可设所求的直线方程为 y ? kx ? 1 , 代入抛物线方程化简,得: x ? 2kx ? 2 ? 0 ,
2

………………………6 分 ………………………8 分

其中 ? ? 4k ? 8 ? 0 , x1 ? x2 ? ?2k , x1 x2 ? 2
2

设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则有

y1 y2 ? ? 2 ,① x1 x2 x1 ? x2 ? 2, x1 x2
………………12 分

因为 y1 ? kx1 ?1, y2 ? kx2 ?1,代入①,整理可得 2k ? 将 x1 ? x2 ? ?2k , x1 x2 ? 2 代入,可得 k ? 2 , 所以直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 1 . 20. 解: (1)证明:设 CE ? DF ? a ,以点 D 为坐标原点 建立空间直角坐标系, ………………1 分 可得: E (a, 2,0), F (0, a,0), B?(2, 2, 2), D?(0,0, 2) ,

………………………11 分

D' B'

C'

C?(0, 2, 2) , ………………3 分 A ' uuu r uuu r 所以 B?F ? (?2, a ? 2, ?2), D?E ? (a,2, ?2) , uuu r uuu r B?F gD?E ? (a,2, ?2) ? (?2, a ? 2, ?2)

D

F E B

C

A

? ?2a ? 2a ? 4 ? 4 ? 0 , ………………5 分 uuu r uuu r 所以 B?F ? D?E ,即 B?F ? D?E . ………………6 分 ( 2 ) 不 妨 设 DF ? b , 由 题 意 可 知 , E (1, 2,0), F (0, b,0)(0 ? b ? 2) , 可 得 : uu u r uuu r ………………8 分 EF ? (?1, b ? 2,0) , C?F ? (0, b ? 2, ?2) , uu u r uuu r 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 EFC ? 的一个法向量,则有 EF g n ? 0, C?F g n?0,

?? x ? (b ? 2) y ? 0 b?2 ) , ………………10 分 ,令 y ? 1 得, n ? (b ? 2,1, 2 (? 2)z ? 0 ?(b ? 2) y ? 而平面 EFC 的一个法向量为 m ? (0,0,1) , 1 要使二面角 C ? ? EF ? C 的的余弦值为 , 3 b?2 1 1 2 只需 | cos ? m, n ?|? ,即 | |? , 3 b?2 2 3 (b ? 2)2 ? 1 ? ( ) 2 解得 b ? 1 , b ? 3 (删去), ………………12 分 1 所以当点 F 为棱 CD 的中点时,二面角 C ? ? EF ? C 的余弦值为 . ………13 分 3 2 2 x y 21. 解: (1)设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,由题意可知, b ? 2 , a b c 3 2 ………………3 分 ? , a ? b2 ? c 2 ,可得, a ? 2 2 , a 2 x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆 C 的方程为 ………………4 分 8 2 1 (2) (i)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,直线 AB 的方程为 y ? x ? t , 2 2 2 ?x y ? ?1 ? ?8 2 联立 ? ,消 y 可得, 2x2 ? 4tx ? 4t 2 ? 8 ? 0, 即x2 ? 2tx ? 2t 2 ? 4 ? 0 , ? y ? 1 x?t ? ? 2 则有 x1 ? x2 ? ?2t , x1 x2 ? 2t 2 ? 4 , ………………6 分
即?

x2 y 2 ), (2, Q 1 ) ? ,将 P, Q 分别代入直线可得,t ? 0, t ? ?2 ,由点 A, B ? ? 1 ,令 x ? 2 ,得 P(2,1 对于 8 2 在直线 x ? 2 的两侧,故 ?2 ? t ? 0 , 1 四边形 APBQ 的面积为 S ? S ?APQ ? S ?BPQ ? | PQ | ? | x2 ? x1 | 2 1 ? ? 2? | x2 ? x1 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4t 2 ? 4(2t 2 ? 4) ? ?4t 2 ? 16 2 而 ?2 ? t ? 0 ,所以, 0 ? S四边形APBQ ? 4 . ………………9 分 (ii)当 ?APQ ? ?BPQ 时,直线 PA, PB 的斜率之和为 0,不妨设直线 PA 的斜率为 k ,则直线 PB 的斜 率为 ? k , 所以直线 PA 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2), 即kx ? y ? 1 ? 2k ? 0 , ?kx ? y ? 1 ? 2k ? 0 ? 2 2 2 联立 ? ,消 y 可得, (1 ? 4k ) x ? 8k (1 ? 2k ) x ? 4(1 ? 2k ) ? 8 ? 0 , x2 y 2 ? ?1 ? 8 2 ? 8k (2k ? 1) 所以 x1 ? 2 ? , ………………11 分 1 ? 4k 2 同理直线 PB 的方程为 y ? 1 ? ?k ( x ? 2) ?8k (?2k ? 1) 8k (2k ? 1) ? 可得, x2 ? 2 ? , ………………12 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以 x1 ? x2 ? 故 k AB

16k 2 ? 4 ?16k , x1 ? x2 ? , 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 y ?y k ( x1 ? 2) ? 1 ? k ( x2 ? 2) ? 1 ? 1 2? x1 ? x2 x1 ? x2

16k 2 ? 4 ? 4k 2 k ( x1 ? x2 ) ? 4k 1 1 ? 4 k ? ? ? , ?16k x1 ? x2 2 2 1 ? 4k 1 所以直线 AB 的斜率为定值 . 2 k?

………………14 分


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