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2009-2010北京理工大学工科数学分析第一学期期中试题


09-10学年第一学期《数学分析B》 期中试题 一. 填空题(每小题4分, 共28分)
4? x ?a 1. 设 f ( x ) ? , 已知 x ? 0 是 f ( x ) 的第 x arctan( x ? b)

一类间断点, x ? 3是 f ( x )的第二类间断点, 则

3 2 a ? ________, b ? ________ .
解:由题意
lim( 4 ? x ? a ) ? 4 ? a ? 0 ? a ? 2
x ?0

lim arctan( x ? b) ? 0 ? b ? 3
x ?3

2. 设 y ? f (arctan x 2 ) ? arcsin f 2 ( x ), 其中 f 是可导函数, 则

? 2x 2 f ( x ) f ?( x ) ? 2 ? f ?(arctan x ) ?dx 4 ? ? 1? x 1 ? f 4 ( x) ? ? ? dy ? __________ __________ __________ __________ .

2x 2 f ( x ) f ?( x ) 解: dy ? f ?(arctan x ) dx 4 dx ? 4 1? x 1 ? f ( x)
2

? 2x 2 f ( x ) f ?( x ) ? 2 ?dx ? ? f ?(arctan x ) 4 ? ? 1? x 1 ? f 4 ( x) ? ? ?

? x ? ln(1 ? t 2 ) 3. 设 ? ,则 t2 ? y?e

dy d y (1 ? t ) (1 ? t )( ? __________ e , 2 ? __________ 2 ? t )e ___。 ____ __________ dx dx
2
2

t2

2

2

t2

dy dt ? 2te ? (1 ? t 2 )e t 2 解: ? 2t dx dx dt 1? t2
2 2 d 2 y d dy dt 1? t2 ? ( )? ? [2te t ? (1 ? t 2 )2te t ] ? dx 2 dt dx dx 2t

dy

t2

? (1 ? t )( 2 ? t )e
2 2

t2

4. 抛物线 y ? ( x ? 2)2 与 y ? ?4 ? 6 x ? x 2 的交点的横坐

x1 ? 1, x2 ? 4 标为 ____________________,此二曲线在交点处切线
6 arctan 的夹角 ? ? __________ __________ ___ 。 7
解: ( x ? 2)2 ? ?4 ? 6 x ? x 2 ? x1 ? 1, x2 ? 4 2 ? x ? 1 时, tan ? ? ?( x ? 2) ? ? ?2

tan ? ? (?4 ? 6 x ? x 2 )? ? 4
?2?4 6 tan ? ? tan ? ? tan ? ? tan(? ? ? ) ? ? 1? 8 1 ? tan ? tan ? 7 6 ? ? ? ? ? ? ? arctan 。 x ? 4 时,类似。 7

5. 已知方程sin( xy ) ? ln y ? x ? 1,则

dx

y ? y 2 cos( xy ) dy 1 ? xy cos( xy ) , dy ? __________ _________

dx

x ?0

e?e ? __________。
2

解:方程两边同时关于 x 求导,得

? y ? y 2 cos( xy) y cos( xy)( y ? xy? ) ? ? 1 ? y? ? 1 ? xy cos( xy) y
? x ?0 ? e ? e 2 又 x ? 0时 , y ? e ? y

1 2 6. 当 x ? 0 时, x ( ? arctan ) 是 x 的 _______ 阶无 2 x
?

?

穷小, 若当 x ? 0 时, x ? sin x 与 cx k 是等价无穷小, 则 k ? _________, c ? __________ . _

x ? 0? 时, 解: ? 1 ? 1 x ( ? arctan ) ? arctan x = lim 2 x lim 2 x ?0 xk x 1 1 ? (? ) 1 x 1+ 1 x =lim =lim x ?0 ( k ? 1) x k ?2 (1 ? x 2 ) ( k ? 1) x
x ?0 k ?1

2

2

x ?0

k ?2

? 1 2 x ? 0? 时, x ( ? arctan ) 是 x 的 _______ 阶无 6. 当 2 x
穷小, 若当 x ? 0 时, x ? sin x 与 cx k 是等价无穷小,

1 3 6 则 k ? _________, c ? __________ . _
解: 由题意
1 2 x x ? sin x 1 ? cos x 1 ? lim ? lim ? lim 2 k ?1 k k ?1 x ?0 x ? 0 ckx x ?0 ckx cx
1 ? lim k ? 3 ? k ? 3 , 2ck ? 1, x ? 0 2ckx 1 ?c? 6

7. 四根 10cm 长的木条用铆钉连成活动的菱形, 若一对角 线的增长率为 6cm/sec, 则当此对角线的长为 16cm 时 菱形面积的增长率为___________________.

解:设一对角线的长为 l , 菱形的面积为 S , 如图

l 2 S ? lh ? l 10 ? ( ) 2 1 ? l 400 ? l 2 2
2

10

h

l

dS 1 ? dl ? 2l dl ? 2 ? ? ? 400 ? l ? l ? ? ? 2 dt 2 ? dt 2 400 ? l dt ?

7. 四根 10cm 长的木条用铆钉连成活动的菱形, 若一对角 线的增长率为 6cm/sec, 则当此对角线的长为 16cm 时

? 28cm 2 / sec 菱形面积的增长率为___________________.
200 ? l 2 dl ? dl dS 1 ? l2 ? ?? ? ? ? 400 ? l 2 ? 2 ? 2? dt 2 ? 400 ? l dt 400 ? l ? dt

dl 当 l ? 16cm, ? 6cm / sec 时, dt
dS 200 ? 162 ? ? 6 ? ?28cm 2 / sec dt 400 ? 162

二. (9 分) 求 lim (cot x ) ?
x ?0

1 ln x 2


1

解: lim? (cot x )
x ?0

1 ln x 2

? lim? e
x ?0

ln(cot x )

ln x 2

?e

ln(cot x ) x ? 0? 2 ln x lim

1 1 ? (? 2 ) ln(cot x ) sin x lim? ? lim? cot x x ?0 2 x ?0 2 ln x x 1 ?x ?? ? lim? x ? 0 2 sin x cos x 2

? lim (cot x ) ?
x ?0

1 ln x 2

?e

?

1 2

x 三. (9 分) 设 f ( x ) ? ln x ? ? k ( k 为常数 ), 判断方程 e
f ( x ) ? 0 有几个实根.

1 1 解: f ?( x ) ? ? , 令 f ?( x ) ? 0, 解得 x ? e。 x e 当 0 ? x ? e 时 , f ?( x ) ? 0, f ( x ) 单增;
当 e ? x ? ?? 时 , f ?( x ) ? 0, f ( x ) 单减;

所以 f ( x ) 在 x ? e 取得最大值 , f (e ) ? k 又 lim f ( x ) ? ??, lim f ( x ) ? ??, ?
x ?0
x ???

所以,当 k ? 0 时, f ( x ) ? 0 有两个实根; 当 k ? 0 时, f ( x ) ? 0 有一个实根;

当 k ? 0 时, f ( x ) ? 0 没有实根。

x n ?1 四. (9 分) 设 x1 ? 1, xn ? 1 ? 1 ? x n ?1

( n ? 2,3,?) , 证明

lim xn 存在, 并求此极限.
n??

x n ?1 ? ? 解1: xn ? 0, xn ? 1 ? 1 ? x ? 2,即 { xn } 有上界。 n ?1
1 则 x2 ? 1 ? ? x1,假设 xn ? xn?1 , 2 xn x n ?1 xn ?1 ? xn ? 1 ? ?1? 1 ? xn 1 ? x n ?1

x n ? x n ?1 ? ?0 (1 ? xn )(1 ? xn?1 )

? { xn } 单增。

由单调有界原理, xn 存在。 lim
n??

设 lim xn ? A, 由
n? ?

x n ?1 xn ? 1 ? , 1 ? x n ?1



A A ? 1? , 1? A

解得

1? 5 A? (舍去负值) 2

1? 5 ? lim xn ? 。 n? ? 2

x n ?1 四. (9 分) 设 x1 ? 1, xn ? 1 ? 1 ? x n ?1

( n ? 2,3,?) , 证明

lim xn 存在, 并求此极限.

x n ?1 1 ? ? 2? ?2 解2: ? xn ? 0, xn ? 1 ? 1 ? x n ?1 1 ? x n ?1 即 { xn } 有上界。
1 x2 ? 1 ? ? x1, 假设 xn ? xn?1 , 则 2 1 1 1 1 ? ? xn ?1 ? xn ? 2 ? ?2? ?0 1 ? xn 1 ? x n ?1 1 ? x n ? 1 1 ? x n

n??

1? 5 。 ? { xn } 单增, ? lim xn 存在, 同解1得 lim xn ? n? ? n?? 2

x n ?1 四. (9 分) 设 x1 ? 1, xn ? 1 ? 1 ? x n ?1

( n ? 2,3,?) , 证明

lim xn 存在, 并求此极限.
n??

x n ?1 1 ? ? 2? ?2 解3: ? xn ? 0, xn ? 1 ? 1 ? x n ?1 1 ? x n ?1
即 { xn } 有上界。
x 1 设 f ( x) ? 1 ? , 则 f ?( x ) ? ?0 2 1? x (1 ? x )

? f ( x ) 单增 , 从而 { xn } 单增。

同解1得

1? 5 lim xn ? 。 n? ? 2

3 x4 ? x3 ? 1 五. (11 分) 研究 y ? 的性态, 并画出它的图形. 3 x

( 解:定义域为:??,0) ? (0, ??)

lim y ? ?, 故 x ? 0 是垂直渐近线。
x ?0

y 3x ? x ? 1 lim ? lim ? 3, 4 x ?? x x ?? x
4 3

x3 ? 1 3x ? x ? 1 ?1 lim ( ? 3 x ) ? lim 3 3 x ?? x ?? x x
4 3

y ? 3 x ? 1是斜渐近线。

12 3( x 4 ? 1) y? ? , 令 y? ? 0 , 得 x ? ?1, y?? ? 5 4 x x

x
y?

(??,?1) ? 1

(?1,0)
?

0

(0,1)
?

1

(1,??)

?
?

0

0

?

y??
y

?
极大值

?
间断 极小值

?
5

?3
y

1
?1 0

1

x

x 2e n( x ?1) ? ax ? b 六. (9 分) 设函数 f ( x ) ? lim , 问 a, b n ( x ?1) n? ? e ?2 为何值时, f ( x )处处可导。

解:

? ax ? b ? 2 ?1 ? a ? b ? f ( x) ? ? ? 32 ? x ? ?

x?1 x ?1 x?1

由题意, f ( x ) 在 x ? 1 处连续, a?b ? 1, ? f (1 ? 0) ? f (1 ? 0), 得 2 即 a ? b ? 2, ? f (1) ? 1

? ax ? b x?1 a ? b ? 2, ? 2 ? f ( x) ? ? 1 x ?1 ? x2 x?1 ? ? ax ? b ?1 ax ? a a 2 ? , f ?? (1) ? lim ? lim ? ? x ?1 2( x ? 1) x ?1 2 x ?1

x2 ? 1 f ?? (1) ? lim ? 2, ? x ?1 x ? 1
又 f ( x ) 在 x ? 1 处可导,有 f ?? (1) ? f ?? (1),
a 即 ? 2, ? a ? 4,b ? ?2 2

七. (9 分) 将一盏灯悬挂在半径为 r 的圆桌中心的上方, 问灯 的高度 h(相对于桌面) 为多少时桌子边上的物体的亮度 y 最好(亮度与光线入射角? 的余弦成正比, 与离光源距离的 平方成反比). (提示: 若 c 与 a 成正比, 与 b 成反比, 则有
a c ? k , 其中 k 是比例系数). b

cos ? 解:如图, y ? k 2 2 ? k h ?r

h ( h2 ? r )
3 2 2

?
h

dy r 2 ? 2h2 dy r ?k ,令 ? 0, h ? 得 。 5 dh dh 2 2 2 2 (h ? r )
r 故当 h ? 时物体的亮度最好。 2

r

由问题的实际意义, h 确有最大值, 又驻点惟一,

x ? ln(1 ? x ) ? x 。 八. (10 分) 证明当 x ? ?1 时, 1? x

解1: 设 f ( x ) ? ln x, 由拉格朗日中值定理 1 ln(1 ? x ) ? ln(1 ? 0) ? ( x ? 0), ? 介于 0, x 之间 1?? 当 ? 1 ? x ? 0 时, x ? ? ? 0, 1 ? x ? 1 ? ? ? 1, 1 1 x x 1? ? , ? ? ? x , (? x ? 0) 1?? 1? x 1? x 1?? 当 x ? 0 时, 0 ? ? ? x , 1 ? 1 ? ? ? 1 ? x , 1 1 x x ? ? 1, ? ? ? x , (? x ? 0) 1? x 1?? 1? x 1??
x ? ln(1 ? x ) ? x,x ? ?1 当 x ? 0 时, 等号成立, ? 1? x

x ? ln(1 ? x ) ? x 。 八. (10 分) 证明当 x ? ?1 时, 1? x

解2: 令 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ? x , 1 ?x f ?( x ) ? ?1? , 1? x 1? x
令 f ?( x ) ? 0 , 得 x ? 0 ,

1 f ??( x ) ? ? 2, (1 ? x )

? f ??(0) ? ?1 ? 0,

故 f (0) ? 0 是极大值也是最大值, 所以 f ( x ) ? 0, 即
当 x ? ?1时, ln(1 ? x ) ? x

x ? ln(1 ? x ) ? x 。 八. (10 分) 证明当 x ? ?1 时, 1? x



g( x ) ? (1 ? x ) ln(1 ? x ) ? x ,
g?( x ) ? ln(1 ? x ), 令 g?( x ) ? 0, 1 g??( x ) ? , g??(0) ? 1 ? 0 1? x

得 x?0

故 g ( 0) ? 0 是极小值也是最小值, 所以 g( x ) ? 0 , 即
x (1 ? x ) ln(1 ? x ) ? x ? 0, ? ln(1 ? x ) 1? x x ? x ? ?1时, ? ln(1 ? x ) ? x 1? x

九. (6 分) 设 f ( x ) 在[a , b] ( a ? 0) 上连续, 在 ( a , b ) 内可导, 且
b?? f (a ) ? 0 , 证明在( a , b ) 内存在? , 使 f (? ) ? f ?(? ). a

令 F ( x ) ? (b ? x )a f ( x ), 解:
则 F ( x ) 在[a , b]上连续, 在( a , b ) 内可导, 且

F (a ) ? F (b) ? 0

由罗尔定理, 存在? ? (a , b ), 使 F ?(? ) ? 0 , 即

? a(b ? ? )a?1 f (? ) ? (b ? ? )a f ?(? ) ? 0 ? (b ? ? )a ?1 ? 0, ? ? af (? ) ? (b ? ? ) f ?(? ) ? 0
即 b?? f (? ) ? f ?(? ) a


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